椭圆的第二定义
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椭圆的第二定义今天我们研究椭圆的第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数（介于0与1之间）的动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的相应准线。
先看例题：例：点()y x M ,与定点()0,c F 的距离和它到定直线cax l 2:=的距离的比是常数ac ()0>>c a ，求点M 的轨迹。
解：设d 是点M 到直线l 的距离，根据题意得=M F c da整理得：()ac xcay c x =-+-222两边同时平方，并化简，得()()22222222caaya xca -=+-，令222b ca=-，得轨迹的方程为12222=+by ax ()0>>b a如图所示：归纳整理： 椭圆的第二定义：平面内与一个定点()0,c F 的距离和它到一条定直线cax l 2:=的距离之比是常数(01)c e e a=<<的动点M 的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。
注意： ①对于椭圆方程22221(0)x y a b ab+=>>对应于右焦点2(0)Fc ，的准线称为右准线，方程为2ax c =对应于左焦点1(0)F c -，的准线为左准线，方程为2ax c=-②e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。
再看一个例题，加深印象例：到定点(2,0)的距离与到定直线x =8的距离之比为22的动点的轨迹方程是解：设动点(,)M x y=2两边平方整理得0568222=-++x y x .注意：本题中椭圆中心不在原点。
如果误认为椭圆中心在原点，而直接使用相应的a ，b ，c 直接计算，就会产生错误。
所以解决问题，要从题目条件本身出发，不能自己“创造”条件。
总结：1.了解椭圆的第二定义中的各常量a ，b ，c ，ca ，2a c几何意义。
认识到离心率c a在第二定义中的关键作用。
2.理解椭圆第二定义，以及第一定义与第二定义的等价性。
3. 会用椭圆的第二定义求椭圆的轨迹方程。
4.焦半径公式：例题：例1、设椭圆的方程为)0(12222>>=+b a by ax ，线段PQ 是过左焦点F 且不与x 轴垂直的焦点弦，若在左准线上存在点R ，使△PQR 为正三角形，求离心率e 的取值范围.例2、过椭圆C：()012222>>=+babyax的右焦点F的直线L与C相交于A、B两点，直线L的倾斜角为60°，FBAF2=。
（1）求椭圆C的离心率；（2）如果415=AB，求椭圆C的方程。
练习：1.已知椭圆的一个焦点为F1(0,-，对应的准线方程为4y=-，且离心率e满足：24,,33e成等比数列。
求椭圆方程。
1.解：依题意e3=，244acc-=-=∴a＝3，c＝2，b＝1，又F1(0，－，对应的准线方程为4y=-∴椭圆中心在原点，所求方程为22119x y+=2.已知：椭圆13610022=+yx上一点P到左焦点的距离为15，则P点到此椭圆两准线的距离分别是多少？22.解：4754511=⨯=PF d 4254552=⨯=d3.若椭圆的两个焦点把两准线间的距离三等分,求离心率e4. 离心率e=22,且两准线间的距离为4，求椭圆的标准方程。
5. 已知椭圆13422=+yx有内一点P （1，－1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|取最小值，求点M 的坐标。
变式：求:|MP|+|MF|的最大值和最小值.强化练习：1. 过椭圆12222=+by ax 的左焦点F 1任作一条弦AB,请判断:以AB 为直径的圆与左准线的位置关系.2.已知P 为椭圆13422=+yx上的动点，则21PF PF ∙最大值和最小值是多少？3.设椭圆12222=+by ax （0,0>>b a ）的右焦点为1F ，右准线为1l ，若过1F 且垂直于x 轴的弦的长等于点1F 到1l 的距离，则椭圆的离心率是 .归纳整理：用椭圆第二定义求离心率的一般方法： 首先题目中要出现椭圆上的点到焦点的距离， 再利用椭圆的第二定义，列出关于,,a b c 的方程 然后根据222b ac ＝－，消去b 转化成关于e 的方程，进而求解。
4. 已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交C 于点D ,且2B F F D =,则C 的离心率为________. 解：不妨设椭圆方程为22221x y ab+=,若过D 作DE 垂直y 轴因为B O F B E D ， 所以有：||||2||||3O F B F D E B D ==，3||2D E c =设D (x D ,y D ),得32D x c =，再根据椭圆第二定义，有2233||()22acD F e c a ca=-=-根据椭圆性质，有||,||2a B F a D F ==，所以2322ca a a-=，整理得223a c =，所以离心率为：3e =另解：不妨设椭圆方程为22221x y ab+=,F (c ,0),B (0,b ),设D (x D ,y D ),则(,)B F c b =-,(,)D D F D x c y =-,由2B F F D=，解得32D x c =,12D y b =-,把点D 的坐标代入方程化简得2213c a=,所以3e =5.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为6.如图，O 为椭圆的中心,F 为焦点,A 为顶点, 准线l 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上,PD ⊥l 于D ，QF ⊥AO 于F.设椭圆的离心率为e ,则||||(1);(2);||||||||||(3);(4);(5).||||||P F Q F e e P D B F A O A F F O e e e B O B A A O =====其中正确的序号是 答案：1. 解：221222===ADAF e2. 如图所示都对椭圆的第二定义今天我们研究椭圆的第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数（介于0与1之间）的动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的相应准线。
先看例题：例：点()y x M ,与定点()0,c F 的距离和它到定直线cax l 2:=的距离的比是常数ac ()0>>c a ，求点M 的轨迹。
归纳整理： 椭圆的第二定义：平面内与一个定点()0,c F 的距离和它到一条定直线cax l 2:=的距离之比是常数(01)c e e a=<<的动点M 的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。
注意： ①对于椭圆方程22221(0)x y a b ab+=>>对应于右焦点2(0)F c ，的准线称为右准线，方程为2ax c =对应于左焦点1(0)F c -，的准线为左准线，方程为2ax c=-②e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。
例：到定点(2,0)的距离与到定直线x =8的距离之比为22的动点的轨迹方程是注意：本题中椭圆中心不在原点。
如果误认为椭圆中心在原点，而直接使用相应的a ，b ，c 直接计算，就会产生错误。
所以解决问题，要从题目条件本身出发，不能自己“创造”条件。
总结：1.了解椭圆的第二定义中的各常量a ，b ，c ，ca ，2a c几何意义。
认识到离心率c a在第二定义中的关键作用。
2.理解椭圆第二定义，以及第一定义与第二定义的等价性。
3. 会用椭圆的第二定义求椭圆的轨迹方程。
4.焦半径公式：例题：例1、 设椭圆的方程为)0(12222>>=+b a by ax ，线段PQ 是过左焦点F 且不与x 轴垂直的焦点弦，若在左准线上存在点R ，使△PQR 为正三角形，求离心率e 的取值范围.例2、过椭圆C ：()012222>>=+b a by ax的右焦点F 的直线L 与C 相交于A 、B 两点，直线L 的倾斜角为60°，FB AF 2=。
（1）求椭圆C 的离心率； （2）如果415=AB ，求椭圆C 的方程。
练习：1.已知椭圆的一个焦点为F 1(0,-，对应的准线方程为4y =-，且离心率e 满足：24,,33e 成等比数列。
求椭圆方程。
2.已知：椭圆13610022=+yx上一点P 到左焦点的距离为15，则P 点到此椭圆两准线的距离分别是多少？3.若椭圆的两个焦点把两准线间的距离三等分,求离心率e4. 离心率e=22,且两准线间的距离为4，求椭圆的标准方程。
5. 已知椭圆13422=+yx有内一点P （1，－1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|取最小值，求点M 的坐标。
变式：求:|MP|+|MF|的最大值和最小值.强化练习：1. 过椭圆12222=+by ax 的左焦点F 1任作一条弦AB,请判断:以AB 为直径的圆与左准线的位置关系.2.已知P 为椭圆13422=+yx上的动点，则21PF PF ∙最大值和最小值是多少？3.设椭圆12222=+by ax （0,0>>b a ）的右焦点为1F ，右准线为1l ，若过1F 且垂直于x 轴的弦的长等于点1F到1l 的距离，则椭圆的离心率是.4. 已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交C 于点D ,且2B F F D =,则C 的离心率为________.5. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为11 6.如图，O 为椭圆的中心,F 为焦点,A 为顶点, 准线l 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上,PD ⊥l 于D ，QF ⊥AO 于F.设椭圆的离心率为e ,则||||(1);(2);||||||||||(3);(4);(5).||||||P F Q F e e P D B F A O A F F O e e e B O B A A O =====其中正确的序号是。
