成都金堂金龙中学2018—2019北师版七下数学第一章《整式的乘除》各知识点方法点拨

成都金堂金龙中学2018—2019北师版七下数学第一章《整式的乘除》各知识点方法点拨●同底数幂的乘法方法点拨［例1］计算：(1)-a·(-a)3·(-a)2(2)-b3·b n(3)(x+y)n·(x+y)m+1点拨：应用同底数幂的乘法公式时，一定要保证底数相同.(1)中底数是-a,-a可看作(-a)1；(2)中-b3可看作(-1)·b3,这样b3与b n可利用公式进行计算；(3)中底数是x+y,将它看作一个整体.解：(1)-a·(-a)3·(-a)2（不要漏掉指数1）= (-a)1·(-a)3·(-a)2=(-a)6(2)-b3·b n=(-1)·(b3·b n)——乘法结合律=(-1)·b3+n=-b3+n(3)(x+y)n·(x+y)m+1=(x+y)n+(m+1)=(x+y)n+m+1［例2］计算：(1)a6·a6(2)a6+a6点拨：对于（1），可利用“同底数幂的乘法公式”计算,而第（2）题，是两个幂相加，需进行合并同类项，注意两者的区别.解：(1)a6·a6=a6+6=a12(2)a6+a6=2a6注意区分：同底数幂的乘法是乘法运算，且底数不变，指数相加．．.而合并同类项是加（减）法，且系数相加，字母与字母的指数不变．．.［例3］计算：(1)8×2m×16(2)9×27-3×34点拨：这两道题的乘法中，底数都不相同，但可进行相应的调整，变为同底数幂，即可利用公式进行计算.而（2）中先进行乘法，再进行减法，注意运算顺序.解：(1)8×2m×16=23×2m×24=23+m+4=2m+7(2)9×27-3×34=32×33-3×34=35-35=0方法点拨-1.4幂的乘方与积的乘方［例1］计算：(1)(a4)3+m(2)(-4xy2)2点拨：（1）用幂的乘方，（2）先用积的乘方的公式，再利用幂的乘方的公式化简到最后.解：(1)(a4)3+m=a4×(3+m)=a12+4m别忘打括号！(2)(-4xy2)2=(-4)2x2(y2)2=16x2y4注意：幂的乘方的指数中若有多项式，指数相乘时要打括号.［例2］计算(1)(3×104)4(2)(-3a3)2·a3+(-a)2·a7-(5a3)3点拨：（1）底数是用科学记数法表示，结果也可用科学记数法表示，注意格式.(2)是混合运算，先进行乘方运算，再进行乘法运算，最后进行加减运算，注意运算顺序.解：(1)(3×104)4=34×(104)4=81×1016=8.1×1017(一定要注意科学记数法的写法)(2)(-3a3)2·a3+(-a2)·a7-(5a3)3=(-3)2·(a3)2·a3+(-a9)-53(a3)3=9a6·a3-a9-125a9=9a9-a9-125a9=-117a9［例3］计算：(x-y)3·(y-x)2·(x-y)4.点拨：此题中的幂的底数不是完全相同，所以不能完全利用同底数幂的乘法，但x-y与y-x是互为相反数，若将x-y化为-(y-x)的形式，或将y-x化为-(x-y)的形式，再利用积的乘方及同底数幂的乘方公式即可计算.注意：计算过程中，始终将x-y或y-x看作整体进行计算.解：(x-y)3·(y-x)2·(x-y)4=(x-y)3·(x-y)4·［-(x-y)］2=(x-y)7·(x-y)2=(x-y)9或:(x-y)3·(y-x)2·(x-y)4=(x-y)7·(y-x)2=［-(y-x)］7·(y-x)2=(-1)7·(y-x)7·(y-x)2=-(y-x)9说明：Ⅰ.两种方法的结果（x-y）9与-(y-x)9虽然形式不同，但实质是一致的，这两种结果均可作为最后答案.Ⅱ.当底数是多项式时，幂的形式可作为最后结果，不必展开.［例4］计算(1)(-0.25)11×411(2)(-0.125)200×8201点拨：将积的乘方公式逆用可有a n·b n=(ab)n，即若有指数相同的幂相乘，则可将底数相乘，相同的指数作为共同的指数.若有指数虽不相同，但相差较小，且底数相乘后可简化运算的情况，可利用同底数幂乘法公式逆运算a m+n=a m·a n,将指数作适当调整，再利用“积的乘方公式的逆计算”进行简化运算.解：(1)(-0.25)11×411=(-0.25×4)11=(-1)11=-1(2)(0.125)200×8201=(-0.125)200×8200+1=(-0.125)200×8200×8=(-0.125×8)200×8=(-1)200×8=1×8=8［例5］已知：644×83=2x,求x.点拨：由于x是方程右边部分2的指数，只要将方程左边部分化为底数为2的幂的形式即可.解：∵644×83=(26)4×(23)3=224×29=233∵644×83=2x,∴233=2x,∴x=33.方法点拨：幂的乘方与积的乘方［例1］计算：(1)(a4)3+m(2)(-4xy2)2点拨：（1）用幂的乘方，（2）先用积的乘方的公式，再利用幂的乘方的公式化简到最后.解：(1)(a4)3+m=a4×(3+m)=a12+4m别忘打括号！(2)(-4xy2)2=(-4)2x2(y2)2=16x2y4注意：幂的乘方的指数中若有多项式，指数相乘时要打括号.［例2］计算(1)(3×104)4(2)(-3a3)2·a3+(-a)2·a7-(5a3)3点拨：（1）底数是用科学记数法表示，结果也可用科学记数法表示，注意格式.(2)是混合运算，先进行乘方运算，再进行乘法运算，最后进行加减运算，注意运算顺序.解：(1)(3×104)4=34×(104)4=81×1016=8.1×1017(一定要注意科学记数法的写法)(2)(-3a3)2·a3+(-a2)·a7-(5a3)3=(-3)2·(a3)2·a3+(-a9)-53(a3)3=9a6·a3-a9-125a9=9a9-a9-125a9=-117a9［例3］计算：(x-y)3·(y-x)2·(x-y)4.点拨：此题中的幂的底数不是完全相同，所以不能完全利用同底数幂的乘法，但x-y与y-x是互为相反数，若将x-y化为-(y-x)的形式，或将y-x化为-(x-y)的形式，再利用积的乘方及同底数幂的乘方公式即可计算.注意：计算过程中，始终将x-y或y-x看作整体进行计算.解：(x-y)3·(y-x)2·(x-y)4=(x-y)3·(x-y)4·［-(x-y)］2=(x-y)7·(x-y)2=(x-y)9或:(x-y)3·(y-x)2·(x-y)4=(x-y)7·(y-x)2=［-(y-x)］7·(y-x)2=(-1)7·(y-x)7·(y-x)2=-(y-x)9说明：Ⅰ.两种方法的结果（x-y）9与-(y-x)9虽然形式不同，但实质是一致的，这两种结果均可作为最后答案.Ⅱ.当底数是多项式时，幂的形式可作为最后结果，不必展开.［例4］计算(1)(-0.25)11×411(2)(-0.125)200×8201点拨：将积的乘方公式逆用可有a n·b n=(ab)n，即若有指数相同的幂相乘，则可将底数相乘，相同的指数作为共同的指数.若有指数虽不相同，但相差较小，且底数相乘后可简化运算的情况，可利用同底数幂乘法公式逆运算a m+n=a m·a n,将指数作适当调整，再利用“积的乘方公式的逆计算”进行简化运算.解：(1)(-0.25)11×411=(-0.25×4)11=(-1)11=-1(2)(0.125)200×8201=(-0.125)200×8200+1=(-0.125)200×8200×8=(-0.125×8)200×8=(-1)200×8=1×8=8［例5］已知：644×83=2x,求x.点拨：由于x是方程右边部分2的指数，只要将方程左边部分化为底数为2的幂的形式即可.解：∵644×83=(26)4×(23)3=224×29=233∵644×83=2x,∴233=2x,∴x=33.●同底数幂的除法方法点拨［例1］计算(1)y10÷y3÷y4(2)(-ab)5÷(-ab)3点拨：先观察题目，确定运算顺序及可运用的公式，再进行计算.题目（2）中被除数与除数的底数相同，故可先进行同底数幂的除法，再运用积的乘方的公式将计算进行到最后.解：(1)y 10÷y 3÷y 4=y 10-3-4=y 3(2)(-ab )5÷(-ab )3=(-ab )2=a 2b 2注意：像（2）这种题目，一定要计算到最后一步.［例2］计算(1)x n +2÷x n -2 (2)50×10-2（3）用小数或分数表示：5.2×10-3.点拨：（1）在运用“同底数幂的除法”公式时，指数若是多项式，指数相减一定要打括号.(2)中用到零指数和负指数的公式，直接套用即可，（3）先将负指数的幂化为小数，再进行乘法运算，得到最后结果.解：(1)x n +2÷x n -2=x (n +2)-(n -2)=x 4(2)50×10-2=1×2101=0.01 (3)5.2×10-3=5.2×3101=5.2×0.001=0.0052 ［例3］在括号内填写各式成立的条件：（1）x 0=1( )（2）(a -3)0=1( )（3）(a 2-b 2)0=1( )点拨：对于a 0=1这个公式成立的条件是底数不为0，即使底数是多项式.解：(1)x ≠0 (2)a -3≠0,即a ≠3 (3)a 2-b 2≠0,即a 2≠b 2［例4］计算 (1)(-121)0-(-π)0 (2)(31)2+(31)0+(-31)0 (3)(-21)-2 点拨：（1）运用零指数公式即可，（2）中注意乘法与加法的区别，第一个31的指数是+2，（3）中底数是分数的负指数幂要仔细运用公式，易错之处.解：(1)(-121)0-(-π)0=1-1=0 (2)(31)2+(31)0+(-31)0=91+1+1=291 (3)(-21)-2=2)21(1 =411=4(易错！仔细运算) ●整式的乘法方法点拨［例1］计算(1)(-3.5x 2y 2)·(0.6xy 4z )(2)(-ab 3)2·(-a 2b )点拨：先确定运算顺序，再利用单项式乘单项式的法则进行计算.(1)直接作乘法即可，（2）先作乘方运算，再作乘法运算.解：(1)(-3.5x 2y 2)·(0.6xy 4z )（系数相乘） （相同字母相乘） （不同字母相乘）（在x 2·x 中，x 的指数是1，不要漏掉）=-2.1x 3y 6z(2)(-ab 3)2·(-a 2b )=a 2b 6·(-a 2b )——先算乘方=-(a 2·a 2)(b 6·b )——再算乘法=-a 4b 7［例2］计算(1)a m (a m -a 3+9)(2)(4x 3)2·［x 3-x ·(2x 2-1)］点拨：先确定运算顺序，再运用相应的公式进行计算.(2)中用到了幂的乘方，单乘多及去括号几种运算公式及方法，要一步步进行.解：［例3］计算(1)(2a +3b )(3a +2b ) (2)(3m -n )2点拨：这两题都需运用多项式相乘的法则进行计算，能合并同类项的要将结果化到最简的形式.注意第（2）题要化为多乘多的形式.解：(2)(3m -n )2注意乘方的意义=(3m -n )(3m -n )=3m ·3m -3m ·n -n ·3m +n ·n=9m 2-3mn -3mn +n 2=9m 2-6mn +n 2［例4］（1）(-31xy 2)2·［xy (2x -y )+xy 2］ (2)(-3x )2-2(x -5)(x -2)点拨：对于混合运算，一定要注意运算顺序，尤其是乘方运算，每次运算后的结果要打上括号才能进行下一步运算.解：(1)(-31xy 2)2·［xy (2x -y )+xy 2］ =91x 2y 4·［2x 2y -xy 2+xy 2］ =91x 2y 4·(2x 2y ) =92x 4y 5 (2)(-3x )2-2(x -5)(x -2)=9x 2-2(x 2-2x -5x +10)=9x 2-2(x 2-7x +10)=9x 2-2x 2+14x -20=7x 2+14x -20说明：一般来说，为了简化运算，能合并同类项的可先合并同类项，减少项数，再进行下一步的运算.［例5］解下列方程8x 2-(2x -3)(4x +2)=14点拨：利用多乘多法则将方程左边部分化简，再运用解方程的方法求出x .解：8x 2-(2x -3)(4x +2)=148x 2-(8x 2+4x -12x -6)=148x 2-(8x 2-8x -6)=148x 2-8x 2+8x +6=148x =8x =1［例6］长方形的一边长3m +2n ,另一边比它大m -n ,求长方形的面积.点拨：先分别求出长和宽，再根据“长方形的面积=长×宽”求出面积.列式的时候，表示每条边的多项式都要用括号括起来.解：长方形的宽：3m +2n长方形的长=(3m +2n )+(m -n )=4m +n长方形的面积：(3m +2n )·(4m +n )=3m ·4m +3m ·n +2n ·4m +2n ·n=12m 2+3mn +8mn +2n 2=12m 2+11mn +2n 2答：长方形的面积是12m 2+11mn +2n 2.●平方差公式方法点拨［例1］计算（1）(3a -2b )(2b +3a ) (2)(-4x +y )( 4x +y ) 点拨：先在两个二项中找出公式中的a 和b ，利用公式进行运算.解：（1）(3a -2b )·(2b +3a )=(3a )2-(2b )2=9a 2-4b 2 (2)(-4x +y )·(4x +y )=y 2-(4x )2=y 2-162x ［例2］填空(1)(a +d )·( )=d 2-a 2(2)(-xy -1)·( )=x 2y 2-1点拨：根据平方差公式右边a 2-b 2中被减数中的a 代表相同的项，而减数中的b 在等式左边中应是互为相反数的两项.（1）中d 2-a 2中的d 在两个二项式中皆为正，而a 在第一个多项式中为正，则在第二个多项式中应为负.(2)中含xy 的项为a ，即相同的项，而含1的项为b ,即互为相反的项.解：［例3］计算：(x 2+4)(x -2)(x +2)点拨：由于运用平方差公式可简化运算，因此可以利用乘法结合律先将可用平方差公式进行计算的部分先计算，而且平方差公式可以连用.解：(x 2+4)(x -2)(x +2)=(x 2+4)［(x -2)(x +2)］=(x 2+4) (x 2-4) 用公式计算后的结果要打括号=（x 2）2-42=x 4-16［例4］计算：(a -2b )(2a -b )-(2a -b )(b +2a )点拨：前两个相乘的多项式不符合平方差公式特征，只能用“多项式乘多项式”；后两个多项式相乘可以用平方差公式，算出的结果一定要打上括号，再进行下面的计算.解：(a -2b )(2a -b )-(2a -b )(b +2a )=2a 2-ab -4ab +2b 2-［(2a )2-b 2］ 打括号=2a 2-5ab +2b 2-(4a 2-b 2)=2a 2-5ab +2b 2-4a 2+b 2=-2a 2-5ab +3b 2切记：当进行计算时，用平方差公式计算出的结果一定要打上括号再与其他项进行加、减、乘、除等运算！［例5］计算：704×696点拨：704与696中间数是整数700，则704与696均可化为含700的代数式：704=700+4，696=700-4，这两个代数式相乘正好可用平方差公式进行简便运算.解：704×696 ①=(700+4)×(700-4) ②=7002-42=490000-16=489984注意：由①变化到②时，虽然形式有所改变，但一定要保证每个数的大小都不变.●整式的除法方法点拨［例1］计算(1)(a 2n +2b 3c )÷(2a n b 2)(2)(x -y )5÷(y -x )3点拨：（1）中被除式的系数是1，可按照单项式相除法则计算;(2)将底数多项式看作整体，先将底数调整为相同的，进行同底数幂的除法（同底数幂的除法可看作单项式相除中最简单的形式），并将结果化到最后.解：(1)(a 2n +2b 3c )÷(2a n b 2)=(1÷2)·(a 2n +2÷a n )·(b 3÷b 2)·c =21a n +2bc (2)(x -y )5÷(y -x )3=-(y -x )5÷(y -x )3=-(y -x )2=-(y 2-2xy +x 2)=-y 2+2xy -x 2注意：类似（2）这种题，若进行整式乘、除法后得到的结果仍可按照某公式化简，一定要计算到最后！［例2］计算 (1)(32x 3y 2)3÷(21xy )2 (2)(3xy 2)2·(2xy )÷(6x 3y 3)点拨：对于混合运算，先弄清运算顺序，再根据相应的法则进行计算.(1)先进行乘方，再进行除法运算.(2)先乘方，再自左至右进行乘除法.解：(1)(32x 3y 2)3÷(21xy )2 =278x 9y 6÷(41x 2y 2) =(278÷41)(x 9÷x 2)·(y 6÷y 2) =2732x 7y 4 (2)(3xy 2)2·(2xy )÷(6x 3y 3)=(9x 2y 4)·(2xy )÷(6x 3y 3)=(18x 3y 5)÷(6x 3y 3)=3y 2［例3］计算(1)(6x3y4z-4x2y3z+2xy3)÷(2xy3)(2)［(x+y)2-(x-y)2］÷(xy)点拨：对于混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减.有括号的，先算括号里的.解：(1)(6x3y4z-4x2y3z+2xy3)÷(2xy3)=(6x3y4z)÷(2xy3)-(4x2y3z)÷(2xy3)+(2xy3)÷(2xy3)=3x2yz-2xz+1 这一项易漏！(2)［(x+y)2-(x-y)2］÷(xy)=［x2+2xy+y2-(x2-2xy+y2)］÷(xy)=［4xy］÷（xy）=4［例4］任意给一个非零数，按下列程序算下去，写出输出结果.点拨：用字母根据所给运算顺序列出代数式，并化简.在数字运算的过程中，每进行一步，都会算出结果，再用此结果进行下一步的计算.解：(n2+2n)÷n=n2÷n+2n÷n=n+2所以输出结果为n+2.。