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第八章 相关与回归分析
第一节 相关关系及其种类
一、相关分析的意义
相关与回归分析，是统计学中最有适应价值的一个分支，在科学研究、社会经济管理等若干方面，都能够发挥重要的作用。
世界是普遍联系的有机整体，现象之间存在着相关依存、相互制约的关系，每一个现象的运动、变化和发展，与其周围的现象相互联系和相互影响着。比如，销售规模扩大了，相应地会降低产品的销售成本，价格的上升，将导致供应量的增加，但与此同时，可能会压制消费水平，适当地增加土地耕作深度、施肥量，有利于农作物产出的提高，投入的学习时间与取得的成绩一般呈现出正向关系，数学课学得好则计算机也会学得好一些，身材高的父母，他们的子女的身高也相对较高，降低储蓄的利率，可能会引起存款量的减少，一个人接受教育的程度，与他的劳动效率有着千丝万缕的联系，工作年限长的工人，由于动作熟练和经验丰富，因此比起新手其生产效率将高出一截等等。通过对现象间的这些关系的研究，可以帮助人们找到现象变化内在与外在的影响因素及其发生机制，进而达到认识规律的目的。如果能够准确地把握住这些规律，借以估计、预测和控制，就可以对决策活动和科学研究给予帮助与指导。
相关关系又叫统计关系，它是指现象之间客观存在的相互依存关系。这种关系，只是大致的、从总体上而言的，并不是说某一现象的每一变化，都一定会引起与它有联系的另一现象的同样的变化，换句话，就是一个现象发生了变化，另一现象可能暂时无反应，或者该现象没变，但另一现象却有些变化，可是如果从更大的截面上观察，似乎又存在着某些必然的联系。比如，生产规模与经济效益有联系，但有可能的情况是，规模小的企业不见得单位产品成本就一定比规模大的低甚至低多少，父母身材高的小孩他的身高不会肯定就比父母身材矮的小孩的身材高。那么，说规模和效益、高身材与低身材父母的遗传关系的规律，不过是从普遍的事实中概括出来的。
统计学是研究客观现象数量方面的，从数量角度研究现象间的相互依存关系，需要把它们转化为变量的描述和处理。因此。统计相关分析，也可以说就是研究变量与变量之间的关系。变量间的关系可分为两大类，一类是确定性关系，可以用数学上的函数表达式来说明，例如，圆的面积与圆的半径，其函数式为2rS，一旦半径r给出了，圆的面积就唯一得到了确定，再比如，物体下落的距离与时间的关系为221gth，时间t的值，也是与距离h的值一一对应的。除了这类确定性关系外，变量间的另一类关系为不确定性关系，如果用X表示产量、价格、利息率、身高、工龄等，用Y表示单位成本、供应量、储蓄存款余额、体重、劳动生产率，则X与Y间的关系，是不好用一个确定的数学表达式加以刻 2 画的。因此，有时人们也把相关关系解释成，变量间表现出来的不确定性关系。
相关分析与回归分析的基本原理
1. 引言
相关分析与回归分析是统计学中常用的两种数据分析方法，它们可以帮助研究者理解变量之间的关系，并根据这些关系进行预测。本文将介绍相关分析和回归分析的基本原理，包括其定义、应用场景以及计算方法。
2. 相关分析
2.1 定义
相关分析是一种用来研究两个或多个变量之间关系的统计方法。它通过计算相关系数来衡量变量之间的相关性。相关系数的取值范围为-1到1，其中-1表示完全的负相关，1表示完全的正相关，0表示无相关关系。
2.2 应用场景
相关分析可应用于许多领域，如市场研究、医学研究、金融分析等。例如，在市场研究中，我们可以使用相关分析来研究产品销量与广告投入之间的关系，了解其相关性，并根据相关性进行决策。
2.3 计算方法
计算两个变量之间的相关系数可以使用皮尔逊相关系数或斯皮尔曼相关系数。皮尔逊相关系数适用于连续变量，而斯皮尔曼相关系数适用于有序变量或非线性关系。 3. 回归分析
3.1 定义
回归分析是一种用来研究变量之间关系的统计方法，其基本思想是通过构建适当的数学模型来描述一个或多个自变量对因变量的影响。回归分析可以帮助预测未来的观察值，并理解变量之间的因果关系。
3.2 应用场景
回归分析可以应用于各种预测和建模的场景。例如，在金融领域，回归分析可以用来预测股票价格的变动，了解影响股价的各种因素，并根据这些因素进行投资决策。
3.3 计算方法
回归分析通常使用最小二乘法来拟合变量间的线性关系。在回归分析中，自变量可以是单个变量或多个变量，而因变量是需要预测或解释的变量。通过最小化残差平方和，可以得到最佳拟合的回归模型。
4. 相关分析与回归分析的联系与区别
4.1 联系
相关分析和回归分析都是用来研究变量之间关系的统计方法，它们都可以帮助研究者理解变量之间的相关性和影响程度。
4.2 区别 相关分析主要关注变量之间的相关性，通过计算相关系数来衡量相关性的强度和方向；而回归分析则更加关注自变量对因变量的影响程度和预测能力，适用于建立因果关系和预测模型。
第九章 相关与回归分析
习题
一、单选题
1．下面的函数关系是（ ）。
A、销售人员测验成绩与销售额大小的关系 B、圆周的长度决定于它的半径
C、家庭的收入和消费的关系 D、数学成绩与统计学成绩的关系
2．若要证明两变量之间线性相关程度是高的，则计算出的相关系数应接近于（ ）。
A、+1 B、0 C、0.5 D、+1或-1
3．回归系数和相关系数的符号是一致的，其符号均可用来判断现象（ ）。
A、线性相关还是非线性相关 B、正相关还是负相关
C、完全相关还是不完全相关 D、单相关还是复相关
4．在线性相关的条件下，自变量的均方差为2，因变量均方差为5，而相关系数为0.8时，则其回归系数为( )。
A、8 B、0.32 C、2 D、12.5
5．下面现象间的关系属于相关关系的是（ ）。
A、圆的周长和它的半径之间的关系
B、价格不变条件下,商品销售额与销售量之间的关系
C、家庭收入愈多,其消费支出也有增长的趋势
D、正方形面积和它的边长之间的关系
6．下列关系中，属于正相关关系的是（ ）。
A、合理限度内，施肥量和平均单产量之间的关系
B、产品产量与单位产品成本之间的关系
C、商品的流通费用与销售利润之间的关系
D、流通费用率与商品销售量之间的关系
7．相关分析是研究（ ）。
A、变量之间的数量关系 B、变量之间的变动关系
C、变量之间的相互关系的密切程度 D、变量之间的因果关系
8．在回归直线y=a+bx中，b<0，则x与y之间的相关系数 ( )。
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1 第九章 相关与回归
一．判断题部分
题目1： 负相关指的是因素标志与结果标志的数量变动方向是下降的。（ ）
答案：×
题目2： 相关系数为+1时，说明两变量完全相关；相关系数为-1时，说明两个变量不相关。（ ）
答案： √
题目3： 只有当相关系数接近+1时，才能说明两变量之间存在高度相关关系。（ ）
答案： ×
题目4： 若变量x的值增加时，变量y的值也增加，说明x与y之间存在正相关关系；若变量x的值减少时，y变量的值也减少，说明x与y之间存在负相关关系。（ ）
答案： ×
题目5： 回归系数和相关系数都可以用来判断现象之间相关的密切程度。（ ）
答案： ×
题目6： 根据建立的直线回归方程，不能判断出两个变量之间相关的密切程度。（ ）
答案： √
题目7： 回归系数既可以用来判断两个变量相关的方向，也可以用来说明两个变量相关的密切程度。（ ）
答案： × 第 2 页 共 27页
2 题目8： 在任何相关条件下，都可以用相关系数说明变量之间相关的密切程度。（ ）
答案： ×
题目9： 产品产量随生产用固定资产价值的减少而减少，说明两个变量之间存在正相关关系。（ ）
答案： √
题目10： 计算相关系数的两个变量，要求一个是随机变量，另一个是可控制的量。（ ）
答案： ×
题目11： 完全相关即是函数关系，其相关系数为±1。（ ）
答案：√
题目12： 估计标准误是说明回归方程代表性大小的统计分析指标，指标数值越大，说明回归方程的代表性越高。（ ）
答案 ×
二．单项选择题部分
题目1：当自变量的数值确定后，因变量的数值也随之完全确定，这种关系属于（ ）。
A.相关关系 B.函数关系 C.回归关系 D.随机关系
答案：B
题目2：现象之间的相互关系可以归纳为两种类型，即（ ）。
A.相关关系和函数关系 B.相关关系和因果关系 第 3 页 共 27页
