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1-1 信号及其描述-信号的分类与描述 25

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《机械工程测试技术》教案01信号及其描述

《机械工程测试技术》教案01信号及其描述

第一章信号及其描述教学重点：1、周期信号与离散频谱2、瞬变非周期信号与连续频谱§1－1信号的分类与描述一、信号的分类（一）确定性信号与随机信号1、确定性信号:可以用明确的数学关系来描述的信号（可确定任何时刻的信号值）1）周期信号：按一定间隔（周期）重复出现，无始无终的信号，可表示为：x（t）＝x（t＋nT）n＝1，2，3，…T为周期2）非周期信号：可用明确的数学式描述，但变化无周期的信号3）准周期信号：由两种以上的周期信号合成的，但其组成分量的频率不成整数比，故无法找到公共周期，因而无法按一定的时间间隔重复出现。

2、随机信号：不能准确地预测其未来值，也无法用数学关系式来描述的信号,但其值的变动服从某些统计规律，可以用统计方法预测未来值。

如：幅值的均值、分散范围等。

（二）连续信号和离散信号以独立变量（时间变量t）的取值是否连续来划分（三）能量信号和功率信号二、信号的时域描述和频域描述1、信号的时域描述1）以时间为独立变量的信号，直接观测记录到的信号，连续信号。

2）信号的时域描述，包含有信号的全部信息量。

2、信号的频域描述1）以频率为独立变量表示的信号。

2）周期信号可以表示为频率成整数比的简谐信号的叠加。

3）周期方波的时域图形、幅频谱和相频谱三者之间的关系：频谱：将组成信号的各频率成分（简谐分量）找出来，按频率大小的次序排列，称为频谱（幅频图和相频图）频谱分析：将信号的时域描述通过适当的方法，变成信号的频域描述过程。

时域描述与频域描述的联系：两者都包含了信号的全部信息量，都能表示出信号的特点。

§1-2周期信号与离散频谱一、傅里叶级数的三角函数展开式任何一个周期信号x(t)，可以用三角级数表示（周期为T0）：二、周期信号的指数傅里叶级数利用欧拉公式，将周期信号的三角傅里叶级数变换为指数傅里叶级数复指数形式的频谱为双边谱三角函数形式的频谱为单边谱三.周期信号频谱的特点周期信号的频谱具有三个特点：1）周期信号的频谱是离散的。

测试技术课件1信号及其描述

测试技术课件1信号及其描述
1.4.2 各态历经信号的统计特征
(1) 均值、均方值、均方根值和方差
均值（数学期望），常值（稳定）分量： 均方值，描述能量，平均功率： 均方根值，有效值：
方差，描述信号的动态分量，即偏离平均值的程度（波动程度）： 显然，总能量包括静态和动态分量： 标准差：
(2) 概率密度函数
周期方波的频谱
(4) 周期信号频谱的特点
周期信号的频谱是离散的； 每个谱线只出现在基波频率的整数倍上； 谐波幅值随谐波次数的增高而减小。因此，可以忽略高次谐波分量。
1.3 瞬变信号 1.3.1 瞬变信号的频谱
周期信号可以写成
瞬变信号可以看成周期无穷大的周期信号，即
定义傅里叶变换
傅里叶逆变换则为
一般离散信号（自变量离散） 数字信号（幅值和自变量均离散）
信号幅值的连续和离散
信号自变量的连续和离散
1.1.3 信号的时域描述和频域描述
幅频谱图
相频谱图
时域描述 时域图 傅里叶级数，傅里叶变换 频域描述 频谱图
周期信号与瞬变信号幅值谱的区别：
例 矩形窗函数的频谱
其中森克函数：sincx=sinx/x。 随着x的增加，森克函数以2为周期作衰减振荡；它是偶函数，并且在n(n=1, 2, …)处为0。
矩形窗函数及其频谱
瞬变信号频谱的特点： 瞬变信号的频谱是连续的，幅值随着频率的增加而衰减。
1.3.2 傅里叶变换的主要性质 (1) 奇偶虚实性
与傅里叶级数复指数展开式相应的频谱
式中 幅值谱 相位谱
复指数函数形式的频谱为双边谱(-,+)，三角函数形式的频谱为单边谱(0,+)。 两种频谱的各谐波幅值之间,有 |cn|=An/2, c0=a0 双边幅值谱为偶函数，双边相位谱为奇函数，即：

信号1-1

信号1-1

将f (t)(t)向左移
0
t0
t
t0
第一章第1讲
0
t
19
延迟的阶跃函数
延迟的阶跃函数定义为：
0 (t t0 ) 1 t t0 t t0
1
(t t0 )
0
t0
t
用阶跃函数可以表示方波或分段常量波形：
u
K
u
K 这就是一个门函数 (方波)的表达式。 t1 用这种门函数可表示 t0 0 其它一些函数 K
也可以用门函数的方法求：
2
t
-
1 2
i (t ) 1.5 (t 1) 0.5 (t 2)
u
1
也可以用门函数的方法求：
- 1.5
u u t[ (t ) (t 1)] [ (t 1) (t 3)] 1 t (t ) (t 1) (t 1) (t 3)
A A
A和S为实数（实指数信号）
第一章第1讲
24
实指数信号

单边指数
t
f (t ) Ae (t )

双边指数
|t |
f (t ) Ae
第一章第1讲
25
复指数信号

S=j（可得正弦信号）
f (t ) A cos( t ) j A sin( t )
2
平均功率
P lim
T
2T
1
T T
f (t ) dt
2
能量信号：信号总能量为有限值而信号平均功率为 零。 功率信号：平均功率为有限值而信号总能量为无限 大。
第一章第1讲
8

测试技术-第一章 信号及其描述

测试技术-第一章 信号及其描述

2014-4-23
《测试技术》讲义
6
2014-4-23
《测试技术》讲义
7
能量信号和功率信号
在非电量测量中，常把被测信号转换为电压或电 流信号来处理。显然，电压信号加到电阻R上， 其瞬时功率 P(t ) x 2 (t ) / R 。当R=1 时， P(t ) x 2 (t ) 。瞬时功率对时间积分就是信号 在该积分时间内的能量。依此，人们不考虑信号 实际的量纲，而把信号的平方及其对时间的积分 分别称为信号的功率和能量。当 x(t ) 满足 2 x (1—4) (t )dt 时，则认为信号的能量是有限的，并称之为能量 有限信号，简称能量信号，如矩形脉冲信号、衰 减指数函数等。
2014-4-23 《测试技术》讲义 5
连续信号和离散信号
连续信号：若信号数学表示式中的独立变量取值 是连续的 (图1—3a)。 离散信号：若独立变量取离散值。图1-3b是将 连续信号等时距采样后的结果，就是离散信号。 离散信号可用离散图形表示，或用数字序列表示。 连续信号的幅值可以是连续的，也可以是离散的。 若独立变量和幅值均取连续值的信号称为模拟信 号。 若离散信号的幅值也是离散的．则称为数字信号。 数字计算机的输入、输出信号都是数字信号。
，
把周期函数x(t)展开为傅里叶级数的复指数 函数形式后，可分别以 cn 和 n 作幅 频谱图和相频谱图；也可以分别以cn的实 部或虚部与频率的关系作幅频图，并分别 称为实频谱图和虚频谱图(参阅例1—2)。 比较傅里叶级数的两种展开形式可知：复 指数函数形式的频谱为双边谱(ω从-∞到 +∞)，三角函数形式的频谱为单边谱(ω从0 到+∞)；两种频谱各谐波幅值在量值上有 A c c0 a0 。双边幅频谱 确定的关系， 2 ， 为偶函数，双边相频谱为奇函数。

1信号及其描述

1信号及其描述

aX ( f ) bY ( f )
3.对称性 若:(时域信号) x(t) X(ƒ) (频域信号)，则 X (t) ↔ x (-ƒ )
4.尺度改变性质 若k为常数，且k>0,则
x(kt) x(kt)e j2ft dt Leabharlann 1j 2 f (kt)
x(kt)e k d (kt)
k
1 X( f ) kk
确定性信号
周期信号 非周期信号
1、周期信号
定义：按一定的时间间隔周而复始重复出现的信号。 x ( t ) = x ( t + nT0 ) n＝±1，±2，±3…
(1)谐波信号，如余弦信号 x ( t ) = 2cos0t
(2)一般周期信号,如方波、三角波。
x(t)
x(t)
0
t
0
t
2、非周期信号 定义：确定性信号中那些不具有周期重复性的信号。
信号的频域描述 ➢ 应用傅里叶级数或傅里叶变换，对信号进行变换（分解）， 以频率为独立变量建立信号幅值、相位与频率的函数关系。 ➢ 频谱图：以频率为横坐标的幅值、相位变化图。 幅值谱：幅值-频率图 相位谱：相位-频率图 ➢ 频域描述抽取信号内在的频率组成及其幅值和相角的大小， 描述更简练、深刻、方便。
相频图
例3：求周期方波的频谱。
x(t) x(t nT0 ), n 1, 2, 3,
x(t )
A
A
(0 t T0 2) ( T0 2 t 0)
x(t)
…
T0
T0
2
2
T0
0
T0
…
t
因x(t)是奇函数，在对称区间积分值为0，所以 a0 0, an 0
bn

第一章 信号及其描述2-3

第一章 信号及其描述2-3

相互关系：σx2=
ψx2–μx2
对于集合平均有：
式中： M — 样本记录总数
i — 样本记录序号
t1 — 观测时刻
（二）概率密度函数 ——信号幅值落在制定区域内的概率
X(t)落在（x，x+Δx)区间内的时间为：
信号落在（x，x+Δx)区间内的概率为：
概率密度函数为:
Pr x xt x x p x lim x 0 x
三角函数展开式：
幅频图
相频图
复指数函数展开式：
其中：
1 jn0t x(t ) j ne n
CnR 0 2A CnI n
2A
n
2A C n n 2A 2 当n 0 n arctan n 0 当n 0 2
{xi（t)}= {x1（t) ，x2（t)，· xi（t) · } · · · ·
集合平均：集合中所有样本函数对同一时刻 ti 的观测值取 平均 时间平均：按单个样本的时间历程进行平均
平稳随机过程：统计特征参数不随时间而变化
各态历经：任一单个样本函数的时间平均统计等于 该过程的集合平均统计特征。
实际工作中，常用一个或几个有限长度的样本记录来推断整 个随机过程，以其时间平均来估计集合平均
二、随机过程的主要特征参数 （一）均值μx、方差σx2、均方值ψx2
信号x(t)的方差定义为：

x(t)
2 x
lim
1 T T

T
0
( x(t ) x ) 2 dt
t
方差：反映了信号绕均值的波动程度。
1 jn0t cos(n0t ) (e e jn0t ) 2 j jn0t sin(n0t ) (e e jn0t ) 2 代入傅里叶级数的三角函数展开式

第1章 信号及其描述

4
信号的分类（一）
信号
5
确定性信号 随机信号
周期信号 非周期信号 平稳随机信号
简谐信号 周期信号 准周期信号
瞬变非周期信号 窄频带随机信号
宽频带随机信号 非平稳随机信号
第一节、信号的分类与描述
一、信号的分类 1、确定性信号与随机信号
– 若信号可表示为一个确定的时间函数，因而可确定 其任何时刻的量值，信号成为确定信号。
15 平稳随机信号
非平稳信号是指分布参数或者分布律随时间 发生变化的信号(统计特征是时间的函数)
确定性信号与随机信号
确定性信号是指可以用精确的数学关系式来表达的信号。 随机信号不能用精确的数学关系式来表达，也无法确切 地预测未来任何瞬间的精确值。
提醒注意：
确定性信号和随机信号之间并不是截然分开的，通常确定性 信号也包含着一定的随机成分，而在一定的时间内，随机信 号也会以某种确定的方式表现出来。判断一个信号是确定性 的还是随机的，通常是以通过实验能否重复产生该信号为依 据。如果一个实验重复多次，得到的信号相同(在实验误差
3
关于信号(实质)
为了传送信息（数据或图像等），需要用适当的设备 将消息转换成电信号，或者直接用测试仪器的输出电 信号作为实验数据的描述。
(-3,-2,-1,0,2,2,0,-1,0,1,2,3,……)
电信号的基本形式是随时间变化的电流或电压，通常 可表示为时间的函数（或序列），该函数的图像成为 信号的波形。
非周期信号
– 确定性信号中不具有周期重复性的信号 – 准周期信号 – 瞬变非周期信号
– 随机信号：不能准确预测其未来瞬时值，无法用数 学关系式描述的信号。
10
准周期信号
准周期信号是由有限个简 5 谐信号合成的一种非周期 4 信号，但其组成分量间无 3

信号及其描述


加而成的。
其中第一项a0是常值项，它是周期信号中所包含的直流分量；
第二项中 An sin(n0t 称n )为谐波，An是n次谐波的振幅，φn是其初
相角。
∑ 表示周期信号可以分解为各次谐波之和。
通常把ω0称为基频，n是整数序列，各次谐波成份的频率都是ω0的 整倍数。
相邻频率的间隔 △ω＝ω0＝2π/T0 。
准周期信号准周期信号是由有限个周期信号合成的，但各周期分量之间无
法找到公共周期，因而无法按某一时间间隔周而复始重复出现。
例如 x(t) sin t sin 是2t两个正弦信号的合成，其频率比 有理数，不成谐波关系。
1 /，2 不1/ 是2
瞬变非周期信号——在一定时间区间内存在，或随着时间的增长而衰减至 零的信号。
第二节 周期信号与离散频谱
一、傅里叶级数的三角函数展开式
周期性三角波的频谱图如图1-7所示。
图1-7
18
第二节 周期信号与离散频谱
二、 傅里叶级数的复指数函数展开式
用正交函数集来表示周期信号，另一种常用的方法是傅立叶级 数的指数表示法，称为指数傅立叶级数。
三角级数与指数级数并不是两种不同类型的级数，而只是同一 级数的两种不同的表示方法。指数级数形式比三角级数形式更简化 更便于计算。 根据欧拉公式
方波信号的波形、幅值谱和相位谱
例 求图中周期性三角波的傅立叶级数。
解: 在的一个周期信号可表示为
A 2At T0
T0 t 0 2
x(t)
A 2At T0
0 t T0 2
常值分量的幅值 4 T0 2 ( A 2A t)dt
T0 0
T0
A
余弦分量的幅值为
an
2 T0

信号及其分类


1
T0
T0
x(t)dt
0
信号的常值分量
绝对均值： x
1 T0 x(t)dt
T0 0
有效值（均方根值）：
xrms
1 T0 x2(t)dt T0 0
有效值的平方：
Pav

1 T0
T0 0
x2 (t)dt
反映功率的大小
第三节 瞬变非周期信号与连续频谱
准周期信号：频谱是离散的 sin2(0t)siw n0t
2
1 x(t)e jtdt e jtd 2
X () 1 x(t)e jtdt 2
x ( t ) X e j t d
也可写成：
X x ( t ) e j t d t
傅立叶级数的三角函数展开式：
1 T0
a0
T0
2 T0
x(t)dt
2
a 0 :信号的直流分量 ＝0时的幅值
an
2 T0
T0
2 T0
x(t)consw 0td
t
2
bn
2 T0
T0
2 T0
x(t)sinn
w 0td
t
2
n=1,2,3…..
w0

2 T0

合并同类项： x(t)a0 Ansin(0 w tn)
sinc sin
及其图形：


arctan

sin
0
c
fT


tan

sin cos


sin
0
c
fT

信号与系统的基本概念


1 g (t)
lim
0
g (t)
(t)
+ t=0
1V
2
0
2
t
-
C=1F
3.复指数信号
est s j 为复数，称复频率
⑴当 s 0 时，e st 1，为直流信号 ⑵当 0 时，e st et，为单调增长或衰减的
实指数信号
⑶当 0 时，est e jt cost j sin t
解：对信号 f1(t)，有
E lim
T (e2 t )2dt
0
e4tdt
e4tdt 2
4t
e dt
1
T T
0
0
2
P0 所以该信号为能量信号。
对信号 f2 (t) 有
T
E lim (e2t )2dt T T lim 1 e4T e4T T 4
f 2 (t) e2t
连续时间信号： 除若干个不连续点外，
其它时刻都有定义 ，通常
用 f (t) 表示。
f (t)
0
t
离散时间信号：
仅在离散时刻有定义， 通常用 f (tk ), f (kT), f (k) 表示。
…
…
t3
t-1 0 t1 t2
t4
tk
3 .周期信号和非周期信号 周期信号：
…
…
0
(每隔一定时间重复出现且无始无终)
系统的模型是实际系统的近似化和理想化。一般来 说，系统输入和输出之间的关系常用微分方程表示：
y(n)(t) an1y(n1)(t) a1y'(t) a0 y bmx(m)(t) bm1x(m1)(t) b1x'(t) b0x(t)
也可以用一个方框图表示系统：
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