20高考数学平面向量的解题技巧

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20高考数学平面向量

的解题技巧

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第二讲平面向量的解题技巧

【命题趋向】

由2007年高考题分析可知:

1.这部分内容高考中所占分数一般在10分左右.

2.题目类型为一个选择或填空题,一个与其他知识综合的解答题.

3.考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主.

【考点透视】

“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一,高考每年都考,题型主要有选择题、填空题,也可以与其他知识相结合在解答题中出现,试题多以低、中档题为主.

透析高考试题,知命题热点为:

1.向量的概念,几何表示,向量的加法、减法,实数与向量的积.

2.平面向量的坐标运算,平面向量的数量积及其几何意义.

3.两非零向量平行、垂直的充要条件.

4.图形平移、线段的定比分点坐标公式.

5.由于向量具有“数”与“形”双重身份,加之向量的工具性作用,向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合,综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题,处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等.

6.利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化,向量模的运算转化为向量的运算等;利用数形结合思想将几何问题代数化,通过代数运算解决几何问题.

【例题解析】

1. 向量的概念,向量的基本运算

(1)理解向量的概念,掌握向量的几何意义,了解共线向量的概念.

(2)掌握向量的加法和减法.

(3)掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件.

(4)了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算.

(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式.

例1(2007年北京卷理)已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且

2OA OB OC ++=0,那么(

A.AO OD = B.2AO OD =

C.3AO OD =

D.2AO OD =

命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力.

解: 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0, 故选A .

例2.(2006年安徽卷)在ABCD 中,,,3AB a AD b AN NC ===,M 为BC 的中点,则MN =______.(用a b 、表示)

命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解:343A =3()AN NC AN C a b ==+由得,12

AM a b =+,所

以,3111()()4

2

4

4

MN a b a b a b =+-+=-+.

例3.(2006年广东卷)如图1所示,D 是△ABC 的边AB 上的中点,则向量=CD ( )

(A )BA BC 2

1+- (B ) BA BC 21--

(C ) BA BC 21- (D )BA BC 2

1+

命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力.

解:BA BC BD CB CD 2

1+-=+=,故选A.

例4. ( 2006年重庆卷)与向量a =71,,22b ⎛

⎫= ⎪⎝⎭

⎫ ⎝⎛27,21的夹解相等,且模为1的向量是 ( )

(A) ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54 (B) ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54或⎪⎭

⎫ ⎝⎛-53,54

(C )⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322 (D )⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322或⎪⎭⎫ ⎝

⎛-31,322 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问

题.

解:设所求平面向量为,c 由433,,, 1.

555c c ⎛⎫⎛⎫

=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4或-时5

另一方面,当7413431,,cos ,.

5527a c c a c a c ⎛⎫

⨯+⨯- ⎪⋅⎛⎫

=-=== ⎪⋅⎝⎭⎛⎫时

当7413431,,cos ,.

5527a c c a c a c ⎛⎫⎛⎫

⨯-+⨯ ⎪ ⎪⋅⎛⎫

=-===- ⎪⋅⎝⎭⎛⎫时

故平面向量c 与向量a =71,,22b ⎛

⎫= ⎪⎝⎭⎪⎭

⎫ ⎝⎛27,21的夹角相等.故选B. 例5.(2006年天津卷)设向量a 与b 的夹角为θ,且)3,3(=a

,)1,1(2-=-a b ,则=θcos __.

命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题.

解: ()()(

)()(),,22,3,323,231,1.b x y b a x y x y =-=-=--=-设由 ()2311,1,2.

231 2.x x

b y y -=-=⎧⎧⇒∴=⎨⎨-==⎩⎩

得 2cos ,33a b a b a b

⋅=

=

=

⋅+

例6.(2006年湖北卷)已知向量()3,1a =,b 是不平行于x 轴的单位向量,且

3a b ⋅=,则b

= ()

(A )

⎪⎭

⎝⎛21

,23 (B ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,

21 (C )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433,41 (D ) ()0,1 命题意图: 本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及

方程的思想解题的能力.

解:设(),()b x y x y =≠,则依题意有1,y +1,2x y ⎧

=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 故选B.

例7.设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=.如果向量1b 、2b 、3b ,满足

2i i

b a =,且i a 顺时针旋转30o 后与i b 同向,其中1,2,3i =,则( )

(A )1230b b b -++= (B )1230b b b -+= (C )1230b b b +-= (D )1230b b b ++=

命题意图: 本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.

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