2015年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)

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精心整理 2015年全国高中数学联赛（B卷）（一试）

一、填空题（每个小题8分，满分64分

1：已知函数),3(log]3,0[)(2xaxxaxfx，其中a为常数，如果)4()2(ff，则a的取值范围是

2：已知3)(xxfy为偶函数，且15)10(f，则)10(f的值为

3：某房间的室温T（单位：摄氏度）与时间t（单位：小时）的函数关系为：

),0(,cossinttbtaT，其中ba,为正实数，如果该房间的最大温差为10摄氏度，则ba的最大值是

4：设正四棱柱1111DCBAABCD的底面ABCD是单位正方形，如果二面角11CBDA的大小为3，则1AA

5：已知数列na为等差数列，首项与公差均为正数，且952,,aaa依次成等比数列，则使得

121100aaaak的最小正整数k的值是

6：设k为实数，在平面直角坐标系中有两个点集)(2),(22yxyxyxA和

03),(kykxyxB，若BA是单元集，则k的值为

7：设P为椭圆13422xy上的动点，点)1,0(),1,1(BA，则PBPA的最大值为

8：正2015边形201521AAA内接于单位圆O，任取它的两个不同顶点jiAA,，

则1jiOAOA的概率为

二、解答题

9：（本题满分16分）数列na满足,31a对任意正整数nm,，均有mnaaanmnm2

（1）求na的通项公式；

（2）如果存在实数c使得cakii11对所有正整数k都成立，求c的取值范围

10：（本题满分20分）设4321,,,aaaa为四个有理数，使得：

3,1,81,23,2,2441jiaaji，求4321aaaa的值 精心整理

精心整理 11：（本题满分20分）已知椭圆)0(12222babyax的右焦点为)0,(cF，存在经过点F的一条直线l交椭圆于BA,两点，使得OBOA，求该椭圆的离心率的取值范围

（加试）

1：（本题满分40分）证明：对任意三个不全相等的非负实数cba,,都有：

21)()()()()()(222222accbbaabcacbbca，并确定等号成立的充要条件

2：（本题满分40分）如图，在等腰ABC中，ACAB，设I为其内心，设D为ABC内的一个点，满足DCBI,,,四点共圆，过点C作BD的平行线，与AD的延长线交于E

求证：CEBDCD2

3：（本题满分50分）证明：存在无穷多个正整数组)2015,,)(,,(cbacba满足：

4：（本题满分50分）给定正整数)2(,nmnm，设maaa,,,21是n,,2,1中任取m个互不相同的数构成的一个排列，如果存在mk,,2,1使得kak为奇数，或者存在整数

)1(,mlklk，使得lkaa，则称maaa,,,21是一个“好排列”，试确定所有好排列的个数。

2015年全国高中数学联赛（B卷）解答

（一试）

三、填空题（每个小题8分，满分64分

1．已知函数),3(log]3,0[)(2xaxxaxfx，其中a为常数，如果)4()2(ff，则a的取值范围是．

答案：（-2,+∞）．解：(2)2,(4)2fafa，所以22aa，解得：2a．

2．已知3)(xxfy为偶函数，且15)10(f，则)10(f的值为．

答案：2015．解：由己知得33(10)(10)(10)10ff，即(10)(10)2000ff=2015．

3．某房间的室温T（单位：摄氏度）与时间t（单位：小时）的函数关系为：

),0(,cossinttbtaT，其中ba,为正实数，如果该房间的最大温差为10摄氏度，则ba的最大值是．

答案：52．解：由辅助角公式：22sincossin()Tatbtabt，其中满足条件2222sin,cosbaabab，则函数T的值域是2222[,]abab，室内最大温差为22210ab，得225ab． 精心整理

精心整理 故222()52abab,等号成立当且仅当522ab．

4．设正四棱柱1111DCBAABCD的底面ABCD是单位正方形，如果二面角11CBDA的大小为3，则1AA．

答案：62．解：取BD的中点O，连接OA,OA1,OC1．

则∠A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角，因此∠A1OC1=3,

又△OA1C1是等边三角形．故A1O=A1C1=2，所以

22221126(2)()22AAAOAO．

5．已知数列na为等差数列，首项与公差均为正数，且952,,aaa依次成等比数列，则使得

121100aaaak的最小正整数k的值是．

答案：34．解：设数列na的公差为d,则215191,4,8aadaadaad．因为952,,aaa依次成等比数列，所以2295aaa，即2111()(8)(4)adadad．化简上式得到：218add．又0d，所以18ad．由

11211(1)(1)210016kkkakdaaakkkaa．

解得min34k．

6．设k为实数，在平面直角坐标系中有两个点集)(2),(22yxyxyxA和

03),(kykxyxB，若BA是单元集，则k的值为．

答案：23．解：点集A是圆周22:(1)(1)2xy，点集B是恒过点P（-1,3）的直线:3(1)lykx及下方（包括边界）．作出这两个点集知，当A自B是单元集时，直线l是过点P的圆的一条切线．故圆的圆心M(1,l）到直线l的距离等于圆

的半径2，故2|13|21kkk．结合图像，应取较小根23k．

7．设P为椭圆13422xy上的动点，点)1,0(),1,1(BA，则PBPA的最大值为．

答案：5．解：取F(0,l)，则F,B分别是椭圆的上、下焦点，由椭圆定义知，|PF|+|PB|=4．因此，|PA|+|PB|=4-|PF|+|PA|≤4+|FA|=4+l=5．

当P在AF延长线与椭圆的交点3(,1)2时，|PA|+|PB|最大值为5．

8．正2015边形201521AAA内接于单位圆O，任取它的两个不同顶点jiAA,，

则1jiOAOA的概率为．

答案6711007．解：因为||||1ijOAOA，所以

222||||||22(1cos,)ijijijijOAOAOAOAOAOAOAOA． 精心整理

精心整理 故1jiOAOA的充分必要条件是1cos,2ijOAOA，即向量,ijOAOA的夹角不超过32．

对任意给定的向量iOA，满足条件1jiOAOA的向量可的取法共有：

222134232015种，故1jiOAOA的概率是：20151342671201520141007p．

四、解答题

9．（本题满分16分）数列na满足,31a对任意正整数nm,，均有mnaaanmnm2

（3）求na的通项公式；

（4）如果存在实数c使得cakii11对所有正整数k都成立，求c的取值范围．

解：(l)在mnaaanmnm2中令1m可以得到na的递推公式：112(32)nnnaaanan．

因此na的通项公式为：

111[5(21)](1)(32)3(2)2nnknnaaknn．8分

（事实上，对这个数列na,1133a，并且

2mnaamn．

所以(2)nann是数列na的通项公式．

(2)注意到：11111()(2)22nannnn，所以

11111111113111()(1)()2222124212kknnnannkkkk．

故1134knna,并且113()4knnka，因此c的取值范围是3[,)4c．16分

10．（本题满分20分）设4321,,,aaaa为四个有理数，使得：

3,1,81,23,2,2441jiaaji，求4321aaaa的值．

解：由条件可知，(14)ijaaij是6个互不相同的数，且其中没有两个为相反数，由此知，4321,,,aaaa的绝对值互不相等，不妨设||||||||4321aaaa，则||||(14)ijaaij中最小的与次小的两个数分别是12||||aa及13||||aa，最大与次大的两个数分别是34||||aa及24||||aa，从而必须有

121324341,81,3,24,aaaaaaaa10分

于是2341112113,,248aaaaaaa．

故2231412113{,}{,24}{2,}82aaaaaa，15分

结合1aQ，只可能114a． 精心整理

精心整理 由此易知，123411,,4,642aaaa或者123411,,4,642aaaa．

检验知这两组解均满足问题的条件．

故123494aaaa．20分

11．（本题满分20分）已知椭圆)0(12222babyax的右焦点为)0,(cF，存在经过点F的一条直线l交椭圆于BA,两点，使得OBOA，求该椭圆的离心率的取值范围．

解：设椭圆的右焦点F的坐标为（c,0)．显然l不是水平直线，设直线l的方程为xkyc，点A、B的坐标分别为11(,)xy，22(,)xy．将直线l的方程与椭圆方程联立，消去x得22222222()24()0bkaykbcybca．

由韦达定理21222222241222222224,().kbcyybkabcabyybkabka

422222222224(1)()()bkbckkccbkabka22224222kbacbbka．5分

因为OBOA等价于0OAOB，故由上式可知，存在满足条件的直线l，等价于存在实数k，使得222242220kbacbbka,224222(1)acbkbc．①

显然存在k满足①等价于2240acb．②15分

又222bac，所以②等价于22222()0acac，两边除以4a得到

22222(1)0ccaa,即222(1)0ee．

由于1e，解得：51[,1)2e．20分

加试

1：（本题满分40分）证明：对任意三个不全相等的非负实数cba,,都有：

21)()()()()()(222222accbbaabcacbbca，并确定等号成立的充要条件．