微分几何曲面的第一基本形式

微分几何陈维桓第三章讲稿目录第三章曲面的第一基本形式 (27)§ 3.1 正则参数曲面 (27)一、参数曲面 (27)二、参数变换 (28)三、正则曲面 (28)四、正则曲面的例子 (29)§ 3.2 切平面和法线 (33)一、曲面的切空间，切平面和法线 (33)二、连续可微函数的等值面 (34)三、微分«Skip Record If...»的几何意义 . (34)§ 3.3 第一基本形式 (35)§ 3.4 曲面上正交参数曲线网的存在性 (37)§ 3.5 保长对应和保角对应 (38)一、曲面到曲面的连续可微映射 (38)二、切映射 (38)三、保长对应(等距对应) (40)四、保角对应(共形对应) (41)§ 3.6 可展曲面 (42)第三章 曲面的第一基本形式本章内容：曲面的定义，参数曲线网，切平面，单位法向量，第一基本形式，正交参数网，等距对应和共形对应，可展曲面计划学时：12学时，含习题课4学时.难点：正交参数网的存在性，等距对应和共形对应§ 3.1 正则参数曲面一、参数曲面从平面«Skip Record If...»的一个区域(region ，即连通开集)«Skip Record If...»到«Skip Record If...»中的一个连续映射«Skip Record If...»的象集«Skip Record If...»称为«Skip Record If...»中的一个参数曲面(parameterized surface). 在«Skip Record If...»中取定正交标架«Skip Record If...»«Skip Record If...»，建立笛卡尔右手直角坐标系. 则参数曲面«Skip Record If...»可以通过参数(parameter)«Skip Record If...»表示成参数方程«Skip Record If...» «Skip Record If...»， (1.1)或写成向量参数方程«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (1.2)为了使用微积分工具，本书中要求向量函数«Skip Record If...»都是3次以上连续«Skip Record If...»-曲线：让«Skip Record If...»固定，«Skip Record If...»变化，向量«Skip Record If...»的终点描出的轨迹.«Skip Record If...»-曲线，参数曲线网.直观上，参数曲面«Skip Record If...»就是将平面中的区域«Skip Record If...»经过伸缩、扭曲等连续变形后放到欧氏空间«Skip Record If...»中的结果.曲纹坐标«Skip Record If...»，即«Skip Record If...».r 00(,)r u v一般来说，由(1.1)给出的连续映射并不能保证曲面上的点«Skip Record If...»与该点的参数«Skip Record If...»之间是一一对应的. 为了使得曲纹坐标能真正起到坐标的作用，需要对参数曲面加上正则性条件.定义设«Skip Record If...»为«Skip Record If...»中的参数曲面. 如果在«Skip Record If...»点，两条参数曲线的切向量«Skip Record If...»，«Skip Record If...» (1.3)线性无关，即«Skip Record If...»，则称«Skip Record If...»或«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的正则点(regular point). 如果«Skip Record If...»上每一点都是正则点，则称«Skip Record If...»是正则参数曲面.以下总假定«Skip Record If...»是正则曲面. 在正则曲面上每一点«Skip RecordIf...»，由于«Skip Record If...»， (1.4)通过重新选取正交标架«Skip Record If...»，不妨设«Skip Record If...».根据反函数定理，存在«Skip Record If...»的邻域«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»有连续可微的反函数«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，即有«Skip Record If...».此时有«Skip Record If...»的邻域«Skip Record If...»和同胚映射«Skip Record If...». 从而有连续映射«Skip Record If...». 于是«Skip Record If...»在«Skip Record If...»的邻域«Skip Record If...»内可用参数方程表示为«Skip Record If...»， (*) 或表示为一个二元函数«Skip Record If...»的图像，其中«Skip Record If...». (1.5)上式称为曲面片«Skip Record If...»的Monge形式，或称为«Skip Record If...»的显式方程.从(*)式可见«Skip Record If...»是一一对应，从而«Skip Record If...»也是一一对应. 这说明正则性条件至少保证了«Skip Record If...»局部是一一对应. 为了确定起见，以下约定正则曲面«Skip Record If...»与其定义域«Skip Record If...»之间总是一一对应的，从而参数«Skip Record If...»可以作为曲面上点«Skip Record If...»的曲纹坐标.反之，由显式方程«Skip Record If...»表示的曲面总是正则的：如果«Skip Record If...»， (1.6)则«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，从而«Skip Record If...».二、参数变换曲面的定向(orientation)：对于曲面«Skip Record If...»，规定«Skip Record If...»所指的一侧为«Skip Record If...»的正侧.由于参数曲面的参数方程中，参数的选择不是唯一的，在进行参数变换(transformation of parameter)时，要求参数变换«Skip Record If...» (1.8) 满足：(1) «Skip Record If...»是«Skip Record If...»的3次以上连续可微函数；(2) «Skip Record If...»处处不为零.这样的参数变换称为可允许的(compatible)参数变换. 当«Skip Record If...»时，称为保持定向(preserve the orientation)的参数变换.根据复合函数的求导法则，在新的参数下，«Skip Record If...»， «Skip Record If...».因此«Skip Record If...». (1.10) 上式说明在可允许的参数变换下，正则性保持不变；在保持定向的参数变换下，曲面片的正侧保持不变.三、正则曲面正则参数曲面在具体应用总是十分方便，十分广泛的. 但是有的曲面不能够用一张正则参数曲面来表示，例如球面.将«Skip Record If...»与«Skip Record If...»等同，赋予普通的度量拓扑，即以«Skip Record If...»的标准度量确定的拓扑.定义1.1设«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的一个子集，具有相对拓扑. 如果对任意一点«Skip Record If...»，存在«Skip Record If...»在«Skip Record If...»中的一个邻域«Skip Record If...»(«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是«Skip Record If...»在«Skip Record If...»中的邻域)，和«Skip Record If...»中的一个区域«Skip Record If...»，以及同胚«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»是«Skip Record If...»中一个正则参数曲面«Skip Record If...»，则称«Skip Record If...»是«Skip Record If...»中的一张正则曲面(regular surface)，简称曲面. 上述的邻域«Skip Record If...»和同胚«Skip Record If...»的逆映射«Skip Record If...»合在一起，将«Skip Record If...»称为该曲面的一个局部参数化(local parameterization)，或坐标卡(coordinate chart).注 «Skip Record If...»的拓扑是作为«Skip Record If...»的子集从«Skip Record If...»诱导的相对拓扑，即作为«Skip Record If...»的拓扑子空间的拓扑.如果两个局部参数化«Skip Record If...»，«Skip Record If...»满足«Skip Record If...»，那么正则参数曲面«Skip Record If...»就有两个参数表示«Skip Record If...»和«Skip Record If...». 由此自然产生了参数变换«Skip Record If...».利用正则参数曲面«Skip Record If...»的3次以上连续可微性和正则性，可以证明上述参数变换是可允许的.直观上看，正则曲面«Skip Record If...»是由一些正则参数曲面“粘合”而成的. 只有那些与参数的选择无关的量才是曲面本身的几何量. 如果一个正则曲面有一族保持定向的局部参数化«Skip Record If...»(«Skip Record If...»为指标集)，使得«Skip Record If...»构成«Skip Record If...»的开覆盖，则称该曲面是可定向的(orientable).除非特别指出，本课程一般是研究正则参数曲面的几何性质，称之为“局部微分几何学”. 以下所说的“曲面”一般都是正则参数曲面，包括习题中出现的“曲面”.例1.1 圆柱面(cylinder) «Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (1.15)其中«Skip Record If...».当«Skip Record If...»时，圆柱面上少了一条直线«Skip Record If...».如果取«Skip Record If...»，上面的直线在参数曲面上，但是又少了一条直线«Skip Record If...».显然«Skip Record If...»是任意阶连续可微的. 又«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».所以圆柱面是正则曲面.圆柱面也可以用一个坐标卡表示：(,)r u v 121(r U U -⋂1r 2r 21r«Skip Record If...»，«Skip Record If...». 例1.2 球面(sphere) «Skip Record If...»，参数方程为«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (1.16)其中«Skip Record If...». 由于«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，所以球面是正则曲面.例1.3 旋转面(revolution surface)设«Skip Record If...»是«Skip Record If...»平面上一条曲线，其中«Skip Record If...». 将«Skip Record If...»绕«Skip Record If...»轴旋转得到的旋转面«Skip Record If...»参数方程为«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (1.18)旋转面«Skip Record If...»上的u -曲线称为纬线圆，v -曲线称为经线. 因为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，(,)r u v (,)r θϕ«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，所以当«Skip Record If...»是正则曲线，并且«Skip Record If...»时，«Skip Record例1.4 正螺面(hericoid)设两条直线«Skip Record If...»和«Skip Record If...»垂直相交. 将直线«Skip Record If...»一方面绕«Skip Record If...»作匀速转动，同时沿«Skip Record If...»作匀速滑动，«Skip Record If...»的运动轨迹叫做正螺面(螺旋面). 取初始位置的直线«Skip Record If...»为x轴，«Skip Record If...»为z轴，建立右手直角坐标系. 则正螺面的参数方程为«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (1.19) 由«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»可知正螺面是正则曲面.简单来说，直纹面就是由单参数直线族«Skip Record If...»构成的曲面.设«Skip Record If...» («Skip Record If...»)是一条空间正则曲线. 在«Skip RecordIf...»上对应于参数«Skip Record If...»的每一点有一条直线«Skip Record If...»，其方向向量为«Skip Record If...». 这条直线的参数方程可以写成«Skip Record If...».让«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»内变动，所有这些直线就拼成一个曲面«Skip Record If...»，称为直纹面. 它的参数方程为«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (1.20)曲线«Skip Record If...»称为该直纹面的准线(directrix)，而这个单参数直线族中的每一条直线«Skip Record If...»都称为直纹面的一条直母线(generating line)，也就是直纹面«Skip Record If...»的«Skip Record If...»-曲线.为了保证直纹面的正则性，要求«Skip Record If...». (1.21)因为直母线的方向向量«Skip Record If...»，通过参数变换«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，可设«Skip Record If...».再通过选取新的准线«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是待定的函数，使得直母线处处与准线垂直相交，即«Skip Record If...». 因为«Skip Record If...»，只须取«Skip Record If...»即可.1. 当«Skip Record If...»为常向量时，所有的直母线互相平行，直纹面«SkipRecord If...»称为柱面(cylindrical surface).2. 当所有的直母线都经过一个定点时，直纹面«Skip Record If...»称为锥面(cone). ()a u ()a u3. 当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»称为切线曲面(tangent surface)，由准线«Skip Record If...»的所有切线构成.这3种直纹面有共同的特征，在§3.6还要进一步讨论.课外作业：习题2，5§ 3.2 切平面和法线一、曲面的切空间，切平面和法线设«Skip Record If...»是«Skip Record If...»中一个正则曲面，«Skip Record If...»是曲面上点的曲纹坐标. 设«Skip Record If...»是«Skip Record If...»上任意一个固定点. 则«Skip Record If...»上过«Skip Record If...»点的一条可微(参数)曲线«Skip Record If...»可以表示为«Skip Record If...»， (2.2)其中«Skip Record If...» (2.1)是«Skip Record If...»中一条可微曲线(不一定是正则曲线)，满足«Skip Record If...»，«Skip Record If...». 因此«Skip Record If...»，正是«Skip Record If...»点的位置向量. 曲线«Skip Record If...»在«Skip Record If...»点的切向量为 定义2.1 曲面«Skip Record If...»上过«Skip Record If...»点的任意一条连续可微曲线在该点的切向量称为曲面«Skip Record If...»在«Skip Record If...»点的一个切向量(tangent vector).命题 曲面«Skip Record If...»在«Skip Record If...»点的切向量全体记为«Skip Record If...»，它是一个2维实向量空间，«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的一个基. 事实上，«Skip Record If...»，称为曲面«Skip Record If...»在«Skip Record If...»点的切空间(tangent space).证明 记«Skip Record If...». 由(2.3)可见«Skip Record If...». 反之，对任意«Skip Record If...»，令«Skip Record If...». 则«Skip Record If...»是过«Skip Record If...»的可微曲线，并且 r x 00(,)r u v v =«Skip Record If...».所以«Skip Record If...». 因此«Skip Record If...»，从而«Skip Record If...».显然«Skip Record If...»按照向量的加法和数乘构成一个向量空间. 由于«SkipRecord If...»线性无关，它们构成«Skip Record If...»的基. □在空间«Skip Record If...»中，经过点«Skip Record If...»，以两个不共线向量«Skip Record If...»为方向向量的平面称为曲面«Skip Record If...»在«Skip Record If...»点的切平面(tangent plane). 切平面的参数方程为«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (2.6)它的单位法向量(unit normal vector)为«Skip Record If...». (2.7)经过点«Skip Record If...»且垂直于«Skip Record If...»在«Skip Record If...»点的切平面的直线称为曲面«Skip Record If...»在«Skip Record If...»点的法线(normal line). 它的参数方程为«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (2.8)曲面«Skip Record If...»在«Skip Record If...»点的切空间、切平面、法线这三个概念都是与参数选择无关的几何概念. (为什么？) 二、连续可微函数的等值面 设«Skip Record If...»是一个区域，«Skip Record If...»是定义在«Skip Record If...»上的连续可微函数. 对于一个常数«Skip Record If...»，集合«Skip Record If...»称为函数«Skip Record If...»的等值面. 如果在«Skip Record If...»的每一点，都有«Skip Record If...»， (2.9)则等值面«Skip Record If...»是一个正则曲面. 事实上，设在«Skip Record If...»，有«Skip Record If...»，则方程«Skip Record If...» (2.10)在«Skip Record If...»点的邻近确定了一个隐函数«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»，«Skip Record If...».nu r vr于是等值面«Skip Record If...»局部地可以用参数方程表示为«Skip Record If...». (2.11) 由于«Skip Record If...»，等值面«Skip Record If...»是正则曲面.在等值面上每一点«Skip Record If...»，梯度向量«Skip Record If...»是一个法向量，即是与切平面垂直的向量.事实上，由(2.11)可得切空间的基底«Skip Record If...».由(2.10)两边分别对«Skip Record If...»求偏导数并注意«Skip Record If...»，得«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，即有«Skip Record If...»，«Skip Record If...».三、微分«Skip Record If...»的几何意义设曲面«Skip Record If...»的参数方程为«Skip Record If...».微分得到«Skip Record If...». (2.13)将«Skip Record If...»看作4个独立的变量，则对于(2.13)中«Skip Record If...»的不同取值，就得到不同的切向量.有时也用比值«Skip Record If...»来表示曲面上的一个切方向.自然，这时要求«Skip Record If...»不能全为0.变量«Skip Record If...»是切向量«Skip Record If...»关于切空间«Skip Record If...»的基底«Skip Record If...»的分量，因此是向量空间«Skip Record If...»上的线性函数，即«Skip Record If...»(对偶空间). 事实上，按照定义«Skip Record If...».同理，«Skip Record If...».注. 由于切空间的自然基底«Skip Record If...»一般不是单位正交的，在把«Skip Record If...»看作切向量在这个基底下的分量计算内积时，不能将它当作笛卡尔坐标系下的分量来进行运算，而应当顾及自然基底«Skip Record If...»的度量系数(参看下一节).课外作业：习题1，3，5.§ 3.3 第一基本形式设«Skip Record If...»是«Skip Record If...»中一个正则参数曲面. 则«Skip Record If...» (3.1) 是曲面上任意一点«Skip Record If...»处的切向量，这个向量作为«Skip Record If...»中的向量可以计算它的长度. 令«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (3.2) 这三个函数«Skip Record If...»称为曲面«Skip Record If...»的第一类基本量.而矩阵«Skip Record If...» (3.3) 称为切空间(关于基底«Skip Record If...»)的度量矩阵(metric matrix).由于«Skip Record If...»的度量是正定的，这是一个正定矩阵. 事实上，它的2个顺序主子式均«Skip Record If...»：«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (Lagrange 恒等式)利用第一类基本量«Skip Record If...»的定义，有«Skip Record If...».这是一个关于变量«Skip Record If...»的二次型，称为曲面«Skip Record If...»的第一基本形式(first fundamental form)，记为«Skip Record If...». (3.4) 对曲面«Skip Record If...»作可允许的参数变换«Skip Record If...»，«Skip Record If...»， (3.5) 并记«Skip Record If...».则由微分形式的不变性得«Skip Record If...». (*)记参数变换(3.5)的Jacobi矩阵为«Skip Record If...». (3.10) 则有«Skip Record If...»， (3.7, 3.9)«Skip Record If...». (3.8) 因此在新的参数«Skip Record If...»下，度量矩阵成为«Skip Record If...»， (3.12) 从而第一类基本量之间的关系为«Skip Record If...» (3.13) 在新的参数«Skip Record If...»下，第一基本形式保持不变：«Skip Record If...».因此第一基本形式与参数选择无关，也与«Skip Record If...»的标架选择无关，是一个几何量. 其实，这一结论也可由微分形式不变性，也就是(*)式直接得到：«Skip Record If...».如果«Skip Record If...»和«Skip Record If...»是«Skip Record If...»处的两个切向量，则它们的内积为«Skip Record If...». (3.15) 因此切向量«Skip Record If...»的长度为«Skip Record If...». (3.16) 两个切向量«Skip Record If...»和«Skip Record If...»之间的夹角«Skip Record If...»满足«Skip Record If...». (3.17) 它们相互正交的充分必要条件是«Skip Record If...». (3.18) 定理3.1 在参数曲面«Skip Record If...»上，参数曲线网是正交曲线网«Skip Record If...». □对于参数曲面«Skip Record If...»上的一条曲线«Skip Record If...»，它的弧长为«Skip Record If...». (3.21) 定义称«Skip Record If...»为曲面«Skip Record If...», «Skip Record If...»的面积元素，称«Skip Record If...» (3.18) 为曲面«Skip Record If...»的面积.命题 曲面上曲线的弧长«Skip Record If...»，曲面的面积元素«Skip Record If...»以及曲面的面积«Skip Record If...»都是几何量. 证明 假设参数变换为«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...».则在新参数«Skip Record If...»下，«Skip Record If...»的参数方程«Skip Record If...»与原参数方程«Skip Record If...»之间满足«Skip Record If...».1. 曲线的参数方程由«Skip Record If...»变成了«Skip Record If...».所以«Skip Record If...».2. 由(3.12)可见，在新参数«Skip Record If...»下，第一类基本量«Skip Record If...»满足«Skip Record If...».其中«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的逆映射«Skip Record If...»的Jacobi 行列式. 另一方面根据二重积分的变量代换公式，«Skip Record If...».所以在新参数«Skip Record If...»下的面积元素«Skip Record If...».3. 根据二重积分的变量代换公式，有«Skip Record If...». □例1 求旋转面«Skip Record If...»的第一基本形式.解 «Skip Record If...»，«Skip Record If...».所以«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».这说明在旋转面上，经线和纬线构成正交曲线网. 第一基本形式为«Skip Record If...». (3.24)这说明在旋转面上经线(v -曲线)和纬线(u -曲线)构成正交参数曲线网. □例2 求曲面上参数曲线网的二等分角轨线的微分方程.解 设正则参数曲面«Skip Record If...»的第一基本形式是«Skip Record If...».再设二等分角轨线的切向量为1r r ϕ=1r 1D α«Skip Record If...».由题意，它与u-曲线的夹角要等于它与v-曲线的夹角，而u-曲线的切方向为«Skip Record If...»，v-曲线的切方向为«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...».将«Skip Record If...»和«Skip Record If...»代入上式，得«Skip Record If...»，即«Skip Record If...».由于«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，所以上式可化简为«Skip Record If...»， (3.25) 或等价地，参数曲线网的二等分角轨线的微分方程为«Skip Record If...».□注求解一阶常微分方程初值问题«Skip Record If...»，«Skip Record If...»(«Skip Record If...»)得到的解«Skip Record If...»是曲面«Skip Record If...»上过«Skip Record If...»点的一条曲线«Skip Record If...»，在«Skip Record If...»的每一点«Skip Record If...»，切方向«Skip Record If...»与该点处的两条参数曲线的切方向夹角相等.固定«Skip Record If...»，让初始条件«Skip Record If...»变动，就得到2族这样的曲线，它们就是参数曲线网的二等分角轨线.课外作业：习题2，5，8§ 3.4 曲面上正交参数曲线网的存在性在正交参数曲线网下，第一基本形式比较简单：«Skip Record If...».问题：曲面上是否存在正交参数曲线网？引理设«Skip Record If...»是定义在区域«Skip Record If...»上的连续可微的1次微分形式，且«Skip Record If...»处处不为零. 则对于任意一点«Skip Record If...»，«Skip Record If...»在«Skip Record If...»的某个邻域«Skip Record If...»内存在积分因子，即有定义在«Skip Record If...»上的非零连续可微函数«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»是某个定义在«Skip Record If...»上的连续可微函数«Skip Record If...»的全微分：«Skip Record If...».引理的证明见附录§1定理1.2.定理4.1假定在曲面«Skip Record If...»上有两个处处线性无关的、连续可微的切向量场«Skip Record If...», «Skip Record If...». 则对每一点«Skip Record If...»，必有«Skip Record If...»点的一个邻域«Skip Record If...»，使得在«Skip Record If...»上存在新的参数«Skip Record If...»，满足«Skip Record If...»，«Skip Record If...».分析：设«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (4.2) 则由«Skip Record If...»线性无关可知«Skip Record If...». (4.3)如果这样的可允许参数变换«Skip Record If...»存在，则应有函数«Skip Record If...»使得«Skip Record If...»，«Skip Record If...»， (4.5) 即有«Skip Record If...». (4.7) 在上述等式两边取逆矩阵得«Skip Record If...». (4.8) 因此逆参数变换«Skip Record If...»应满足«Skip Record If...» (4.9)定理4.1的证明：考虑两个1次微分形式«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (4.10)由引理可知存在积分因子«Skip Record If...»使得«Skip Record If...»是全微分，即有函数«Skip Record If...»，«Skip Record If...»使得«Skip Record If...» (4.11) 由此可见«Skip Record If...». (4.12) 因为«Skip Record If...»，参数变换«Skip Record If...»是可允许的. 在新的参数«Skip Record If...»下，«Skip Record If...»同理有«Skip Record If...». □注满足条件的新参数仅是局部存在的，并且不能使得«Skip Record If...».定理4.2 在曲面«Skip Record If...»上每一点«Skip Record If...»，有«Skip Record If...»点的一个邻域«Skip Record If...»，使得在«Skip Record If...»上存在新的参数«Skip Record If...»，满足«Skip Record If...».证明. 取向量场«Skip Record If...». 则«Skip Record If...»线性无关，且«Skip Record If...». □注在曲面«Skip Record If...»上，令«Skip Record If...»，«Skip Record If...».则«Skip Record If...»是曲面上的单位正交切向量场，称为«Skip Record If...»的Schmidt正交化.课外作业：习题1，3§ 3.5 保长对应和保角对应一、曲面到曲面的连续可微映射设有两个曲面«Skip Record If...»和«Skip Record If...». 因为曲面上的点«Skip Record If...»与它的参数(曲纹坐标)是一一对应的，从曲面«Skip Record If...»到曲面«Skip Record If...»的映射«Skip Record If...»可以通过它们的参数表示出来，即有映射«Skip Record If...»使得«Skip Record If...»，或«Skip Record If...».«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...»将映射«Skip Record If...»通过它们的参数用两个函数表示出来，则有«Skip Record If...» (5.1)如果(5.1)中的两个函数都是连续可微的，则称映射«Skip Record If...»是连续可微的. 这一概念在曲面的可允许参数变换下保持不变，因此与这两个曲面的参数取法无关.以下总假定映射«Skip Record If...»有足够的连续可微性.二、切映射设两个曲面«Skip Record If...»的参数方程分别为«Skip Record If...»和«Skip Record If...»，«Skip Record If...». 映射«Skip Record If...»是连续可微的，它的参数表示为«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...». (5.1)’则对每一点«Skip Record If...»，可以通过下面的方法定义一个线性映射«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...». (5.9)上面定义的映射«Skip Record If...»称为由连续可微映射«Skip Record If...»诱导的切映射. 由上面的定义可见切映射«Skip Record If...»把«Skip Record If...»映为«Skip Record If...».在(5.9)中令«Skip Record If...»，可知«Skip Record If...»在切映射«Skip Record If...»下的象是«Skip Record If...». (5.9)’由于每个切向量«Skip Record If...»都是«Skip Record If...»上的某一过«Skip Record If...»点的曲线«Skip Record If...»，«Skip Record If...» (5.2)在«Skip Record If...»点的切向量：«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为«Skip Record If...»点的曲纹坐标，且«Skip Record If...»，«Skip Record If...»(见(2.3)式)，切映射也可以用另一种方法来定义：«Skip Record If...»将«Skip Record If...»上的曲线«Skip Record If...»映为«Skip Record If...»上的曲线«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (5.3)定义«Skip Record If...»为«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的切向量，即«Skip Record If...» (5.5)«Skip Record If...»«Skip Record If...». (5.4)在(5.3)’中分别取«Skip Record If...»和«Skip Record If...»，可得«Skip Record If...». (5.7)1D因此切映射«Skip Record If...»在自然基«Skip Record If...»下的矩阵恰好是映射«Skip Record If...»的Jacobi 矩阵. 由此可知在«Skip Record If...»点切映射«Skip Record If...»是线性同构，当且仅当在«Skip Record If...»点映射(5.1)’的Jacobi 行列式«Skip Record If...».定理5.1 设映射«Skip Record If...»是(3次以上)连续可微的. 如果在«Skip RecordIf...»点切映射«Skip Record If...»是线性同构，则分别有«Skip Record If...»点的邻域«Skip Record If...»和«Skip Record If...»点的邻域«Skip Record If...»，«Skip RecordIf...»，以及«Skip Record If...»上的参数系«Skip Record If...»和«Skip Record If...»，使得映射«Skip Record If...»的参数表示为«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...». 这种参数系称为映射«Skip Record If...»的适用参数系.证明 设«Skip Record If...»的参数方程分别为«Skip Record If...»和«Skip RecordIf...»，«Skip Record If...»的参数表示为«Skip Record If...».由条件，«Skip Record If...». 设«Skip Record If...»点的曲纹坐标为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»点的曲纹坐标为«Skip Record If...».由于«Skip Record If...»是连续的，存在«Skip Record If...»在«Skip Record If...»中的邻域«Skip Record If...»，使得在«Skip Record If...»上«Skip Record If...»，且在«Skip Record If...»上«Skip Record If...»有连续可微的反函数«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是«Skip Record If...»在«Skip Record If...»中的邻域. 在«SkipRecord If...»上对曲面«Skip Record If...»作参数变换«Skip Record If...». 在«Skip Record If...»上对曲面«Skip Record If...»作参数变换«Skip Record If...». 则在新的参数下，«Skip Record If...»的参数表示为«Skip Record If...».«Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...» «SkipRecord If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...»三、保长对应(等距对应)设«Skip Record If...»是连续可微映射，«Skip Record If...»和«Skip Record If...»分别是«Skip Record If...»的曲纹坐标. «Skip Record If...»的参数表示为«Skip Record If...».因为«Skip Record If...»，对于曲面«Skip Record If...»上的任意一个二次微分式«Skip Record If...»， (5.11)ψ1|U ϕ1Ωψ11(,)u v 22(,)(,)u v u v =我们可定义曲面«Skip Record If...»上的一个二次微分式«Skip Record If...»， (5.12) 其中«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (5.15) 其中«Skip Record If...»作为复合函数，是«Skip Record If...»的函数，即«Skip Record If...»«Skip Record If...»(5.13)«Skip Record If...»二次微分式«Skip Record If...»称为«Skip Record If...»上的二次微分式«Skip Record If...»经过映射«Skip Record If...»拉回(pull back)到«Skip Record If...»上的二次微分式.简单来说，«Skip Record If...»就是将«Skip Record If...»代入(5.11)右端而得.例曲面«Skip Record If...»上的第一基本形式«Skip Record If...»是一个二次微分式. 拉回到«Skip Record If...»上，«Skip Record If...»由于«Skip Record If...»，上式可以简单地写成«Skip Record If...» (*)定义5.1设映射«Skip Record If...»是3次以上连续可微的. 如果对每一点«Skip Record If...»，切映射«Skip Record If...»都保持切向量的长度，即«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».则称«Skip Record If...»是从«Skip Record If...»到«Skip Record If...»的保长对应(correspondence preserving length)，或称等距对应(isometry).注1. 保持向量长度的线性映射一定保持内积，因此若«Skip Record If...»是等距对应，则有«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».反之，保持内积的线性映射也一定保持向量的长度.而且，保长对应也保持连续可微曲线的弧长，即有«Skip Record If...».注2. 保持内积的线性映射必定是线性同构. 因此对于保长对应«Skip Record If...»，在每一点«Skip Record If...»，切映射«Skip Record If...»都是线性同构，从而局部地«Skip Record If...»是微分同胚，存在适用参数系.由(5.9)’可知«Skip Record If...».利用(*)得到«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的第一基本形式. 于是有定理5.2设映射«Skip Record If...»是3次以上连续可微的. 则«Skip Record If...»是等距对应的充分必要条件是。

第一章 小结⒈ 重要结论：1）)(t r 具有固定长0)()(='⋅⇔t r t r 2）)(t r 具有固定方向0)()(='⨯⇔t r t r 3）)(t r 平行于固定平面0),,(=''''''⇔r r r 4）)(0t r 的旋转速度)(0t r '= ⒉ 基本公式：1） 切线 αλρ+=r2） 法面 0)(=⋅-αr R 或0),,(=-γβ r R3） 弧长 ⎰'=tadt t r t s )()(4） 密切平面 0)(=⋅-γr R5） 从切平面 0)(=⋅-βr R6） 主法线 βλρ+=r 7） 副法线 γλρ +=r ⒊ 基本向量1）r r r ''== α 2）r r r r r r r r r rr ''⨯'''''⋅'-'''⋅'==)()(β 3）r r r r ''⨯'''⨯'=⨯=βαγ ⒋ )()(s s K τ Frenet 公式1）α ==r s K )( 3)(r r r t K '''⨯'= 2）2)(),,(r r r r r ''⨯'''''''= τ 3）Frenet 公式 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==βτγγταββα K K ⒌ 基本定理1） 自然方程：)()(s s K K ττ==2） 基本定理：第二章 曲面论小结（一）一、曲面的第一基本形式 1. 曲面：（1）{})()()()(v u z v u y v u x v u r r ==)(:_)(:_00v u r r v v u r r u==曲线曲线 构成曲纹坐标网（2）)(:v u r r S=上[])()()(:)(t r t v t u r rc ==切向量：dtdvr dt du r t r v u +=')( 切平面：0)(0=-v ur r r R法 线：)(0v u r r r R⨯+=λ（3）曲线族：0)()(=+dv v u B du v uA曲线网：0)()(2)(22=++dv v u C dudv v u B du v u A 2. 第一基本形式（1）Ⅰ222Gdv Fdudv Edu ++=Ⅰ22ds r d ==（2）弧长 222Gdv Fdudv Edu ds r d ++==（3）dv r du r r d v u +=v r u r r v u δδδ +=rr d δ⋅v Gdv u dv v du F u Edu δδδδ+++=)(（4）曲纹坐标网为正交网0=⇔F（5）⎰⎰-=Ddudv F EG S 2σ （6）等距变换⇔适当选择参数后有21ⅠⅠ=（7）保角变换⇔221ⅠⅠλ=二、第二基本形式1. Ⅱr d n d r d n⋅-=⋅=2Ⅱ222Ndv Mdudv Ldu ++=()2FEG r r r r n r n L v u uu u u uu -=⋅-=⋅=()2F EG r r r n r M v u uv uv -=⋅=()2FEG r r r n r N v u vv vv -=⋅=2. 法曲率：==θcos k k n ⅠⅡ )(βθ n =3. Dupin 指标线1222±=++Ny Mxy Lx1）02>-M LN 椭圆点，椭圆. 2）02<-M LN 双曲点，一对共轭双曲线. 3） 02=-M LN 抛物点，一对平行直线.4）0===N M L 平点，Dupin 线不存在.4. 渐近方向与共轭方向1）使0=n k 的方向为渐近方向2）渐近曲线上每一点切方向都是渐近方向0222=++Ndv Mdudv Ldu3）曲面上曲线为渐近曲线⇔ 1）直线 2）v n ±=4）坐标网为渐近网⇔0==N L5）方向)(d 与)(δ共轭⇔0)(=+++v Ndv u dv v du M u Ldu δδδδ 或0=⋅r n dδ 或 0=⋅r d n δ6）坐标网为共轭网⇔0=M5. 主方向和曲率线1）主方向：)(d 与)(δ满足0=⋅r r d δ且 0=⋅n r dδ 或0=⋅r n d δ2）Rodrigues Th ：dv du d :)(=为主方向⇔r d k n d n-=3）曲率线方程 022=-NMLG F E du dudv dv4）坐标网为曲率线网⇔0==M F6. n k （主曲率）、K 、H1）欧拉公式 GN k ELk k k k n ==+=212221sin cos θθ 2）0)()2()(222=-++---M LN k NE MF LG k F EG N N3）2221F EG M LN k k k --=⋅=)(22)(21221F EG NG MF LG k k H -+-=+=7. 第三基本形式1）22222gdv fdudv edu n d ds ++=== ※Ⅲ v v u un g n n f n e=⋅==2 2）02=+-ⅠⅡⅢK H3）σσσ※P P k →=lim第二章 曲面论小结（二）一、直纹面： 1. )()()(u b v u a v u r+=)(u a a= 导线。

微分几何曲面第一基本形式
微分几何是研究流形及其上的几何结构的数学学科。

在微分几何中，曲面是最简单的一类流形。

曲面具有平坦的形状，可以用一维曲线组成的二维平面来描述。

曲面的第一基本形式是描述曲面上的内部几何特征的工具。

它是由曲面上的切向量和曲面上的度量张量所确定的。

切向量是与曲面上的点相切的向量，可以用来描述曲面上的切平面的方向。

而度量张量则是用来测量曲面上的长度、角度和曲率等几何量的。

具体来说，设曲面S为一个二维流形，曲面上的点p可以由两个参数u和v来确定，即p = (u, v)。

在这个参数化下，曲面上的切向量可以通过对u和v求偏导数来求得。

切向量的长度可以通过计算内积来得到。

曲面上的度量张量是一个二阶张量，用来描述曲面的内在几何特征。

它可以通过计算切向量之间的内积来得到。

度量张量的坐标表示为：
g = E du^2 + 2F du dv + G dv^2
其中E、F和G是曲面上的度量系数，分别表示在u和v方向上的度量。

它们可以通过计算曲面上的基向量的内积来得到。

曲面的第一基本形式有许多重要的应用。

例如，它可以用来计算曲面上的曲率，描述曲面上的最短路径以及计算曲面上的面积等。

通过研究曲面的第一基本形式，我们可以深入理解曲面的几何性质，并进一步推导出更多的几何定理和结论。

总之，曲面的第一基本形式是微分几何中描述曲面上的内部几何特征的重要工具。

通过分析曲面的切向量和度量张量，我们可以了解曲面的形状、曲率和其他几何特征。

对于研究曲面的性质和应用具有重要意义。

微分几何——特殊曲线分析特殊曲线分析1． 直纹面：由连续族直线的轨迹形成的曲面:(,)()()S r u v a u b u v =+。

这里直纹面的v 曲线是直纹面的直母线，u 为一族与其相交的曲线。

2． 常Gauss 曲率曲面对于正常Gauss 曲率曲面，曲面的第一基本形式为222cos )I du dv =+； 对于Gauss 曲率恒为0的曲面，曲面的第一基本形式为22I du dv =+；对于负常Gauss 曲率曲面，曲面的第一基本形式为222c )I du h dv =+. 定理1 具有相同的Gauss 曲率的曲面总是等距等价的，这种等价也是局部的.3． 可展曲面：直纹面沿着它的每条直母线都只有一个切平面，或者说沿直母线，法向量平行，称其为可展曲面。

定理2 直纹面S 可展⇔ ()'(),(),'()0a u b u b u =.定理3 可展曲面局部地或为柱面，或为锥面，或为某条空间曲线的切线曲面.定理4 无平点的曲面为可展曲面⇔高斯曲率0K ≡.4． 全脐点曲面：全部由脐点构成的曲面，曲面上满足L M N E F G==。

定理5 曲面是全脐点曲面当且仅当曲面是平面或球面（或它们的一部分）.5． 极小曲面：平均曲率恒为0的曲面。

平面、正螺面都是极小曲面。

由公式222()EN FM GL H EG F -+=-，其充要条件是20EN FM GL -+=。

极小曲面是使面积的第一变分变为零的曲面。

除平面外旋转极小曲面必为悬链面，直纹极小曲面必为正螺面。

相关命题命题1 常高斯曲率曲面中的常平均曲面是全脐点曲面（平面/球面）或圆柱面. 推论1.1 可展曲面中的常平均曲率曲面是平面或圆柱面.推论1.2 极小曲面中的常高斯曲率曲面是平面.命题2 直纹面中的常Gauss 曲率曲面是可展曲面.命题3 直纹面中的常平均曲率曲面是平面、正螺面或圆柱面.推论3.1 直纹面中的极小曲面是平面和正螺面.相关图示所有可展曲面都是直纹面，且仅有柱面、锥面、切线面三种，如下图：常高斯曲率旋转曲面，在高斯曲率小于零时是伪球面：极小旋转曲面是悬链面：。

曲面第一第二基本形式曲面的第一第二基本形式是曲面微分几何中的重要概念，用于描述曲面的局部性质。

曲面的第一基本形式是一个二次型，描述了曲面上的长度和角度的变化；而第二基本形式是一个线性映射，描述了曲面上的曲率信息。

对于一个曲面上的点，可以通过两个正交曲线来描述它的局部性质。

这两条曲线称为曲面上的曲线坐标线，在该点处与坐标轴相切。

通过这两条曲线，可以定义曲线的长度、角度和曲率等重要几何量。

曲面的第一基本形式是一个二次型，可以表示为：[ds^2 = E du^2 + 2F du dv + G dv^2]其中，(E)、(F) 和 (G) 是曲面上的度量系数。

它们描述了曲线坐标线上的长度和夹角变化。

具体而言，(E) 表示曲线坐标线在 (u) 方向上的长度的平方，(G) 表示曲线坐标线在 (v) 方向上的长度的平方，而 (F) 则表示曲线坐标线在 (u) 和 (v) 方向上的长度乘积。

曲面的第二基本形式是一个线性映射，可以表示为：[dN = L du^2 + 2M du dv + N dv^2]其中，(L)、(M) 和 (N) 是曲面上的切向量与法向量之间的内积。

它们描述了曲面上的曲率信息。

具体而言，(L) 表示曲面的法向量在 (u) 方向上的变化率，(N) 表示曲面的法向量在 (v) 方向上的变化率，而 (M) 则表示曲面的法向量在 (u) 和 (v) 方向上的变化率乘积。

通过第一第二基本形式，我们可以计算曲面上的各种几何量，如曲率、高斯曲率和平均曲率等。

这些几何量对于曲面的形状和性质具有重要的意义，并在计算机图形学、物理学和工程学等领域中得到广泛应用。

总之，曲面的第一第二基本形式是描述曲面局部性质的重要工具，它们提供了曲面上的长度、角度和曲率等几何信息。

通过研究这些信息，我们可以深入理解曲面的形状和性质，并应用于各种实际问题的解决中。

第二章曲面论§1 曲面的概念1. 求正螺面r ={ u cos v ,u sin v , bv }的坐标曲线.解 u- 曲线为r ={u cos v0 ,u sin v0,bv0}=｛0,0，bv0｝＋u { cosv0, sin v0,0}，为曲线的直母线； v- 曲线为r ={ u0cos v , u0sin v ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u- 曲线为r ={ a （ u+ v0） , b （u- v0） ,2u v0 }={ a v0, b v0,0}+ u{a,b,2v0}表示过点{ a v0, b v0,0}以{a,b,2v0}为方向向量的直线;v- 曲线为r =｛ a（u0 +v） , b（u0 -v ） ,2 u0 v｝ =｛ a u0 , b u0 ,0 ｝ +v{a,-b,2u 0}表示过点 (a u0 , b u0 ,0) 以 {a,-b,2u 0}为方向向量的直线。

3．求球面r ={ a cos sin , a cos sin , a sin } 上任意点的切平面和法线方程。

解r ={ a sin cos , a sin sin , a cos }，r={ a cos sin , a cos cos,0}x a cos cos y a cos sin z asin任意点的切平面方程为 a sin cos a sin sin a cos0a cos sin a cos cos0即 xcos cos+ ycos sin+ zsin- a = 0；法线方程为x a cos cos y a cos sin z a sin。

cos cos cos sin sin4．求椭圆柱面x2y21在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有a2 b2一个切平面。

—解椭 圆 柱 面 x 2y 2 1 的 参 数 方 程 为 x = cos ,y = asin, z = t ,a 2b 2r{ a sin,b cos ,0} , r t { 0,0,1} 。