信息光学复习笔记

矩形函形 rect





axx0





其他,0210,1

a

xx

函数以x0为中心，宽度为a（a>0）高度为1的矩形，当x0=0，a=1时，矩形函数形式变成rect(x),它是以x=0为对称轴的，高度和宽度均为1的矩形。当x0=0, a=1时，矩形函数形式变成rect(x)，它是以x=0

为对称轴的，高度和宽度均为1的矩形，二维矩形函数可表为一维矩形函数的乘积byyaxxrect00，a，b>0

csin函数 axxaxxaxxc/0/0sin0sin





a>0，函数在x=x0处有最大值1。零点位于2,10nnaxx.对于x0=0，a=1，函数图像

三角函数





其它,0,1ax

a

x

ax

a>0，函数以原点为中心，底边长为2a，高度为1的等腰三角形

符号函数 





0,10,00,1sgnxxxx

阶跃函数 



0,00,1xx

xstep

圆柱函数 在直角坐标系内圆柱函数定义式 其它,0,12222ayxayxcirc

极坐标内的定义式为 arararcirc，，01 卷积的定义 函数xf和函数xh的一维卷积，有含参变量的无穷积分定义，即

xhxfdxhxfxg*





定义xf和xh的二维卷积：yxhyxfddyxhfyxg,*,,,, 卷积的基本性质 线性性质 交换律

平移不变性  *212121xxxgdxxhxfxxhxxf 结合律 坐标缩放性质 axgaaxhaxf1*

函数yxf,与函数的卷积yxfddyxfyxyxf,,,,*, 即任意函数yxf,与函数的卷积，得出函数yxf,本身，而0000,,*,yyxxfyyxxyxf 互相关 两个函数yxf,和yxg,的无相关定义为含参变量的无穷积分，即 yxgyxfddgyxfyxRfg,,,,,*☆





或 yxgyxfddyxgyxfyxRfg,,,,,*☆ 互相关卷积表达式：yxgyxfyxgyxf,*,,,*☆ 性质：（1）yxRyxRfggf,,，即互相关不具有交换性，而有yxRyxRfggf,,* （2）0,00,0,2ggfffgRRyxR 自相关 当yxgyxf,,时，即得到函数f的自相关定义式 yxfyxfddfyxfyxRff,,,,,*☆





和 yxfyxfyxRff,*,,* 性质：（1）自相关函数具有厄密对称性yxRyxRffff,,* 当yxf,是实函数时，yxRff,是偶函数 （2）0,0,ffffRyxR 傅里叶变换基本性质 线性性质 ,F,,,Gyxfbayxg,,,为常数，则,,,,gGaFyxbgyxaf

对称性 设,F,,yxf则,,fF 迭次傅里叶变换 以两次连续傅里叶为例，则有{{yxf,}}=yxf,对二元函数连续作二维傅里叶变换，即得其倒立像 坐标缩放性质

a,b为不等于零的实常数，若yxf,,F，则baFabbyaxf,1,

函数yxf,的图像变窄，其傅里叶变换,F的图像将变宽变矮；yxf,的图像变宽，则,F的将变窄变高 平移性 设yxf,,F，且00,yx为实常数，则有00002exp,yxjyyxxf,F

体积对应关系 设yxf,,F，则有dxdyyxfF,0,0，ddyxFf,0,0 复共轭函数的傅里叶变换 设yxf,,F，则 ,,**Fyxf，,,**Fyxf

若yxf,为实数，显然有,F,*F此时称,F具有厄米对称性 傅里叶变换基本定理 卷积定理 设yxf,,F，设yxg,,G，则有

yxgyxf,*,,F,G和yxgyxf,,,F,*G

相关定理（维纳——辛钦定理） （1） 互相关定理 设yxf,,F，yxg,,G，则有

yxgyxf,,☆,*F,G ,*F,G为函数yxf,和yxg,的互谱量密度或简称互

谱密度 （2） 自相关定理 设yxf,,F，则有

2,,,Fyxgyxf☆ 2

,F为yxf,的能谱密度

巴塞伐定理 设yxf,,F，且积分设ddFdxdyyxf22,,与都存在，则有 



ddFdxdyyxf22,, 广义巴塞伐定理 设yxf,,F，yxg,,G，则有 



ddGFdxdyyxgyxf,,,,**

导数定理 设yxf,,,,,,,,,,,nmnmnmnmnmnmFFyxyxfyxfF则有 nmnmjjyxf22,,





,F

nmnmjj

yxfyx22,,,nmF

积分定理 设,xfF则有 FjFdfx2021 矩定理 2,1,0,,,nmdxdyyxfyxnm零阶矩定理 此时m=n=0，即有0,0,Fdxdyyxf 线性系统：一个系统同时具有叠加性和均匀性时 一个系统对输入1f和2f的输出响应分别为1g和2g，即有221,yxg111,yxf，

222,yxg112,yxf

叠加性：112111,),(yxfyxf111,yxf+112,yxf=221,yxg222,yxg 均匀性：ayxaf111,111,yxf=221,yxag 线性平移不变系统：系统既具有线性又具有空间平移不变性

用表达式可以表示为：单位脉冲响应输入函数输出函数yxhyxfddyxhfyxg,*,,,,

线性平移不变系统的传递函数：,,,FGH 说明：原点脉冲响应的频谱密度可以表征系统对输入函数中不同频率的基元成分的传递能力 传递函数,H一般是复函数，其模的作用在于改变输入函数各种频率基元成分的模，其辐角的作用在于改变这些基元成分的初相位 本征函数：函数yxf,满足条件yxafyxf,,式中a为一复常数，则称yxf,为算符{…}所表征的系统的本征函数 系统的本征函数是一个特定的输入函数，相应的输出函数与输入函数之比是一个复常数 平面波的空间频率：空间呈正弦或余弦变化的物理量在其某一方向上单位距离所包含的空间周期数

平面波的复振幅表达式：zyxjayxjkazyxU2expcoscoscosexp,,

分别沿zyx,,方向的空间频率：cos,cos,cos 空间角频率：2k

1表示平面波沿传播方向的空间频率