深圳大学 随机过程课程教学大纲

1 《随机过程》课程教学大纲

课程编号：02200021

课程名称：随机过程

英文名称：Stochastic Processes

课程类别：选修课

总 学 时：72 讲课学时：68 习题课学时：4

学 分: 4

适用对象：数学与应用数学、信息与计算科学专业

先修课程：数学分析、高等代数、概率论与数理统计

一、课程简介

随机过程是研究客观世界中随机演变过程规律性的学科，它的基本知识和方法不仅为数学、概率统计专业所必需，也为工程技术、生物信息及经济领域的应用和研究所需要。本课程介绍随机过程研究领域的一些基础而重要的知识和技能。

二、课程性质、目的和任务

随机过程是概率论的后续课程，具有比概率理论更加实用的应用方面，处理问题也更加贴近实际情况。通过这门课程的学习，使学生了解随机过程的基本概念，掌握最常见而又有重要应用价值的诸如Poisson过程、更新过程、Markov过程、Brown运动的基本性质，能够处理基本的随机算法。提高学生利用概率理论数学模型解决随机问题的能力。通过本课程的学习，可以让数学专业的学生很方便地转向在金融管理、电子通讯等应用领域的研究。

三、课程基本要求

通过本课程的学习，要求学生掌握随机过程的一般概念，知道常见的几类随机过程的定义、背景和性质；掌握泊松过程的定义与基本性质，了解它的实际背景，熟悉它的若干推广；掌握更新过程的定义与基本性质、更新函数、更新方程，了解更新定理及其应用，知道更新过程的若干推广；掌握离散时间的马尔可夫链的基本概念，熟练掌握转移概率、状态分类与性质，熟悉极限分布、平稳分布与状态空间的分解，了解分枝过程；掌握连续时间的马尔可夫链的定义、柯尔莫哥洛夫方程；掌握布朗运动的定义与基本性质，熟悉随机积分的定义与基本性质，了解扩散过程与伊藤公式，会求解一些简单的随机微分方程。

第一章 随机过程及其分类

在概率论中，我们研究了随机变量，n维随机向量。在极限定理中我们研究了无穷多个随机变量，但只局限在它们之间相互独立的情形。将上述情形加以推广，即研究一族无穷多个、相互有关的随机变量，这就是随机过程。

1． 随机过程的概念

定义：设),,(P是一概率空间，对每一个参数Tt，),(tX是一定义在概率空间),,(P上的随机变量，则称随机变量族});,({TttXXT为该概率空间上的一随机过程。其中RT是一实数集，称为指标集或参数集。

随机过程的两种描述方法：

用映射表示TX，

RTtX:),(

即),(X是一定义在T上的二元单值函数，固定Tt，),(tX是一定义在样本空间上的函数，即为一随机变量；对于固定的，),(X是一个关于参数Tt的函数，通常称为样本函数，或称随机过程的一次实现，所有样本函数的集合确定一随机过程。记号),(tX有时记为)(tX或简记为)(tX。

参数T一般表示时间或空间。常用的参数一般有：（1）},2,1,0{0NT；（2）},2,1,0{T；（3）],[baT，其中a可以取0或，b可以取。当参数取可列集时，一般称随机过程为随机序列。

随机过程});({TttX可能取值的全体所构成的集合称为此随机过程的状态空间，记作S。S中的元素称为状态。状态空间可以由复数、实数或更一般的抽象空间构成。实际应用中，随机过程的状态一般都具有特定的物理意义。

例1：抛掷一枚硬币，样本空间为},{TH，借此定义： 时当出现，时当出现T2H,cos)(tttX ),(t

其中2/1}{}{TPHP，则)},(,)({ttX是一随机过程。试考察其样本函数和状态空间。

例2：设

),(,)cos()(ttAtX

其中A和是正常数，)2,0(~U。试考察其样本函数和状态空间。

随机大纲

课程教学目标

《随机过程理论》是一门专业基础理论课，是为本科生学习现代信号与信息处理理论、现代通信理论、控制理论等提供有关随机过程理论方面的基础理论知识。本课程的主要目的在于使学生熟悉和掌握随机过程的基本概念及分析方法，深入了解随机过程的平稳性和几类重要的随机过程。在学习本课程前，学生需要具备高等数学、信号与系统以及概率论等方面的基本理论。有关随机过程的应用等问题属于控制理论、信号处理、检测与估计理论等，不在本课程讲授范围之内。

教学内容：

1. 课程概述、简史和课程特点

2. 概率

根据随机过程学习的需要，复习概率论中学到的随机事件及其关系、随机事件的概率、条件概率、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式、事件的独立性和独立试验概型。

3. 随机变量

结合随机过程学习的需要，复习随机变量、离散随机变量的概率分布、连续随机变量的概率分布、随机变量的函数及其概率分布、二维随机变量及其分布、边沿分布与条件分布、相互独立的随机变量、随机变量的数字特征（包括数学期望、方差、条件数学期望、矩、协方差矩阵、相关系数）。

4. 随机过程引论

随机过程的定义、平稳随机过程及其性质、时间平均和各态历经性、功率谱密度及其性质、功率谱密度与自相关函数之间的关系、互谱密度及其性质、白噪声过程。

5. 几类重要的随机过程

随机过程的基本分类、二阶距过程、随机过程的复表示、高斯随机过程、独立增量过程（维纳过程和泊松过程）、马尔可夫过程（马尔可夫链和马尔可夫过程）。

6. 随机过程的线性变换

线性变换的基本概念、随机过程的微积分变换、随机过程线性变换的时域和频域分析方法、随机过程通过窄带线性系统、线性系统的随机信号响应、线性系统随机信号响应的谱特性。

基本要求：

应用随机过程课程教学大纲

（Applied Stochastic Processes）

一、课程概况

课程代码：0808014

学 分： 2

学 时： 32（其中：讲授学时32 ，实验学时0 ，上机学时0 ）

先修课程：数学分析、高等代数、概率论等

适用专业： 数据科学与大数据技术

建议教材：《应用随机过程》，张波，人民大学出版社，2014.1

课程归口：理学院

课程的性质与任务：该课程可以使学生能较深刻地理解随机过程的基本理论、思想和方法，并能应用其解决实践中遇到的随机问题，从而提高学生的数学素质，加强学生开展科研工作和解决实际问题的能力。提高学生在建立随机数学模型、分析和解决问题方面的水平和能力，为进一步学习有关课程作好准备。通过本课程的学习使学生掌握随机过程的初步知识，熟悉几个最常见随机过程的定义和基本性质；了解利用随机过程处理随机现象的一些初步方法；重点掌握泊松过程、马尔科夫链、鞅、布朗运动等。

二、课程目标

目标1.掌握本课程基本概念与性质。

目标2. 掌握本课程要求的计算方法。

目标3. 培养学生的抽象概括、逻辑推理等能力。

目标4. 培养学生具有一定的运算能力。

目标5. 培养学生数学思维与分析能力。

本课程支撑专业人才培养方案中毕业要求4-1（占该指标点达成度的7%）、毕业要求5-3（占该指标点达成度的7%），对应关系如表所示。

毕业要求

指标点 课程目标

目标1 目标2 目标3 目标4 目标5

毕业要求4-1 √ √ √

毕业要求5-3 √ √ √

三、课程内容及要求

（一）预备知识

1．教学内容

（1）概率空间

（2）随机变量与分布函数

（3）数字特征、矩母函数与特征函数

（4）收敛性

（5）独立性与条件期望

2．教学要求

（1）熟练掌握随机变量分布函数的概念与性质

（2）会利用矩母函数与特征函数解决相关问题