第二十一届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考解答

三月 晚 ３ ５ ３ ２ ４ ５ ９ ４ ７ ０ ２ ３ １ ８ 无 无 １ ３ １ ６ ６ ０ ９ ６ １ ４ ８ １ ０ ９ ２ ０ ２ ６ ３ １ ０ ８ １ ２ ７ １ ０ ４ ６ ８ ９ １ ２ １ ９ ５ ６ １ １ ３ ４ ５ １ ０ 早
１ １ …＋ １） ＋ … ＋ （ｋ－１ ＋…＋ ｋ） １ ６ ２ ２ ＋１ １ ＞１＋ ｋ． ２ 当 ｋ 大于等于 ２ 上式大于 １ ０ ０时， ０ ０． １ １ １ ２ ０ ０ 这表明 ， 当 ｎ≥２ 时， １＋ ＋ ＋ … ＋ 大 ｎ ２ ３ 即小虫可以爬到绳子的另一端 ． 于１ ０ ０． （ 二、 满分 ２ 利用人造地球卫星实时定位 ０ 分） 地面上物体 （ 例如行驶的汽车 ） 位置的全球定位系 ） 如今已经家喻户晓 ． 这个系统由 ２ 统（ Ｇ Ｐ Ｓ ４ 颗高 轨道卫星组成 ， 它们相对于地面是静止的 ． 汽车为 了确定自己的 位 置 ， 需要同时联系系统中的三颗 当汽车与一颗卫星联系时 ， 接收器 卫星接受信号 ． 从信号往返的时间精确地确定出汽车与这个卫星 之间的距离 ｒ， 例 如 ｒ＝２ 它表明汽车位 ２ ５ ３ ０ ｋ ｍ， 于以该卫星 为 中 心 ， 半径为２ ２ ５ ３ ０ ｋ ｍ 的 球 面 上． 若汽车 与 另 外 两 颗 卫 星 的 距 离 分 别 为 ２ ７ ３ ５ ８ ｋ ｍ 和２ 则汽车的位 置 应 该 是 这 三 个 球 面 的 ５ ７ ９ ４ ｋ ｍ， 而三个球面有两个交点 ， 但其中一个交点与 交点 ． 地球的 距 离 很 远 ， 不难区别哪一个点是所要的 答案 ． 假设汽车在地球上 的 位 置 由 坐 标 （ ｘ， ｚ） ｙ， ， （ ， 来描述 三颗卫星在该坐标系上的位置为 ａ ｉ ｂ ｉ， ，（ ， 它 们 是 已 知 的． 则以这三颗卫 ｃ ｉ ＝１， ２， ３） ｉ） 星为心 ， 三个距离为半径的球面就可以表示为
五月 晚 ２ ０ ８ ９ １ ２ ８ １ ３ ３ ７ ０ 无 无 ３ １ １ １ １ ２ ８ ３ ０ ５ ７ ３ ８ ４ ８ ４ １ １ ９ ２ １ １ ６ １ ８ ４ ８ ７ ９ ９ ２ ２ ０ ３ ３ ４ ９ 早 ２ ４ ８ ９ ２ ６ ８ ６ ３ ９ ５ ４ 无 无 ４ ０ ５ ２ ３ ３ ６ ８ ６ ６ ５ ４ ２ ７ ２ ０ ３ ７ ２ ５ １ ５ ２ ３ ４ １ １ ９ ８ ０ ８ ７ ３ ４ ５ ９
图１ １ －
图１ ２ －
（ ， 四、 满分 ２ 古语说“ 早睡早 起 身 体 好” ０ 分） “ — —清 晨 锻 炼 闻鸡起舞 ” 现 在 对 这 一 传 统 习 惯— ． 身体 ， 有些非议 ． 理 由 是 早 晨 太 阳 未 升 起 前， 空气 污染严重 ， 还是晚上空气质量更好些 ， 更适合户外 运动 ． 北京的 Ｍ 空气观测站每天 ２ 每小时 ４ 小时 、 公布一次空 气 质 量 指 数 。 我 们 将 每 天 ６ 点 、 ７点 和 ８ 点三个数据的平均值作为当天早晨的空气质 量指 标 ， 将每天１ ８ 点、 １ ９点和２ ０点三个数据的 平均 值 作 为 当 天 晚 间 的 空 气 质 量 指 标 ， 表１是根 据 Ｍ 空气观测站发布的 ２ ０ １ ７ 年 １ 月到 ６ 月空气 质量指数计算出的早 、 晚空气质量指标数据 （ 有少 ， 量数据缺失 ） 数值越大 ， 空气的质量就越差 ．
一月 早 ４ １ ５ ９ ６ １ ９ ４ ６ ２ ３ 无 无 ６ ８ ４ ６ １ ０ １ １ ３ ０ ２ １ １ １ ６ ７ ６ １ １ ６ １ ８ １ １ ０ ２ ２ ８ ３ ３ ２ １ ０ １ ５ ０ ９ ８ １ １ ２ 晚 ５ ０ ６ ４ １ ０ ２ ５ １ ６ ３ ６ 无 无 １ ２ ２ ３ ６ ９ １ ３ ０ １ ８ ５ ５ ２ １ １ ３ ３ ９ ６ ５ ５ ６ １ ３ ７ ２ １ ０ １ ２ ７ ９ ２ ５ ３ １ ５ ７ ７ ８ ３ 早
可以确定汽车的位置 ． 直接求解这 个 三 元 二 次 方 程 组 复 杂 且 耗 时 ， 对实时定位的需求来说是不实际的 ．
２ ０ １ ８年 第５ ７ 卷 第 １ 期 数学通报 请你给出一个简单求解这个方程组的步骤 ． 解 步骤 １ 针对这 个 方 程 组 的 特 征 ， 令（ １） ） ， （ ） ） ， 得 －（ ２ １ －（ ３ （ （ （ ２ ａ ａ ｘ＋２ ｂ ｂ ｃ ｃ ｚ ｙ＋２ ２－ １） ２－ １） ２－ １）
６ ０
数学通报 ２ ０ １ ８年 第５ ７卷 第１期
表 １ ２ 晚的空气质量指标数据 ０ １ ７ 年上半年每天早 、
日 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ １ ２ １ ３ １ ４ １ ５ １ ６ １ ７ １ ８ １ ９ ２ ０ ２ １ ２ ２ ２ ３ ２ ４ ２ ５ ２ ６ ２ ７ ２ ８ ２ ９ ３ ０ ３ １
２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２
程， 有无穷多组解 ． 步骤 ２ 固定 ｚ， 将其移到方程组的右端 ， 得 （ （ （ ２ ａ ａ ｘ＋２ ｂ ｂ ｃ ｃ ｚ， ｙ＝Ａ－２ ２－ １） ２－ １） ２－ １） （ （ （ ２ ａ ａ ｘ＋２ ｂ ｂ ｃ ｃ ｚ， ｙ＝Ｂ－２ ３－ １） ３－ １） ３－ １）
六月 晚 ２ ２ ５ １ ４ １ １ １ １ ０ ３ ５ ４ ４ 无 无 ３ ０ ５ １ ６ ３ ７ ６ ３ ６ ０ １ ７ ２ ２ ５ ０ ４ ８ １ ３ ２ ９ ０ ８ ３ ３ ８ ４ ３ ５ ４ ９
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ｒ ｒ ａ ａ ｂ ｂ ｃ ｃ ＝ １－ ２＋ ２－ １＋ ２－ １＋ ２－ １， （ （ （ ２ ａ ａ ｘ＋２ ｂ ｂ ｃ ｃ ｚ ｙ＋２ ３－ １） ３－ １） ３－ １）
２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２
ｒ ｒ ａ ａ ｂ ｂ ｃ ｃ ＝ １－ ３＋ ３－ １＋ ３－ １＋ ３－ １， 这是三元一次 方 程 组 ， 但只有两个独立的方
ｋ －１ 项． 除了最 后 一 项 外 ， 其它各项都大于１ ＝２ ｋ． ２
（ ） １ （ ） ２
２ ２来自百度文库２ ２ （ （ ） ｘ－ ａ ｂ ｚ－ ｃ ｒ ３ ｙ－ ３ ）＋ （ ３ ）＋ （ ３ ）＝ ３ 对这三个关 于 （ ｘ， ｚ）的 联 立 方 程 求 解 就 ｙ，
由此可以得到 １＋ １ １ … １ ＋ ＋ ＋ ｋ ２ ３ ２
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数学通报 ２ ０ １ ８年 第５ ７卷 第１期
第二十一届北京高中数学知识 应用竞赛初赛试题及参考解答
（ 满分 ２ 有一根长 １ 米且弹性能充分 ０ 分） 一 、 满足要求的绳子 ， 在绳子的一端有一个小虫 （ 虫子 本身的长度忽略不计 ） 现在小虫沿着绳子爬行１ ． 厘米 ， 停 下 来． 我们把绳子拉长１米（ 此时绳长为 ， 然后 小 虫 再 爬 行 １ 厘 米 ． 我们再把绳子拉 ２ 米） ， 长 １ 米（ 此时绳长 为 ３ 米 ） 小虫接着又爬行１厘 米． 依次下去 ， 绳 子 每 拉 长 １ 米， 小虫就再爬行１ 厘米 ． 请问 ： 小虫能爬到绳子的另一端吗？请对你 的答案说明理由 ． 解 小虫在绳子拉长到 ２ 米后 ， 爬了 １ 厘米 ， 如果 把 绳 子 还 原 ， 小虫这次在这绳子上只爬了１ ２ １ 厘米 类 厘米 ． 两次爬行之后 ， 小虫爬行了 （ １＋ ） ． ２ 似地 ， 小虫在第三次实际 上 只 爬 了 １ 厘 米 ． ｎ 次之 ３ １ １ １ 厘 后， 小虫在绳子上爬行了 （ １＋ ＋ ＋ … ＋ ） ｎ ２ ３ 由于绳子的 长 度 是 １ 这 个 问 题 变 成： 米． ０ ０ 厘 米， 是否存在正整数 ｎ， 使得 １＋ １ ＋ １ ＋ … ＋ １ 能够 ｎ ２ ３ 大于等于 １ ０ ０． 现在我们把 １＋ １ ＋ １ ＋ … ＋ １ ＋ … 写成 ２ ３ ｎ １＋ １ （ １ １） （ １ … １） （ １ … ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ２ ３ ４ ５ ８ ９ ＝１＋ １ （ １ １） （ １ … １） （ １ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ２ ３ ４ ５ ８ ９
二月 晚 １ ９ ４ １ ０ ５ ４ １ ５ ４ ５ ８ ２ ０ 无 无 ３ ５ ２ ０ ４ ２ ４ ０ ９ ６ ２ ７ ９ １ ４ １ ８ ５ ４ １ ２ ３ ４ １ ２ １ ２ ３ １ ４ ６ １ ４ 早
２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ 其中 Ａ＝ ｒ ｒ ａ ａ ｂ ｂ ｃ ｃ Ｂ＝ １－ ２＋ ２－ １＋ ２－ １＋ ２－ １， ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ 便可 ｒ ｒ ａ ａ ｂ ｂ ｃ ｃ １－ ３＋ ３－ １＋ ３－ １＋ ３－ １是 实 常 数， 解出用 ｚ 表示的 （ ｘ， ． ｙ）
２ ２ ２ ２ （ ｘ－ ａ ｂ ｚ－ ｃ ｒ ｙ－ １ ）＋ （ １ ）＋ （ １ ）＝ １ ２ ２ ２ ２ （ ｘ－ ａ ｂ ｚ－ ｃ ｒ ｙ－ ２ ）＋ （ ２ ）＋ （ ２ ）＝ ２
１ １ １ ＋ ） ＋ … ＋ （ｋ－１ ＋…＋ ｋ） ＋ …， １ ６ ２ ＋１ ２ 不难看出 ， 每一个括号内的值都大于 １ ． 这是 ２ １ １ １ ｋ ｋ －１ 因为 ，ｋ－１ ＋ ｋ－１ ＋…＋ ｋ 中有２ －２ ＋２ ２ ＋１ ２ ２
步骤 ３ 这 时 的 ｘ 和ｙ 是ｚ 的 一 次 函 数 ， 记 （ ） （ ） 。 为ｘ ｚ 和ｙ ｚ 将它们带回到原来的三元二次 （ ） 就得到了关于变量ｚ 的一元 方程组中的 ３ 式中 ， 二次方程 ． 于是求得 ｚ． ， 步骤 ４ 将 ｚ 带入ｘ（ 和 ｙ（ 这样问题就 ｚ） ｚ） 解决了 ． （ 三、 满分 ２ 在北京市第十一次党代会 ０ 分） 北京市委 、 市政府明确提出 “ 聚焦通州战略 ， 打 上， ， 造功能完备的城市副中心 ” 更加明确了通州作为 城市副中心定位 ． 现已知北京城市副中心占地 （ 如 ） 面积约 １ 若将一个平面封闭 图１ １ ５ ５ 平 方 千 米， － 区域内任 意 两 点 距 离 的 最 大 值 称 为 该 区 域 的 直 径， 求北京城市副中心的直径 ． 解 画出北 京 城 市 副 中 心 的 区 域 轮 廓 图 （ 图 ） ， 可见 Ｍ 、 １ ２ Ｎ 两点的实际距离即为区域的直 － 需确定比例 尺 ， 然 后 量 出 直 径． 利用割补的方 径． 法， 把区域轮廓图近似分割为一个矩 形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ和 一个三角形 Ｂ Ｅ Ｆ． 令Ｅ 则 经 测 量， Ｆ ＝１ ０， ＭＮ ＝３ ２． ５， Ａ Ｂ＝ 于是 ， 区域的面积 Ｓ＝１ Ｂ Ｃ＝１ ９， ９×１ ７． ５＋ １ ７ ． ５， １ 比例尺为 １． ×１ ９×１ ０＝４ ２ ７． ５， ６ ６∶１． ２ ３ ２． ５ 因 此 Ａ、 千 Ｂ 两点的距离为 ９． ５ ７（ ≈１ １． ６ ６ 米） ． 注： 只要方法得当 ， 答案靠近 １ 即 ９～２ ０ 千米 ， 为正确 ．
四月 晚 ３ ４ ２ ３ ６ ２ １ ３ ２ ６ ７ ３ ９ ０ ３ ２ 无 无 ７ ２ ３ ４ １ ２ １ １ ８ ８ ３ ２ ４ ５ ３ １ ８ １ １ ４ １ ２ ８ １ ６ １ ６ １ ３ １ ６ １ ９ ５ ５ ４ １ 早