二元微分.ppt

P ′( x + ∆ x , y + ∆ y ) ∈ P 的某个邻域
∆ z = A∆ x + B∆ y + o( ρ ) 总成立 ,
上式仍成立， 当 ∆ y = 0 时，上式仍成立，此时 ρ = | ∆ x | ,
f ( x + ∆ x , y ) − f ( x , y ) = A ⋅ ∆ x + o(| ∆ x |) ,
所求全微分 dz = e 2dx + 2e 2dy .
y yz 例2 计算函数 u = x + sin + e 的全微分 . 2
y ∂u 1 ∂u ∂u yz yz 解 = ye , =1, = cos + ze , ∂y 2 2 ∂z ∂x
所求全微分
1 y yz yz du = dx + ( cos + ze )dy + ye dz . 2 2
例4 试证函数
1 , ( x , y ) ≠ ( 0 , 0) , xy sin 2 2 x +y f ( x , y) = 0, ( x , y ) = ( 0 , 0) .
在点 (0 , 0) 连续且偏导数存在，但偏导数在点 (0 , 0) , 0) 可微 . 不连续， (证明略) 证明略)
∂u ∂u ∂u du = dx + dy + dz . ∂x ∂y ∂z
例1 计算函数 z = e x y在点 ( 2 , 1) 处的全微分 . 解
∂z = ye xy , ∂x
∂z = e2 , ∂x ( 2 , 1 )
∂z = xe xy , ∂y
∂z = 2e 2 , ∂y ( 2 , 1 )
∆ z ≈ dz = f x ( x , y )∆ x + f y ( x , y )∆ y .

因而
ω ∆x ∆xz ω ) ⋅ ) = lim0( A + lim = lim ( A + ∆ x→ ∆ x ∆x ∆ x→0 ∆x → 0 ∆ x ∆x
ω ρ ) = A, = A + lim ( ⋅ ∆ x →0 ρ ∆ x
∂z 即 A= ∂x ,
( x0 , y0 )
∂z 同理可证 B = ∂y
所以
dz = 2 yx
2 y −1
dx + 2 x
2y
ln x dy .
y z 例 3 求函数 u = x + sin + arctan 的全微分 的全微分. 2 y
2
解 因为
∂u y ∂u y z ∂u 1 = 2x , , = 2 , = cos − 2 2 2 ∂x ∂z y + z ∂y 2 2 y +z
即
dz = A∆ x + B∆ y
这时， 这时，也称函数 z = f (x , y)在点(x0 , y0)处可微 可微. )在点( 如果函数 z = f (x , y)在区域 D 内每一点都可 ) 微，则称函数 z = f (x , y)在区域 D 内可微 内可微. )
定理 1 证 可得
在点( 如果函数 z = f (x , y )在点(x0 , y0 )处可
.
( x0 , y0 )
由此可知， 处可微时， 由此可知，当 z = f (x , y) 在点 (x0 , y0) 处可微时， 必有
∂z ∂z dz = ∆x + ∆y, ∂ x ( x0 , y0 ) ∂ y ( x0 , y0 )
规定 ∆ x = dx , ∆ y = dy , 则 像一元函数一样， 像一元函数一样，

的某个邻域总成立 总成立, P 的某个邻域总成立
∆z = f ( x0 + ∆x , y0 + ∆y ) − f ( x 0 , y0 )
(∆x ) + (∆y ) 上式仍成立， 当∆y = 0时，上式仍成立， 此时 ρ =| ∆x |, f ( x0 + ∆x , y0 ) − f ( x0 , y0 ) = A⋅ ∆x + o(| ∆x |),
4 例 试 函 证 数
1 , ( x, y) ≠ (0,0) xy sin 2 2 x +y f ( x, y) = 0, ( x, y) = (0,0)
在 (0,0)(1)连 ; (2)偏 数 在 (3)偏 数 点 连 续 偏 导 存 ; 偏 导 在 点(0,0)不 续 连 ; (4)f 在 (0,0)可 . 点 微
∂z = xe xy , ∂y
∂z ∂z 2 2 =e , = 2e , ∂x ( 2 , 1 ) ∂y ( 2 , 1 )
所求全微分 dz = e 2dx + 2e 2dy .
π 例 2 求 数z = y cos( x − 2 y)， x = ，y = π， 函 当 4
dx = ，dy = π时的 微分. 全 4
∆x → 0 ∆y → 0
∴ f x′ ( x0 + θ 1 ∆x , y0 + ∆y ) = f x′ ( x0 , y0 ) + ε 1
（无穷小） 且当 ∆x → 0, ∆ y → 0 时，ε 1 → 0 . 无穷小） 同理 f ( x 0 , y 0 + ∆ y ) − f ( x 0 , y 0 ) = f y′ ( x 0 , y 0 )∆ y + ε 2 ∆ y ,

二．全微分
1．增量 ⑴偏增量：对于z=f(x,y)若两个自变量中只有一 个变化时，函数z的增量称为偏增量。
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
如：矩形板在长为x0，宽为y0时，若仅当长增加
x(或宽增加y)，则面积的增量是偏增量。
0) 时, 当点 P ( x , y ) 沿直线 y x 趋于
( x , x ) ( 0 , 0 )
lim
f x ( x, y)
3
1 x 1 lim x sin cos , 3 x 0 2| x| 2 2| x| 2 | x |
不存在.
小结 曲面的切平面与法线
*例
试证函数
1 , ( x , y ) (0,0) xy sin 2 2 x y f ( x, y) 在 0, ( x , y ) (0,0)
点(0,0)连续且偏导数存在，但偏导数在点(0,0) 不连续，而 f 在点(0,0)可微.
思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分
定理 若z=f(x,y)在点 ( x0 , y0 ) 可微分，则 z=f(x,y)在 ( x0 , y0 ) 的偏导数
z z , x ( x0 , y0 ) y
( x0 , y0 )
必定存在，且
z z dz dx dy x y
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二元函数可微的几何意义
设二元函数z=f(x,y)
7
⑵全增量：对于z=f(x,y)，若两个自变量都取
得增量时，函数z的增量称为全增量。
如：矩形金属板受热喷膨胀时，长和宽都要发生改变， 这时面积的改变量（增量）就是全增量。