高二数学椭圆的第二定义(1)

椭圆第二定义证明过程椭圆第二定义证明，是椭圆学中的一个重要定理，可以通过演绎法来证明。

椭圆第二定义宣称，当两点P（x，y）和Q（x'，y'）分别位于椭圆上，而且它们所对应的横坐标差以及纵坐标差分别相等时，这两点就在椭圆的同一条弦上。

首先，我们将双曲线C的标准方程写为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$取任意点P$\left(\begin{matrix} x\\ y \end{matrix}\right)$和Q$\left(\begin{matrix} x'\\ y' \end{matrix}\right)$分别位于椭圆上。

将P点代入标准方程可以得出$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$同样，将Q点代入标准方程可以得出$$\frac{{x'}^2}{a^2}+\frac{{y'}^2}{b^2}=1$$此时，我们可以将上面两个等式相减：$$\frac{x^2-{x'}^2}{a^2}+\frac{y^2-{y'}^2}{b^2}=0\Longrightarrow \frac{(x-x')(x+x')}{a^2}+\frac{(y-y')(y+y')}{b^2}=0$$设$x-x'=m$和$y-y'=n$，则$$m^2+\frac{mn}{e}+n^2=0 \quad (e=\frac{b^2}{a^2}) $$即：$m,n$构成定系数二元一次方程组$$\begin{cases}m+en=0 \\n+em=0\end{cases}$$解得 $m=ne$，$n=-me$，于是$$x-x'=m=(x+x')(\frac{b^2}{a^2})，y-y'=n=(y+y')(\frac{b^2}{a^2})$$同时，由于$P$和$Q$分别位于椭圆上，其中一个满足$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，另一个同样满足$\frac{{x'}^2}{a^2}+\frac{{y'}^2}{b^2}=1$，因此$x+x'=2a$,$y+y'=2b$。

椭圆第二定义是什么
---------------------------------------------------------------------- 椭圆的第二定义:平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e(即椭圆的离心率，e=c/a)的点的集合（定点F不在定直线上，该常数为小于1的正数）。

1、椭圆的第二定义：
平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e(即椭圆的离心率，e=c/a)的点的集合（定点F不在定直线上，该常数为小于1的正数），其中定点F为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是x=土a 2/c<焦点在X轴上>或者y=士a ~2/c<焦点在Y轴上>)。

2、参数方程：
x=acos 0 , y=bsin 0 。

求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时，用参数坐标可将问题转化为三角函数问题求解：
x=a×cos β , y=b×sin β a为长轴长的一半b为短轴长的一半。

[教学目标]通过教学使学生掌握椭圆的性质，进一步熟悉椭圆的第一定义，能够利用这些性质解决一些相关问题。

[教学设计]1．作业讲评2．（继续完成上节课没有完成的例题。

）例1 平面内两定点的距离为8，试建立适当的坐标系，写出到这两个定点的距离之和为10的点的轨迹的方程。

（125922=+y x ） 例2 求与椭圆14922=+y x 共焦点，并且过点（3，-2）的椭圆的方程。

（1101522=+y x ） 例3 椭圆131222=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的（ ）A ． 7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍3．椭圆的性质（1）标准方程的特点与椭圆的位置（2）变量的取值范围（3）对称性（两条对称轴与一个对称中心）（4）顶点（四个顶点、长轴与短轴）（5）离心率、准线与椭圆的第二定义焦点在x 轴上，半焦距为c 的椭圆的标准方程为12222=+by a x ，则称e = a c 为椭圆的离心率（eccentricity ），直线x = c a 2为椭圆的右准线（right directrix ），x = -ca 2为椭圆的左准线（left directrix ）。

·设P （x ，y ）是椭圆上的任意一点，则P 点到椭圆左焦点F 1（-c ，0）的距离与到左准线x = -ca 2的距离之比等于离心率e 。

反之也对。

椭圆的第二定义：平面内到一个定点和一条定直线的距离之比是一个常数e （0 < e < 1）的点的轨迹称为椭圆。

这个定点叫做椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线。

例4 设P 是椭圆1162522=+y x 上的一点，若它到椭圆右焦点的距离为4，求它到椭圆左准线的距离。

（10）作业：课本p142 1，p143 4、5 补充：椭圆14922=+y x 的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点.当21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是___________.解答：1、4、5参考课本303页的答案，4、5题要有解题过程。

椭圆一．椭圆及其标准方程1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a ，2a ＞|F1F2|=2c}；这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。

（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。

2．标准方程：222c a b =-①焦点在x 轴上：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）； 焦点F （±c ，0）②焦点在y 轴上：12222=+b x a y （a ＞b ＞0）； 焦点F （0, ±c ）注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：221x y m n += 或者 mx2+ny2=1二．椭圆的简单几何性质： 1.范围（1）椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b（2）椭圆12222=+b x a y （a ＞b ＞0） 横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a2.对称性椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点（1）椭圆的顶点：A1（-a ，0），A2（a ，0），B1（0，-b ），B2（0，b ）（2）线段A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

4．离心率（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比22c a ，即a c称为椭圆的离心率，记作e （10<<e ），22221()b e a a ==-ce 0=是圆；e 越接近于0 （e 越小），椭圆就越接近于圆; e 越接近于1 （e 越大），椭圆越扁；注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。

椭圆第二定义的教学江苏省如皋中学 郝 茹 郝劲赴现行高中《平面解析几何》课本对椭圆第二定义采用了从具体事例入手，引出一个新概念的定义的方法，这是数学教学中常用的从具体到抽象、从特殊到一般地讲授新概念的方法，符合人们从感性到理性的认识事物的规律．但是，在这里我们要注意，从认识事物的原型到认识事物的本质，这是对事物认识的质的飞跃，妥善处理好这个过程，是教学成功的关键．为此，我们在教学椭圆第二定义时，作了如下安排：１．自读推敲，引导剖析 首先让学生自读课本Ｐ．７６例３及由此引出的椭圆第二定义，自己推敲这一定义的内涵及外延，并提出以下问题供学生思考：（１）定义中有哪些已知条件？（２）定点、定直线、定比在椭圆定义中的名称各是什么？（３）定比是哪两个量的比？这两个量本身是变量还是常量？定比是什么范围的值？ （４）定点、定直线、定比一定是例３给出的数量关系（Ｆ（)1,),0,2ac e cax c ==吗？定点坐标、定直线方程是否可为其他的形式？对第（１）、（２）、（３）三个问题学生容易从课本中找出答案，但第（４）个问题则一石激起千层浪，学生们议论纷纷．这时，教师启而不答．２．通过变式，提示内涵 让学生研究课本Ｐ．７９第１０题“点Ｐ与一定点Ｆ（２，０）的距离和它到一定直线x ＝８的距离的比是１：２，求点Ｐ的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．”学生很快根据例３求出c ＝２，又由21==a c e ，得a ＝４，而由82422===cax ，可知满足题意．从而得点Ｐ的轨迹方程为1121622=+yx，所以点Ｐ的轨迹是椭圆．接着，我将上题稍加改动，让学生研究：“点Ｐ与一定点Ｆ（２，０）的距离和它到一定直线x ＝８的距离的比是31，求点Ｐ的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．”学生沿用上题的解法，得2=c ，由31=ac ，得3226,6222=-==b a ，得轨迹方程为1323622=+yx，有的学生由8182362≠==ca而提出该题题设矛盾，所以无解，也有的学生列出方程组⎪⎩⎪⎨⎧==822ca c ，解得3121,4,2≠=∴⎩⎨⎧==e a c ，而认为此题无解． 这时，教师不评价学生的解法，而是提示他们比较该题题意与课本给出的椭圆第二定义是否一致，由他们自己发现满足题意的动点轨迹是椭圆，进而重新寻求解题的途径．不少学生建立方程318)2(22=-+-x yx ，化简得1291681)45(22=+-yx ，由此可见，这是中心在点（)0,45，对称轴为直线45=x 及0=y 的椭圆．从该例让学生看到椭圆第二定义中的定点、定直线、定比的数量关系不一定是课本Ｐ．７６例３给出的定点Ｆ（c ，０）、定直线cax 2=、定比ac e =，当不满足这个数量关系时，建立椭圆方程不能套用例３的结果去解．当给出定点Ｆ（n ，０）、定直线x ＝m （m ≠n ）、定比为e （０＜e ＜１)时，可建立方程e mx yn x =-+-22)(，解得11)()1()()1(22222222222=--+----+en m e ye n m e enmex ．显然，只要m ≠n ，即点Ｆ（n ，０）不在直线x ＝m 上时，都是椭圆方程．这样，就让学生自己在解决问题的过程中，求得思考题（４）的第一个问题的答案．进而指导学生深入推敲椭圆第二定义，让他们深切地理解定义中的定点一般为(x 0,y 0)，定直线一般为ax +by +c ＝０，并告诉学生在学过坐标变换之后，可通过坐标变换，将所求的轨迹方程化为椭圆的标准方程．通过以上研究，让学生明确：课本Ｐ．７６例３题设中给出的数量关系是椭圆的标准方程的条件，而不是所有椭圆方程所要求的条件，即不是椭圆方程的本质特征，这样，学生对椭圆第二定义的内涵和外延的理解就深刻多了．３．列举反例，防患未然 要使学生深刻理解新概念，除了要正面剖析概念，运用变式比较，揭示概念本质以外，我们还经常列举一些反例让学生判别，防止常见错误的发生．为此，给出以下两例，让学生判别命题是否正确．例１ 点Ｐ到点Ｆ（２，０）的距离比它到定直线x =7的距离小１，点Ｐ的轨迹是什么图形？ 给出如下解法让学生判别：解：设Ｐ点的坐标为（x ,y ），则.171)2(71)2(2222=-++-⇒-=++-x yx x yx而71)2(7)2(2222-++--+-x yx x yx＝１，所以点Ｐ到定点Ｆ（２，０）的距离与它到定直线x =7的距离的比小于１，故点Ｐ的轨迹是椭 圆．例２ 点Ｐ到定直线x =8的距离与它到点Ｆ（２，０）的距离的比为21，则点Ｐ的轨迹是椭圆．对上述两个问题，引导学生逐一分析，让学生明确：例１中，比值17)2(22-+-x yx ，但不是一个常数，故不可断定点Ｐ的轨迹是椭圆．例２中要注意椭圆第二定义中的定比是动点到定点的距离比动点到定点直线的距离，其比的前后项顺序不可倒置，故不可断定此题中的点Ｐ的轨迹是椭圆．经过对上述两例中典型错误的剖析，学生对椭圆第二定义的本质属性有了更深刻的认识．４．设置新题，检测运用经过前面的教学过程，应该说基础知识已经讲清了．但是，要让学生深刻理解教学的内容，并且能够正确运用，这需要让学生有一个独立运用所学知识解决问题的过程．于是，我们让学生独立解以下题目：一动点Ｐ到直线2x +y －８=0的距离与它到点（１，２）的距离的比值为5，求动点Ｐ的轨迹方程，并判断点Ｐ的轨迹是何种曲线．解：设Ｐ点的坐标为（x ,y ），则5)2()1(58222=-+--+y x y x82)2()1(522-+=-+-⇒y x y xy x xy y x y y x x 16324644)4412(252222--+++=+-++-⇒ 06184182442122=+--+-⇒y x y xy x ．从方程看，现在我们还不能判定此方程的曲线是何种曲线，但仔细分析题意，可将已知条件改述为动点Ｐ到点（１，２）的距离与它到直线２x ＋y －８＝０的距离之比为１：5，这显然符合椭圆第二定义，可知Ｐ点的轨迹为椭圆．通过这一例的教学让学生更深切地理解了椭圆的第二定义，也让学生看到椭圆的非标准方程所具有的形式．５．拓展课本，活化知识课本对于椭圆的准线方程作了如下叙述：“对于椭圆12222=+by ax ，相应于焦点Ｆ（c ，０）的准线方程为cax 2=，根据椭圆的对称性，相应于焦点Ｆ′（－c ，０）的准线方程为cax 2-=；所以，椭圆有两条准线．”由此启发学生看到命题（称做Ａ）：点Ｍ（x ,y ）与定点Ｆ′（－c ，０）的距离与它到直线l ′：cax 2-=的距离之比是常数ac （a ＞c ＞０），则点Ｍ（x ，y ）的轨迹方程也是椭圆的标准方程．于是我们引导学生明确结论：课本Ｐ．７６例３给出的数量关系：定点Ｆ（c ，０）、定直线l ：cax 2=、常数ac （a＞c ＞０），以及命题Ａ给出的数量关系：定点Ｆ′（－c ，０）、定直线l ′：cax 2-=、常数ac （a ＞c ＞０）均分别是动点Ｍ的轨迹方程为椭圆标准方程的充要条件，并且，二者是等价的．接着，我们又引导学生再次分析本文第２部分所讲到的命题（称为Ｂ）：定点为Ｆ（n ，０），定直线为x ＝m （m ≠n ），定比为e（０＜e ＜１)，得出的椭圆方程11)()1()()1(22222222222=--+----+en m e ye n m e enmex ．让他们看到当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧-=--01,01222 e e nme 即12mn e =时，动点Ｍ的轨迹方程为椭圆的标准方程．即条件“12mn e =”是动点Ｍ的轨迹方程为椭圆标准方程的充要条件．在此基础上，要求学生自行命题，设计出动点的条件，使其轨迹方程分别符合下列要求：①轨迹方程为椭圆的标准方程；②轨迹方程为中心在x轴上且短轴平行于y轴的椭圆方程．从而，让学生不但能正确地解命题Ｂ型的问题，而且能自行设计命题Ｂ型的问题，使学生对椭圆第二定义的理解、掌握和运用达到新的境界．。

椭圆的第二定义推导过程椭圆是几何中的一种椭圆形，它的历史也极为悠久，可追溯至古希腊的数学家们。

它是由一系列解析几何概念和定义组成的，椭圆的第二定义推导过程便是其中之一。

首先，椭圆是一种对称的曲线，是一种二维几何图形。

它是由两个参数d和e所确定的，其中d是焦点到轴线的距离，e是焦点的离心率。

椭圆的第二定义是，它的轴线的离心率等于特定点到焦点的离心率。

接下来，我们来看看椭圆的第二定义推导过程。

首先，假设存在一个有限焦点F1和F2，以及对应的轴线l1和l2。

我们将椭圆的x 轴和y轴分别定义为x = X = x1和y = Y = y1，其中X和Y是任意数，用于表示特定点P。

接下来，将点P视为以焦点F1为中心的向量p，用向量p表示特定点P，则向量p的有限端点是焦点F1。

向量p的模向量关系可表示为：|p| = d1 + e1|X l1|其中，d1是椭圆的焦点F1到轴线l1的距离，e1是其离心率，l1表示轴线的位置，X表示x轴上一点的位置。

同时，将点P视为以焦点F2为中心的向量p2，则向量p2的有限端点是焦点F2。

向量p2的模向量关系可表示为：|p2| = d2 + e2|Y l2|同理，d2表示椭圆的焦点F2到轴线l2的距离，e2是其离心率，l2表示轴线的位置，Y表示y轴上一点的位置。

接着，根据椭圆的第二定义，系统的离心率e等于特定点到焦点的离心率，即：e1 = e2令向量p1、p2及轴线l1、l2的有限端点为O，则可得：|p1| = |O - F1|，|p2| = |O - F2|将以上结果代入e1 = e2，可得：d1 + e1|X l1| = d2 + e2|Y l2|即：e1|X l1| = e2|Y l2|根据上述结果，可得关于椭圆的第二定义的推导过程，即：所有离心率相等的点到它们自身的焦点的距离之差之积等于它们所在轴线之间的距离之差之积，即：e1|X l1| = e2|Y l2|通过以上推导过程，可以发现，椭圆的第二定义是一个从简单的几何概念推导而来的重要定义，即所有离心率相等的点到它们自身的焦点的距离之差之积等于它们所在轴线之间的距离之差之积，此定义是椭圆的重要特征，是用于椭圆几何研究的重要理论基础。

一、椭圆的定义：(1) 椭圆的第一定义:平面内与两定点21F F 、的距离和等于常数()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.说明：两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2.(2) 椭圆的第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e ，当10<<e 时，点的轨迹是椭圆. 椭圆上一点到焦点的距离可以转化为到准线的距离.二、椭圆的数学表达式：()0222121>>=+F F a a PF PF ;(){}.02,22121>>=+=F F a a PF PF P M 三、椭圆的标准方程：焦点在x 轴: ()012222>>=+b a by a x ； 焦点在y 轴: ()012222>>=+b a bx a y . 说明：a 是长半轴长，b 是短半轴长，焦点始终在长轴所在的数轴上，且满足.222c b a +=四、二元二次方程表示椭圆的充要条件方程()B A C B A C By Ax ≠=+均不为零，且、、22表示椭圆的条件： 上式化为122=+CBy C Ax ，122=+BC y A C x .所以，只有C B A 、、同号，且B A ≠时，方程表示椭圆；当B C A C >时，椭圆的焦点在x 轴上；当BC A C <时，椭圆的焦点在y 轴上.五、椭圆的几何性质（以()012222>>=+b a by a x 为例） 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,12222≤≤by a x ，即b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题.2.对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。

3.顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个：()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、--4. 长轴、短轴：21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长；21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长.5.离心率（1）椭圆焦距与长轴的比a c e =，()10,0<<∴>>e c a （2）22F OB Rt ∆,2222222OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率.（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接近于0，从而22c a b -=越大，椭圆越接近圆；当0=e 时，b a c ==,0，两焦点重合，图形是圆.6.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），通径长为ab 22. 7.设21F F 、为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，当21F F P 、、三点不在同一直线上时，21F F P 、、构成了一个三角形——焦点三角形. 依椭圆的定义知：c F F a PF PF 2,22121==+.例题选讲一、选择题1．椭圆1422=+y x 的离心率为（ ）A ．23 B ．43 C ．22 D ．32 2．设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于（ ）A ． 4B ．5C ． 8D ．10 3．若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21， 则m=（ ） A ．3 B ．23 C ．38 D ．32 4．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ）A ．2 3B ．6C ．4 3D ．125．如图，直线022:=+-y x l 过椭圆的左焦点F 1和 一个顶点B ，该椭圆的离心率为（ ）A ．51B ．52C ．55D ．552 6．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A ．32B ．33C ．22D ．23 7．已知以F 1（-2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线043=++y x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ）A ．23B ．62C ．72D ．24二、填空题：8． 在ABC △中，90A ∠=，3tan 4B =．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．9． 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆顶点(4,0)A -和(4,0)C ，顶点B 在椭圆192522=+y x 上，则sin sin sin A C B += . 11．椭圆4422=+y x 长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是_______________．三、解答题12．已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．13．已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆 的标准方程．14．已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆，求k 的取值范围．15．已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．16. 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程．《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --。

椭圆的第二定义推导过程
椭圆是平面上一类典型的曲线，在几何学中有着很重要的地位。

下面将给出椭圆的第二定义推导过程。

椭圆定义为：当焦点F1、F2与直线L之间的距离之和为固定值时，曲线C为椭圆。

首先，我们可以使用极坐标中的半径公式来证明椭圆的形状：단r=(1+e cosθ ),即任意点P在极坐标中的半径均可表示为r=(1+e cosθ )。

将直线L与两个焦点F1、F2连接起来，那么，由此可以得出以下结论：当设定的PF1+PF2=2a(a>0)时，从原点O到P点的距离就为r1+r2=2a。

由上面的式子可以发现，r1、r2可以用极坐标中的公式表示：r1=(1+e
cosa),r2=(1+e cosb)。

将这两式代入距离等式： (1+e cosa)+ (1+e cosb)=2a,当用简单的数学技巧整理一下这个式子，可以求出ecos(a+b)=1-e^2。

从上述推导结果可知，任意点P到焦点F1、F2的距离之和一定等于固定值a，当ecos(a+b)=1-e^2时，这一恒定值曲线C就是椭圆。

基于以上推理，我们可以得出结论：当焦点F1、F2与直线L之间的距离之和为固定值时，曲线C为椭圆。

椭圆的第二定义今天我们研究椭圆的第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数（介于0与1之间）的动点M 的轨迹叫做椭圆。

定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的相应准线。

先看例题：例：点()y x M ,与定点()0,c F 的距离和它到定直线cax l 2:=的距离的比是常数ac ()0>>c a ，求点M 的轨迹。

解：设d 是点M 到直线l 的距离，根据题意得=M F c da整理得：()ac xcay c x =-+-222两边同时平方，并化简，得()()22222222caaya xca -=+-，令222b ca=-，得轨迹的方程为12222=+by ax ()0>>b a如图所示：归纳整理： 椭圆的第二定义：平面内与一个定点()0,c F 的距离和它到一条定直线cax l 2:=的距离之比是常数(01)c e e a=<<的动点M 的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。

注意： ①对于椭圆方程22221(0)x y a b ab+=>>对应于右焦点2(0)Fc ，的准线称为右准线，方程为2ax c =对应于左焦点1(0)F c -，的准线为左准线，方程为2ax c=-②e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。

再看一个例题，加深印象例：到定点(2,0)的距离与到定直线x =8的距离之比为22的动点的轨迹方程是解：设动点(,)M x y=2两边平方整理得0568222=-++x y x .注意：本题中椭圆中心不在原点。

如果误认为椭圆中心在原点，而直接使用相应的a ，b ，c 直接计算，就会产生错误。

所以解决问题，要从题目条件本身出发，不能自己“创造”条件。

总结：1.了解椭圆的第二定义中的各常量a ，b ，c ，ca ，2a c几何意义。

认识到离心率c a在第二定义中的关键作用。