2019高考数学真题汇编平面向量

专题07平面向量1．【2019年高考全国I卷理数】已知非零向量a，b满足|a |2|b|，且(a b)b，则a与b的夹角为A．C．π62π3B．D．π35π62．【2019年高考全国II A．−3C．2卷理数】已知AB=(2,3)，AC=(3，t)，BCB．−2D．3=1，则AB BC=3．【2019年高考北京卷理数】设点A，B，C不共线，则“AB 与AC的夹角为锐角”是“|AB AC ||B C|”的A．充分而不必要条件C．充分必要条件B．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件4．【2019年高考全国I II卷理数】已知a，b为单位向量，且a·b=0，若c 2a 5b，则cos,a c ___________. 5．【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD中，AD∥BC,AB 23,AD 5,A 30，点E 在线段CB的延长线上，且AE BE，则BD AE _____________．6．【2019年高考江苏卷】如图，△在ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.若AB AC 6A O EC，则ABAC的值是_____.7．【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD的边长为1，当每个i(i 1,2,3,4,5,6)取遍时，|AB BC CD DA AC BD|123456的最小值是________；最大值是_______.8．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)数学试题】在矩形ABCDuu r中，AB=4,AD 2．若点M，N分别是CD，BC的中点，则AM MN A．4B．31C．2D．19．【福建省漳州市2019届高三下学期第二次教学质量监测数学试题】已知向量a，b(a b)(2a b)且a与b的夹角为，则6满足|a|1，|b|3，A．12B．32C．12D．3210．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学试题】已知向量a (1,2)，b (2,3)，c (4,5)，若(a b)c，则实数A．12B．12C．2D．211．【2019 届北京市通州区三模数学试题】设a，b均为单位向量，则“a与b夹角为的2π”是“|a b|3”3A．充分而不必要条件C．充分必要条件B．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件12．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试数学（二)】在△ABC中，AB AC 2A D，AE DE 0，若EB xAB y AC，则A．C．y 3xy 3xB．D．x 3yx 3y13．【2019年辽宁省大连市高三5月双基考试数学试题】已知直线y=x+m和圆x +y=1交于A、B两点，O为坐标原点，若AO AB 32，则实数m=A．1B．3 2C．22D．1214．【天津市和平区2018-2019学年度第二学期高三年级第三次质量调查数学试题】已知菱形ABCD的边长为2，BAD 120，点E，F分别在边BC，DC上，BC 3BE，DC DF，若AE AF 1，222则 的值为A ．3B ．2 5 3C ．D ．2215．【江西省新八校 2019 届高三第二次联考数学试题】在矩形ABCD中，AB3, AD 4,AC与 BD 相交于点O，过点 A作 AEB D ，垂足为 E ，则 AE ECA ．C ．72 5 12 5B ．D ．144 2512 2516．【湖师范大学附属中学 2019 届高三数学试题】如图所示，在正方形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，F 为CE 的中点，则 AFA ．3 1ABAD 4 4B ．1 3AB AD4 4C ． 1 2ABAD D ． 3 1AB AD4 217．【2019 年北京市高考数学试卷】已知向量a =（－4，3），b =（6，m ），且 a b ，则 m =__________.18．【山东省烟台市 2019 届高三 3 月诊断性测试（一模)数学试题】已知圆x 2y 2 4 x 5 0的弦 AB 的中点为 ，直线 AB 交 轴于点 P ，则 PA PB的值为__________.3(1,1) x。

专题11 平面向量1．【2019年高考全国I 卷理数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3 C ．2π3D ．5π62．【2019年高考全国II 卷理数】已知AB u u u r=(2,3)，AC uuu r =(3，t )，BC uuu r =1，则AB BC ⋅u u u r u u u r =A ．−3B ．−2C ．2D ．33．【2019年高考北京卷理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB u u u r与AC uuu r 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．【2018年高考全国I 卷理数】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u rA ．3144AB AC -u u ur u u u rB ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r5．【2018年高考全国II 卷理数】已知向量，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．06．（2018年高考浙江卷）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是A 1B C．2D ．27．【2018年高考天津卷理数】如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,AB BC AD CD BAD ⊥⊥∠=o1,AB AD ==若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅u u u r u u u r的最小值为A ．2116 B ．32C ．2516D ．38．【2018年高考北京卷理数】设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．【2017年高考全国III 卷理数】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的最大值为A ．3B ．CD ．210．【2017年高考全国II 卷理数】已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-11．【2017年高考北京卷理数】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．【2019年高考全国III 卷理数】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=-c a ，则cos ,=a c ___________.13．【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=u u u r u u u r___________．14．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABAC的值是___________．15．【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值是___________；最大值是___________．16．【2018年高考全国III 卷理数】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=___________． 17．【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =u u u r ，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为___________．18．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r，则点A 的横坐标为___________．19．【2017年高考全国I 卷理数】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________．20．【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC uuu r 的模分别为1，1，OA u u u r 与OCuuu r 的夹角为α，且tan α=7，OB uuu r 与OC uuu r 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R ，则m n +=___________．21．【2017年高考天津卷理】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =u u u r u u u r ，AE AC λ=-u u u r u u u r()AB λ∈R u u u r ，且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r，则λ的值为___________．22．【2017年高考山东卷理数】已知12,e e与的夹角为60︒，则实数的值是___________．12-e 12λ+e e λ23．【2017年高考浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________．。

2019年高考数学试题分项版——平面向量（原卷版）一、选择题1．(2019·全国Ⅰ文，8)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A. B. C. D.2．(2019·全国Ⅱ文，3)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|等于()A.B．2 C．5D．503．(2019·全国Ⅰ理，7)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A. B. C. D.4．(2019·全国Ⅱ理，3)已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·等于() A．－3 B．－2 C．2 D．35．(2019·北京理，7)设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“||||+>”AB AC BC 的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题1．(2019·全国Ⅲ文，13)已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos〈a，b〉＝________. 2．(2019·北京文，9)已知向量a＝(－4,3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m＝________. 3．(2019·浙江，17)已知正方形ABCD的边长为1.当每个λi(i＝1,2,3,4,5,6)取遍±1时，|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|的最小值是________，最大值是________．4.(2019·江苏，12)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O.若·＝6·，则的值是_________．5．(2019·全国Ⅲ理，13)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________.6．(2019·天津理，14)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________.。

专题03 平面向量【母题来源一】【2019年高考全国II 卷理数】已知AB u u u r =(2,3)，AC u u u r =(3，t )，BC uuu r =1，则AB BC ⋅u u u r u u u r =A ．−3B ．−2C ．2D ．3【答案】C【母题来源二】【2018年高考全国II 卷理数】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．0【答案】B【母题来源三】【2017年高考全国II 卷理数】已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r 的最小值是A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-【答案】B【命题意图】高考对本部分内容的考查以运算求解和数形结合为主,重点考查平面向量数量积定义和坐标运算以及相关的参数取值问题.【命题规律】主要以选择或者填空的形式，考查平面向量数量积的定义、转化法、坐标运算等内容．【答题模板】解答本类题目,以2017年高考真题为例,一般考虑如下三步：第一步：根据已知条件建立平面直角坐标系第二步：用坐标表示向量；第三步：利用坐标表示平面数量积进而求范围．【方法总结】（一）平面向量的概念及线性运算1. 解决向量的概念问题应关注六点：（1）正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.（2）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.（3）共线向量即平行向量，它们均与起点无关.相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量.（4）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.（5）非零向量a 与||a a 的关系：||a a 是a 方向上的单位向量. （6）向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小.2. 平面向量线性运算问题的求解策略.（1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来.（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用.（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.3. 共线向量定理的应用（1）证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a =λb ，则a 与b 共线.（2）证明三点共线：若存在实数λ，使AB u u u r =λAC u u u r ，则A ，B ，C 三点共线.（3）求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值.（4）对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O ，OA u u u r 、OB uuu r 不共线，满足OP uuu r =x OA u u u r ＋y OB uuu r （x ，y ∈R ），则P 、A 、B 共线⇔x ＋y =1.（二）平面向量基本定理及坐标表示1. 对平面向量基本定理的理解（1）平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.（2）平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.（3）用平面向量基本定理可将任一向量分解成形如a =λ1e 1＋λ2e 2的形式，是向量线性运算知识的延伸.2. 平面向量共线的坐标表示（1）两向量平行的充要条件若a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），其中b ≠0，则a ∥b 的充要条件是a =λb ，这与x 1y 2－x 2y 1=0在本质上是没有差异的，只是形式上不同.（2）三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定.（三）平面向量的数量积1. 计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.2. 求向量模的常用方法：利用公式|a |2=a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.3. 利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.4. 在解题时，注意数形结合、方程思想及转化与化归数学思想的运用.（四）平面向量的应用1. 向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量与函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.2. 以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.3. 向量的两个作用：（1）载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；（2）工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.4. 向量中有关最值问题的求解思路：一是“形化”，利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题；二是“数化”，利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题.1．【陕西省2019年高三第三次教学质量检测数学试题】若向量(1,1)=a ，(1,3)=-b ，(2,)x =c 满足(3)10+⋅=a b c ，则x =A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A2．【重庆南开中学2019届高三第四次教学检测考试数学试题】已知O 为V ABC 内一点且满足OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，若AOC △2AB BC ⋅=-u u u r u u u r ，则ABC ∠= A ．3π B ．4π C ．6π D ．12π 【答案】A3．【西南名校联盟重庆市第八中学2019届高三5月高考适应性月考卷（六)数学试题】向量(2,1), (1,1), (, 2)k ==-=a b c ，若()-⊥a b c ，则k 的值是A ．4B ．-4C ．2D ．-2 【答案】B4．【四川省宜宾市2019届高三第二次诊断性考试数学试题】等比数列{}n a 的各项均为正数，已知向量()45,a a =a ，()76,a a =b ，且4⋅=a b ，则2122210log log log a a a ++⋯+=A ．12B ．10C ．5D ．22log 5+ 【答案】C5．【东北师大附中、重庆一中、吉大附中、长春十一中等2019届高三联合模拟考试数学试题】已知平面向量a ,b 的夹角为3π，且2=a ，1=b ，则2-=a b A ．4B ．2C ．1D ．166．【辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟考试数学试题】已知P 为等边三角形ABC 所在平面内的一个动点，满足()BP BC R λλ=∈u u u r u u u r ，若2AB =u u u r ，则()AP AB AC u u u v u u u v u u u v ⋅+=A ．B ．3C ．6D ．与λ有关的数值【答案】C7．【甘、青、宁2019届高三5月联考数学试题】在ABC △中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD DC λ=u u u r u u u r ，13CE AB AC μ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+= A ．13 B ．13- C ．76 D ．76- 【答案】B8．【黑龙江省大庆市实验中学2019届高三下学期数学二模考试数学试题】在矩形ABCD 中，AB =，2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在CD ，若AB AF ⋅=u u u r u u u r AE BF ⋅u u u r u u u r 的值为AB ．2C ．0D ．1【答案】A 9．【宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期第二次模拟考试数学试题】已知向量()1,1=a ，()2,x =b ，若()-∥a a b ，则实数x 的值为A ．2-B ．0C ．1D ．2【答案】D10．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学试题】已知非零向量a ,b 的夹角为60o ,且满足22-=a b ,则⋅a b 的最大值为A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B11．【新疆维吾尔自治区2019年普通高考第二次适应性检测数学】O 是ABC △的外接圆圆心，且OA AB AC ++=0u u u r u u u r u u u r ，1OA AB ==u u u r u u u r ，则CA u u u r 在BC uuu r 方向上的投影为A ．12-B ．C ．12D 【答案】B12．【内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试（一)数学试题】已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=u u u r u u u rA ．4B ．6C ．D ．【答案】B13．【内蒙古2019届高三高考一模试卷数学试题】已知单位向量a ，b 的夹角为3π4，若向量2=m a ，4λ=-n a b ，且⊥m n ，则=nA ．2-B ．2C ．4D ．6 【答案】C。

专题11 平面向量1．【2019年高考全国I 卷文数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ． 【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．2．【2019年高考全国II 卷文数】已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a -b |= A ．2 B ．2 C ．52D ．50【答案】A【解析】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)-=-=-a b ， 所以22||(1)12-=-+=a b ， 故选A.【名师点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．3．【2018年高考全国I 卷文数】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A.【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 4．【2018年高考全国II 卷文数】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【答案】B【解析】因为()()22222||1213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a 所以选B.【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.5．【2018年高考浙江卷】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是 A ．3−1 B ．3+1 C ．2 D ．2−3【答案】A 【解析】设，则由得，由b 2−4e ·b +3=0得因此|a −b |的最小值为圆心到直线的距离23=32减去半径1，为选A.【名师点睛】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题，考查数形结合思想，考查考生的选算求解能力以及分析问题和解决问题的能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.6．【2018年高考天津卷文数】在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为A ．15-B ．9-C ．6-D ．0【答案】C【解析】如图所示，连结MN ，由 可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C 选项.【名师点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 7．【2017年高考全国II 卷文数】设非零向量a ，b 满足+=-a b a b ，则 A ．a ⊥b B ．=a b C ．a ∥bD ．>a b【答案】A【解析】由向量加法与减法的几何意义可知，以非零向量a ，b 的模长为边长的平行四边形是矩形，从而可得a ⊥b .故选A.【名师点睛】本题主要考查向量的数量积与向量的垂直.8．【2017年高考北京卷文数】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0λ∃<，使λ=m n ，则两向量,m n 反向，夹角是180︒，那么cos180⋅=︒=m n m n0-<m n ；若0⋅<m n ，那么两向量的夹角为(]90,180︒︒，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分而不必要条件，故选A.【名师点睛】本题考查平面向量的线性运算，及充分必要条件的判断，属于容易题.9．【2019年高考北京卷文数】已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________．【答案】8【解析】向量(4,3),(6,)m =-=⊥，，a b a b 则046308m m ⋅=-⨯+==，，a b . 【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.10．【2019年高考全国III 卷文数】已知向量(2,2),(8,6)==-a b ，则cos ,=a b ___________.【答案】210-【解析】()222228262cos ,||||1022(8)6⨯-+⨯⋅===-⋅+⨯-+a b a b a b ． 【名师点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键．11．【2019年高考天津卷文数】在四边形ABCD 中，,23,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________．【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，23,5,AB AD ==则(23,0)B ，535(,)22D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒， 所以直线BE 的斜率为33，其方程为3(23)3y x =-， 直线AE 的斜率为33-，其方程为33y x =-. 由3(23),333y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得3x =，1y =-， 所以(3,1)E -.所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-.【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.12．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.【答案】3.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-， ()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭， 得2213,22AB AC =即3,AB AC =故3AB AC= 【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.13．【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.【答案】0；25.【解析】以, AB AD 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图.则(1,0),(0,1),(1,0),(0,1),(1,1),(1,1)AB BC CD DA AC BD ===-=-==-, 令()()2212345613562456y AB BC CD DA AC BD λλλλλλλλλλλλλλ=+++++=-+-+-++≥00.又因为(1,2,3,4,5,6)i i λ=可取遍1±，所以当1345621,1λλλλλλ======-时，有最小值min 0y =. 因为()135λλλ-+和()245λλλ-+的取值不相关，61λ=或61λ=-， 所以当()135λλλ-+和()245λλλ-+分别取得最大值时，y 有最大值，所以当1256341,1λλλλλλ======-时，有最大值22max 242025y =+==. 故答案为0；25.【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.14．【2018年高考全国III 卷文数】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．【答案】12【解析】由题可得()24,2+=a b ，()2∥c a +b ，()=1,λc ，420λ∴-=，即12λ=，故答案为12. 【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题.解题时，由两向量共线的坐标关系计算即可.15．【2018年高考北京卷文数】设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________.【答案】【解析】，，由得：，，即. 【名师点睛】如果a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2=0． 16．【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =，则AE BF ⋅的最小值为___________．【答案】-3【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴2EF a b =-=； ∴a =b +2，或b =a +2； 且()()1,2,AE a BF b ==-，； ∴2AE BF ab ⋅=-+；当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3．【名师点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．17．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为___________． 【答案】3【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，由0AB CD ⋅=得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-， 因为0a >，所以 3.a =【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.18．【2017年高考全国III 卷文数】已知向量(2,3),(3,)m =-=a b ，且⊥a b ，则m =________．【答案】2【解析】由题意可得02330,m ⋅=⇒-⨯+=a b 解得2m =.【名师点睛】（1）向量平行：1221∥x y x y ⇒=a b ，,,∥≠⇒∃∈=λλ0R a b b a b ,111BA AC OA OB OC λλλλ=⇔=+++. （2）向量垂直：121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b .（3）向量的运算：221212(,),||,||||cos ,x x y y ±=±±=⋅=⋅a b a a a b a b a b .19．【2017年高考全国I 卷文数】已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）．若向量a +b 与a 垂直，则m =________．【答案】7【解析】由题得(1,3)m +=-a b ，因为()0+⋅=a b a ，所以(1)230m --+⨯=，解得7m =． 【名师点睛】如果a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2=0．20．【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA 与OC 的夹角为α，且t a n α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若O C m O A n O B =+(,)m n ∈R ，则m n +=___________．【答案】3【解析】由tan 7α=可得72sin 10α=，2cos 10α=，根据向量的分解，易得cos 45cos 2sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩，即2222102720210n m n m ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=．【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法． （3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．21．【2017年高考浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________． 【答案】4，25【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则2212212cos 54cos θθ-=+-⨯⨯⨯=-a b ，2212212cos 54cos θθ+=++⨯⨯⨯=+a b ，则54cos 54cos θθ++-=++-a b a b ， 令54cos 54cos y θθ=++-，则[]221022516cos 16,20y θ=+-∈，据此可得：()()maxmin 2025,164++-==++-==a b a ba b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是25．【名师点睛】本题通过设向量,a b 的夹角为θ，结合模长公式，可得54cos θ++-=++a b a b54cos θ-，再利用三角函数的有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求．22．【2017年高考天津卷文数】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2B D D C=，AE AC λ=-()AB λ∈R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为________．【答案】311【解析】由题可得1232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯︒==+，则12()33AD AE AB AC ⋅=+2123()34934333311AC AB λλλλ-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=． 【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基底可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，则可获解．本题中,AB AC 已知模和夹角，作为基底易于计算数量积．23．【2017年高考山东卷文数】已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ- ,若∥a b ,则λ=________．【答案】3-【解析】由∥a b 可得162 3.λλ-⨯=⇒=-【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：（1）利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则∥a b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．（2）利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a 共线的向量时,可设所求向量为λa (λ∈R ),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．（3）三点共线问题．A ,B ,C 三点共线等价于AB →与AC →共线.。

五年（2019-2023）年高考真题分项汇编专题09平面向量、不等式及复数考点精析考点一基本不等式及其应用1．（2019•上海）若x ，y R +∈，且123y x +=，则yx的最大值为．【解析】132yx =+，∴298y x =；故答案为：982．（2020•上海）下列不等式恒成立的是()A ．222a b ab+B ．222a b ab+-C ．a b +D ．222a b ab+-【解析】A ．显然当0a <，0b >时，不等式222a b ab +不成立，故A 错误；B ．2()0a b + ，2220a b ab ∴++，222a b ab ∴+-，故B 正确；C ．显然当0a <，0b <时，不等式a b +不成立，故C 错误；D ．显然当0a >，0b >时，不等式222a b ab +-不成立，故D 错误．故选：B ．3．（2022•上海）若实数a 、b 满足0a b >>，下列不等式中恒成立的是()A ．a b +>B ．a b +<C ．22ab +>D ．22ab +<【解析】因为0a b >>，所以a b +，当且仅当a b =时取等号，又0a b >>，所以a b +>，故A 正确，B 错误，22a b +=22a b =，即4a b =时取等号，故CD 错误，故选：A ．4．【多选】（2020•山东）已知0a >，0b >，且1a b +=，则()A ．2212a b +B ．122a b ->C ．22log log 2a b +-D 【解析】①已知0a >，0b >，且1a b +=，所以222()22a b a b ++，则2212a b +，故A 正确．②利用分析法：要证122a b ->，只需证明1a b ->-即可，即1a b >-，由于0a >，0b >，且1a b +=，所以：0a >，110b -<-<，故B 正确．③22222log log log log ()22a b a b ab ++==-，故C 错误．④由于0a >，0b >，且1a b +=，利用分析法：要证成立，只需对关系式进行平方，整理得2a b ++，即1，故122a b +=，当且仅当12a b ==时，等号成立．故D 正确．故选：ABD ．5．（2021•上海）已知函数()3(0)31x xaf x a =+>+的最小值为5，则a =．【解析】()3311153131x xx x a a f x =+=++--=++，所以9a =，经检验，32x =时等号成立．故答案为：9．6．【多选】（2022•新高考Ⅱ）若x ，y 满足221x y xy +-=，则()A ．1x y +B ．2x y +-C ．222x y +D ．221x y +【解析】方法一：由221x y xy +-=可得，22()12y x y -+=，令cos 2sin 2y x y θθ⎧-=⎪⎪⎪=⎪⎩，则sin cos 3x y θθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，cos 2sin()[26x y πθθθ∴+=+=+∈-，2]，故A 错，B对，222214242cos ))2cos 2sin(2)[333633x y πθθθθθθ+=++=-+=-+∈ ，2]，故C 对，D 错，方法二：对于A ，B ，由221x y xy +-=可得，22()1313()2x y x y xy ++=++，即21()14x y +，2()4x y ∴+，22x y ∴-+，故A 错，B 对，对于C ，D ，由221x y xy +-=得，222212x y x y xy ++-=，222x y ∴+，故C 对；222x y xy +- ，222222223()122x y x y x y xy x y ++∴=+-++=，∴2223x y +，故D 错误．故选：BC ．考点二平面向量的线性运算7．（2020•海南）在ABC ∆中，D 是AB 边上的中点，则(CB =)A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA- D ．2CD CA+【解析】在ABC ∆中，D 是AB 边上的中点，则CB CD DB CD AD =+=+ ()CD AC CD =++ 2CD CA =- ．故选：C ．8．（2019•浙江）已知正方形ABCD 的边长为1．当每个(1i i λ=，2，3，4，5，6)取遍1±时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是，最大值是．【解析】如图，建立平面直角坐标系，则(0,0)A ，(1,0)B ，(1,1)C ，(0,1)D ，∴(1,0)AB = ，(0,1)BC = ，(1,0)CD =- ，(0,1)DA =- ，(1,1)AC = ，(1,1)BD =-，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ∴+++++ 1356|(λλλλ=-+-，2456)|λλλλ-++2213562456()()λλλλλλλλ=-+-+-++，(*)，(*)中第一个括号中的1λ，3λ与第二个括号中的2λ，4λ的取值互不影响，只需讨论5λ，6λ的取值情况即可，当5λ，6λ同号时，不妨取51λ=，61λ=，则(*)221324()(2)λλλλ-+-+，1λ ，2λ，3λ，4{1λ∈-，1}，13λλ∴=，2422(1λλλ-=-=-，41)λ=时，(*)取得最小值0，当13||2λλ-=（如11λ=，31)λ=-，2422(1λλλ-==，41)λ=-时，(*)式取得最大值为25，当5λ，6λ异号时，不妨取51λ=，61λ=-，则(*)221224(2)()λλλλ-++-，同理可得最小值为0，最大值为25故答案为：0；59．（2020•上海）已知1a ，2a ，1b ，2b ，⋯，(*)k b k N ∈ 是平面内两两互不相等的向量，满足12||1a a -=，且||{1i j a b -∈，2}（其中1i =，2，1j =，2，⋯，)k ，则k 的最大值是．【解析】如图，设11OA a = ，22OA a = ，由12||1a a -=，且||{1i j a b -∈ ，2}，分别以1A ，2A 为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个．故满足条件的k 的最大值为6．故答案为：6．考点三平面向量的基本定理10．（2022•新高考Ⅰ）在ABC ∆中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m = ，CD n =，则(CB = )A ．32m n- B ．23m n-+C ．32m n+ D ．23m n+ 【解析】如图，1111()2222CD CA AD CA DB CA CB CD CA CB CD =+=+=+-=+- ，∴1322CB CD CA =- ，即3232CB CD CA n m =-=-．故选：B ．考点四平面向量数量积的运算11．（2023•上海）已知向量(2,3)a =- ，(1,2)b = ，则a b ⋅=．【解析】 向量(2,3)a =-，(1,2)b = ，故答案为：4．12．（2021•浙江）已知非零向量a，b ，c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b = ”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】当a c ⊥ 且b c ⊥ ，则0a c b c ⋅=⋅= ，但a与b 不一定相等，故a b b c ⋅=⋅ 不能推出a b = ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的不充分条件；由a b = ，可得0a b -= ，则()0a b c -⋅= ，即a b b c ⋅=⋅ ，所以a b = 可以推出a b b c ⋅=⋅ ，故“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的必要条件．综上所述，“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的必要不充分条件．故选：B ．13．（2021•上海）如图正方形ABCD 的边长为3，求AB AC ⋅=．【解析】由数量积的定义，可得cos AB AC AB AC BAC ⋅=⨯⨯∠，因为cos AB AC BAC =⨯∠，所以29AB AC AB ⋅== ．故答案为：9．14．（2021•新高考Ⅱ）已知向量0a b c ++= ，||1a =，||||2b c == ，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=．【解析】方法1：由0a b c ++= 得a b c +=- 或a c b +=- 或b c a +=-，22()()a b c ∴+=- 或22()()a c b +=- 或22()()b c a +=-，又||1a = ，||||2b c == ，524a b ∴+⋅= ，524a c +⋅=，821b c +⋅= ，∴12a b ⋅=- ，12a c ⋅=- ，72b c ⋅=- ，∴92a b a c b c ⋅+⋅+⋅=-．故答案为：92-．方法2222()||||||014492:222a b c a b c a b b c c a ++------⋅+⋅+⋅===-．故答案为：92-．15．（2020•上海）三角形ABC 中，D 是BC 中点，2AB =，3BC =，4AC =，则AD AB =．【解析】 在ABC ∆中，2AB =，3BC =，4AC =，∴由余弦定理得，222416911cos 222416AB AC BC BAC AB AC +-+-∠===⨯⨯ ，∴111124162AB AC =⨯⨯= ，且D 是BC 的中点，∴1()2AD AB AB AC AB=+ 21()2AB AB AC =+111(4)22=⨯+194=．故答案为：194．16．【多选】（2021•新高考Ⅰ）已知O 为坐标原点，点1(cos ,sin )P αα，2(cos ,sin )P ββ-，3(cos()P αβ+，sin())αβ+，(1,0)A ，则()A ．12||||OP OP = B ．12||||AP AP = C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅ D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【解析】法一、1(cos ,sin )P αα ，2(cos ,sin )P ββ-，3(cos()P αβ+，sin())αβ+，(1,0)A ，∴1(cos ,sin )OP αα= ，2(cos ,sin )OP ββ=- ，3(cos()OP αβ=+ ，sin())αβ+，(1,0)OA =，1(cos 1,sin )AP αα=- ，2(cos 1,sin )AP ββ=-- ，则1||1OP == ，2||1OP = ，则12||||OP OP = ，故A 正确；1||AP == ，2||AP =，12||||AP AP ≠ ，故B 错误；31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin sin cos()OP OP αβαβαβ⋅=-=+ ，∴312OA OP OP OP ⋅=⋅，故C 正确；11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()sin sin()cos[()]cos(2)OP OP βαββαββαβαβ⋅=+-+=++=+，∴123OA OP OP OP ⋅≠⋅，故D 错误．故选：AC ．法二、如图建立平面直角坐标系，(1,0)A ，作出单位圆O ，并作出角α，β，β-，使角α的始边与OA 重合，终边交圆O 于点1P ，角β的始边为1OP ，终边交圆O 于3P ，角β-的始边为OA ，交圆O 于2P ，于是1(cos ,sin )P αα，3(cos()P αβ+，sin())αβ+，2(cos ,sin )P ββ-，由向量的模与数量积可知，A 、C 正确；B 、D 错误．故选：AC ．17．（2022•上海）若平面向量||||||a b c λ=== ，且满足0a b ⋅= ，2a c ⋅=，1b c ⋅= ，则λ=．【解析】由题意，有0a b ⋅= ，则a b ⊥，设,a c θ<>= ，21a c b c ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩⇒2,1,2a c cos bc cos θπθ⎧=⎪⎨⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎩①②则②①得，1tan 2θ=，由同角三角函数的基本关系得：cos θ=，则25||||cos 25a c a c θλλ⋅==⋅⋅=，2λ=，则λ=．．18．（2020•山东）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是()A ．(2,6)-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【解析】画出图形如图，||||cos ,AP AB AP AB AP AB ⋅=<> ，它的几何意义是AB 的长度与AP 在AB向量的投影的乘积，显然，P 在C 处时，取得最大值，1||cos ||||32AC CAB AB AB ∠=+=，可得||||cos ,236AP AB AP AB AP AB ⋅=<>=⨯= ，最大值为6，在F 处取得最小值，1||||cos ,2222AP AB AP AB AP AB ⋅=<>=-⨯⨯=- ，最小值为2-，P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，所以AP AB ⋅的取值范围是(2,6)-．故选：A ．19．（2021•上海）在ABC ∆中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，则以下结论：①存在ABC ∆，使得0AB CE ⋅=；②存在ABC ∆，使得//()CE CB CA +；它们的成立情况是()A ．①成立，②成立B ．①成立，②不成立C ．①不成立，②成立D ．①不成立，②不成立【解析】不妨设(2,2)A x y ，(1,0)B -，(1,0)C ，(0,0)D ，(,)E x y ，①(12,2)AB x y =--- ，(1,)CE x y =-，若0AB CE ⋅=，则2(12)(1)20x x y -+--=，即2(12)(1)2x x y -+-=，满足条件的(,)x y 存在，例如，满足上式，所以①成立；②F 为AB 中点，()2CB CA CF +=，CF 与AD 的交点即为重心G ，因为G 为AD 的三等分点，E 为AD 中点，所以CE 与CG不共线，即②不成立．故选：B ．20．（2022•浙江）设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A ⋯的边12A A 上，则222128PA PA PA ++⋯+ 的取值范围是．【解析】以圆心为原点，73A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(0,1)A ，222(22A ，3(1,0)A ，422(,)22A -，5(0,1)A -，622(,22A --，7(1,0)A -，822(22A ，设(,)P x y ，则222222222222212812345678||||||||||||||||8()8PA PA PA PA PA PA PA PA PA PA PA x y ++⋯+=+++++++=++ ，cos 22.5||1OP ︒ ，∴221cos 4512x y +︒+，∴222214x y ++，2212228()816x y ∴+++，即222128PA PA PA ++⋯+ 的取值范围是[1222+，16]，故答案为：[1222+，16]．21．（2021•浙江）已知平面向量a，b ，(0)c c ≠ 满足||1a = ，||2b = ，0a b ⋅= ，()0a b c -⋅= ．记平面向量d 在a ，b 方向上的投影分别为x ，y ，d a - 在c方向上的投影为z ，则222x y z ++的最小值是．【解析】令(1,0),(0,2),(,)a b c m n ===，因为()0a b c -⋅= ，故(1，2)(m -⋅，)0n =，20m n ∴-=，令(2,)c n n =，平面向量d 在a ，b方向上的投影分别为x ，y ，设(,)d x y = ，则：(1,),()2(1),|||d a x y d a c n x ny c n -=--⋅=-+=，从而：()||d a c z c -⋅==22x y +±=，方法一：由柯西不等式可得22x y +=，化简得22242105x y z ++=，当且仅当21x y z ==，即215,,555x y z ===-时取等号，故222x y z ++的最小值为25．方法二：则222x y z ++表示空间中坐标原点到平面220x y +±-=上的点的距离的平方，由平面直角坐标系中点到直线距离公式推广得到的空间直角坐标系中点到平面距离公式可得：222242()105min x y z ++===．故答案为：25．考点五平面向量的数量积的应用22．（2023•新高考Ⅰ）已知向量(1,1)a =，(1,1)b =- ．若()()a b a b λμ+⊥+ ，则()A ．1λμ+=B ．1λμ+=-C ．1λμ=D ．1λμ=-【解析】 (1,1)a =，(1,1)b =- ，∴(1,1)a b λλλ+=+- ，(1,1)a b μμμ+=+-，由()()a b a b λμ+⊥+，得(1)(1)(1)(1)0λμλμ+++--=，整理得：220λμ+=，即1λμ=-．故选：D ．23．（2023•新高考Ⅱ）已知向量a，b 满足||a b -= |||2|a b a b +=- ，则||b =．【解析】||a b -=，|||2|a b a b +=- ，∴2223a b a b +-⋅= ，2222244a b a b a b a b ++⋅=+-⋅ ，∴22a a b =⋅，∴23b = ，∴||b =．．24．（2022•新高考Ⅱ）已知向量(3,4)a = ，(1,0)b = ，c a tb =+ ，若a <，c b >=< ，c > ，则(t =)A ．6-B ．5-C ．5D ．6【解析】 向量(3,4)a =，(1,0)b = ，c a tb =+ ，∴(3,4)c t =+，a < ，cb >=<，c > ，∴||||||||a c b c a c b c ⋅⋅=⋅⋅，∴253351t t++=，解得实数5t =．故选：C ．25．（2020•浙江）已知平面单位向量1e ，2e满足12|2|e e - ．设12a e e =+ ，123b e e =+ ，向量a，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值是．【解析】设1e 、2e 的夹角为α，由1e ，2e为单位向量，满足12|2|e e -所以2211224444cos 12e e e e α-+=-+ ，解得3cos 4α；又12a e e =+ ，123b e e =+ ，且a，b 的夹角为θ，所以2211223444cos a b e e e e α=++=+ ，2221122222cos a e e e e α=++=+ ，222112296106cos b e e e e α=++=+ ；则222228()(44cos )44cos 43cos (22cos )(106cos )53cos 353cos a b a bααθαααα++====++++⨯ ，所以3cos 4α=时，2cos θ取得最小值为842833329534-=+⨯．故答案为：2829．考点六复数的基本概念26．（2022•浙江）已知a ，b R ∈，3()(a i b i i i +=+为虚数单位），则()A ．1a =，3b =-B ．1a =-，3b =C ．1a =-，3b =-D ．1a =，3b =【解析】3()1a i b i i bi +=+=-+ ，a ，b R ∈，1a ∴=-，3b =，故选：B ．27．（2020•浙江）已知a R ∈，若1(2)(a a i i -+-为虚数单位）是实数，则(a =)A ．1B ．1-C ．2D ．2-【解析】a R ∈，若1(2)(a a i i -+-为虚数单位）是实数，可得20a -=，解得2a =．故选：C ．考点七复数的几何意义28．（2023•新高考Ⅱ）在复平面内，(13)(3)i i +-对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】(13)(3)39368i i i i i +-=-++=+，则在复平面内，(13)(3)i i +-对应的点的坐标为(6,8)，位于第一象限．故选：A ．29．（2021•新高考Ⅱ）复数213ii--在复平面内对应点所在的象限为()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 2222(2)(13)263551113(13)(13)1(3)1022i i i i i i i i i i i --++--+====+--++-，∴在复平面内，复数213i i --对应的点的坐标为1(2，1)2，位于第一象限．故选：A ．考点八复数的运算A ．i -B ．iC ．0D ．1【解析】21111(1)122212(1)(1)2i i i z i i i i i ---==⋅=⋅=-+++-，则12z i =，故z z i -=-．故选：A ．31．（2022•新高考Ⅱ）(22)(12)(i i +-=)A ．24i-+B ．24i--C ．62i +D ．62i-【解析】2(22)(12)242462i i i i i i +-=-+-=-．故选：D ．32．（2021•浙江）已知a R ∈，(1)3(ai i i i +=+为虚数单位），则(a =)A ．1-B ．1C ．3-D ．3【解析】因为(1)3ai i i +=+，即3a i i -+=+，由复数相等的定义可得，3a -=，即3a =-．故选：C ．33．（2020•海南）(12)(2)(i i ++=)A ．45i+B ．5iC ．5i -D ．23i+【解析】2(12)(2)2425i i i i i i ++=+++=，故选：B ．34．（2020•山东）2(12ii-=+)A ．1B ．1-C ．i D ．i-【解析】2(2)(12)512(12)(12)14i i i ii i i i ----===-++-+，故选：D ．35．（2023•上海）已知复数1(z i i =-为虚数单位），则|1|iz +=．【解析】1z i =- ，|1||1(1)||2|iz i i i ∴+=+-=+=．36．（2021•上海）已知11z i =+，223z i =+，求12z z +=．【解析】因为11z i =+，223z i =+，所以1234z z i +=+．故答案为：34i +．37．（2020•上海）已知复数12(z i i =-为虚数单位），则||z =．【解析】由12z i =-，得||z ==．38．（2019•上海）已知z C ∈，且满足15i z =-，求z =．【解析】由15i z =-，得15z i -=，即155z i i=+=-．故答案为：5i -．39．（2019•浙江）复数1(1z i i=+为虚数单位），则||z =．【解析】11111(1)(1)22i z i i i -===-++- ．||2z ∴==．故答案为：22．考点九共轭复数40．（2022•新高考Ⅰ）若(1)1i z -=，则(z z +=)A ．2-B ．1-C ．1D ．2【解析】由(1)1i z -=，得211iz i i i --===--，1z i ∴=+，则1z i =-，∴112z z i i +=++-=．故选：D ．41．（2021•新高考Ⅰ）已知2z i =-，则()(z z i +=)A ．62i-B ．42i-C ．62i +D ．42i+【解析】2z i =- ，2()(2)(2)(2)(22)442262z z i i i i i i i i i i ∴+=-++=-+=+--=+．故选：C ．42．（2022•上海）已知1z i =+（其中i 为虚数单位），则2z =．【解析】1z i =+，则1z i =-，所以222z i =-．故答案为：22i -．43．（2020•上海）已知复数z 满足26z z i +=+，则z 的实部为．【解析】设z a bi =+，(,)a b R ∈． 复数z 满足26z z i +=+，36a bi i ∴-=+，可得：36a =，1b -=，解得2a =，1b =-．则z 的实部为2．故答案为：2．。

2019年全国高考数学试题分类汇编（理科）平面向量一、选择题1.（全国Ⅰ卷理7）已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B【分析】本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥得出向量,a b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ．2.（全国Ⅱ卷理3）已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅= A. -3 B. -2 C. 2 D. 3【答案】C【分析】根据向量三角形法则求出t ，再求出向量的数量积.【详解】由(1,3)BC AC AB t =-=-，211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．二、填空题4.（全国Ⅲ卷理13）已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,ac <>=___________. 【答案】23. 【分析】根据2||c 结合向量夹角公式求出||c ，进一步求出结果. 【详解】因为25c a b =-，0a b ⋅=，所以225a c a a b ⋅=-⋅2=，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c <>= 22133a c a c ⋅==⨯⋅．5.（天津卷理14）在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_________. 【答案】1-【分析】可利用向量的线性运算，也可以建立坐标系利用向量的坐标运算求解。

2019年⾼考真题⽂科数学汇编7：平⾯向量2019⾼考⽂科试题解析分类汇编：平⾯向量⼀、选择题1.【2019⾼考全国⽂9】ABC ?中，AB 边的⾼为CD ，若CB a =，CA b =，0a b ?=，||1a =，||2b =，则AD =（A ）1133a b - （B ）2233a b - （C ）3355a b - （D ）4455a b - 【答案】D【命题意图】本试题主要考查了正四棱柱的性质的运⽤，以及点到⾯的距离的求解。

体现了转换与化归的思想的运⽤，以及线⾯平⾏的距离，转化为点到⾯的距离即可。

【解析】因为底⾯的边长为2，⾼为,AC BD ，得到交点为O ，连接EO ，1//EO AC ，则点1C 到平⾯BDE 的距离等于C 到平⾯BDE 的距离，过点C 作CH OE ⊥，则CH 即为所求，在三⾓形OCE 中，利⽤等⾯积法，可得1CH =，故选答案D 。

2.【2019⾼考重庆⽂6】设x R ∈，向量(,1), (1,2),a x b ==-且a b ⊥，则||a b +=（A （B （C ）（D ）10 【答案】B3.【2019⾼考浙江⽂7】设a ，b 是两个⾮零向量。

A.若|a+b|=|a|-|b|，则a ⊥b B.若a ⊥b ，则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λ aD.若存在实数λ，使得b=λa ，则|a+b|=|a|-|b| 【答案】C【命题意图】本题考查的是平⾯向量，主要考查向量加法运算，向量的共线含义，向量的垂直关系。

【解析】利⽤排除法可得选项C 是正确的，∵|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ，b 共线，即存在实数λ，使得a ＝λb ．如选项A ：|a ＋b |＝|a |－|b |时，a ，b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由正⽅形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成⽴；选项D ：若存在实数λ，使得a ＝λb ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然|a ＋b |＝|a |－|b |不成⽴．4.【2019⾼考四川⽂7】设a 、b 都是⾮零向量，下列四个条件中，使||||a ba b =成⽴的充分条件是（）A 、||||a b =且//a bB 、a b =-C 、//a bD 、2a b = 【答案】Ｄ [解析]若使||||a ba b =成⽴，则⽅向相同，与选项中只有D 能保证，故选D. [点评]本题考查的是向量相等条件?模相等且⽅向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且⽅向任意.5.【2019⾼考陕西⽂7】设向量a =（1.cos θ）与b =（-1， 2cos θ）垂直，则cos2θ等于（）A2 B 12C .0 D.-1 【答案】C.【解析】∵向量a 与b 垂直，∴0a b ?=，即()11cos 2cos 0θθ?-+?=，∴22cos 1θ=．∴2cos 22cos 10θθ=-=．故选C ．6.【2019⾼考辽宁⽂1】已知向量a = (1,—1)，b = (2,x).若a ·b = 1,则x = (A) —1 (B) —12 (C) 12(D)1 【答案】D【命题意图】本题主要考查向量的数量积，属于容易题。

专题07 平面向量1．【2019年高考全国I 卷文数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ． 【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π． 2．【2019年高考全国II 卷文数】已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a -b |= A 2 B ．2 C ．2D ．50【答案】A【解析】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)-=-=-a b ， 所以22||(1)12-=-+=a b 故选A.【名师点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．3．【2019年高考北京卷文数】已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________．【答案】8【解析】向量(4,3),(6,)m =-=⊥，，a b a b 则046308m m ⋅=-⨯+==，，a b . 【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.4．【2019年高考全国III 卷文数】已知向量(2,2),(8,6)==-a b ，则c o s ,=a b ___________. 【答案】210-【解析】222228262cos ,||||1022(8)6⨯-+⨯⋅===-⋅+⨯-+a b a b a b ． 【名师点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键． 5．【2019年高考天津卷文数】在四边形ABCD 中，,23,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________． 【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，23,5,AB AD ==则(23,0)B ，535()2D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒， 所以直线BE 的斜率为33，其方程为3(3)3y x =-， 直线AE 的斜率为33y x =. 由3(23),333y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得3x =1y =-， 所以3,1)E -.所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-.【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.6．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.3【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭， 得2213,22AB AC =即3,AB AC =故3AB AC=【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.7．【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.【答案】0；5【解析】以, AB AD 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图.则(1,0),(0,1),(1,0),(0,1),(1,1),(1,1)AB BC CD DA AC BD ===-=-==-, 令(123456y AB BC CD DA AC BD λλλλλλλ=+++++=≥00.又因为(1,2,3,4,5,6)i i λ=可取遍1±，所以当1345621,1λλλλλλ======-时，有最小值min 0y =. 因为()135λλλ-+和()245λλλ-+的取值不相关，61λ=或61λ=-， 所以当()135λλλ-+和()245λλλ-+分别取得最大值时，y 有最大值， 所以当1256341,1λλλλλλ======-时，有最大值22max 242025y =+==故答案为0；5【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.8．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)数学试题】在矩形ABCD 中，4AB =uu u r,2AD =．若点M ，N 分别是CD ，BC 的中点，则AM MN ⋅=A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】由题意作出图形，如图所示：由图及题意，可得：12AM AD DM AD AB =+=+， 1122MN CN CM CB CD =-=-11112222BC DC AD AB =-+=-+.∴111222AM MN AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221111||||41622424AD AB =-⋅+⋅=-⋅+⋅=.故选：C ．【名师点睛】本题主要考查基底向量的设立，以及向量数量积的运算，属基础题．9．【福建省漳州市2019届高三下学期第二次教学质量监测数学试题】已知向量a ，b 满足||1=a ，||3=b a 与b 的夹角为6π，则()(2)+⋅-=a b a bA ．12B ．32-C ．12-D ．32【答案】A【解析】()()22312223132+-=-+⋅=-+=a b a b a b a b . 故选A.【名师点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．10．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学试题】已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ，(4,5)=c ，若()λ+⊥a b c ，则实数λ=A ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】C【解析】因为(1,2)=a ，(2,3)=-b ， 所以()12,23λλλ-+a +b =， 又()λ+⊥a b c ，所以()0λ+⋅=a b c ， 即()()4125230+=λλ-+，解得2λ-= . 故选C.【名师点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记运算法则即可，属于常考题型. 11．【2019届北京市通州区三模数学试题】设a ，b 均为单位向量，则“a 与b 夹角为2π3”是“||3+=a b ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】因为a ，b 均为单位向量， 若a 与b 夹角为2π3， 则222||||||211211cos 13π+=++⋅++⨯⨯⨯a b a b a b ， 因此，由“a 与b 夹角为2π3”不能推出“||3+=a b ”； 若||3+=a b 22||||||211211cos ,3+=++⋅++⨯⨯⨯a b a b a b a b 解得1cos ,2=a b ，即a 与b 夹角为π3， 所以，由“||3+=a b ”不能推出“a 与b 夹角为2π3” 因此，“a 与b 夹角为2π3”是“||3+=a b ”的既不充分也不必要条件. 故选D【名师点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，以及向量的数量积运算，熟记充分条件与必要条件的概念，以及向量的数量积运算法则即可，属于常考题型.12．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试数学（二)】在ABC △中，2AB AC AD +=，AE DE +=0，若EB xAB y AC =+，则A ．3y x =B ．3x y =C ．3y x =-D ．3x y =-【答案】D【解析】因为2AB AC AD +=，所以点D 是BC 的中点，又因为AE DE +=0，所以点E 是AD 的中点，所以有：11131()22244BE BA AE AB AD AB AB AC AB AC =+=-+=-+⨯+=-+，因此 31,344x y x y =-=⇒=-，故题选D.【名师点睛】本题考查了向量加法的几何意义、平面向量基本定理.解题的关键是对向量式的理解、对向量加法的几何意义的理解.13．【2019年辽宁省大连市高三5月双基考试数学试题】已知直线y =x +m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B两点，O 为坐标原点，若32AO AB ⋅=，则实数m = A ．1±B ．3C ．22±D ．12±【答案】C 【解析】联立221y x mx y =+⎧⎨+=⎩ ，得2x 2+2mx +m 2−1=0， ∵直线y =x +m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点， ∴∆=-2m 2+8＞0，解得22x -<<设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=−m ，21221-=m x x ，y 1y 2=（x 1+m ）（x 2+m ）=x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2，AO =（-x 1，-y 1），AB =（x 2-x 1，y 2-y 1），∵21123,2AO AB AO AB x x x ⋅=∴⋅=-+y 12-y 1y 2=1221122m m ----+m 2-m 2=2-m 2=23，解得m =2±． 故选：C ．【名师点睛】本题考查根的判别式、根与系数的关系、向量的数量积的应用，考查了运算能力，是中档题．14．【天津市和平区2018-2019学年度第二学期高三年级第三次质量调查数学试题】已知菱形ABCD的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，3BC BE =，DC DF λ=，若1AE AF ⋅=，则λ的值为 A ．3 B ．2C ．23D ．52【答案】B【解析】由题意可得：()()113AE AF AB BE AD DF AB BC BC AB λ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111133AB BC AB BC λλ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭， 且：224,22cos1202AB BC AB BC ==⋅=⨯⨯=-， 故()44112133λλ⎛⎫+++⨯-= ⎪⎝⎭，解得：2λ=. 故选：B.【名师点睛】本题主要考查平面向量数量积的定义与运算法则，平面向量基本定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．【江西省新八校2019届高三第二次联考数学试题】在矩形ABCD 中，3,4,AB AD AC==与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，则AE EC ⋅=A ．572B ．14425C ．125D ．2512【答案】B 【解析】如图：由3AB =，4=AD 得：9165BD =+=，125AB AD AE BD ⋅== 又()AE EC AE EO OC AE EO AE OC AE EO AE AO ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅+⋅AE BD ⊥，0AE EO ∴⋅=，又2144cos 25AE AE AO AE AO EAO AE AO AE AO⋅=∠=⋅==14425AE EC ∴⋅=. 故选B.【名师点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够通过线性运算将问题转化为模长和夹角已知的向量之间的数量积问题.16．【湖师范大学附属中学2019届高三数学试题】如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF =A ．3144AB AD + B ．1344AB AD + C ．12AB AD +D ．3142AB AD +【答案】D【解析】根据题意得：1()2AF AC AE =+，又AC AB AD =+，12AE AB =，所以1131()2242AF AB AD AB AB AD =++=+.故选D.【名师点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础试题.17．【2019年北京市高考数学试卷】已知向量a =（－4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________.【答案】8.【解析】向量4,36,m =-=⊥（），（），，a b a b 则046308m m ⋅=-⨯+==，，a b .【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.18．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)数学试题】已知圆22450x y x ++-=的弦AB 的中点为(1,1)-，直线AB 交x 轴于点P ，则PA PB ⋅的值为__________. 【答案】8. 【答案】5-【解析】设(1,1)M -，圆心(2,0)C -，∵10112MC k -==-+，根据圆的性质可知，1AB k =-，∴AB 所在直线方程为1(1)y x -=-+，即0x y +=，联立方程22450x y x x y ⎧++-=⎨+=⎩可得，22450x x +-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1252x x =-， 令0y =可得(0,0)P ，12121225PA PB x x y y x x ⋅=+==-，故答案为：-5．【名师点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示及直线与圆相交性质的简单应用，属于常考题型.。

专题07
平面向量1．【2019年高考全国
I 卷文数】已知非零向量a ，b 满足||2||a b ，且()a b b ，则a 与b 的夹角为A ．
π6B ．π3C ．2π
3D ．5π6
【答案】B
【解析】因为()
a b b ，所以2()a b b a b b =0，所以2a b b ，所以c o s =22||12||2a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π
3，故选B ．
【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，
在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为
[0,]．2．【2019年高考全国
II 卷文数】已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a -b|= A ．
2B ．2 C ．52
D ．50 【答案】A
【解析】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)a
b ，所以22||(1)12a
b ，故选A.
【名师点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．
3．【2019年高考北京卷文数】已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且a b ，则m=__________．
【答案】8
【解析】向量(4,3),(6,)m ，，a b a b 则046308m m ，，a b .
【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.。