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高考数学-平面向量专题复习

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平面向量【考点例题解析】考点 1. 共线定理应用例一：平面向量a,b 共线的充要条件是（）A. a,b 方向相同B. a,b 两向量中至少有一个为零向量C.存在R, b aD.存在不全为零的实数1, 2, 1 a 2 b 0变式一：对于非零向量a,b， a b 0 ”是“ a//b ”的（）A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件变式二：设a,b 是两个非零向量（）A.若a b a_b 则a bB. 若a b，则a b a_bC. 若a b a_b ，则存在实数b a D 若存在实数，使得b a ，则a b a _ b例二：设两个非零向量e1与e，不共线，（1）如果AB e1e2 ,BC3e12e2 , CD8e12e2,求证：A,C,D三点共线；，使得（2如果AB e1e2 ,BC2e13e2 , CD2e1ke2,且A,C,D三点共线，求实数k 的）变式一： 设 e 1 与 e 2 两个不共线向量， AB 2e 1 ke 2 ,CB e 1 3e 2 , CD 2e 1 e 2, 若三点 A,B,D 共线，求实数 k 的值。

A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D考点 2. 线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用 例一： 设 P 是三角形 ABC 所在平面内的一点，2BPC. 0BC PB BA, 则（ PC D.）0 PC PAPBA. 0 PA PBB. 0 PC PA变式一：已知 O 是三角形 ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边的中点， 且2OA OBOC ,那么（ ）A. A0 ODB. A0 2ODC. A0 3ODD. 2A0OD例二： 在三角形ABC 中，AB c ， AC b ,若点 D 满足 BD 2DC ,则 AD （ ） 2 15 2 2 1 12 A. b c, B. c b, C. b c, D. b c, 3 33 3 3 3 33变式二： 已知向量 a,b ，且 AB a 2b,BC5a 2b,CD 7a 2b, 则一定共线的三点是(变式二： 在平行四边形 ABCD 中 AB a ，AD b ， AN 3NC ,M 为 BC 的中点，则 MN （ 用 a,b 表示 ）变式二：设 D,E,F 分别 是三角 形 ABC 的边 BC,CA,AB 上的 点，且 DC 2BD, CE 2EA, AF 2FB,则AD BE, CF 与 BC ( )A. 反向平行B. 同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直变式四： 在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点， AE 的延长线与 CD 交于点 F ，若1 12 1 1 11 2 AC a, BD b, 则 AF ()A. a b, B.a b, C. a b, D. ab, 4 23 3 24 3 3考点 3 ：三点共线定理及其应用例一： 点 P 在 AB 上，求证： OP OA OB 且=1 ( , R,)AB mAM, AC nAN,则 m+n=变式一 : 在三角形 ABC 中，点 D 在边 AB 上， CD 平分角 ACB, CBa ， CAb ,a 1,2,则 CD (1 22 134 A. a b, B. a b, C. a b 3 3 3 35 543D.a b, 55变式三： 在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点， 若 ACAE AF ,其 R,则变式： 在三角形 ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点O 的直线分别交直线 AB 、 AC 于不同的两点 M 和 N, 若例二：在平行四边形 ABCD 中， E,F 分别是 BC,CD 的中点， DE 与AF 交于点 H,设 AB a, BC b,则 AH2 4 242 4 2 4A. a b,B. a b,C. a b,D.a b, 5 5 5 5 5 55 5变式：在三角形 ABC 中，点 M 是 BC 的中点，点 N 是边 AC 上一点且 AN=2NC,AM 与 BN 相交于点 P,若 AP PM,求 的值。

考点 4 ： 向量与三角形四心 一、 内 心、重心例一： O 是 ABC 所在平面内一定点， 动点 P 满足OP OA( AB AC )AB AC0，），则点 P的轨迹一定通过 ABC 的（ ）A. 外心 B.内心C.重心D.垂心AB AC变式一： 已知非零向量 AB 与 AC 满足 （） BCAB ACAB AC 1，且 AB AC 2 ，则 ABC 为( )A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形变式二： AB PC BC PA CA PB 0P 为 ABC 的内心例一： O 是 ABC 内一点， OC OA OB0 ，则为 ABC 的（ ）A.外心 B. 内心 C.重心 D.垂心变式一： 在 ABC 中， G 为平面上任意一点，证明：GO 13(GA GB GC )O 为 ABC 的重心三、垂心：例一： 求证：在 ABC 中， OA OB OB OC OC OAO 为 ABC 的垂心变式一：O是平面上一定点， A ， B ，C是平 面上 不共线的 三 个 点 ， 动 点 P 满 足ABACOP OA(), R, 则点 P 的轨迹一定通过 ABC 的（ ）AB COSB AC COSC四、外心例一： 若 O 是 ABC 的外心， H 是 ABC 的垂心，则 OH OA OC OB考点 5 、向量的坐标运算变式二： 在 ABC 中， G 为平面上任意一点，证明：GO 1 (AB AC)3O 为 ABC 的重心A. 外心B.内心C.重心D.垂心变式一： 已知点 O ，N ，P 在 ABC 所在平面内，且OA OBOC , 0 NA NB NC ，PA PB PB PC PC PA ，则 O ，N ，P 依次是ABC 的（A. 重心、外心 、垂心B. 重心、外心 、内心C. 外心 、重心、垂心D. 外心 、重心、 内心例一： 已知 A(-2,4),B(3 ， -1) ， C(-3 ， -4) ，且 CM3CA , CN2CB ,试求点 M,N 和 MN 的坐标1)若 x y ，求此时 k 和 t 满足的函数关系式 k=f(t);(2) 若 x// y ，求此时 k 和 t满足的函数关系式 k=g(t).变式二 ： 平面内给定 3 个向量 a (3,2),b ( 1,2),c(4,1) ，回答下列问题。

(1 )求 3a b 2c ；(2)求 满 足 a mb nc 的 实 数m,n;(3) 若 (akc)//(2b a) ，求 实 数 k ； ( 4 ) 设d(x,y)满足 (d c) //(a b) 且d c 1，求 d 。

考点 6：向量平行(共线)、垂直充要条件的坐标表示例一： 已知两个向量 a (1.2),b ( 3,2) ,当实数 k 取何值时，向量 ka 2b 与 2a 4b 平行？变式一： 设向量 a,b 满足|a|= 2 5，b= ( 2,1 )，且 a 与 b 反向，则 a 坐标为 ____________变式一： 已知平面向量 a ( 3, 1),b(12 , 23 ),向量 xa ( t 3)b, yka tb, 其中 t和 k 为不同时为零的实数，例二：已知向量OA ( k,12), OB (4,5), OC ( k,10)且A,B,C 三点共线，则k=( ) A:3223B:C:D:332变式一：已知a ( sin ),b (cos , ), 且a//b ，则锐角α为_________________ 23变式二：△ABC 的三内角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c 设向量p (a c,b),q(b a,c a),若p//q，则∠C 的大小为( )2A: B: C: D:6 3 2 3考点7 ：平面向量的数量积例一：(1 )在Rt△ABC 中，∠C=90 °，AC=4 ，则AB AC ( )A：-16 B:-8 C:8 D:162 )已知正方形ABCD 的边长为1，点E是AB 边上的动点，则DE CB 的值为DE CB 的最大值为______( 3 )在△ABC 中，M是BC 中点，AM =1 ，点P 在AM 上满足AP 2PM ，则PA (PB PC) 等于( )4444 A:B:C:D: 9339变式一：如图所示，平行四边形ABCD 中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3 ，则AP AC = _______变式二：在△ABC 中，AB=1 ，BC= 2，AC= 3，若O为△ABC 的重心，则AO AC的值为例二：在矩形ABCD 中，AB= 2 ,BC=2, 点 E 为BC 的中点，点 F 在边CD 上，若AB AF 2 ,则AE BF 的值A 900, AB 1 ,AC=2. 设点P,Q 满足AP AB, AQ (1 )AC, R,若BQ CP1242,则= ( ) A:B:C:D:2333变式一：在△ ABC中，例三：已知向量a,b,c 满足a b c 0, a 1,b 2, 2,则a b b c c a变式一：在△ABC 中，若AB3, BC 4, AC 6, 则AB BC BC CA CA AB变式二：已知向量a,b,c 满足a b c 0, 且 a b,a 1,b 2, 则c2 2 2 变式三：已知向量a,b,c满足a b c 0,且( a b) c,a b,若a 1,则a b c 考点8 ：平面向量的夹角例一：已知向量a (1, 3),b ( 2,0),则a与b的夹角是例二：已知a, b是非零向量且满足(a 2b) a,(b 2a) b,则a与b 的夹角是变式一：已知向量a,b,c满足a 1, b 2,c a b,a c,则a与b的夹角是变式二：已知a,b是非零向量且满足a b a b,则a与a b的夹角是变式三：若向量a与b不共线，a b 0,且c a ( )b,则a与c 的夹角是ab变式四：(高) 若向量与满足1, 1, 且以向量与为邻边的平行四边形的面积为０.５，则与的夹角的取值范围是例二：已知a 2,b 1，a与b的夹角为450，求使向量a b与a b的夹角为锐角的的取值范围。

变式一：设两个向量e1,e2 ，满足e1 2,e2 1，e1与e2 的夹角为，若向量2te1 7e2与e1 te2 的夹角为钝3角，求实数t 的范围。

变式二： 已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为 ，有下列 4 个命题：p 1 : a b 2 [0,23 );p 2 : a b2 (23 , ];p 3 : a b[0,3);p 4 : a b (3 , ];其中的真命题是(A. p 1, p 4B. p 1, p 3C. p 2,p 3D. p 2,p 4题型 9 、平面向量的模长 例一： 已知 a 5 ，向量 a 与b 的夹角为 ，求 a 3b ， ab变式一： 已知向量 a 与b 满足 a 1, b 2,ab2， 则a变式二： 已知向量 a 与b 满足 a1, b 2,a 与b 的夹角为 3，则 a b =变式三： 在△ABC 中，已知 AB 3, BC4, ABC 600, 求 AC .2 例二： 已知向量 a与b 的夹角为 ，3 变式一： (高) 已知向量 a 与b 的夹角为4 变式二： 变式三： 3, a 且a 设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 已知向量 a (2,4),b ( 1,2) ，若 c 例三： 已知向量,( 0,) ，满足 13, 则 b = 1, 2a b 10, 则 b = 2BC 外， BC a (a b)b, 则1 ，且 与16, AB AC = AB AC ,则 的夹角为 1200，则AM的取值范围是变式一：已知单位向量a, b,c ，且 a b 0，(a c) (b c) 0,则a b c 的最大值为变式二：已知直角梯形ABCD 中，AD//BC, ADC 900,AD=2 ，BC=1 ，P是腰DC 上的动点，则PA 3PB 的最小值为考点10 ：平面向量在三角函数中的应用例一：在△ABC 中，A,B,C 所对边的长分别为a,b,c ，已知向量m (1,2sin A), n (sin A,1 cosA) ，且满足m//n,b c 3a(1 )求 A 的大小(2)求sin(B ) 的值6x x x x变式一：已知变量m (cos ,cos ),n (sin , 3cos ) ，函数f(x) m n3 3 3 3(1)求f(x) 解析式(2)求f(x) 的单调递增区间2( 3 )如果△ ABC 的三边a,b,c 满足b2 ac，且b 边所对的角为x，试求x 的范围和此时f(x) 的值域3x 3x x 3x变式二：已知向量a (cos ,sin ),b (cos , sin ),x 0,2 2 2 2 2(1)求证a·b 及|a+ b|3(2)定义f(x)= a·b-2m|a+b|,若函数f(x)的最小值为，求实数m 的值2变式三：在三角形ABC 中，已知AB AC 3BA BC（1）求证tanB 3tanA（2）若cosC 5，求A的值5考点11 ：平面向量在解析几何中的应用例题一：设曲线C 上任意一点M（x,y）（x,y R）,满足向量a （x 2,y）,b （x 2,y）且| a| |b | 8（ 1 ）求曲线的方程（2）过点N （0,2 ）作直线l与曲线C交与A，B两点，若（O 为坐标原点），是否存在直线l，使四边形OAPB 为矩形；若存在，求出直线l 的方程；反之，叙述理由。

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高考数学专题复习题：平面向量

高考数学专题复习题：平面向量

高考数学专题复习题：平面向量一、单项选择题（共8小题）1.已知向量(1,)x =a ，(1,3)=−b .若向量2+a b 与向量b 垂直，则x 的值为（ ） 33||||4AC CB =.若AB BC λ=，则λ34 C.74 3.已知向量a ，b 不共线，设k =+u a b ，2=−v a b ，若//u v ，则实数k 的值为（ ）A.4.如图所示，等腰梯形ABCD 中，3AB BC CD AD ===，点E 为线段CD 上靠近点C 的三等分点，点F 为线段BC 的中点，则FE =（ ）A.1151818AB AC −+B.1111189AB AC −+C.114189AB AC −+D.1526AB AC −+第4题图 第5题图 第6题图5.如图，在等边三角形ABC 中，如果3BD DC =，那么向量AB 在向量AD 上的投影向量为（ ）AD AD AD AD 6.如图，在ABC △中，D 是线段BC 上的一点，且4BC BD =，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N ，如果AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，那么μ值是（ ）7−7.单位向量a ，b ，c 满足22−+=0a b c ，则cos ,2〈−〉=a b c （ ）8.若AB AC ⊥，||AB t =，1||AC =，ABC 平面内一点，2||||AB AC AP AB AC =+，则的最大值为（ ）A.13B.二、多项选择题（共2小题）9.已知向量，，其中，则下列说法中正确的是（ ）A.若，则B.若a 与b 的夹角为锐角，则C.若1x =，则a 在b 上的投影向量为bD.若，则10.在ABC △中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，点D 为线段AB 上靠近A 点的三等分点，E 为CD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A.16AE AB AC = AE 与EB 的夹角的余弦值为 C.AE CD ⋅=三、填空题（共5小题）11.图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图，其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，如果A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，那么AB CD ⋅=________.12.已知向量(2,5)=a ，(,4)λ=b ，若//a b ，则λ=________.13.平面向量(1,2)=a ，(4,2)=b ，()m m =+∈R c a b ，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹PB PC ⋅5−−+(1,3)=a (2,2)x x =−b x ∈R ⊥a b 6x =6x <||||||+=+a b a b 27x =角，则m =________.14.在ABC △中，2AB =，3AC =，A =3255AD AB AC =+，则AB 与AD 夹角的大小为________.15.如图，在平行四边形ABCD 中，已知M 是BC 中点，DE AM ⊥于E ，2AB AD =，cos DAB ∠=AB =a ，，以，为基底表示EC ，则EC =________.AD =b a b。

高考数学(文)《平面向量》专题复习

高考数学(文)《平面向量》专题复习

专题5 平面向量
第1节 平面向量的概念及线性运算、 平面向量基本定理
600分基础 考点&考法
❖考点29 平面向量的基本概念及线性运算 ❖考点30 平面向量的坐标运算
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考点29 平面向量的基本概念及线性运算
❖考法1 平面向量的有关概念 ❖考法2 平面向量的线性运算
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考点29 平面向量的基本概念及线性运算
【注意】①向量数乘的特殊情况：当λ＝0时，λa＝0；当a＝0时，λa＝0.②实数和向量可 以求积，但不能求和、求差．③正确区分向量数量积与向量数乘的运算律．
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考法2 平面向量的线性运算
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考点30 平面向量的坐标运算
❖考法3 平面向量基本定理的应用 ❖考法4 平面向量的共线问题 ❖考法5 平面向量的坐标表示与运算
1.向量的有关概念
2.向量的线性运算
考法1 平面向量的有关概念
解决平面向量的有关概念的问题时，应注意以下两点： 1．应正确理解向量的概念 ①向量既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以 判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；②大小与方向是向 量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；③向量可以自 由平移，任一组平行向量都可以移到同一直线上． 2．正确理解共线向量与平行向量 共线向量就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反， 当然向量所在直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不 同于平面几何中“共线”的含义．
(2)b在a方向上的投影是 一个数量，当0°≤θ＜ 90°时为正；当90°＜θ ≤180°时为负；当θ＝ 90°时为0.
考点31 平面向量的数量积
【注意】x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．
2023届高考数学复习：历年经典好题专项(平面向量的概念及线性运算)练习(附答案)

2023届高考数学复习：历年经典好题专项(平面向量的概念及线性运算)练习(附答案)

⃗ =0,|⃗|=|⃗|=|⃗ |=2,则△ABC 的面积等于(
A.√3
B.2√3
C.3√3
D.4√3
)
)
10.(多选)设 M 是△ABC 所在平面内一点,则下列说法正确的是(
A.若⃗
1 ⃗

2
1 ⃗
,则
2
⃗
M 是边 BC 的中点
B.若⃗=2⃗
⃗ ,则点 M 在边 BC 的延长线上
C.若⃗=-⃗
⃗,则 M 是△ABC 的重心
1
1
D.若⃗=x⃗+y⃗ ,且 x+y= ,则△MBC 的面积是△ABC 面积的
2
2
1
4
11.(历年山东德州高三模拟)设向量 a,b 不平行,向量 a+ λb 与-a+b 平行.则实数 λ=
.
12.(历年浙江杭州二中高二期中)在等腰梯形 ABCD 中,设⃗=a,⃗=b,⃗ =2⃗,M 为 BC 的中点,则
2
3
1
3
A. a+ b
2
3
1
3
C. a- b
2
3
)
(
)
1
3
B.- a+ b
2
3
1
3
D.- a- b
5.(历年四川宜宾叙州区第一中学月考)在▱ABCD 中,若|⃗
A.▱ABCD 为菱形
(
⃗|=|⃗
⃗|,则必有(
)
B.▱ABCD 为矩形
C.▱ABCD 为正方形 D.▱ABCD 为梯形
6.设 a,b 是非零向量,则“a=2b”是“|a+b|≥|a|+|b|”的
A.充分不必要条件
高中高考数学专题复习平面向量含试题与详细解答

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高中高考数学专题复习平面向量含试题与详细解答1．平面上有一个△ABC 和一点O ，设OA a =，OB b =,OC c =，又OA 、BC 的中点分别为D 、E ，则向量DE 等于（ ）A.()12a b c ++ B. ()12a b c -++ C. ()12a b c -+ D. ()12a b c +-2．在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是CD 和BC 的中点，若AF AE AC μλ+=，其中R ∈μλ,，则μλ+的值是 A ．34 B ．1 C ． 32 D. 31 3．若四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，且AB a =，AD b =，则BE = A.12b a +B.12a b + Ｃ.12b a - Ｄ.12a b -4．在平面内，已知31==，0=⋅OB OA ，30=∠AOC ，设n m +=，（,R m n ∈），则nm等于A ．B ．3±C ．13±D ．3±5．在等腰Rt ABC △中，90A ∠=，(1,2),(,)(0)AB AC m n n ==>，则BC = ( ） A ．（-3，-1）B ．（-3,1）C ．(3,1)-D ．（3,1）6．已知,,A B C 三点共线，且(3,6)A -，(5,2)B -，若C 点横坐标为6，则C 点 的纵坐标为（ ）．A ．13-B ．9C ．9-D ．137．设a 、b 、c 是非零向量，则下列说法中正确．．是 A ．()()a b c c b a ⋅⋅=⋅⋅ B. a b a b -≤+C ．若a b a c ⋅=⋅，则b c =D ．若//,//a b a c ，则//b c 8．设四边形ABCD 中，有DC =21，且||=|BC |，则这个四边形是 A.平行四边形B.等腰梯形C. 矩形D.菱形9．已知()()0,1,2,3-=-=，向量+λ与2-垂直，则实数λ的值为( ). A.17-B.17C.16- D.1610．若点M 为ABC ∆的重心，则下列各向量中与共线的是（ ） A ．++ B ．++ C ．AC AM +3 D ．CM BM AM ++11．若|a |=|b |=|a －b|,则b 与a +b 的夹角为 （ ）A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°12． 已知()23,a =,47(,)b =-,则b 在a 上的投影为（ ）（A）(B)13．R t t ∈+===,),20cos ,20(sin ,)25sin ,25(cos 0000，则||的最小值是 A. 2 B.22C. 1D. 2114．矩阵A 1002⎛⎫=⎪⎝⎭，向量12α⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A 10α= （ ） A ．1012⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1112⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．2060⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1122⎛⎫⎪⎝⎭15．如图，A 、B 分别是射线OM ON ，上的两点，给出下列向量：①OA OB +；②1123OA OB +；③3143OA OB +； ④3145OA OB +；⑤3145OA OB -.这些向量中以O 为起点，终点在阴影区域内的是( )A ．①②B ．①④C ．①③D ．⑤16．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于( ) A. B. C. D.17．已知O 为空间内任意一点，P 为ABC ∆所在平面内任意一点，且2OP OA OB mCO =++ 则m 的值为( )A 、 2B 、2-C 、3D 、 3-18．设向量(cos25,sin 25),(sin 20,cos20)a b =︒︒=︒︒，若c a t b =+（t ∈R ），则()2c 的最小值为（ ）A.2B.1C.22 D.2119．已知20()OA x OB x OC x R ⋅+⋅-=∈，其中,,A B C 三点共线，O 是线外一点，则满足条件的x （ ）A ．不存在B ．有一个C ．有两个D ．以上情况均有可能 20．平面直向坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1） B （－1，3）若点C 满足OC OA OB αβ=+，其中α β∈R 且α+β=1，则点C 的轨迹方程为 。