微分几何(第一课)

微分几何(第三版)梅向明黄敬之编[1]第一章曲线论§2 向量函数5. 向量函数«Skip Record If...»具有固定方向的充要条件是«Skip Record If...»× «Skip Record If...»= «Skip Record If...»。

分析：一个向量函数«Skip Record If...»一般可以写成«Skip Record If...»=«Skip RecordIf...»«Skip Record If...»的形式，其中«Skip Record If...»为单位向量函数，«Skip Record If...»为数量函数，那么«Skip Record If...»具有固定方向的充要条件是«Skip Record If...»具有固定方向，即«Skip Record If...»为常向量，（因为«Skip Record If...»的长度固定）。

证对于向量函数«Skip Record If...»，设«Skip Record If...»为其单位向量，则«Skip RecordIf...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»具有固定方向，则«Skip Record If...»为常向量，那么«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»×«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»（«Skip Record If...»×«Skip Record If...»）=«Skip Record If...»。

中国海洋大学本科生课程大纲课程属性：专业知识课程性质：选修一、课程介绍1.课程描述：微分几何是主要面向数学专业高年级的课程，对进一步理解现代数学和物理学的内容有较大帮助。

在选修本课程之前，学生要熟悉多元函数微积分的内容，了解二次曲面的几何特性，掌握线性空间理论，理解常微分方程初值问题解的存在性定理。

课程包括如下主要内容：向量函数、曲线论、曲面的第一、第二基本形式、曲面论基本定理、测地曲率和测地线等。

2.设计思路：（1）低起点、高终点本课程注重与《空间解析几何》课程在内容上的衔接性，贯彻“从简单到复杂、从基础到前沿”的理念，从向量函数讲起，贯穿曲线论、曲面的第一、第二基本形式，最终达到曲面论基本定理、测地曲率和测地线的高度。

（2）问题驱动、强调几何直观本课程采用问题驱动的模式，追踪溯源，抓住“几何不变量”这一微分几何理论发展的主线，清晰交代理论的研究背景与数学思想，使学生体会到几何理论的发展、几何思想的进化是一种自然而然、逐步深化的过程，从中学习几何学研究的思想与方法。

“几何是数学演绎的舞台”，培养学生通过“几何直觉”来学习与研究数学的能力。

（3）扩展性强本课程注重微分几何的经典理论与现代数学发展前沿的衔接，从更加现代的观点- 1 -介绍经典的理论，为学生打开一扇通往现代数学前沿的窗口。

3.课程与其他课程的关系：先修课程：数学分析I-III、高等代数I-II、空间解析几何、常微分方程；并行课程：拓扑学等；后置课程：无。

二、课程目标本课程以培养学生的空间想象力和直觉能力为主要目标。

学完本课程，应掌握局部微分几何的基本内容，初步了解整体微分几何的研究对象，了解微分几何在数学和物理学领域中的作用。

应能使学生运用解析几何的知识，以微积分和线性代数为工具，解决和处理局部性几何问题和部分整体性几何问题。

到课程结束时，学生应能：（1）掌握微分几何的近代发展史概况；掌握标架的概念，了解向量分析基础知识。

（2）掌握正则参数曲线、弧长、曲率、挠率的概念；能够计算常见曲线的弧长、曲率和挠率；理解标准展开的几何意义，以及Frenet公式的本质。

微分几何大纲《微分几何》教学大纲课程名称：微分几何课程编号：0641010课程类别：专业必修课程适用对象：数学与应用数学专业（4年制普通本科）总学时数：54学分：3一、课程性质和教学目标1．课程性质：本课程是数学与应用数学专业的专业必修课程；2．教学目标：学习和掌握三维欧氏空间中曲线和曲面的基本知识、培养学生直观能力，以及运用分析、代数等工具来研究、解决几何问题的能力，熟悉三维欧氏空间中常见曲线和常见曲面的方程和形状；掌握三维欧氏空间中曲线和曲面的各种曲率的计算；理解三维欧氏空间中曲线和曲面微分几何的基本理论和基本方法；了解曲面内蕴微分几何的意义、基本概念和理论。

二、教学要求和教学内容第一章曲线论（12学时）【教学要求】1. 掌握向量的运算法则及其性质：加法、减法、数乘、数量积、向量积；2. 理解向量分析的基本内容；3. 掌握曲线的概念及其参数表示、曲线的切线、法面和密切平面、弧长公式和弧长参数。

4. 掌握曲线的曲率、曲线的单位切向量、主法向量、副法向量、Frenet标架和曲线的挠率。

5. 能计算 Frenet公式、一般参数下的曲率、挠率和Frenet公式。

6. 掌握曲线论的基本定理。

7. 了解曲线在一点邻近的结构。

【教学内容】●讲授内容1. 向量分析的基本内容；2. 曲线的概念及其参数表示、曲线的切线和法面、弧长公式和弧长参数；※3. 曲线的曲率、单位切向量、主法向量，副法向量、Frenet标架、挠率、Frenet公式；※4. 曲线论的基本定理；5．曲线在一点邻近的结构。

第二章曲面的第一基本形式 (10学时)【教学要求】1．掌握曲面的参数表示、曲纹坐标网、曲面在一点的切方向、曲面的切平面和法线；2. 理解曲面上的曲线族和曲线网；3．能计算曲面的第一基本形式、曲面上曲线的弧长、曲面上两个切方向的夹角、曲面域的面积；4．掌握曲面间的保长变换和保角变换；5. 了解可展曲面的例子、直纹面可展的条件、可展曲面的分类、可展曲面和平面间的保长变换。

大专高等数学微分几何教材导言：微分几何是现代数学中的重要分支，它研究的是曲线、曲面以及其它高维空间中的各种几何性质。

微分几何在物理学、工程学等领域中有着广泛的应用，对于大专学生来说，学习微分几何是提高数学素养和应用能力的重要一步。

本教材将系统、全面地介绍大专高等数学微分几何的基本概念、定理和方法，以期帮助学生深入理解和掌握微分几何的核心内容。

第一章曲线的参数方程1.1 曲线的描述与参数化1.2 曲线的一阶曲率与二阶曲率1.3 曲线的切线与法平面1.4 曲率半径与主法曲率第二章曲线的弧长与曲率2.1 弧长与速度向量2.2 曲线的弧微分与弯曲度2.3 极坐标下的曲线2.4 曲线的整体性质第三章曲面的参数方程3.1 曲面的定义与参数化3.2 一阶偏导数矩阵与法向量3.3 曲面的切平面与法线3.4 曲面的切向量与法向量场第四章曲面的曲率与法平面4.1 曲面的一阶、二阶曲率与法平面4.2 曲面的主曲率与平均曲率4.3 曲率曲面与渐近线4.4 曲面的高斯曲率与平均曲率第五章曲面的全微分与法线场5.1 曲面的全微分与法线场5.2 一阶可微曲面与隐函数定理5.3 二阶局部特征与带有局部图的曲面5.4 曲面的几何应用第六章曲面的曲线长度与曲率6.1 曲面上的曲线长度与弧微分6.2 曲面上的一阶、二阶曲率6.3 极坐标下的曲面6.4 曲面的整体性质结语：通过本教材的学习，学生将掌握曲线和曲面的参数化、曲率与法平面的概念与计算方法，能够准确描述和分析各种几何对象的形状和性质。

希望本教材能够成为大专高等数学学习者的有效工具，提高他们的数学思维和实际应用能力。

同时，鼓励学生进一步挖掘微分几何在科学研究和实际工作中的应用前景，为建设创新型国家作出贡献。

第一章 曲线论 §2 向量函数5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r= 0 。

分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e的长度固定）。

证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固定方向，则)(t e为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r=λ'λ（e ×e ）=0 。

反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。

当)(t λ= 0时，)(t r=0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e为常向量。

所以，)(t r 具有固定方向。

6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r'r ''r）=0 。

分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r·n= 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。

一、E 3中的曲线论.3))(),(),(()(),(:E t z t y t x t r b a t r ∈=→∈0))('),('),('),('()('≠=t r t z t y t x t r 时，)(t r 称为正则的。

定义弧长：()|'()|,|'()|t s t r t dt r t t ==⎰Remark ：弧长与参数的选择无关（即不依赖于参数的选择）。

事实上，设)(,0)('),('0u t u u t ϕϕϕ=>=。

则()(()),'()(())'()'(),r r u r u dr u r u dudr dt r t u dt duϕϕϕ=====以u 为参数的弧长:)(|)('|)('|)('||)(')('||)('|)(0t s t tdt t r duu uu t r du u u u t r du u u u r u s =⎰=⎰=⎰=⎰=ϕϕ以t 为参数的弧长。

当以弧长为参数时，|,)('|)(s r dsdsds t ds == 即1|)('|=s r 。

设曲线),,()(t sht cht t r =，cht t r cht sht t r 2|)('|),1,,()('==, 显然该曲线不是以弧长为参数。

为研究曲线的弯曲情况，首先介绍曲线的曲率。

对于不同的曲线其弯曲程度可能不同，如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲程度较大。

从直观来看，曲线弯曲程度较大时，其切向量方向的改变也较快，可以用曲线的切向量对弧长的旋转速度来刻划曲线的弯曲程度。

曲线)(s r 以弧长s 为参数， 故 1|)('||)('|=∆+=s s r s r 。

|2sin |2|2sin ||)('|2|)(')('|θθ==-∆+s r s r s s r00|sin ||'()'()|2||||2|sin ||'()'()|2lim lim (|''()|)||||2s s r s s r s s s r s s r s r s s s θθ∆→∆→+∆-⇒=∆∆+∆-==∆∆ k s r =|:)(''|曲率。