20高考数学平面向量的解题技巧
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20高考数学平面向量
的解题技巧
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第二讲平面向量的解题技巧
【命题趋向】
由2007年高考题分析可知:
1.这部分内容高考中所占分数一般在10分左右.
2.题目类型为一个选择或填空题,一个与其他知识综合的解答题.
3.考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主.
【考点透视】
“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一,高考每年都考,题型主要有选择题、填空题,也可以与其他知识相结合在解答题中出现,试题多以低、中档题为主.
透析高考试题,知命题热点为:
1.向量的概念,几何表示,向量的加法、减法,实数与向量的积.
2.平面向量的坐标运算,平面向量的数量积及其几何意义.
3.两非零向量平行、垂直的充要条件.
4.图形平移、线段的定比分点坐标公式.
5.由于向量具有“数”与“形”双重身份,加之向量的工具性作用,向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合,综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题,处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等.
6.利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化,向量模的运算转化为向量的运算等;利用数形结合思想将几何问题代数化,通过代数运算解决几何问题.
【例题解析】
1. 向量的概念,向量的基本运算
(1)理解向量的概念,掌握向量的几何意义,了解共线向量的概念.
(2)掌握向量的加法和减法.
(3)掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件.
(4)了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算.
(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式.
例1(2007年北京卷理)已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且
2OA OB OC ++=0,那么(
)
A.AO OD = B.2AO OD =
C.3AO OD =
D.2AO OD =
命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力.
解: 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0, 故选A .
例2.(2006年安徽卷)在ABCD 中,,,3AB a AD b AN NC ===,M 为BC 的中点,则MN =______.(用a b 、表示)
命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解:343A =3()AN NC AN C a b ==+由得,12
AM a b =+,所
以,3111()()4
2
4
4
MN a b a b a b =+-+=-+.
例3.(2006年广东卷)如图1所示,D 是△ABC 的边AB 上的中点,则向量=CD ( )
(A )BA BC 2
1+- (B ) BA BC 21--
(C ) BA BC 21- (D )BA BC 2
1+
命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力.
解:BA BC BD CB CD 2
1+-=+=,故选A.
例4. ( 2006年重庆卷)与向量a =71,,22b ⎛
⎫= ⎪⎝⎭
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛27,21的夹解相等,且模为1的向量是 ( )
(A) ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54 (B) ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54或⎪⎭
⎫ ⎝⎛-53,54
(C )⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322 (D )⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322或⎪⎭⎫ ⎝
⎛-31,322 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问
题.
解:设所求平面向量为,c 由433,,, 1.
555c c ⎛⎫⎛⎫
=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4或-时5
另一方面,当7413431,,cos ,.
5527a c c a c a c ⎛⎫
⨯+⨯- ⎪⋅⎛⎫
=-=== ⎪⋅⎝⎭⎛⎫时
当7413431,,cos ,.
5527a c c a c a c ⎛⎫⎛⎫
⨯-+⨯ ⎪ ⎪⋅⎛⎫
=-===- ⎪⋅⎝⎭⎛⎫时
故平面向量c 与向量a =71,,22b ⎛
⎫= ⎪⎝⎭⎪⎭
⎫ ⎝⎛27,21的夹角相等.故选B. 例5.(2006年天津卷)设向量a 与b 的夹角为θ,且)3,3(=a
,)1,1(2-=-a b ,则=θcos __.
命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题.
解: ()()(
)()(),,22,3,323,231,1.b x y b a x y x y =-=-=--=-设由 ()2311,1,2.
231 2.x x
b y y -=-=⎧⎧⇒∴=⎨⎨-==⎩⎩
得 2cos ,33a b a b a b
⋅=
=
=
⋅+
例6.(2006年湖北卷)已知向量()3,1a =,b 是不平行于x 轴的单位向量,且
3a b ⋅=,则b
= ()
(A )
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛21
,23 (B ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,
21 (C )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433,41 (D ) ()0,1 命题意图: 本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及
方程的思想解题的能力.
解:设(),()b x y x y =≠,则依题意有1,y +1,2x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 故选B.
例7.设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=.如果向量1b 、2b 、3b ,满足
2i i
b a =,且i a 顺时针旋转30o 后与i b 同向,其中1,2,3i =,则( )
(A )1230b b b -++= (B )1230b b b -+= (C )1230b b b +-= (D )1230b b b ++=
命题意图: 本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.