第十八届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题解答_

三、过年了，佳 怡 去 探 望 奶 奶，到 商 店 买 了 一 匣 点 心 ，售 货 员 为 她 做 了 一 个 如 图 １ 的 捆 扎 ，并 在 角 上 配 了 一 个 花 结 ，使 得 点 心 匣 很 漂 亮 ，佳 怡 非 常 高兴．售货员说，这 种 捆 扎 方 式 不 仅 显 得 漂 亮，而 且比一般的十字捆扎方式（如 图 ２）用 的 包 装 彩 绳 短．你同意这种说 法 吗？ 请 给 出 你 的 理 由 （注：ｘ， ｙ，ｚ 是长方体形状匣子的 长，宽，高，ｚ＜ｘ，ｚ＜ ｙ）．
２２０ ２２５ ２３０ ２３５ ２４０ ２４５ ２５０ ２５５ ２６０ ２６５ ３４ ３５ ３６ ３７ ３８ ３９ ４０ ４１ ４２ ４３
请你解决下面的问题： （１）找 出 满 足 上 面 条 件 的 一 个 计 算 公 式 ，通 过
实际脚长ｘ 计算出鞋号ｙ． （２）习惯 称 为 “３０ 号”的 童 鞋，对 应 的 脚 实 际
尺寸有多长？ （３）一个篮球 运 动 员 的 脚 长 为 ２８２ｍｍ，他 该
穿多大号的鞋？ 解 （１）观 察 到 ，表 中 给 出 了 两 列 数 ，
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数学通报 ２０１５年 第５４卷 第４期
ｎ
１
２
３
４
５
６
７
８
９
１０
ａｎ ２２０ ２２５ ２３０ ２３５ ２４０ ２４５ ２５０ ２５５ ２６０
（４ｃ）
ｃｏｓγ
＝
－
（ｋ２Ａ －ｋ２Ｂ ＋ｋ２Ｃ ２ｋＡｋＣ
）＝０．６２８，
（５ａ）
ｃｏｓα
＝
－
（ｋ２Ａ ＋ｋ２Ｂ －ｋ２Ｃ ２ｋＡｋＢ
） ＝０．８３６．
（５ｂ）
因 此，γ ＝ ０．８９１６ ≈ ５１°，α＝ ２．５３４４ ≈
１４６°，β＝ ３６０°－α－γ≈ １６３°．
（上 接 第 ５０ 页 ） 向量特征什么样？有几多变量？有怎样的约束？ 有方程（组）吗？ 有 不 等 式 吗？ 可 解 吗？ ……．）． 教师要在充分 了 解 问 题 的 基 础 上，把 自 己 的 研 究 体会转化为火 热 的 教 学 情 态，通 过 问 题 驱 动 展 开 教 学 ，在 学 生 的 思 维 百 变 中 始 终 抓 住 问 题 的 本 质 ， 把数学思想与方法这条教学主线贯穿于整个教学 过 程 ，教 “解 ”法 更 要 教 “想 ”法 ，着 力 改 善 解 题 教 学 中 过 分 依 赖 题 型 记 忆 、复 制 模 仿 的 状 况 ，着 意 提 升 学生在新颖的 习 题 情 境 前，能 根 据 已 有 的 数 学 经 验，挖掘隐含信 息，并 以 研 究 者 的 心 态 分 析、解 决 问题的能力［４］，使学生学会用数学的思维 方 法（方 程 思 想 、图 形 模 式 、运 算 结 构 、数 形 结 合 等 ）合 情 探 索、合理预判、慎 密 思 考，使 数 学 的 解 题 过 程 成 为
（ａ，ｂ），其 关 系 为ｂ＝０．２ａ－１０． （２）令ｂ＝３０，由 上 述 公 式 算 出 ，ａ＝２００，即 脚
的 长 度 为 ２００ｍｍ． （３）当ａ ＝２８２，利 用 公 式ｂ ＝ ０．２ａ －１０ 算
出的结果 为ｂ ＝ ４６．４，而 鞋 号 都 是 整 数，按 照 穿 鞋“不挤脚 ”的 原 则，这 个 篮 球 运 动 员 应 穿 ４７ 号 的鞋．
π ２
）］＝
０．
（２）
对每 一 个 弹 簧 应 用 Ｈｏｏｋｅ定 律 可 以 得 到 如
下关系：
烄ＦＤＡ ＝ｋＡｓ， 烅ＦＤＢ ＝ｋＢｓ，
（３）
烆ＦＤＣ ＝ｋＣｓ．
将式（３）带入式（２）得 ｋＢｓｉｎα ＝ｋＣｓｉｎγ ，
（４ａ）
ＷＬ ｓｈ
＝ｋＡ
＋ｋＢ
＋ｋＣ
，
（４ｂ）
ｋＡ ＋ｋＢｃｏｓα＋ｋＣｃｏｓγ ＝０． 由 （４ａ）和 （４ｃ）可 以 求 解 出
图２ 图３
图 １５
图４
１° 每 一 次 变 化 后，活 细 胞 的 个 数 不 发 生 变化．
２° 图 ５ 对 比 图 １，活 细 胞 的 相 对 位 置 和 分 布 的 整 体 形 态 是 一 样 的 ，只 是 向 右 下 方 走 了 一 格 ．也 就 是 说 ，活 细 胞 的 分 布 的 形 态 成 周 期 性 变 化 ，最 小 周期是４；相对于上一个 周 期，每 一 个 活 细 胞 均 向 右下方走了一格．
（３）如果每 次 红 包 按 金 额 由 大 到 小 排 的 次 序
为第一名到第 十 名，那 么 抢 到 的 红 包 中 最 高 次 序
为第五名的概率是多少？
解 （１）全 部 抢 到 “最 差 手 气 ”的 概 率 为
（ ） Ｐ（全部抢到“最差手气”）＝
１ １０
１０
＝１０－１０．
（２）至 少 一 次 抢 到 “最 佳 手 气 ”的 概 率 为
到的红包中不出现前五名）
（ ） （ ） ＝
６ １０
１０
－
５ １０
１０
＝ ０．００５０６９．
二、网上购鞋常常看到下面这样一张表，第 一
行可以理解为 脚 的 长 度，第 二 行 是 我 们 习 惯 称 呼
的 “鞋 号 ”．
中国鞋码实际标注 （同 国 际 码 ）ｍｍ
中国鞋码习惯叫法 （同 欧 码 ）
ＳＩＺＥ 尺码对照表
Ｂ、Ｃ 的位 置，从 而 使 平 台 保 持 水 平，防 止 货 物 在 运 输 过 程 中 滑 落 ．即 确 定 如 图 １ 所 示 的 、使 三 个 弹 簧形变量ｓ相 同 的 缆 绳 夹 角α，β 和γ，以 保 证 受
力后拉伸的长度 Ｌ ＝ 槡Ｒ２ ＋ｈ２ 相同．
解 只需计算作用在点 Ｄ 的三
个受力向量 ＦＤＡ ，ＦＤＢ 和 ＦＤＣ ，由 它 们 在
图１
图２
解：易知，在不考 虑 系 扣 的 前 提 下，图 ２ 用 彩 绳的长度记作 Ｌ，在扎紧的情况下用绳最短，记作 ｌ，此 时 每 个 面 上 的 那 一 段 绳 都 与 相 交 的 楞 成 垂 直 相 交 ，即ｌ＝２ｘ＋２ｙ＋４ｚ．
再看图１的用绳情况．所用绳长记作 Ｍ，先将 在每个面上的用绳情况展 在 平 面 上，如 图 ３．其 图 形是一条由 Ａ 回到Ａ 的折线，在扎紧的情况下用 绳最短，记作 ｍ，此时应当是条线段，易见，ｍ 是线 段 Ａ′Ａ″的 长 度 ，
２０１５年 第５４卷 第４期 数学通报
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图１
解 可 以 把 图ｉ＋１ 看 成 是 第ｉ 次 变 化 后 的 细 胞 状 态 ，我 们 按 照 上 述 的 细 胞 变 化 规 则 ，得 到 图 ２ 至 图 ５．我 们 发 现 ：
图５
由于１５＝４×３＋３，利用２°，我们 可 以 画 出 图 １５，它 相 对 于 图 ３，向 右 下 方 有 走 了 ３ 格 ．
我 们 称 在 一 次 派 发 中 ，金 额 最 小 的 红 包 为 “最 差手气”，金额最 大 的 红 包 为 “最 佳 手 气”．一 个 人 参 与 了 这 １０ 次 抢 红 包 ，请 对 他 计 算 ．
（１）全 部 抢 到 “最 差 手 气 ”的 概 率 ；
（２）至 少 一 次 抢 到 “最 佳 手 气 ”的 概 率 ；
ｘ，ｙ，ｚ 三 个 方 向 上 的 分 量 之 和 为 ０，
即 可 确 定 三 个 夹 角α，β 和γ． 从连接点 Ｄ 和点Ｂ 的弹簧所受
的 力 ＦＤＢ 开始，用ｉ，ｊ 和ｋ分别表示沿
ｘ ，ｙ 和ｚ 轴 方 向 的 单 位 向 量，则 ＦＤＢ 图２
可表示为 ＦＤＢ ＝ＦＤＢｘｉ＋ＦＤＢｙｊ＋ＦＤＢｚｋ， 其 中 ＦＤＢｘ ，ＦＤＢｙ ，ＦＤＢｚ 表示ＦＤＢ沿ｘ，ｙ，ｚ 轴方向
２０１５年 第５４卷 第４期 数学通报
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第十八届北京高中数学知识应用 竞赛决赛试题解答
竞 赛 时 间 ：２０１５ 年 ３ 月 ２９ 日 ８：３０～１１：００
一、春 节 期 间，朋 友 高 兴，在 微 信 群 里 玩 起 了 抢红包的游戏．共 有 １０ 人，每 人 都 在 群 里 派 发 一 次 总 金 额 一 样 的 红 包 ，每 派 发 一 次 红 包 ，网 络 会 随 机 地 将 派 来 的 钱 分 成 １０ 个 钱 数 不 等 的 红 包 ，抢 到 手 之 前 谁 也 不 知 道 红 包 内 钱 数 ，然 后 大 家 都 去 抢 ． 比如，在一次总金额为１０ 元 的 抢 红 包 中，１０ 人 抢 到 手 的 分 别 是 ：１．６８ 元 ，１．５６ 元 ，０．３ 元 ，１．２９ 元 ， ０．４８元，０．５７元，１．８５ 元，１．０８ 元，０．５８ 元，０．６１ 元 ．如 下 图 所 示 ．
Ｐ（至 少 一 次 抢 到 “手 气 最 佳 ”）
＝Ｐ（抢到任意一种红包）－ Ｐ（抢不到“最佳
手 气 ”）
（ ） ＝ １－
９ １０
１０
＝ ０．６５．
（３）抢 到 的 红 包 中 最 高 次 序 为 第 五 名 的 概
率为
Ｐ（抢 到 的 红 包 中 最 高 次 序 为 第 五 名 ）
＝Ｐ（抢到的红包 中 不 出 现 前 四 名）－ Ｐ（抢
达式．
令 每 个 坐 标 轴 方 向 的 合 力 为 ０，则 有
烄ｉ：ＦＬＤＢ
［－Ｒｃｏｓ（α－
２π）］＋
ＦＤＣ Ｌ
［Ｒｃｏｓ（γ－
π）］ ２
＝０，
ｊ：Ｗ 烅
－ＦＬＤＡｈ －ＦＬＤＢｈ －ＦＬＤＣｈ
＝ ０，
ｋ：ＦＤＡＲ Ｌ
－ＦＬＤＢ
［Ｒｓｉｎ（α－
π ２
）］
烆
－ＦＬＤＣ
［Ｒｓｉｎ（γ－
图１
五、假设有一 个 半 径 为 Ｒ、重 量 为 Ｗ 的 圆 形 平台（含起重货物），它由三个张力弹簧支撑，如 图 １所示．弹簧的质量可以忽略不计．根据 Ｈｏｏｋｅ定 律，弹簧 张 力 Ｆ 与 其 形 变 量ｓ 成 正 比，Ｆ（ｓ）＝ｋｓ， 每个弹 簧 的 比 例 系 数 ｋ 分 别 为ｋＡ ＝４．４，ｋＢ ＝ １１．２，ｋＣ＝７．９．当起重机吊起货物时，平 台 以 上 的
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数学通报 ２０１５年 第５４卷 第４期
高度为ｈ ＝｜ＤＯ｜＞０，以点 Ｄ 为中心质点构建的 物 体 受 力 如 图 ２ 所 示 ．为 了 保 持 物 体 的 静 态 平 衡 ，
作用在点 Ｄ 各方向分力的总和必须等于０． 试确定在圆形 平 台 边 上 的 三 个 弹 簧 一 端 Ａ、
槡 的大小，ＦＤＢ ＝
Ｆ２ ＤＢｘ
＋Ｆ２ＤＢｙ
＋Ｆ２ＤＢｚ
表 示ＦＤＢ的
大 小 ，根 据 立 体 几 何 分 析 得 到
烄ＦＤＢｘ
＝
ＦＤＢ ＬΒιβλιοθήκη Baidu
［－Ｒｃｏｓ（α－
π）］， ２
烅ＦＤＢｙ
＝
ＦＤＢ Ｌ
（－ｈ），
（１）
烆ＦＤＢｚ
＝
ＦＤＢ Ｌ
［－Ｒｓｉｎ（α－
π ２
）］．
同理，可以仿照 式 （１）得 到 ＦＤＡ ，ＦＤＣ 的 分 量 表
２６５
ｂｎ
３４
３５
３６
３７
３８
３９
４０
４１
４２
４３
ａｎ＋１＝ａｎ ＋５，ａ１ ＝２２０；ｂｎ＋１＝ｂｎ ＋１，ｂ１ ＝３４． 由 此 得 ａｎ ＝２１５＋５ｎ，ｂｎ ＝３３＋ｎ．于 是 有
ｂｎ＝０．２ａｎ－１０． 如 果 将 对 应 的 脚 长 （单 位：ｍｍ）和 鞋 号 记 作
图３
｜Ａ′Ａ″｜＝ 槡（２ｙ＋２ｚ）２ ＋ （２ｘ＋２ｚ）２ ＝２ 槡（ｙ＋ｚ）２ ＋ （ｘ＋ｚ）２ ，
两个正数的大小关系与它们的平方的大小关 系 是 一 样 的 ，于 是 计 算
ｌ２－ｍ２＝ （２ｘ＋２ｙ＋４ｚ）２ －４［（ｙ＋ｚ）２ ＋ （ｘ ＋ｚ）２］＝ ８（ｚ２＋ｘｙ＋ｘｚ＋ｙｚ）＞０．
因 此 ，图 １ 的 捆 扎 方 法 节 省 材 料 ． 四 、在 平 面 方 格 图 中 ，设 每 一 个 小 方 格 是 一 个 细 胞 ，每 个 细 胞 有 ８ 个 和 它 相 邻 的 细 胞 ．我 们 假 设 每 个 细 胞 只 有 两 种 状 态 ：“活 ”与 “死 ”，我 们 将 活 细 胞小方格里标 记 “●”，死 细 胞 就 是 没 有 标 记 的 小 方 格 ．细 胞 的 活 与 死 是 可 变 的 ，所 有 细 胞 的 变 化 是 同时进行的．每一次细胞变化的规则如下：一个 活 细胞下一步继 续 活 的 充 分 必 要 条 件 是：现 在 与 它 相邻的细 胞 中，有 ２ 或 ３ 个 活 细 胞．换 句 话 说，它 的相邻细胞中，活细胞少于２个或多于３ 个时，下 一步它将死去；一 个 死 细 胞 下 一 步 变 成 活 细 胞 的 充分必要条 件 是：现 在 与 它 相 邻 的 细 胞 中 恰 有 ３ 个活细胞． 现在给定一个 初 始 状 态 细 胞 的 位 置 图，在 整 个方格表中，有 ５ 个 活 细 胞，即 图 １．请 用 文 字 表 述、并自制方格 表 画 出：经 历 了 １５ 次 变 化 之 后 的 细胞死活状态位置图．