高考讲坛届高考数学一轮复习第4章第1节平面向量的概念及线性运算课后限时自测理苏教版【含答案】

第1讲 平面向量及其线性运算1．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．52．(2014年新课标Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.AD →B.12AD →C.BC →D.12BC →3．已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则( ) A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上4．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c 5．如图X4­1­1所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )图X4­1­1A.FO →B.OG →C.OH →D.EO →6．设点M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，点O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝( )A.OM → B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM →7．P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λPA →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( ) A ．△ABC 内部 B ．AC 边所在直线上C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上8．(2015年新课标Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.9．(2017年湖南长沙长郡中学统测)如图X4­1­2，在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN→＝12NC →，P 是BN 上一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为________．图X4­1­210．向量e 1，e 2不共线，AB →＝3(e 1＋e 2)，CB →＝e 2－e 1，CD →＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线．其中所有正确结论的序号为__________．11．设两个非零向量e 1和e 2不共线 ．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A ，C ，D 三点共线；(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－k e 2，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值．12．如图X4­1­3，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于点F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，求数对(x ，y )的值．图X4­1­3第1讲 平面向量及其线性运算1．B 解析：由MA →＋MB →＋MC →＝0可知，点M 为△ABC 的重心，故AM →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB→＋AC →)．所以AB →＋AC →＝3AM →，即m ＝3.2．A 解析：设AB →＝a ，AC →＝b ，则EB →＝－12b ＋a ，FC →＝－12a ＋b ，从而EB →＋FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12b ＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋b ＝12(a ＋b )＝AD →.故选A. 3．B 解析：因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →.所以点P 在线段AB 的反向延长线上．故选B.4．A 解析：∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →)．∴3AD →＝2AC →＋AB →.∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .5．A 解析：如图D108，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形，OP →＋OQ →＝OA →＝FO →.图D1086．D 解析：如图D109，∵点M 为AC ，BD 的中点，∴OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →.∴OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OM →.图D1097．B 解析：∵CB →＝PB →－PC →，CB →＝λPA →＋PB →， ∴PB →－PC →＝λPA →＋PB →.∴－PC →＝λPA →. ∴PC →∥PA →，即PC →与PA →共线．∴点P 一定在AC 边所在直线上．故选B.8.12 解析：因为向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以λa ＋b ＝k (a ＋2b )．则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，1＝2k .所以λ＝12.9.13 解析：由AN →＝12NC →，知N 是AC 的三等分点． ∵AP →＝mAB →＋29AC →＝mAB →＋23AN →，∵B ，P ，N 三点共线，∴m ＋23＝1，即m ＝13.10．④ 解析：由AC →＝AB →－CB →＝4e 1＋2e 2＝2CD →，且AB →与CB →不共线，可得A ，C ，D 共线，且B 不在此直线上．11．(1)证明：∵AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，∴AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2＝－12(－8e 1－2e 2)＝－12C D →.∴AC →与CD →共线．∵AC →与CD →有公共点C ，∴A ，C ，D 三点共线．(2)解：AC →＝AB →＋BC →＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2.∵A ，C ，D 三点共线，∴AC →与CD →共线．从而存在实数λ使得AC →＝λCD →， 即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk .解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，k ＝43.12．解：方法一，令BF →＝λBE →，由题意知，AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →－AB →＝(1－λ)AB →＋12λAC →.同理，令CF →＝μCD →，则AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋μCD →＝AC →＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－AC →＝12μAB →＋(1－μ)AC →.∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝12μ，12λ＝1－μ.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23.∴AF →＝13AB →＋13AC →.故⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13为所求．方法二，设CF →＝λCD →，∵E ，D 分别为AC ，AB 的中点，∴BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋12b ，BF →＝BC →＋CF →＝(b －a )＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ－1a ＋(1－λ)b . ∵BE →与BF →共线，a ，b 不共线， ∴12λ－1－1＝1－λ12.∴λ＝23.∴AF →＝AC →＋CF →＝b ＋23CD →＝b ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －b ＝13a ＋13b . 故x ＝13，y ＝13.则⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13即为所求．。

第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及线性运算[考纲传真] 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . [常用结论]1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)． 3.OA →＝xOB →＋yOC →(x ，y 为实数)，若点A ，B ，C 共线，则x ＋y ＝1. 4．△ABC 中，P A →＋PB →＋PC →＝0⇔点P 为△ABC 的重心．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(3)a ∥b 是a ＝λb (λ∈R )的充要条件．( )(4)△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)． ( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则下列结论错误的是( )A.EF →＝CD →B.AB →与DE →共线C.BD →与CD →是相反向量D.AE →＝12|AC →|D [选项D 中，AE →＝12AC →，故D 错误．]3．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [由a ＋b ＝0得a ＝－b ，根据向量共线定理知a ∥b ，但a ∥b D ⇒/a ＋b ＝0，故选A.] 4．(教材改编)如图，▱ABCD 的对角线交于M ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示MD →为( )A.12a ＋12bB.12a －12b C ．－12a －12bD ．－12a ＋12bD [MD →＝12BD →＝12⎝⎛⎭⎫AD →－AB →＝12()b －a ＝－12a ＋12b ，故选D.]5．(教材改编)化简：(1)(AB →＋MB →)＋BO →＋OM →＝________. (2)NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝________.(1)AB → (2)0 [(1)原式＝AB →＋BO →＋OM →＋MB →＝AB →. (2)原式＝NP →＋PN →＝0.]1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则ABCD 为平行四边形； ③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；④已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4A [①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②是正确的，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形．③是错误的，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．④是错误的，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．] 2．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a|a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3D [向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a|a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.]【例1】 (1)在四边形ABCD 中，BC →＝AD →，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，则( )A.AF →＝13AC →＋23BD →B.AF →＝23AC →＋13BD →C.AF →＝14AC →＋23BD →D.AF →＝23AC →＋14BD →(2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1、λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．(1)B (2)12 [(1)在四边形ABCD 中，如图所示，因为BC →＝AD →，所以四边形ABCD 为平行四边形．由已知得DE →＝13EB →，由题意知△DEF ∽△BEA ，则DF →＝13AB →，所以CF →＝23CD →＝23⎝⎛⎭⎫OD →－OC →＝23×BD →－AC →2＝BD →－AC →3，所以AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋BD →－AC →3＝23AC →＋13BD →，故选B.(2)DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.](1)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ＝3CD ，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →(2)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.(1)A (2)12 －16 [(1)因为BC →＝3CD →，所以CD →＝13BC →，所以AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →.故选A.(2)由题中条件得，MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →＝xAB →＋yAC →，所以x ＝12，y ＝－16.]【例2】 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[解] (1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →，BD →共线，又∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 和a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b ，∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a ，b 是两个不共线的非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.(1)已知向量AB ＝a ＋3b ，BC ＝5a ＋3b ，CD ＝－3a ＋3b ，则( )A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线(2)(2019·黄山模拟)已知向量a ，b 是两个不共线的向量，若向量m ＝4a ＋b 与n ＝a －λb 共线，则实数λ的值为( )A ．－4B ．－14C.14D ．4(1)B (2)B [(1)∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →，∴BD →，AB →共线，又有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．故选B.(2)由题意知m ＝k n ，即4a ＋b ＝k (a －λb )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4，－kλ＝1，解得⎩⎨⎧k ＝4，λ＝－14，故选B.]1．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( )A.34AB →－14AC →B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC →A [由题可得EB →＝EA →＋AB →＝－14(AB →＋AC →)＋AB →＝34AB →－14AC →，故选A.]2．(2014·全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.BC →B.12AD →C.AD →D.12BC →C [如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →) ＝12·2AD →＝AD →.]3．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________. 12[∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )， 即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.]。

D.垂心
解析：作∠BAC 的平分线 AD. ∵O→P＝O→A＋λ|AA→→BB|＋|AA→ →CC|， ∴A→P＝λ|AA→→BB|＋|AA→ →CC|＝λ′·|AA→ →DD|[λ′∈[0，＋∞)]. ∴A→P＝|λA→′D|·A→D.∴A，P，D 三点共线. ∴点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心.
向量 定义
运算
法则(或几何意义)
运算律
求 a 与 b 的相反向 减法 量－b 的和的运算
叫做 a 与 b 的差
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
(1)|λa|＝___|λ_||_a_| __；(2)当
求实数 λ 与向量 a λ>0 时，λa 的方向与 a 的 λ(μa)＝__λ_μ_a___；
数乘
方向相同；当 λ<0 时，λa (λ＋μ)a＝λa＋μa；
零向量与任一向量平 行或共线
记作a＝b
第三页，共三十九页。
2.向量(xiàngliàng)的线性运算
向量 运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
求两个向量和的 加法
运算
三角形法则 平行四边形法则
(1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c ＝a＋(b＋c)
第四页，共三十九页。
(续表)
第二十页，共三十九页。
【规律方法】(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，
但应注意向量共线与三点共线的区别与联系(liánxì)，当两向量共线且
有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量 a，b 共线是指存在不 全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立；若λ1a＋λ2b＝0，当 且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线.

【创新大课堂】（新课标）2016高考数学一轮总复习 第四章 第1节平面向量的概念及线性运算练习一、选择题1．已知P ，A ，B ，C 是平面内四点，且PA →＋PB →＋PC →＝AC →，，那么一定有( ) A.PB →＝2CP →B.CP →＝2PB →C.AP →＝2PB →D.PB →＝2AP →[解析] ∵PA →＋PB →＋PC →＝AC →，∴PA →＋PB →＝AC →－PC →＝AC →＋CP →＝AP →，∴PB →＝2AP →，故选D. [答案] D2．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，E 为BC 的中点，则AE →等于( )A.23AB →＋12AD →B.12AB →＋23AD →C.56AB →＋13AD →D.13AB →＋56AD → [解析] BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝23AB →＋AD →，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12(AD →－23AB →)＝23AB →＋12AD →.故选A 。

[答案] A 3．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． ③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零． 其中错误的命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．0[解析] ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.故选B. [答案] B4．设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．|a |＝|b |且a ∥bB ．a ＝－bC ．a ∥bD ．a ＝2b[解析] ∵a |a |表示与a 同向的单位向量，b|b |表示与b 同向的单位向量，∴a 与b 必须方向相同才能满足a |a |＝b|b |.故选D. [答案] D5．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向[解析] 由题意可设c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )，(λ－k )a ＝(λ＋1)b .∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－k ＝0，λ＋1＝0.∴k ＝λ＝－1.∴c 与d 反向．故选D. [答案] D6．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D[解析] AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3AB →.因为AB →与AD →有公共点A ，所以A 、B 、D 三点共线．故选A. [答案] A7．(2015·山师大附中模拟)已知平面内一点P 及△ABC ，若PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的位置关系是( )A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段BC 上 C ．点P 在线段AC 上D ．点P 在△ABC 外部[解析] 由PA →＋PB →＋PC →＝AB →得PA →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，即PC →＝AP →－PA →＝2AP →，所以点P 在线段AC 上，选C.[答案] C8．(2015·福建福州质检)在△ABC 中，AD →＝2 DC →，BA →＝a ，BD →＝b ，BC →＝c ，则下列等式成立的是( )A ．c ＝2b －aB ．c ＝2a －bC ．c ＝3a 2－b 2D ．c ＝3b 2－a 2[解析] 在△ABC 中，AD →＝2 DC →，BA →＝a ，BD →＝b ，BC →＝c ，如图所示，BC →＝BD →＋DC →＝BD →＋12AD →＝BD →＋12(AB →＋BD →)＝32BD →＋12AB →＝32b －a 2.故选D.[答案] D9．(2015·“江南十校”联考)如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ，若AB ＝4，且AD →＝14AC →＋λAB →(λ∈R )，则AD 的长为( )A ．2 3B ．3 3C ．4 3D ．5 3[解析] 因为B ，D ，C 三点共线，所以有14＋λ＝1，解得λ＝34，如图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN →＝14AC →， AM →＝34AB →，经计算得AN ＝AM ＝3，AD ＝3 3.[答案] B10．(2015·大连双基测试)设O 在△ABC 的内部，且有OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则△ABC 的面积和△AOC 的面积之比为( )A ．3 B.53 C ．2D.32[解析] 设AC ，BC 的中点分别为M ，N ，则已知条件可化为(OA →＋OC →)＋2(OB →＋OC →)＝0，即OM →＋2ON →＝0，所以OM →＝－2ON →，说明M ，O ，N 共线，即O 为中位线MN 上的靠近N 的三等分点，S △AOC ＝23S △ANC ＝23·12S △ABC ＝13S △ABC ，所以S △ABCS △AOC＝3.[答案] A11．(2015·浙江温州期末联考)已知O 是△ABC 所在平面内的一点，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a OA →＋b OB →＋c OC →＝0，则O 是△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心[解析] ∵OB →＝AB →－AO →，OC →＝AC →－AO →，∴a OA →＋b OB →＋c OC →＝a OA →＋b (AB →－AO →)＋c (AC →－AO →)＝b AB →＋c AC →－(a ＋b ＋c )AO →，而a OA →＋b OB →＋c OC →＝0，∴(a ＋b ＋c )AO →＝b AB →＋c AC →，即AO →＝b a ＋b ＋c AB →＋c a ＋b ＋cAC →，记AB →＝c n 1，AC →＝b n 2，其中n 1，n 2分别表示AB →，AC →方向上的单位向量，则AO →＝bca ＋b ＋c(n 1＋n 2)，由该式可以看出AO 平分∠BAC ，故O 为内心．故选A.[答案] A12．(2015·福建高考)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM → B ．2OM → C ．3OM →D ．4OM →[解析] 如图所示，因为M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以M 是AC 与BD 的中点，即MA →＝－MC →，MB →＝－MD →.在△OAC 中，OA →＋OC →＝(OM →＋MA →)＋(OM →＋MC →)＝2OM →.在△OBD 中，OB →＋OD →＝(OM →＋MB →)＋(OM →＋MD →)＝2OM →， 所以OA →＋OC →＋OB →＋OD →＝4OM →，故选D. [答案] D 二、填空题13．在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14 AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝________.(用e 1，e 2表示)[解析] 如图所示，MN →＝CN →－CM →＝CN →＋2 BM →＝CN →＋23BC →＝－14e 2＋23(e 2－e 1)＝－23e 1＋512e 2.[答案] －23e 1＋512e 214．已知D 、E 、F 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确命题的序号为________.[解析] BC →＝a ，CA →＝b ，AD →＝12CB →＋AC →＝－12a －b ，BE →＝BC →＋12CA →＝a ＋12b ，CF →＝12(CB →＋CA →)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，∴AD →＋BE →＋CF →＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0. ∴正确命题为②③④. [答案] ②③④15．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.[解析] 由图知CD →＝CA →＋AD →，①CD →＝CB →＋BD →，②且AD →＋2BD →＝0.①＋②×2得：3CD →＝CA →＋2CB →， ∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.[答案] 2316．如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．[解析] ∵O 是BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)．又∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →.∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1.则m ＋n ＝2.[答案] 2。