椭圆第二定义

椭圆第二定义学法指导：以问题为诱导，结合图形，引导学生进行必要的联想、类比、化归、转化.教学目标知识目标：椭圆第二定义、准线方程；能力目标：1使学生了解椭圆第二定义给出的背景； 2了解离心率的几何意义；3使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义； 4使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用； 5使学生掌握椭圆第二定义的简单应用；情感与态度目标：通过问题的引入和变式，激发学生学习的兴趣，应用运动变化的观点看待问题，体现数学的美学价值.教学重点：椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程； 教学难点：椭圆的第二定义的运用； 教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．教学过程： 学生探究过程：复习回顾1．椭圆81922=+y x 的长轴长为 18 ，短轴长为 6 ，半焦距为26，离心率为322，焦点坐标为)26,0(±，顶点坐标为)9,0(±)0,3(±，（准线方程为4227±=y ）. 2．短轴长为8，离心率为53的椭圆两焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为 20 . 引入课题【习题4（教材P50例6）】椭圆的方程为1162522=+y x ，M 1，M 2为椭圆上的点 ① 求点M 1（4，2.4）到焦点F （3，0）的距离 2.6 .② 若点M 2为（4，y 0）不求出点M 2的纵坐标，你能求出这点到焦点F （3，0）的距离吗？解：22)34(||y MF +-=且116254202=+y 代入消去20y 得51325169||==MF【推广】你能否将椭圆12222=+by a x 上任一点),(y x M 到焦点)0)(0,(>c c F 的距离表示成点M 横坐标x 的函数吗？解：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=1)(||222222b y ax y c x MF 代入消去2y 得2222222)(2||a x a cx ab bc cx x MF -=-++-=||||||22ca x e c a x a c a x a c -=-=-= 问题1：你能将所得函数关系叙述成命题吗？（用文字语言表述）椭圆上的点M 到右焦点)0,(c F 的距离与它到定直线c a x 2=的距离的比等于离心率ac问题2：你能写出所得命题的逆命题吗？并判断真假？（逆命题中不能出现焦点与离心率）动点M 到定点)0,(c F 的距离与它到定直线c a x 2=的距离的比等于常数)(c a ac>的点的轨迹是椭圆．【引出课题】椭圆的第二定义当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=e ace 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．对于椭圆12222=+b y a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2=．根据对称性，相应于焦点)0,(c F -'的准线方程是c a x 2-=．对于椭圆12222=+bx a y 的准线方程是c a y 2±=．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．由椭圆的第二定义e dMF =∴||可得：右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -=-==||||2右；左焦半径公式为ex a ca x e ed MF +=--==|)(|||2左典型例题例1、求椭圆1162522=+y x 的右焦点和右准线；左焦点和左准线；解：由题意可知右焦点)0,(c F 右准线c a x 2=；左焦点)0,(c F -和左准线ca x 2-=变式：求椭圆81922=+y x 方程的准线方程；解：椭圆可化为标准方程为：198122=+x y ，故其准线方程为42272±=±=c a y 小结：求椭圆的准线方程一定要化成标准形式，然后利用准线公式即可求出例2、椭圆1162522=+y x 上的点M 到左准线的距离是5.2，求M 到左焦点的距离为 . 变式：求M 到右焦点的距离为 .解：记椭圆的左右焦点分别为21,F F 到左右准线的距离分别为21,d d 由椭圆的第二定义可知：e d MF =||53||11===a c e d MF 5.15.253||11=⨯==∴ed MF 5.1||1=∴MF 又由椭的第一定义可知：5.8||102||||221=∴==+MF a MF MF 另解：点M 到左准线的距离是2.5，所以点M 到右准线的距离为685253505.222=-=-c a 5.868553||||2222=⨯==∴=ed MF e d MF小结：椭圆第二定义的应用和第一定义的应用例1、 点P 与定点A （2，0）的距离和它到定直线8=x 的距离的比是1：2，求点P 的轨迹；解法一：设),(y x P 为所求轨迹上的任一点，则21|8|)2(22=-+-x y x 由化简得1121622=+y x ，故所的轨迹是椭圆。

解法二：因为定点A （2，0）所以2=c ，定直线8=x 所以82==ca x 解得4=a ，又因为21==a c e 故所求的轨迹方程为1121622=+y x 变式：点P 与定点A （2，0）的距离和它到定直线5=x 的距离的比是1：2，求点P 的轨迹； 分析：这道题目与刚才的哪道题目可以说是同一种类型的题目，那么能否用上面的两种方法来解呢？解法一：设),(y x P 为所求轨迹上的任一点，则21|5|)2(22=-+-x y x 由化简得0946322=-+-y x x 配方得134)1(22=+-y x ，故所的轨迹是椭圆，其中心在（1，0）解法二：因为定点A （2，0）所以2=c ，定直线8=x 所以52==ca x 解得102=a ，故所求的轨迹方程为161022=+y x 问题1：求出椭圆方程13422=+y x 和134)1(22=+-y x 的长半轴长、短半轴长、半焦距、离心率；问题2：求出椭圆方程13422=+y x 和134)1(22=+-y x 长轴顶点、焦点、准线方程； 解：因为把椭圆13422=+y x 向右平移一个单位即可以得到椭圆134)1(22=+-y x 所以问题1中的所有问题均不变，均为21,1,3,3=====a c e c b a 13422=+y x 长轴顶点、焦点、准线方程分别为：)0,2(±，)0,1(±4±=x ； 134)1(22=+-y x 长轴顶点、焦点、准线方程分别为：)0,12(+±，)0,11(+±14+±=x ； 反思：由于是标准方程，故只要有两上独立的条件就可以确定一个椭圆，而题目中有三个条件，所以我们必须进行检验，又因为102==a c e 另一方面离心率就等于21这是两上矛盾的结果，所以所求方程是错误的。

又由解法一可知，所求得的椭圆不是标准方程。

小结：以后有涉及到“动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数时”最好的方法是采用求轨迹方程的思路,但是这种方法计算量比较大；解法二运算量比较小，但应注意到会不会是标准方程，即如果三个数据可以符合课本例4的关系的话，那么其方程就是标准方程，否则非标准方程，则只能用解法一的思维来解。

例4、设AB 是过椭圆右焦点的弦，那么以AB 为直径的圆必与椭圆的右准线（ ） A.相切 B.相离 C.相交 D.相交或相切 分析：如何判断直线与圆的位置关系呢？解：设AB 的中点为M ，则M 即为圆心，直径是|AB|；记椭圆的右焦点为F ，右准线为l ；过点A 、B 、M 分别作出准线l 的垂线，分别记为d d d ,,21由梯形的中位线可知221d d d +=又由椭圆的第二定义可知e d AF =1||e d BF =2||即)(||||21d d e BF AF +=+ 又22||||2||21d de BF AF AB +⋅=+=且10<<e 2||AB d >∴故直线与圆相离 例5、已知点M 为椭圆1162522=+y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求||35||1MF MA +的最小值分析：应如何把||351MF 表示出来解：左准线1l ：3252-=-=c a x ，作1l MD ⊥于点D ，记||MD d = 由第二定义可知：53||1===a c e d MF ⇒ d MF 53||1= ⇒ ||351MF d = 故有||||||||35||1MD MA d MA MF MA +=+=+所以有当A 、M 、D 三点共线时，|MA|+|MD|有最小值：3251+ 即||35||1MF MA +的最小值是328变式1：||5||31MF MA +的最小值； 解：283283)||35||(3||5||311=⨯=+=+MF MA MF MA 变式2：||||531MF MA +的最小值； 解：52832853|)|35|(|53||||5311=⨯=+=+MF MA MF MA巩固练习1．已知 是椭圆 上一点，若 到椭圆右准线的距离是 ，则 到左焦点的距离为_______．2．若椭圆 的离心率为 ，则它的长半轴长是___________．答案：1． 2．1或2教学反思1．椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程； 2．椭圆定义的简单运用；3．离心率的求法以及焦半径公式的应用； 课后作业1.例题5的两个变式；2. 已知 ， 为椭圆 上的两点， 是椭圆的右焦点．若， 的中点到椭圆左准线的距离是 ，试确定椭圆的方程．解：由椭圆方程可知 、两准线间距离为 ．设 ， 到右准线距离分别为 ，，由椭圆定义有，所以，则，中点到右准线距离为，于是到左准线距离为，，所求椭圆方程为 ．思考：1．方程|2|)1()1(222++=-+-y x y x 表示什么曲线？解：222|2|)1()1(22=++-+-y x y x 122< ；即方程表示到定点的距离与到定直线的距离的比常数（且该常数小于1）∴方程表示椭圆 例Ⅱ、（06四川高考15）如图把椭圆的长轴AB 分成8等分，过每个等分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于721,P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则||||||721F P F P F P +++ =解法一：53==a c e ，设i P 的横坐标为i x ，则i x i 455+-=不妨设其焦点为左焦点 由53||===a c e d F P i 得i i ex a c a x e F P i i i 432)455(535)(||2+=+-⋅+=+=+=35)721(4372||||||721=++++⨯=+++ F P F P F P解法二：由题意可知1P 和7P 关于y 轴对称，又由椭圆的对称性及其第一定义可知a F P F P 2||||71=+，同理可知a F P F P 2||||62=+，a F P F P 2||||53=+，a F P =||4故357||||||721==+++a F P F P F P。