高等代数【北大版】多项式1.1

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第一章 多项式

§1.1一元多项式的定义和运算

1．设),(xf)(xg和)(xh是实数域上的多项式．证明：若是

(6) 222)()()(xxhxxgxf，

那么.0)()()(xhxgxf

2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式)(),(xgxf和).(xh

3．证明：

!))...(1()1(!)1)...(1()1(!2)1(1nnxxnnxxxxxxnn

§1.2 多项式的整除性

1．求)(xf被)(xg除所得的商式和余式：

( i ) ;13)(,14)(234xxxgxxxf

(ii) ;23)(,13)(3235xxxgxxxxf

2．证明：kxfx)(|必要且只要).(|xfx

3．令xgxgxfxf2121,,),(都是数域F上的多项式，其中01xf且.|,|112121xgxfxfxfxgxg证明：.|22xfxg

4．实数qpm,,满足什么条件时多项式12mxx能够整除多项式.4qpxx

5．设F是一个数域，.Fa证明：ax整除.nnax

6．考虑有理数域上多项式

,121211nknknkxxxxxxf

这里k和n都是非负整数．证明：

.11|1nk1xxfxxk

7．证明：1dx整除1nx必要且只要d整除.n

§1.3 多项式的最大公因式 2 / 47 1. 计算以下各组多项式的最大公因式：

( i ) ;32103,34323234xxxxgxxxxxf

(ii) .1)21(,1)21()42()22(2234ixixxgixixixixxf

2. 设.,11xgxdxgxfxdxf证明：若,),(xdxgxf且xf和xg不全为零，则;1),(11xgxf反之，若,1),(11xgxf则xd是xf与xg的一个最大公因式．

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第一章

多项式

0时，代入 2)可得q

2pm 1. 用 g(x)除 f (x), 求商q(x)与余式r(x):

1) f (x) x3 3x* 2 2 x 1, g(x) 3x 2x

2) f(x) x4 2x 5,g(x) x2

1

1)由带余除法，可得q(x)亍 討(X) 26 x 9

2

同理可得q(x) x x 1, r(x) 5x 7。

1) 2 x mx 1| x3 px q,

2) 2

..4 2

x mx 1 | x px q 。

解 1) 由假设, 所得余式为 0, 即(p

所以当 p 1 2 m 时有x 2 mx

q m 0

m(2 p m2) 0 2)

m, p,q适合什么条件时，有 2.

1 |x

q 1 p 2 ，于是当 m2 0 1 m2 )x (q m) 0,

px

m 0时，代入( 2)可得

综上所诉，当 时，皆有x2 mx 1|x4 px2 q。

1) f(x) 2x5 5x3 8x, g(x) x 3 ;

2) f (x) x3 x 2 x, g(x) x 1 2i。

1) q(x) 2x4 6x3 1 13x2 39x 109

r(x) 327

q(x) )x2 2ix (5 2i) o

r(x) 9 8i 求g(x)除f (x)的商q(x)与余式:

解

2)

把f (x)表示成x Xo的方幕和，即表成 3.

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Co C|(X Xo) C2(X Xo)2 ... Cn(X X。)" L 的形式:

5

1) f (X) X , Xo 1 ；

2) f (X) x4 2X2 3,Xo 2 ；

3) 4 3 f (X) X 2ix (1 i)x2 3X 7 i,Xo i o

解 1)由综合除法，可得 f(x) 1 5(X 1) 10(x 2 1) 10(x 1)3 5(X 1)4 (X 1)5 ；

高等代数多项式求有理根

摘要：

1.高等代数多项式的基本概念

2.有理根的定义和性质

3.求有理根的方法

4.实例分析

5.总结与拓展

正文：

一、高等代数多项式的基本概念

高等代数中的多项式是指一个或多个变量的有理函数，它可以表示为：f(x)

= a0 + a1x + a2x^2 + ...+ anx^n，其中a0、a1、a2...an为常数，n为多项式的次数。多项式在数学、物理等领域具有广泛的应用。

二、有理根的定义和性质

1.有理根的定义：若多项式f(x) = a0x^n + a1x^(n-1) + ...+ an-1x + an在有理数域上有根，则称该根为有理根。

2.有理根的性质：

（1）有理根一定是多项式f(x)的根；

（2）有理根可以是多项式f(x)的重根；

（3）有理根可能重复出现，也可能不重复出现。

三、求有理根的方法

1.因式分解法：将多项式f(x)进行因式分解，然后判断每个因式在有理数域上的根。

2.综合除法：利用综合除法将多项式f(x)除以x-m（m为有理数），若余数为0，则m为有理根。

3.韦达定理：若多项式f(x)的两个根为α、β，则有α + β = -a1/a0，αβ

= a1/a0。根据此公式可求得有理根。

4.数值方法：利用数值方法（如牛顿法）求解多项式的根，然后判断是否为有理根。

四、实例分析

以多项式f(x) = x^3 - 6x + 9为例，求其有理根。

1.因式分解：f(x) = (x - 1)(x^2 + x + 9)

2.判断有理根：x - 1 = 0，得到x = 1，为有理根。

五、总结与拓展

求高等代数多项式的有理根，需要掌握多项式的基本概念、有理根的定义和性质，以及求解有理根的方法。在实际求解过程中，可以根据多项式的特点和实际需求，灵活选用合适的方法。

第二章 多项式

1． 设f(x)，g(x)和h(x)是实数域上的多项式．证明：若f(x)2 = x g(x)2+x h(x)2，那么 f(x) =

g(x) = h(x) = 0．

1． 求f(x)被g(x)除所得的商式和余式：

(i) 14)(24xxxf,13)(2xxxg

(ii) 13)(235xxxxf,23)(3xxxg

证明：kxfx)(|必要且只要)(|xfx

2． 令)(),(),(,)(2121xgxgxfxf都是数域F上的多项式，其中0)(1xf且)()(21xgxg|)()(21xfxf，)(1xf|)(1xg．证明：)(2xg|)(2xf．

3． 实数m, p , q满足什么条件时多项式12mxx能够整除多项式qpxx4？

、

4． 设F是一个数域，Fa．证明：ax整除nnax．

5． 考虑有理数域上多项式 1)1)(2()1()(nknkxxxxf

nkxx)1()2(，这里n和k都是非负整数．证明：1kx|1)1()()1(nkxxfx．

6． 证明：1dx整除1nx必要且只要d整除n

1． 计算以下各组多项式的最大公因式：

(i)32103)(,343)(23234xxxxgxxxxxf； (ii) ixixixixxf1)21()42()22()(234；

ixixxg1)21()(2．

2． 设)()()(1xfxdxf，)()()(1xgxdxg．证明：若)())(),((xdxgxf，且)(xf和)(xg不全为零，则1))(),((xgxf，反之，若1))(),((xgxf，则)(xd是)(xf与)(xg的一个最大公因式．

从而可知)(x|)(xf，)(x|)(xg．既)(x是)(xf、)(xg的一个公因式，所以)(x|)(xd．由定义知))(),(()(11xgxfxd．