精品PPT课件微分几何

(t
)
r
(t0
).
r (t0)
,
2、如果r (t) 在闭区间[t1,t2]的每一点都连续，则称 r (t) 在区间
[t1,t2]上是连续的。
t30连、续命的题实2 函如数果，r(则t)和向s量(t函)是数在r点(t)t0连s续(t)的,向(t量)r函(t)数,r，(t)而s((tt))是和点实
数 r (t) s (t) 也都有在t0点连续（把命题中的点t0改为区间[t,t0]时，
3、向量函数 r (t)的微商 r (t)仍为 t 的一个向量函数，如果函数
r
类(t)似也可是定连义续三和阶可、微四的阶，微则商r。(t如)的r微(t)商,r
(t)
r
(
n)
称为
(t).
r
(t
)的二阶微商。
4、在区间 [t1,t2]上有直到 k 阶连续微商的函数称为这区间上的 k次
可微函数或 C k 类函数，连续函数也称为 C0 类函数，无限可微的
5有函、数r任记(t一为) 向C量x(t函类)e数1函r数(yt。)(与t解)e三2析个函实z数(t函)记e数3为xC(t),类y(函t),数z(。t) 一一对应，即
命题4
如果向量函数
r (t
)
在
[t1, t2 ]上是C k类函数，则向量函数
所对的三个实函数 x(t), y(t), z(t)在[t1, t2 ]上是C k 类函数。
回顾向量代数
一、向量的概念
1、向量的定义。
2、向量的表示
3、特殊向量（自由向量、单位向量、零向量、逆向量）
4、向量的坐标。
二、向量的运算 （几何意义）
1、加减法：a
b
{x1
x2 ,
y1
y2 ,
z1
z2}
234、、、数内外乘积积：：：aaabb{aax,bbcsyio,ns((aza},,bb)),
证明
将 r (t)
由于 e1
是x常(t向)e1量，y而(t )re(2t
z(t
)是C
)e3两边点乘 e1得 x(t)
k 类的，所以x(t)是 C
r (t)
k类函数
e1
同理，y(t), z(t) 是Ck 类函数。
r
{x(t),
y(t),
z(t
)}
r
{x(t),
y(t),
z(t)},
1、4 向量函数的泰勒公式
命题也成立）。
1、3 向量函数的微商
果 这1、极个限极设限rlitm( 称t0)为是r(r定t0(t义) 在在tt)区t0点间r(的[tt01微),t2存商]上在（的，或向则导量称矢函r）数(t。)，在记设t0点为t0是ddr可t (tt01微或, t分2r)，的(t如)，.
即
dr
dt t0
ma.
（3）数量积的极限等于极限的数量积。r (t)
s
(t
)
a
b.
（4）向量积的极限等于极限的向量积。 r (t) s (t) a b.
11、、2给出向一量元函向数量的函连数续r(t性) ，当t
t0
时，若向量函数
r (t)
则称向量函数r (t)
在
t0
点是连续的。
也有
lim
t t0rFra bibliotek时,有
) 趋向于极
t t0
2、向量函数的性质
命题1如果r (t)
和
s
(t
)
是两个一元函数， (t )
是一个实函数，并且
当t t0 时，有 r (t) a, s (t) b, (t) m 则有
（1）两向量之和（ 差）的极限 等于极限之和（差）。 r (t) s (t) a b.
（2）数乘向量的极限等于极限的乘积。(t)r(t)
a,
bx1与x2ayb1垂 y2 直 z,1成z2右手系
e1 a b x1
x2
e2 y1 y2
e3 z1 z2
{ y1 y2
z1 , z1 z2 z2
x1 , x1 x2 x2
y1 } y2
x1 y1 z1 5、混合积： a (b c) (a b) c x2 y2 z2
微分几何
主讲人：周小辉
内 容 提 要
第一章 曲线论
1、向量函数 向量函数的极限、连续、微商、积分
2、曲线的概念
曲线、光滑曲线、曲线的切线和法面、自然参数。
3、空间曲线
3、1 空间曲线的密切平面 3、2 空间曲线的基本三棱形 3、3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式 3、4 空间曲线在一点邻近的结构 3、5 空间曲线的基本定理 3、6 一般螺线
r
r (t).
设G是一平面域， (u, v) G，则得二元向量函数 r r (u, v).
设G是空间一区域，(x, y, z) G，得三元向量函数 r r (x, y, z)
1、1 向量函数的极限
1、定义 设 r(t)是所给的一元函数，a是常向量，如果对任给
的
限r (ta)
，a0记，作都成存立li在m，数则r说(t)当0t ，a使t0得时当，0向量t 函t0数r(t
r (t0
)
lim
t 0
r (t0
t) t
r (t0
)
区间如内果是r (可t)微在的某或个简开称区向间量的函每数一点r(都t)是有可微微商的存，在它，的则微说商r (记t)为在r此(t)
2、命题3 设 的实函数，则
r (t),s(t),u(t)
(t)r (t), r (t)
分别是可 微的向量函 数， (t)是可微 s(t), r (t) s(t), r (t) s(t),
(r
(t ), s
(t
),u(t))
都是可 微函数， 并且
(r ) r r, (r s ) r s,
(r s ) r s r s,
(r s) r s r s, (r , s,u) (r , s,u) (r , s,u) (r , s,u)
2、a //
3、a, b ,
cb共面ab(a 0b)
c
0
第一节 向量函数
向量函数的概念：给出一点集G ，如果对于G 中的每一个
点 x ，有一 个确定的向量 r 和它对应，则说在 G上给定了一个向
量函数，记作 r r (x), x G, 例如
设G是实数轴上一区间
[t0 ,t] ，则得一元向量函数
x3 y3 z3
6、二重向量积：(a
7、Lagrange恒等式
b)c (a b)
(a (c
cd) )ba(cb
c )a ad
bc bd
8、模： a
x2 y2 z2
方向余弦：c os , c os , c os
三、几种运算的几何意义
四、运算规律、几个充要条件
1、
a
b a b 0
1、定理 设向量函数 r (t)在 [t0 , t0 t]上是 C n类1 函数，则有泰