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第二章控制系统的数学模型第章控制系统的数学模2-1 1 数学模型数学模型本书中主要介绍的几种系统模型图型：信号流程图数学模型描述系统行为特性的数学表达式模方块图信号程图数学模型：微分方程传递函数频率特性一、数学模型：描述系统行为特性的数学表达式。
是对实际物理系统的一种数学抽象。
模型各有特点，使用时可灵活掌握。
若分析研究系统的动态特性，取其数学模型比较方便；若分析研究系统的内部结构情况，取其物理模型比较直观；若两者皆有，则取其图模型比较合理。
11——1.1. 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型微分方程r(t)——输入量c(t)c(t)a dc(t)a c(t)d a d a ++++L L dr(t)r(t)d r(t)db 其中，(i =0,1,2,…….n; j =0,1,2…….m) 均为实数，b a r(t)b b ++++=L L b (,,,;j ,,)实,j i2——定定常条输的变2.2.控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型传递函数A. 定义：线性定常系统在初始条件为零时，输出量的拉氏变设：输入----r(t)，输出----c(t)，则传递函数：L[c(t)]G()式中C()L[(t)])s (C G(s)==式中：C(s)=L[c(t)]——输出量的拉氏变换式那么：C(s)=R(s)G(s)[R()G()][C()]()11[R(s)G(s)]L [C(s)]c(t)-1-1==推广到一般情况，系统时域数学模型——推广到般情况，系统时域数学模型微分方程：L L c(t)a a a a 011-n 1-n n n ++++r(t)b d b d d b -++++=L L b ()dt dtdt 011-m 1m m m L L R(s)b sR(s)b R(s)sb R(s)s b 01-1m m +++=a. 控制系统传递函数的一般表达形式:s −L L 传式011n n a s a s a a R(s)+++−b.b.表示成典型环节表达形式：111+++−s T s T s T s s R L )))()(21n υ∏∏i C )(s ωω；==11j l pnpnωωm 系统的稳态增益K =——系统的稳态增益；2m m m+=2n n nν++=c 零极点表达形式K C +++++L c. 表示成零、极点表达形式：)())(()(21m r z s z s z s s =−——νjp 系统的极点，个零极点。
控制系统数学模型
控制系统数学模型是指用数学方法对控制系统进行建模和分析
的过程。
控制系统是指对一些物理过程进行控制的系统，包括机电控制系统、化工控制系统、航空航天控制系统等。
数学模型是指对一个系统或过程进行描述的数学式子或方程组。
建立控制系统的数学模型是控制工程的重要基础之一。
通过建立数学模型，可以更加深入地理解系统的特性，优化控制策略，提高系统的效率和稳定性。
在建立控制系统数学模型时，需要先对被控系统进行分析，确定系统的物理特性和运动规律。
然后，根据控制对象的特性，选择适当的数学模型进行建立。
常用的控制系统数学模型包括线性时不变系统模型、非线性系统模型、时变系统模型等。
线性时不变系统模型是指系统的输出与输入之间满足线性关系，且系统的特性不随时间变化。
非线性系统模型是指系统的输出与输入之间不满足线性关系。
时变系统模型是指系统的特性随时间变化。
除了建立数学模型外，还需要对模型进行分析和仿真。
常用的分析方法包括传递函数法、状态空间法等。
仿真可以通过计算机模拟系统运动过程，验证控制策略的有效性。
总之，控制系统数学模型是控制工程的重要基础之一，对于提高控制系统的性能和稳定性具有重要意义。
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第二章控制系统的数学模型对于一个控制系统，建立数学模型的目的有二个：第一，模型可以用在现存的控制系统特性的研究中，模型代表了我们对系统特性的认识，并且在我们对系统知道得更多时还可以修改和扩展模型。
第二，在实际系统尚不存在时，例如在建设工程刚刚开始时，可以借助模型来预测设计思想和不同控制策略的效果，而不招致建造和试验系统所带来的费用浪费，也避免了冒危险的可能。
2－1 物理系统的动态描述—数学模型每一个自动控制系统都是由若干个元件组成的。
每个元件在系统中都具有各自的功能，它们相互配合起来就构成一个完整的控制系统，共同实现对某个物理量（被控制量）的控制，而满足所要求的特定规律。
如果把控制系统中各物理量（变量）之间的关系用数学表达式描述出来，就得到了此控制系统的数学模型。
在静态条件下（即变量的各阶导数为零），描述各变量之间关系的数学方程，称为静态模型，而各变量在动态过程中的数学方程，称为动态模型。
在自动控制系统的分析中，主要是研究动态模型。
微分方程中，各变量的导数表示了它们随时间变化的特性。
因此，微分方程完全可以描绘系统的动态特性，微分方程是物理系统数学模型中最基本的一种。
系统的数学模型可以用实验法和分析法建立。
应当指出：同一个控制系统的数学模型可以有许多不同的形式，另外，对于一个具体系统而言，为了在系统分析中，既不包罗万象，把系统数学模型搞得很复杂，又不要忽略主要因素，而失去系统的准确性，必须对系统有全面的、透彻的了解。
得到控制系统的一个既简化又准确的数学模型，这是我们的根本出发点。
2－2 建立系统数学模型的一般步骤由于控制系统是由各种功能不同的元件组成的，因此，要正确建立系统的运动方程式，首先必须研究系统中各个元件的运动方程式，以及这些元件在控制系统中相互联系时的彼此影响等问题。
应当指出，在列写系统和各元件的运动方程式时，往往将系统分成若干个环节，能使问题简化。
所谓环节，就是指可以组成独立的运动方程式的那一部分。
控制系统的数学建模方法控制系统是指借助外部设备或内部程序，以使被控对象按照预定的要求或指令完成某种控制目标的系统。
在控制系统的设计过程中，数学建模是十分重要的一步。
通过数学建模，可以将实际的控制过程转化为数学方程，使得系统的行为可以被合理地分析和预测。
本文将介绍几种常用的数学建模方法，包括常微分方程模型、传递函数模型和状态空间模型。
1. 常微分方程模型常微分方程模型是控制系统数学建模中常用的方法。
对于连续系统，通过对系统的动态特性进行描述，可以得到常微分方程模型。
常微分方程模型通常使用Laplace变换来转化为复频域的传递函数形式，从而进行进一步的分析和设计。
2. 传递函数模型传递函数模型是描述线性时不变系统动态特性的一种方法。
它以输入和输出之间的关系进行建模，该关系可以用一个分子多项式与一个分母多项式的比值来表示。
传递函数模型常用于频域分析和控制器设计中，其数学形式直观且易于理解，适用于单输入单输出系统和多输入多输出系统。
3. 状态空间模型状态空间模型是一种将系统的状态表示为向量形式，并以状态方程描述系统动态行为的方法。
通过状态变量的引入，可以将系统行为从时域转换到状态空间，并进行状态变量的观测和控制。
状态空间模型具有较强的直观性和适应性，能够较好地描述系统的内部结构和行为特性，广泛应用于现代控制理论和控制工程实践中。
4. 神经网络模型神经网络模型是一种模拟人脑神经元间相互连接的计算模型，可以用于控制系统的建模与控制。
通过训练神经网络，可以实现对系统的非线性建模和控制，对于复杂控制问题具有较强的适应性和鲁棒性。
5. 遗传算法模型遗传算法是一种通过模拟生物进化过程，优化系统控制器参数的方法。
通过设定适应度函数和基因编码方式，利用遗传算法优化求解出最优控制器参数。
遗传算法模型广泛应用于控制系统自动调参和优化设计中，具有较强的全局寻优能力和较高的收敛性。
数学建模是控制系统设计的重要环节，通过合理选择建模方法，可以更好地描述和分析系统的动态特性，并基于此进行控制器设计和性能评估。
可编辑修改精选全文完整版控制系统的数学模型及传递函数2-1 拉普拉斯变换的数学方法拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当时，，M，a为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在实际中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个成几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见表2-1：拉氏变换对照表F(s) f(t)11(t)t三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：，此式可由定义证明。
2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有, 其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表f(t)延迟时间a. 证明：，令t-a=τ,则有上式=例：, 求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)由正向使的f(t)值。
