自动控制系统的数学模型

第二章自动控制系统的数学模型教学目的：（1）建立动态模拟的概念，能编写系统的微分方程。

（2）掌握传递函数的概念及求法。

（3）通过本课学习掌握电路或系统动态结构图的求法，并能应用各环节的传递函数，求系统的动态结构图。

（4）通过本课学习掌握电路或自动控制系统动态结构图的求法，并对系统结构图进行变换。

（5）掌握信号流图的概念，会用梅逊公式求系统闭环传递函数。

（6）通过本次课学习，使学生加深对以前所学的知识的理解，培养学生分析问题的能力教学要求：（1）正确理解数学模型的特点；（2）了解动态微分方程建立的一般步骤和方法；（3）牢固掌握传递函数的定义和性质，掌握典型环节及传递函数；（4）掌握系统结构图的建立、等效变换及其系统开环、闭环传递函数的求取，并对重要的传递函数如：控制输入下的闭环传递函数、扰动输入下的闭环传递函数、误差传递函数，能够熟练的掌握；（5）掌握运用梅逊公式求闭环传递函数的方法；（6）掌握结构图和信号流图的定义和组成方法，熟练掌握等效变换代数法则，简化图形结构，掌握从其它不同形式的数学模型求取系统传递函数的方法。

教学重点：有源网络和无源网络微分方程的编写；有源网络和无源网络求传递函数；传递函数的概念及求法；由各环节的传递函数，求系统的动态结构图；由各环节的传递函数对系统的动态结构图进行变换；梅逊增益公式的应用。

教学难点：举典型例题说明微分方程建立的方法；求高阶系统响应；求复杂系统的动态结构图；对复杂系统的动态结构图进行变换；求第K条前向通道特记式的余子式。

k教学方法：讲授本章学时：10学时主要内容：2.0 引言2.1 动态微分方程的建立2.2 线性系统的传递函数2.3 典型环节及其传递函数2.4系统的结构图2.5 信号流图及梅逊公式2.0引言：什么是数学模型？为什么要建立系统的数学模型？1. 系统的数学模型：描述系统输入输出变量以及各变量之间关系的数学表达式。

１） 动态模型：描述系统处于暂态过程中个变量之间关系的表达式，他一般是时间函数。

如：微分方程，传递函数，状态方程等。

２） 静态模型：描述过程处于稳态时各变量之间的关系。

一般不是时间函数2. 建立动态模型的方法１） 机理分析法：用定律定理建立动态模型。

２） 实验法： 运用实验数据提供的信息，采用辨识方法建模。

3. 建立动态模型的意义：找出系统输入输出变量之间的相互关系，以便分析设计系统，使系统控制效果最优。

2.1动态微分方程的建立无论什么系统，输入输出量在暂态过程中都遵循一定的规律，来反映该系统的特征。

为了使系统满足暂态性要求，必须对系统暂态过程进行分析，掌握其内在规律，数学模型可以描述这一规律。

一、编写系统或元件微分方程的步骤：1. 根据实际情况，确定系统的输入输出变量。

2. 从系统输入端开始，按信号传递顺序，以此写出组成系统的各个元件的微分 方程（或运动方程）。

3. 消去中间变量，写出输入输出变量的微分方程。

二、举例例1 R —L —C 电路根据电路基本原理有:⎪⎩⎪⎨⎧==++dt du c i u u L R c r c dtdiir c c c u u dt duRc dtu d Lc =++⇒22例2 质量－弹簧－阻尼系统由牛顿定律： ∑=ma F22dtyd m dt dy f ky F =--F ky dt dyf dty d m =++⇒223） 电动机：电路方程： a a aa a r i R dtdi L E u +=- (1) 动力学方程： dtd JM M c Ω=- (2) ⎩⎨⎧=Ω=(4) (3)a d d a i k M k E(4) →(2) 得：(5) dcd a k M dt d k J i +Ω=(3)(5)→(1) 得：)(22c d ac a a rd d a d a M k R dt dM R L u k dt d k J R dt d k J L --=Ω+Ω+Ω 整理并定义两个时间常数m daT k JR =2 机电时间常数a aaT R L = 电磁时间常数 ∴ 电机方程(........)122-=Ω+Ω+Ωr d m m a u k dt d T dtd T T如果忽略阻力矩 即0=c M ，方程右边只有电枢回路的控制量r u ，则电机方程是一典型二阶方程如果忽略a T （0=a T ）电机方程就是一阶的r dmu k dt d T 1=Ω+Ω小结：本节通过讲授介绍了自动控制系统的数学模型，介绍了系统的动态以及静态数学模型，描述了系统的动态微分方程，并通过几个典型实例给出了求自动控制系统动态微分方程的步骤。

2.2线性系统的传递函数求解微分方程,可求出系统的输出响应,但如果方程阶次较高,则计算很繁,因此对系统的设计分析不便,所以应用传递函数将实数中的微分运算变成复数中的代数运算,可是问题分析大大简化.1. 传递函数的定义：传递函数：线性系统,在零初始条件下,输出信号的拉氏变换与输入拉氏变换之比，叫做系统的传递函数。

线性定常控制系统微分方程的一般表达式：设线性定常系统由下述n 阶线性常微分方程描述：)()()()()()()()(1111011110t r b t r dt db t r dt d b t r dt d b tc a t c dt da t c dtd a t c dt d a m m m m m m n n n n n n ++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++------式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，),,3,2,1(n i a i ⋅⋅⋅=和),,2,1(m j b j ⋅⋅⋅=是与系统结构和参数有关的常系数。

设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令c(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s 的代数方程为：)(][)(][11101110s R a s b s b s b s C a s a s a s a m m m m n n n n ++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++---- 于是，由定义得系统传递函数为：)()()()()(11101110s N s M a s a s a s a b s b s b s b s R s C s G n n n n m m m m =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++==----式中m m m m b s b s b s b s M ++⋅⋅⋅++=--1110)( n n n n a s a s a s a s N ++⋅⋅⋅++=--1110)(2. 关于传递函数的几点说明：1）传递函数的概念只适应于线性定常系统。

2）G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构。

因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。

3）传递函数只与系统本身的特性参数有关，与系统的输入量无关。

4）传递函数不能反映系统非零初始条件下的运动规律。

5）传递函数分子多项式阶次（m ）小于等于分母多项式的阶次（n ）。

6）传递函数与微分方程之间的关系。

)()()(s R s C s G =如果将dtdS ⇔置换 微分方程传递函数⇔7）脉冲响应（脉冲过渡函数）g(t)是系统在单位脉冲)(t δ输入时的输出响应。

因为 1)]([)(==t L s R δ⎰⎰-=-===--tt d g t r d t g t r s R s C L s C L t c 011)()()()()]()([)]([)(τττττ传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t) 3.传递函数的求法：图 2-6输入量Xr=u ，Xc=i 。

列回路电压方程：u=Ri+Ldtdi（2—27） 即Xr(s)=RXc(s)+LSXc(s) （2-28）经整理得：)()(s Xr s Xc =1/11+s T R （2—29）其中 T l =RL,为电路的时间常数。

思考题：)0()0()(][('222y sy s y s dty d L --=-，什么是零初始条件？ 如何从该框图求得ϕ与ψ之间的关系？传递函数从微分方程↔2.3典型环节及其传递函数任何系统都是由各环节构成，知道了各典型环节的传递函数就不难求出系统的传递函数，从而对系统进行分析。

这些典型环节包括：比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节和时滞环节。

下面分别加以介绍：1． 比例环节K s G =)(式中 K ——增益特点： 输入输出量成比例，无失真和时间延迟。

实例：电子放大器，齿轮，电阻（电位器），感应式变送器等。

2． 惯性环节11)(+=TS s G式中 T ——时间常数特点： 含一个储能元件，对突变的输入其输出不能立即复现，输出无振荡。

实例：图2-4所示的RC 网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。

3． 微分环节理想微分 KS s G =)( 一阶微分 1)(+=S s G τ二阶微分 12)(22++=S S s G ξττ特点： 输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。

实例： 测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。

4．积分环节Ss G 1)(=特点： 输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。

实例： 电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。

5． 振荡环节1212)(22222++=++=TS S T S S s G nn n ξωξωω 式中 ξ——阻尼比)10(<≤ξ n ω——无阻尼自然振荡频率 nT ω1=特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。

实例：RLC 电路的输出与输入电压间的传递函数。

6． 纯时间延时环节 )()(τ-=t r t cs(=)esGτ-式中τ——延迟时间特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。

实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。

小结：通过本节的讲授使学生掌握了传递函数的基本概念及典型环节传递函数。

并了解了典型二阶环节各参数的物理意义。

2．4 系统的结构图一、结构图的定义及其组成1.结构图：是描述系统各组成元件之间信号传递关系的数学图形，它表示了系统的输入输出之间的关系。

2.结构图的组成：（1）信号线：带箭头的直线，箭头表示信号传递方向。

（2）分支点（引出点）：表示信号引出或测量的位置。

注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。

（3）比较点：对两个以上信号加减运算。

（4） 方框：方框图内输入环节的传递函数。

3．动态结构图的绘制步骤：（1）建立控制系统各元件的微分方程（传递函数）要标明输入输出量。

（2）对元件的微分方程进行拉氏变换，并作出各元件的结构图。