2_控制系统的数学模型(1)

9 第二章 自动控制系统的数学模型

本章要点

系统的数学模型是对系统进行定量分析的基础和出发点。本章主要介绍从微

分方程、传递函数和系统框图去建立自动控制系统的数学模型。内容包括系统微

分方程的建立步骤、传递函数的定义与性质、系统框图的建立、等效变换及化简、

系统各种传递函数的求取以及典型环节的数学模型。

为了对自动控制系统性能进行深入的分析和设计，须定量计算系统的动、静

态性能指标。而要完成此项任务，就必须掌握其变化规律，用一个反映其运动状

态的数学表达式描述系统的动态过程。这种描述系统各变量之间关系的数学表达

式称为系统的数学模型。

系统数学模型的建立主要有解析法和实验法。解析法是从系统元件所遵循的

一些基本规律出发去推导系统的数学模型。如果不了解系统的结构和运动规律，

则应采用实验法建立数学模型，即在系统的输入端加上测试信号，在根据测试出

的输出响应信号建立其数学模型。

系统的数学模型有多种，经典控制理论中常用的数学模型有：微分方程（时

域数学模型）、传递函数（复域数学模型）、频率特性（频域数学模型）和动态结

构图(几何模型)。

第一节 系统的微分方程

微分方程是描述系统的输入量和输出量之间关系最直接的方法。当系统的输

入量和输出量都是时间t的函数时，其微分方程可以确切描述系统的运动过程。

一、 系统微分方程的建立步骤

1．根据系统的组成结构、工作原理和运动规律，确定系统的输入量和输出量。

2．从输入端开始，根据各环节所遵循的运动规律，依次列写微分方程。

联立方程，消去中间变量，求取一个只包含系统输入量和输出量的微分方程。

3．将方程整理成标准形式。即把含输出量的各项放在方程的左边，把含输入量

的各项放在方程的右边，方程两边各导数按降幂排列，并将有关系数化为具有一

定物理意义的表示形式，如时间常数等。

二、 举例说明

例2-1 求图2-1所示RC网络的微分方程。

解：由图可知，输入量为u

i(t) , 输出量为u

o(t) ，根据电路遵循的基尔霍夫电压

第二章 控制系统的数学基础和数学模型

基本要求

1.掌握拉氏变换、拉氏反变换的定义、定理。

2.了解数学模型的基本概念。能够运用动力学、电学及专业知识，列

写机械系统、电网络系统的微分方程。

3.掌握传递函数的概念、特点，会求传递函数的零、极点。

4.掌握各个典型环节的特点，传递函数的基本形式及相关参数的物理

意义。

5. 掌握闭环系统中前向通道传递函数、开环传递函数、闭环传递函数的定义及求法。掌握干扰作用下，系统传递函数的求法和特点。

6. 了解传递函数框图的组成及意义；能够根据系统的微分方程，绘制系统传递函数框图，并实现简化，从而求出系统的传递函数。

7.了解相似原理的概念。 本章重点 1.拉氏变换定理。

2.列写系统的微分方程。

3.传递函数的概念、特点及求法。

4.典型环节的传递函数。

5.系统的方框图及其化简。

本章难点

1.列写系统微分方程。

2.系统的方框图及其化简。

2.1 拉普拉斯(Laplace)变换

2.1.1 拉氏变换概述

1.拉氏变换的定义

F (s) L f (t)  0 f (t)est dt

f(t)：原函数（实域、时间域） F(s)：象函数（s 域、复数域）

s：复变量，s=σ+jω

e  st : 拉氏算子 jω [s]

0 σ

 ( t)

e-at

sint

0

cost

0 2.基本函数的拉氏变换

t

0 t 0

1

t 0 t

k

t t

t t u ( t)

r ( t ) xi ( t)

k 序号 原函数 f (t) 象函数F (s)

1 单位脉冲函数  (t) 1

2 单位阶跃函数 1(t) 1

s

3 K 常数 k

s

4 t 单位斜坡函数 1

s2

5 t n n!

sn1

6 e  at 1

s  a

7 sint s 2   2

8 cos t s

s 2   2

第二章 控制系统的数学模型

本章目录

2.1 传递函数

2.2 传递函数的说明

2.3 非线性数学模型的线性化

2.4 典型环节的传递函数数学模型

2.5

用方块图表示的模型

2.6 信号流程图与梅逊公式

2.7* 数学模型的MATLAB描述

小结

本章简介

系统是指相互联系又相互作用着的对象之间的有机组合。许多控制系统，不管它们是机械的、电气的、热力的、液压的，还是经济学的、生物学的等等，都可以用微分方程加以描述。如果对这些微分方程求解，就可以获得控制系统对输入量（或称作用函数）的响应。系统的微分方程，可以通过支配着具体系统的物理学定律，例如机械系统中的牛顿定律，电系统中的克希霍夫定律等获得。为了设计（或者分析）一个控制系统，首先需要建立它的数学模型，即描述这一系统运动规律的数学表达式。有三种比较常用的描述方法：一种是把系统的输出量与输入量之间的关系用数学方式表达出来，称之为输入--输出描述，或外部描述，例如微分方程式、传递函数和差分方程。第二种不仅可以描述系统的输入、输出间关系，而且还可以描述系统的内部特性，称之为状态变量描述，或内部描述，它特别适用于多输入、多输出系统，也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统。另一种方式是用比较直观的方块图模型来进行描述。同一控制系统的数学模型可以表示为不同的形式，需要根据不同情况对这些模型进行取舍，以利于对控制系统进行有效的分析。

本章所讨论的数学模型以传递函数和方块图为主。

2.1 传递函数

在控制理论中，为了描述线性定常系统的输入-输出关系，最常用的函数是所谓的传递函数。传递函数的概念只适用于线性定常系统，在某些特定条件下也可以扩充到一定的非线性系统中去。

线性定常系统的传递函数，定义初始条件为零时，输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比。

设有一线性定常系统，它的微分方程是

(2-1)

式中y是系统的输出量，x是系统的输入量。初始条件为零时，对方程（2-1）两端进行拉普拉斯变换，就可以得到该系统的传递函数为：

1

/view/4306d34ef7ec4afe04a1dfc0.html

第二章 控制系统的数学模型

本章目录

2.1

列写系统微分方程式的一般方法

2.2 非线性数学模型的线性化

2.3 传递函数

2.4

框图和系统的传递函数

2.5 信号流程图与梅逊公式

2.6 状态空间模型简介

2.7 数学模型的MATLAB描述

小结

本章简介

概述：1. 数学模型 ------描述系统变量之间关系的数学表达式

2. 建模的基本方法: (1) 机理建模法(解析法)

(2) 实验辩识法

3. 控制系统数学模型的主要形式:

(1) 外部描述法: 输入--输出描述

(2) 内部描述法: 状态变量描述

系统是指相互联系又相互作用着的对象之间的有机组合。许多控制系统，不管它们是机械的、电气的、热力的、液压的，还是经济学的、生物学的等2

等，都可以用微分方程加以描述。如果对这些微分方程求解，就可以获得控制系统对输入量（或称作用函数）的响应。系统的微分方程，可以通过支配着具体系统的物理学定律，例如机械系统中的牛顿定律，电系统中的克希霍夫定律等获得。为了设计（或者分析）一个控制系统，首先需要建立它的数学模型，即描述这一系统运动规律的数学表达式。有三种比较常用的描述方法：一、是把系统的输出量与输入量之间的关系用数学方式表达出来，称之为输入--输出描述，或端部（外部）描述，例如微分方程式、传递函数和差分方程。第二种不仅可以描述系统的输入、输出间关系，而且还可以描述系统的内部特性，称之为状态变量描述，或内部描述，它特别适用于多输入、多输出系统，也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统。另一种方式是用比较直观的方块图模型来进行描述。同一控制系统的数学模型可以表示为不同的形式，需要根据不同情况对这些模型进行取舍，以利于对控制系统进行有效的分析。