信息光学常讲义用函数

4 乘积特性
ϕ ( x)δ ( x − x0 ) = ϕ ( x0 )δ ( x − x0 ) 从物理上去怎么理解呢？ 从物理上去怎么理解呢？
所以等式成立。 当x≠x0, 由于δ (x−x0)=0, 所以等式成立。 ≠ − 当x=x0, ϕ (x)=ϕ (x0), 等式显然成立。 等式显然成立。 显然成立 推论： 推论：
cos(x), |x|≤π/2 0 其它 求 f (-x/2+π/4)
例题： 例题： f(x)=rect(x)，将该函数压缩 倍 ， 然后向左平移 ， 并 ，将该函数压缩2倍 然后向左平移3， 为轴折叠， 以x=1为轴折叠，求最后得到的函数，并画出函数图。 为轴折叠 求最后得到的函数，并画出函数图。 1 -1/2 o
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.常用函数—变型 用函数 变型f(x) x
平移 缩放
f(x- x0) x0 x f(x/a) x
倍乘 折叠 取反
f(-x) x -f(x) x bf(x)
x
平移
(原点移至 0) 原点移至x 原点移至
比例缩放
折叠
镜像对称
取反
镜像对称
a>1, 在x方向展宽 倍 与f(x)关于 轴 方向展宽a倍 方向展宽 关于y轴 与f(x)关于 轴 关于 关于x轴 关于 a<1, 在x方向压缩 倍 方向压缩a倍 方向压缩
f[-2(x-2)]
-1
0
-1/2
0
0
3/2
x
解2： 根据已知条件有 ：
− 2 x + 4, f ( − 2 x + 4) = 0,
0 < −2 x + 4 < 1 else

这就是非周期函数的傅立叶展开式，称为f(x)的傅立叶积分。非周期函数f(x)在满足下列条件时：①f(x)在任一有限区间上满足狄氏(Dirichlet)条件；②f(x)在无限区间(-∞，∞)上绝对可积，则f(x)的傅立叶积分存在，且
令 ，则称G(ω)是f(x)的傅立叶变换（也称G(ω)是f(x)的频谱函数、象函数），傅立叶积分（也叫傅氏逆变换）和傅立叶变换构成了傅立叶变换对：
第一章：数学预备知识
为了方便后面的学习，我们复习一下有关的数学知识。
§1-1 几个常用函数
一、矩形函数（rectangle function）
1、一维矩形函数
表达式为：
其函数图形为：
当x0=0，a=1时，矩形函数为： [此时rect(x)=rect(-x)]
其图形为
2、二维矩形函数
表达式为：
其函数图形为：
常用的傅立叶变换对见表1-2（P.35）。下面给出几个傅立叶变换的例子。
推广是这样来进行的：若存在一个函数序列gn(x,y)，其傅立叶变换存在，对应的傅立叶变换——即频谱函数序列为Gn(ωx,ωy)。函数g(x,y)虽然不存在傅立叶变换，但是g(x,y)却是gn(x,y)当n→∞的极限，则定义当n→∞时Gn(ωx,ωy)的极限为g(x,y)的广义傅立叶变换。
四、傅立叶变换的性质
因为
当N→∞时，根据δ函数的定义
其表示的物理意义就是只有在ω0处有一无限高的谱线。
三、广义傅立叶变换
一个非周期函数能进行傅立叶变换的条件是：①f(x，y)在任一有限区域上满足狄氏(Dirichlet)条件（有限个间断点、有限个极大极小点、没有无穷大间断点）；②f(x,y)在整个平面上绝对可积 。但是当光学现象用理想化的数学模型来描述时，不少有用的函数是不能满足上述条件的，为此，我们把傅立叶变换的定义进行推广。

傅里叶变换的意义
傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种 看待问题的角度：一个连续的信号可以看作是一个个 小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成 原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。 时阈信号：将信号从时间角度的分割和叠加。
傅里叶变换：将信号从频率的角度叠加。
傅里叶变换的意义
傅立叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波 （或者余弦波）信号。也就是说，用无数的正弦波，可 以合成任何所需要的信号。
逆变换
f x, y


F ( , ) exp j 2 ( x y)d d
把非周期函数分解为复指数函数 在整个连续频率区间上的积分和
极坐标下的傅里叶变换
G( , ) g (r , )
2 0 0 2
rg (r , ) exp[ j 2 r cos( )]drd
信 息 光 学
南京邮电大学 光电工程学院
几个常用非初等函数
矩形函数（ Rectangle function ）
x x0 1 1 x x0 1, x 1, rect( x) ) a 2 2 , 标准型 : rect( a 其它 0, 其它 0,
特点: rect(0)=1, 矩形宽度=1，矩形面积=1, 偶函数
n
exp( j 2 nx)

comb x comb( )
原函数
缝函数
频谱函数
asinc( af )
absinc(af x )sinc(bf x )
aJ 1 ( 2a f x f y )
2 2
傅 里 叶 变 换 对
二维矩形函数
x2 y2 1 ) 圆函数 circ( a 0

sin

a
x


sin c
x
a
a
零点位置：
x na n 1, 2,3,

函数图形
6）高斯函数 (Gauss function)
经常见到
7）圆域函数 (Circle function)
定义
x2 y 2
Circ

r
0


1

0

x 2 y 2 r0
1 cos
1 cos
1 cos
fz
fy
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平面波的空间频率
频率
传播方向
由于各个不同空间频率的空间傅里叶分量可
看作是沿不同方向传播的平面波，因此称空间频谱
为xy平面上复振幅分布的角谱。
以平面波传播方向的角度(方向余弦)为宗量，
复振幅分布的空间频谱(角谱)表示为
Nonlinear systems often use specialized methods
unique to each system. No general theory exists
for nonlinear systems.
➢ Time or space invariant.
➢ Memoryless .
即系统对输入函数中不同频率基元成分的传递能力。
线性平移不变系统的脉冲响应h(x,y)与传递函数
H(u,v)构成一对FT对：
其根源在于：脉冲响应(信号)是在空域中描述系统
的性质，在空域中对输入函数进行分解，选用的基
元函数是δ(x- , y- ); 而传递函数是在频域中描述