微分几何 3.4空间曲线在一点邻近的结构.ppt

3.4 空间曲线在一点临近的结构一、规范形为研究曲线在一点处的形状，最简单的想法是研究曲线在这点处的切线，不过二者只有切向量相同，近似程度较低。

随后我们考虑用这点处的曲率圆来近似这点处的形状，不过曲率圆是平面曲线，无法表示出曲线扭转的程度，近似程度也不高。

因此我们考虑能否用一条形式较简单的空间曲线来近似曲线在一点处的形状。

在3C 类曲线s r =r()上任取一点00P s r()：，为方便讨论，我们可以通过参数变换将这点变为弧长为0的点，即0=0s ，在这点处泰勒展开可得：233()(0)(0)(0)(0)()2!3!s s s s s =++++r r r r r o ，其中余项3()s o 是3s 的高阶无穷小量。

利用Frenet 公式进行化简，最终我们得到：()()()00023323333000000001111()(0)-++++6266s s s o s s s o s s o s αβγκκκκτ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦r r αβγ其中{}0000;,,r αβγ为0s=0处的Frenet 活动标架。

同时这个Frenet 活动标架也恰好构成一个笛卡尔直角标架，方便起见，我们直接记{}0000;,,r αβγ为一个新坐标系，并假设ξηζ，， 为曲线上点0s r()的邻近点的新坐标，则有：()()()00023302330033001=-+611=++261=+6s s o s s s o s s o s αβγξκηκκζκτ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩， 其中余项()()()000333o s o s o sαβγ，，分别是3s在000αβγ，，方向的高阶无穷小，此式称为曲线s r =r()在00P s r()：处的规范形。

二、近似曲线规范形的主要部分确定了一条三次多项式曲线，记为2300011(),,26s s s s κκτ⎛⎫= ⎪⎝⎭r 。

我们知道，曲线()s r 和()s r 在00=0P s r()：处具有相同的Frenet 标架，同时可进一步证明二者在0P 处的曲率值和挠率值也相同：这说明它们的几何行为在0P 附近也是很接近的，我们称曲线()s r 是()s r 在0P 处的近似曲线。

说明：1．任意参数t , 绘曲线。

曲线方程可以取自题库，或自由输入。

起点或终点可以自动调整。

2．改变为离起点的弧长s为参数，方程相应变换为新的方程。

起点或终点s参数也可以自动调整。

3．活动标架应以弧长s 为参数。

可先给定固定的某s，用按键来逐步求出并显示标架：三个坐标向量，三个坐标平面与两个特征函数。

s，κ(s)，ρ(s)显示于输出栏。

κ(s)，ρ(s)的图形也相应显示于相应窗口。

按键可以弹出窗口，显示公式与评注。

4．让s 从起点到终点，动起来。

5．把κ(s)，ρ(s)加进第二屏的题库中，备生成图形后与之对比。

文字描述与程序要求微分几何知识结构网络曲线论参量向量表示，即与坐标系，又与参数有关。

换参数与坐标系则换表达式。

条件约束：正则。

即三阶以上连续可微。

活动标架：运动公式：本质特征：与坐标系，又与参数无关。

存在唯一定理，决定曲线形状。

三维空间曲线参量r (t) = [ x (t), y(t), z (t) ] , t0 ≤t ≤T换参数程序：s (t) = ∫|r ‘(t ) | dt, t = s –1 (t )换坐标系程序：活动标架：切向量α(s) α(s) = r ‘(t) / | r ‘(t)| 弧长参数则自动归一。

法向量β(s) β(s)=α‘(s) /|α‘(s)| 向量微商，一定正交。

从法向量γ(s) γ(s) =α(s) X β(s) 画曲线及其活动标架。

α(s) β(s) 张成密切平面。

β(s) γ(s) 张成主法平面。

γ(s) α(s) 张成从法平面。

要画曲线在三个坐标平面上的投影。

本质特征：κ(s) = |α‘(s)| 曲率，未必单位长ρ(s) = |γ‘(s)| 挠率，存在唯一定理，决定曲线形状要画曲线的特征曲线。

运动公式：局部关系d r /ds = α(s)dα(s)/ds =κ(s) β(s)dβ(s)/ds =κdα(s)/ds + ρdγ(s)/dsdγ(s)/ds = -ρ(s) β(s) 解方程组的数值计算程序。

§3 空间曲线这一节,我们研究空间曲线的基本理论，研究刻画空间曲线在某一点邻近的弯曲程度和离开平面程度的量——曲率和挠率，以及曲线在一点邻近的近似形状，并找出决定空间曲线的条件。

3.1 空间曲线的密切平面、副法线1 密切平面、副法线设曲线2():()C r r t C =∈rr，过曲线上P点的切线和P 点的邻近一点Q 可作一平面σ，当Q 点沿着曲线趋于P 点时平面σ的极限位置π 称为曲线在P点的密切平面。

密切平面在P 点的法线称为曲线在P 点的副法线。

2 密切平面、副法线的方程设曲线2():()C r r t C =∈rr，P 点的径矢00(),()r t Q r t t +∆rr点的径矢则2000001()()()(())(),lim 02t PQ r t t r t r t t r t t εε∆→′′′+∆−=∆++∆=uuu r r r r r r r r = 。

20001()()(())()2r t PQ r t r t t ε′′′′××+∆uuu r r r r r =‖00()(())r t r t ε′′′×+rr r ，当Q P →时，000,0,()()t r t r t ε′′′∆→→→×r rr r这个矢积。

如果00()()0r t r t ′′′×≠r r r，则该矢量为密切平面法线上的一个非零矢量，它和P 点完全确定了密切平面，方程是： 000(()()())0R r t r t r t ′′′−=r r r r，，,其中{,,}R X Y Z =r 表示0()P t 点的密切平面上任意点的向径。

或000000000()()()()()()0()()()x x t y y t z z t x t y t z t x t y t z t −−−′′′=′′′′′′ PπQ副法线方程：000()()())r t r t r t ρλ′′′=×rr r r+(副法线的标准方程是：000()()(),x x t y y t z z t X Y Z−−−== 00{,,}()()X Y Z r t r t ′′′=×r r其中。