第一章信号的分类与描述

系统的分类
连续时间系统 与 离散时间系统 线性系统 与 非线性系统 非时变系统 与 时变系统 因果系统 与 非因果系统 稳定系统 与 不稳定系统
系统 是指由相互作用和依赖的若干事物组成
的、具有特定功能的整体。
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[例] 判断下列系统是否为线性系统？（其中 y(0)、 y[0]为系统的初始状态，x(t) 、x[k]为系统 的输入激励，y(t)、 y[k]为系统的输出响应）。
(1) y(t ) 5 y(0) 4 x(t )
(2) y(t ) 2 y(0) 6 x (t )
2
(3) y(t ) 4 y(0) x(t ) 3x(t )
线性系统：具有线性特性的系统。 线性特性 包括 均匀特性 与 叠加特性 。 1) 均匀特性：
若x1 (t ) y1 (t )
则Kx1 (t ) Ky1 (t )
2) 叠加特性：
若x1 (t ) y1 (t ), x2 (t ) y2 (t )
则x1 (t ) x2 (t ) y1 (t ) y2 (t )
二、系统的分类
2．线性系统 与 非线性系统
含有初始状态线性系统的 y1[ k ] y1[0] x2 [ k ] T y2 [k ] y 2 [0]
x1[ k ] x2 [ k ] T a b y [0] a y1[ k ] b y 2 [ k ] 2 y1[0]
di(t ) L Ri(t ) x(t ) dt
输入输出描述：N阶微分方程或N阶差分方程 状态空间描述：N个一阶微分方程组或N个一阶差分方程组

连续时间周期信号
离散时间周期信号
这种信号也称为功率信号，通常用它的平均功
率来表征。
1 T 2 P x(t ) dt （以T为周期） 或 T 0
1 P 2T

T
T
x(t ) dt
2
1 N 1 2 P x(n) N n 0
（以N为周期）或
N 1 2 P x ( n) 2 N 1 n N
，再据值进行尺度变换，再做时间反转。
由 做法一：
x(t )
1 0 1
1 x(t ) x(3t ) 2
1 1 x(t ) x(t ) x(3t ) 2 2
1 x(t ) 2
1
1 tt 2
t

t 3t
t
0 1/2 3/2

1
1 x (3t ) 2
t
0 1/6 1/2
N
E lim x(n) x(n)
2 N
N

2
在无限区间内的平均功率可定义为：
1 T P lim T 2T T
x(t)
2
dt
N 1 2 P lim x ( n) N 2 N 1 N
三类重要信号（按照信号的可积性或可和性划分）： 1. 能量信号——信号具有有限的总能量，
x(t) 1 0 1 1 2 3
t
(a)
解1：
x(t) 1 0 1 1 2 3 1 x(t-3)
t
3
2
1
0 1
12Biblioteka 3456
t
(a) x(2t-3) 1 0 1 1 2 3 1
(b) x(-2t-3)
t

2. 平移
• 将f (t) → f (t – t0) ， f (k) → f (k – k0)称为 对信号f (· )的平移或移位。若t0 (或k0) >0， 则将f (· )右移；否则左移。 •如
平移与反转相结合
• 已知f(t)如下图所示，请画出f(2-t)
法一：①先平移f (t) → f (t +2), ②再反转f (t +2) → f (– t +2)
• 满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。
• 不具有周期性的信号称为非周期信号。
•例1 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周 期。（1）f1(t) = sin2t + cos3t （2）f2(t) = cos2t + sinπ t 解：两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其 周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是 周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。 （1）sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为 ω1= 2 rad/s ， T1= 2π/ω 1=π s cos3t是周期信号，其角频率和周期分别为 ω 2= 3 rad/s ， T2= 2π /ω 2=(2π /3)s 由于T1/T2= 3/2为有理数，故f1(t)为周期信号，其周期 为T1和T2的最小公倍数2π 。 （2） cos2t 和sinπt的周期分别为T1=πs，T2=2s，由于 T1/T2为无理数，故f2(t)为非周期信号。
高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。
冲激函数与阶跃函数关系
•可见，引入冲激函数 之后，间断点的导数也 存在。如：
f(t) = 2ε(t +1)-2ε(t -1)
f′(t) = 2δ(t +1)-2δ(t -1)

1-6解答：
令
x1 ( t ) = e
− at
，
x2 ( t ) = sin ω 0 t = sin 2π f 0 t 1 有X 1 ( f ) = a + j 2π f 1 X 2 ( f ) = j δ ( f + f 0 ) − δ ( f − f 0 ) 2
X( f ) = X1 ( f ) ∗ X 2 ( f ) 1 1 1 = j ∗ δ ( f + f0 ) − ∗ δ ( f − f 0 ) 2 a + j 2π f a + j 2π f 1 1 1 = j − 2 a + j 2π ( f + f 0 ) a + j 2π ( f − f 0 ) = a 2 − 4π 2 ( f 2 − f 02 ) + j 4π fa 2π f 0
∫
T0
0
x0 sin(ωt + φ)dt = 0
式中
2π T0 = ω
—正弦信号周期
(2)
1 T 2 1 ψ = lim ∫ x (t )dt = T →∞ T 0 T0
2 x
∫
T0
0
x0 2 sin 2 (ωt + φ)dt
x0 2 = T0
∫
T0
0
x0 2 1 − cos 2(ωt + φ) dt = 2 2
单边指数衰减信号频谱图
1-4解答：
a)符号函数的频谱
+1 t > 0 x(t ) = sgn(t ) = −1 t < 0
该信号不满足绝对可积条件，不能直接求解，但傅里叶 变换存在。 符号函数可看作双边指数函数的极限。