数学教学不应忽视“合情推理”

５６　教育研究与评论中学教育教学/

２０１８年第９期

数学教学不应忽视“合情推理”∗崔志荣(江苏省东台市安丰中学,２２４２２１)

摘　要:合情推理是数学研究的起点,是数学发现的重要手段,还能为演绎推理提供思路.在数学教学中,合情推理应该具有相当重要的地位,不应被淡化.为此,要发挥考试的导向作用,将合情推理和数学探究、数学发现结合起来考查,突出思维过程,具体地要做到减少试卷题目的数量,加强“研究型、开放型试题”的设置;还要强化教学的渗透意识,在基础年级的新授课和高三的复习课中始终注意充分运用合情推理,引导学生构建知识、解决问题.关键词:合情推理　数学探究　考试导向　教学渗透

一、现实背景及原因分析在我校最近的一次高三数学检测练习中,有这样一道填空题:已知数列{an}是等差数列,若bn＝a１＋２a２＋３a３＋􀆺＋nan１＋２＋３＋􀆺＋n,则数列{bn}也是等差数列.类比上述结论,已知数列{an}是等比数列,若bn＝ ,则数列{bn}也是等比数列.对于此题,笔者所教的物化班４７名学生中,１９人没有作答,其余２８人的解答也无一

正确.如此全军覆没,到底是什么原因呢?笔者经过反复分析,觉得原因有二:一是题目本身有一定的难度.一般地,从等差数列到等比数列的类比,结论往往是由加减到乘除、由乘除到乘方开方,但是并不绝对.此题正确类比的结论是bn＝(a１１

􀅰

a２２􀅰a３３􀅰􀆺􀅰an

n

)１１＋２＋３＋􀆺＋n,其中和

１＋２＋３学科教育５７　

＋􀆺＋n不应类比为积１􀅰２􀅰３􀅰􀆺􀅰n,这

是学生类比错误的重要原因.二是合情推理问题在考试中淡化,以致在教学中淡化.江苏高考自２００８年改革以来,文理通用的正卷部分,只有２００８年、２００９年各考过一道类比推理的填空题;理科附加题部分,有时会考查一点归纳推理,即由几个特例归纳出一般性结论,然后要求学生用数学归纳法证明.同样的,全国其他省市地区的高考试卷对合情推理的考查要求也都很低.合情推理的考查要求较低,导致教学上的严重淡化,进而导致学生合情推理的经验很少、能力很弱,遇到稍难一点的题目,就完全没有招架之力.二、合情推理的地位分析那么,合情推理在数学教学中的地位真的应该这么低吗?我们来看看教材中是怎么说的.对于归纳推理的特点,苏教版高中数学教材中谈到一点:“归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得到的猜想可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现和提出问题.”随后还举出了一些重大科学发现的例子来说明:“物理学中的波义耳—马略特定律、化学中的门捷列夫元素周期表、天文学中的开普勒行星运动定律等,也都是在实验和观察的基础上通过归纳发现的.”关于合情推理和演绎推理的关系,苏教版高中数学教材中谈道:“(１)数学发现活动是一个探索创造的过程.这是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程.合情推理和演绎推理相辅相成,相互为用,共同推动着发现活动的进程.(２)合情推理是富于创造性的或然推理,在数学发现活动中,它为演绎推理确定了目标和方向,具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用.(３)演绎推理􀆺􀆺”随后还

引用了著名数学教育家G．波利亚的精辟论述:“数学的创造过程与任何其他知识的创造过程一样,在证明一个数学定理之前,先得猜想这个定理的内容;在完成详细的证明之前,先得推测证明的思路.创造过程是一个艰苦曲折的过程.数学家创造性的工作是论证推理,即证明.但这个证明是通过合情推理、通过猜想发现的.”由此可见,在数学教学中,合情推理应该具有相当重要的地位,因为它是数学研究的起点,是数学发现的重要手段,还能为演绎推理提供思路.因此,考试淡化合情推理问题是不合适的,教学淡化合情推理内容是没道理的.当前,教育部门一直在强调新课程理念,强调创新教育,强调培养学生的核心素养.就数学教学而言,加强合情推理的教学不正满足于此吗?三、发挥考试的导向作用考试(尤其是高利害的高考)成绩关系到每位学生的切身利益,对每位学生今后的发展有着较大的影响;是教育主管部门考核学校和社会各界人士衡量学校的主要依据,也是学校评价教师的主要标准.因此对于教师的教学,考试(高考)具有强大的导向作用.相比于一些理想的教育理念,教师显然更听考试(高考)的话:怎样能使学生考试(高考)成绩好,就怎么教.因此,考试(高考)命题应该充分发挥导向作用,加强合情推理的应用引导.不过,考试淡化合情推理问题是有原因的.笔者参与过大市调研考试的命题工作,５８　教育研究与评论中学教育教学/

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在交流过程中从侧面了解到:学生通过合情推理得到的结论有时不正确,但是他们推理的过程也许是正确的,因此作为填空题,不好判分.确实如此,通过合情推理得到的结论往往靠不住,需要通过演绎推理证明真伪(至少需要实例检验),但是我们不能因为结论的不正确,否定过程的正确性.所以,考试直接考查合情推理是有困难的.那么,应该怎样考查合情推理呢?基于对合情推理地位的分析,笔者认为考查合情推理应该和考查数学探究、数学发现(分析问题、获得结论)结合起来,突出思维过程(能力立意).为此,至少要做到两点:第一,减少试卷题目的数量.张景中院士在“教育数学创新教学实验”课题的报告中谈到,目前高考数学试卷普遍存在题量过大的问题.题目不见得非要多,没必要面面俱到,把所有的知识点都涵盖;题量应该减少,着重基本的东西,让学生有时间思考.试题数量过多,会使学生必须提高做题速度,甚至达到看到题就能做,于是教师只能加大压力、增多作业,要求学生进行高强度、重复性的训练,从而强化题型模式,固化套路技巧,训练熟练程度———实践证明,这样的做法是有效果的,但是,这样的导向是有问题的.试题数量减少,才能使学生降低做题速度,并充分展开思考,从而教师可以在“教”上下功夫,创设丰富的情境,选取适当的主题,引导学生积极、主动地探索问题,发现知识,掌握思想方法,从而培养思维能力,激发学习兴趣———这样的导向才是我们所期望的.第二,仅仅减少试卷题目的数量是不够的,还要加强“研究型、开放型试题”(当然是主观题,非客观题)的设置.目前高考数学试题的指向性太强,严重限制了考生的发散性思维:考生按照试题的要求,通过严密的演绎推理、精确的数学计算得到准确的答案;从考生的解答过程中,通常看不到个性化的思维过程(观点、想法).现在是科学(信息)技术高度发达的时代,我们不应该重视机械操作的套路技巧,而应该重视解决问题、获得结论过程中的观点、想法.因此,我们不一定要让考生得到试题的准确答案,而可以引导考生讲一讲试题的分析思路以及解决过程,谈一谈对试题的认识以及由试题得到的发现.例如,可以设计这样一道试题:如图１,在平面直角坐标系中,已知椭圆

C的方程为x２４＋y２３＝１,AB是过椭圆C右焦

点F的任一条弦,D５２,０æèçöø÷,过点A平行于x轴的直线交BD于点P,试判断点P的轨迹是否为一条直线?请将你的解题过程融于具体的分析思路中,并谈谈你对这道题的认识或发现.

图１此题能体现合情推理在数学探究与数学发现中的作用.若以此题在一个较大的范围内考试,并给予学生足够的思考时间,定会收获丰富、精彩的解答与发现.以下仅是笔者简单的模拟作答:解题分析

考虑对称性,过右焦点F作

另一条弦,与图１中的弦AB关于x轴对称,可以得到另一点,此点与图１中的点P关于x轴对称.所以,如果点P的轨迹是一条直学科教育５９　

线,那么这条直线必与x轴垂直.因此,本题的解答只需要考虑点P的横坐标是否为定值,可以分为以下三步:(１)设A(x１,y１)、B(x２,y２),联立直线AP与BD的方程,可解得用以表示点P的横坐标xP＝x２y１＋５２y２－５２y１y２.(２)联立直线AB与椭圆C的方程,可得点A(x１,y１)、B(x２,y２)横坐标或纵坐标之间的关系.考虑到(１)中点P横坐标的表达式,消去x方便,而且“直线AB的斜率不存在”符合题意,故设直线AB的方程为x＝my＋１.由此易得y１＋y２＝－６m３m２＋４,y１y２＝－９３m２＋４.(３)将点A(x１,y１)、B(x２,y２)的纵坐标之间的关系代入点P横坐标的表达式.首先利用直线AB的方程消去x２,得xP＝my１y２＋５２y２－３２y１y２.这时由于表达式的不对称性,代入化简有困难,可以用求根公式解出y１、y２,还可以先找一找点P横坐标这个定值.比如,用后面的方法,可以先假设xp＝λ,得到my１y２＝λ－５２æèçöø÷y２＋３２y１,从对称性的角度估计,应有λ－５２＝３２,即有xP＝４,再化得xP＝my１y２－３２(y１＋y２)y２＋４,代入化简,得到xP＝４.所以点P的轨迹是一条直线.探究发现　由原问题的解答自然而然想到下列问题:如果弦AB不过椭圆C的右焦点F,有没有类似的结论呢?对此,可以使用归纳推理的手段,比如,考虑弦AB过点F′１２,０æèçöø÷,即横截距为１２时的结论.(１)初步推测.设D(r,０),得

x

P＝

x２y１

＋r(y２－y１)

y２

;另设直线

AB的方程为x＝

my＋１２,则xP＝

my１y２＋ry２＋１２－ræèçöø÷y

１

y２

.

如果点P的轨迹是一条与x轴垂直的直线,令xP＝λ,则my１y２＝r－１２æèçöø÷y１＋(λ－r)y２;

若能利用根与系数的关系代入化简,则应有r－

１２＝λ－r,即２r＝１

２＋λ.

(２)代入化简.联立直线

AB与椭圆C

的方程,可得y１＋y２＝－３m３m２＋４,y１y２＝

－４５４(３m２＋４),代入

my１y２＝r－１２æèçöø÷(y

１＋

y２

),化简得r＝１７４,所以λ＝８.

(３)归纳推理.通过原题的解答以及变

换弦AB的条件,易发现两个规律:xF′＋xP＝

２xD;xF′􀅰xP＝a２＝４.由此,可猜想出下列

结论:已知椭圆C的方程为x２４＋y２３＝１,AB

是过椭圆C长轴上一点F′(r,０)的任一条弦,那么,在x轴上总存在一个定点D,使得过点

A平行于x轴的直线交BD于点P,点P的

轨迹为一条直线,其中,Dr２＋２r,０æèçöø÷,点P

的轨迹方程为x＝

４

r.

四、强化教学的渗透意识毫无疑问,目前数学高考试卷是存在一点问题的,但也不是一无是处.笔者在教学