数学四川省成都市石室中学2018届高三下学期二诊模拟考试试题(文)

一、单选题1. 在棱长为2的正方体中，O是底面的中心，E ，F 分别是的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于（ ）A．B．C．D．2. 某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积是（）A．B．C．D．3. 已知，，（e 为自然对数的底数），则（ ）A．B．C．D．4. 家庭开支是指一般生活开支的人均细分，如图所示的是2017年和2020年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图，其中房贷每年的还款数额相同.根据以上信息，判断下列结论中正确的是（ ）A ．小王一家2020年的家庭收入比2017年增加了1倍B ．小王一家2020年用于其他方面的支出费用是2017年的2倍C ．小王一家2020年用于饮食的支出费用相比2017年明显增加D ．小王一家2020年用于娱乐的费用比2017年增加了5. 若在上满足，当时，，则（ ）A ．0B．C ．1D．6.已知向量，，若，则（ ）A．B．C．D．7. 将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若为奇函数，则的最小值为（ ）A．B．C．D．8. 某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%．若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为（ ）四川省成都石室中学2021-2022学年高三下学期“二诊模拟”文科数学试题四川省成都石室中学2021-2022学年高三下学期“二诊模拟”文科数学试题二、多选题三、填空题四、解答题A ．0.23B ．0.47C ．0.53D ．0.779.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中正确的是（）A．B．平面ABCD C．三棱锥的体积为定值D ．的面积与的面积相等10. 下列命题中，正确的是（ ）A ．已知随机变量X 服从正态分布N ，若，则B．已知，，，则C ．已知，，，则D ．将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差11. 下列命题中，正确的命题有（ ）A ．已知随机变量服从二项分布，若，，则B ．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C ．设随机变量服从正态分布，若，则D．若某次考试的标准分服从正态分布，则甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过90分的概率为12.已知点，若过点的直线交圆于两点，是圆上的动点，则（ ）A．的最小值为2B ．的最大值为C．的最小值为D ．当取最大值时，底边上的高所在的直线方程为13. 设数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 2＝6，a n +1＝3S n +2，n ∈N *，则a 2＝_____，S 5＝_____．14. 设，则___________，___________.15. 函数的最小正周期为_______，最大值为________．16. 已知函数．（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；（2）证明：当时，．17. 为了解决家长接送孩子放学的问题，教育部提出推行课后服务“”模式，即学校每周5天都要开展课后服务，每天至少开展2h ，结束时间要与当地正常下班时间相衔接，且不得利用课后服务时间讲新课.为了课后服务的有序开展，某教育局就课后服务的时长在网络上进行意见征集，并从中随机抽取了100份调查表，以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图：(1)从样本中随机抽取2份调查表，若其中一份调查表所建议的课后服务时长超过200 min ，求另一份调查表所建议的课后服务时长也超过200min 的概率；(2)为了进一步了解课后服务时长的需求情况，从样本中建议课后服务时长超过180 min 的人中分层抽取10人，再从这10人中任取3人，记建议课后服务时长在的人数为X ，求X 的分布列与数学期望.18.已知椭圆方程为（），离心率为且过点.(1)求椭圆方程；(2)动点在椭圆上，过原点的直线交椭圆于A ，两点，证明：直线、的斜率乘积为定值；(3)过左焦点的直线交椭圆于，两点，是否存在实数，使恒成立？若存在，求此时的最小值；若不存在，请说明理由.19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD 是边长为2的正方形，△PAB 为正三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD ，M 为PD的中点．(1)求证：PB平面ACM ；(2)求直线BM 与平面PAD 所成角的正弦值；(3)求二面角的余弦值．20. 已知，M为平面上一动点，且满足，记动点M 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)若，过点的动直线交曲线E 于P ，Q （不同于A ，B ）两点，直线AP 与直线BQ的斜率分别记为，，求证：为定值，并求出定值.21.已知数列满足，设数列的前项和为(1)求数列的通项公式；(2)令，求的前项和.。

成都市2015级高中毕业班第二次诊断性检测数学(理和)本试卷分选择题和非选择题两部分.第I卷(选择题)1至2页，第II卷(非选择题)3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须使用0. 5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.5.考试结束后，只将答题卡交回.第I卷(选择题，共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分.在毎小題给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合P = ｛工I |x-l|<l｝= |-l<x<2｝,则P f)Q =(A)(-l,y) (B)(-l,2) (0(1,2) (D)(0,2)2. 巳知向址a = (2,l),b = (3,4),c=(&,2〉・若(3a—b)〃c,则实数&的值为(A)-8 (B)-6 (0-1 (D)63. 若复数z满足(l + i)z=l-2i,,则|z|等于(A)穿(B)# (C)警(D)*4. 设等差数列｛a.｝的前n项和为S” .若® =20,as = 10,则5 =(A)-32 (B) 12 (C) 16 (D) 325. 已知加，”是空间中两条不同的直线，a,0为空间中两个互相垂直的平面,则下列命题正确的是(A)若加Ua,则加丄0 (B)若加Ua皿U0■则加丄几(C)若mpa.m丄你则加// a(D)若a门0=加曲丄加，则并丄a6•若Q—住严的展开式中含吕项的系数为160,则实数a的值为(A)2 (B) - 2 (C) 272 (D) -2^/2数学(理科)“二诊”考试题第1页(共4页)数学(理科)“二诊”考试题第2页(共4页)7.已知函数 /(x)=Asin(cor4-^)(A >0,a>>0, I <p |<y) 的部分图象如图所示.现将西数/(x)图象上的所有点向 右平移f 个单位长度得到函数g(x)的图象，则函数 g(x)的解析式为(A) g(x) = 2sin(2r + 手〉(B) g(x) = 2sin(2z + 牛) 4 4(C) g(x) = 2cos2r (D) gCr) = 2sin(2x — ■)&若工为实数，则“注0工冬2酎是“ 2血=兰土？ W 3”成立的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 9 •《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马” •现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直 角三角形•若该阳马的顶点都在同一个球面 上，则该球的体积为 (A)響(C)76K(D) 24x 10•执行如图所示的程序框图，若输出的结果为56,则判断框 中的条件可以是(A) n < 7?(B)n> 7? (CM W 6? (D)n> 6?n •已知函数/(x)=^-l-nlnx(m>0,0<n<e)在区间[l,e]内有唯一零点，则昱彗 的取值范围为 m +1(A )J 律;1'亍+ 1]⑻】(c )#，i]12. 已知双曲线C ：召一召=l(a > 0,6 > 0)右支上的一点P ，经过点P 的直线与双曲线 C 的两条渐近线分别相交于A,B 两点.若点A,E 分别位于第一，四象限，O 为坐标原 点.当AP=|pBBt, MOB 的面积为2b ，则双曲线C 的实釉长为S)百(B) 8辰 (B)普第II卷(非选择题，共90分)二.填空题:本大题共4小题■毎小题5分，共20分把答案填在答题卡上.13. 已知Q = * • 6 = (*)「则Iog2(a6) = _______ ・14. 如图是调査某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率•已知该年级男生女生各500名(假设所有学生都参加了调査)，现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为15•已知抛物线C：b=20r(p>O)的焦点为F,准线2与x轴的交点为A ,P是抛物线C上的点•且PF丄工轴•若以AF为直径的圆截直线AP 所得的弦长为2,则实数p的值为 _______ .16. 已知数列｛a.｝共16项，且a】=1瓯=I记关于工的函数人Q)=斗工3 -Q左+(云一1)工,n € N ••若x =a R>i(l < n < 15)是函数A(x)的极值点，且曲线y =/g(x)在点(a16,/8(a16))处的切线的斜率为15•则满足条件的数列｛-｝的个数为_____________________________________________________________________ .三、解答题:本大题共6小题■共70分•解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分)已知函数/(X ) =73 sin y COS y — COS2 y 4-y.(I)求函数/(x)的单调递域区间J(fl)若ZXABC的内角A,B,C所对的边分别为a,6,c,/(A) = *,a =用, sinB =2sinCt求c .18. (本小题满分12分)近年来■共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活■并慢慢改变了人们的岀行方式•为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP中设置了用户评价反馈系统•以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价•现从评价系统中选岀200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况和优惠活动评价的2X2列联表如下：对优惠活动好评对优惠活动不满意合计对车辆状况好评10030130对车辆状况不满意40 '3070合计14060200(I )能否在犯劭W1Q001娜魄下平与评之司有埠(n)为了回馈用户，公司通过APP向用户随机派送每张面额为0元,1元,2元的三种骑行券.用户每次使用APP扫码用车后,都可获得一张骑行券■用户骑行一次获得1元券，获得2元券的概率分别是I ，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X,求随数学(理科严二诊”考试题第3页(共4页)机变址X的分布列和数学期望. 参考数据：数学(理科严二诊”考试题第3页(共4页)71 (ad — bM _____参考公式: ，其中n =a+ 6 +e + d •持分12分）女関加是M的中点,四边形BDEF 却^平面BDEF丄平面ABGZFBD= &f.AB丄BC,AB= BC=j2 ・（I）若点M般段BF的中点•证明:BF丄平面W ；（D）求平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆C：£ + £ = l（a >6>0）的左右焦点分别为F】,F Z，左顶点为A，离心率为弓，点B是椭圆上的动点,ZSABFi的面积的最大值为纟尹.（1）求椭圆0的方程；（II ）设经过点F）的直线I与椭圆C相交于不同的两点M,N,线段MN的中垂线为厂. 若直线I'与直线I相交于点P，与直线工=2相交于点Q,求+^的最小值.21.（本小题满分12分）已知函数/（x） =xlnx +ax + 1, a € R ・（I ）当工>0时,若关于x的不等式f （文）$0恒成立，求a的取值范围;（II）当并G N•时，证明：是〒VW2 + ln冷+・・・+ "2吐1 <壬. Zn 十 4 2 nn + 1请考生在第22.23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4一4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系工Oy中，曲线C的参数方程为"""cosa,其中°为参数, ly =2sinaa e （O,力•在以坐标原点o为极点口轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点F的极坐标为（“,于），直线I的极坐标方程为psin（& —于）+ 5短=0.（I）求直线I的直角坐标方程与曲线C的普通方程；（U）若Q是曲线C上的动点,M为线段PQ的中点.求点M到直线I的距离的最大值.23.〔本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数/（x） = |2x + l|4- |x-l| ・（I）解不等式/（x）>3>（U ）记函数/（X）的最小值为m.若a,b,c均为正实数，且*a + 6 + 2c =皿，求数学（理科）“二诊”考试题第4页（共4页）。

成都石室中学高2018级2018年12月月考文科综合能力测试本试卷分I卷（选择题）和II卷（非选择题）两部分。

全卷满分300分，考试时间为150分钟。

第I卷（选择题，共140分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。

考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。

3．本卷共35小题，每小题4分，共计140分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

北京时间10月12日9时0分，“神舟”六号于酒泉卫星发射中心发射升空，17日凌晨在内蒙古中部主着陆场着陆。

这是我国第二次进行载人航天飞行，也是我国第一次将两名字航员同时送上太空。

标志着中国完成了第一次真正意义上有人“参与”的载人飞行成功。

据此回答1～3题。

1．如果仅从节省火箭燃料，增加火箭的有效负载方面考虑，“神舟”六号理想发射地点应选择在A．四川西昌 B. 甘肃酒泉 C. 山西太原 D. 海南文昌2．“神舟”六号选择在内蒙古中部着陆的原因主要是①地处低纬②地表平坦、开阔③大气层薄④干燥少雨⑤人口密度小A．①②④ B. ②④⑤ C. ③④⑤ D. ①②③3．当“神六”发射时与北京处在同一天的东半球的经度范围为A．0°向东至180° B. 20°W向东至160°EC．15°W向东至160°E D. 15°W向西至160°E图1为四条河流河口沿30°N附近的分布示意图，据此回答4～5题。

4．下列关于四条河流自然地理特征的叙述，正确的是A．干流只流经一个国家的是A河、C河与D河B．如果仅从自然条件分析，四条河流中年径流量季节变化最大的是A河C．水能资源最丰富的是D河D．四条河流的三角洲地区，气候特征相似的是B河与C河5．下列关于四条河流人文地理特征的叙述，不正确的是A．灌溉水源是A河和B河所在地区农业发展的决定性因素B．C河和D河下游的主要农作物都有棉花C．A河下游有世界著名的文化景观——金字塔D．B河下游是世界首屈一指的黄麻产区图2是我国某地区七月平均气温图。

成都石室中学高2017届二诊模拟考试数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 1.已知复数21iz i=+，则z 的共轭复数是（ ） A ．1i - B ．1i + C ．i D ．i -2.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，12a =，533a a =，则3a =（ ） A ．-2 B ．0 C ．3 D ．63.已知向量(1,2)a =-，(3,)b m =，m R ∈，则“6m =-”是“//()a a b +”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件4.设函数2()log f x x =，在区间(0,5)上随机取一个数x ，则()2f x <的概率为（ ） A ．15 B ．25 C.35 D ．455.一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）A ．203 B ．403C.20 D ．40 6.已知,x y 满足条件020x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，若目标函数3z x y =+的最大值为8，则k =（ ）A ．-16B ．-6 C.83- D ．6 7.定义运算*a b 为执行如图所示的程序框图输出的S值，则1(lg9lg 2)294100*(log 8log -•的值为（ ）A ．1316 B ．92C.4 D ．6 8.如图，在正四棱锥S ABCD -中，,,E M N 分别是,,BC CD SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：①EP AC ⊥；②//EP BD ；③//EP 面SBD ；④EP ⊥面SAC .其中恒成立的为（ ）A ．①③B ．③④ C. ①② D ．②③④ 9.若曲线212y x e=与曲线ln y a x =在它们的公共点(,)P s t 处具有公共切线，则实数a =（ ） A ．-2 B ．12C. 1 D ．210.已知ABC ∆是边长为EF 为ABC ∆的外接圆O 的一条直径，M 为ABC ∆的边上的动点，则ME FM •的最大值为（ ）A ．3B ．4 C.5 D ．611.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，,A B是圆222()4x c y c ++=与C 位于x 轴上方的两个交点，且12//F A F B ，则双曲线C 的离心率为（ ）A D12.若对,m n R ∀∈，有()()()3g m n g m g n +=+-，求()()f x g x =的最大值与最小值之和是（ ）A ．4B ．6 C.8 D ．10二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.由直线1x =，2x =，曲线1y x=及y 轴所围成的封闭图形的面积是 ． 14.已知角3πα+的始边是x 轴非负半轴．其终边经过点34(,)55P --，则sin α的值为 ．15.在直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存在唯一一点M ，使||2||MA MO =，则圆心C 的非零横坐标是 ．16.数列{}n a 满足132a >，211n n n a a a +=-+，且2017112i ia ==∑，则201814a a -的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.中央政府为了对应因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”，为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研，人社部从网上年龄在15～65的人群中随机调查50人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：（1）由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有90%的把握认为以45岁为分界点对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异：（2）若从年龄在[45,55)，[55,65]的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持“延迟退休”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望. 参考数据：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++．18.已知函数()sin (0)f x x ωω=>在区间[0,]3π上单调递增，在区间2[,]33ππ上单调递减．如图，四边形OACB 中，,,a b c 为ABC ∆的内角,,A B C 的对边，且满足4cos cos sin sin 3sin cos B CB C A Aω--+=．（1）证明：2b c a +=；（2）若b c =，设AOB θ∠=，(0)θπ<<，22OA OB ==，求四边形OACB 面积的最大值．19.在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面1AC ⊥平面ABC，1AA ，1AC CA AB a ===，AB AC ⊥，D 是1AA 的中点．（1）求证：CD ⊥平面1AB ；（2）在侧棱1BB 上确定一点E ，使得二面角11E AC A --的大小为3π． 20. 已知两点(2,0)A -，(2,0)B ，动点P 与,A B 两点连线的斜率PA PB k k ，满足14PA PB k k =-•.（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）H 是曲线E 与y 轴正半轴的交点，曲线E 上是否存在两点,M N ，使得HMN ∆是以H 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.21.已知函数()(2)(1)2ln f x a x x =---，1()xg x xe -=（R a ∈，e 为自然对数的底数）．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意0(0,]x e ∈在(0,]e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使0()()i f x g x =成立，求a 的取值范围.22.直角坐标系中曲线C 的参数方程为4cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）经过点(0,1)M 作直线l 交曲线C 于,A B 两点（A 在B 上方），且满足||2||BM AM =，求直线l 的方程.二诊模拟理科答案一、选择题1-5:AAADB 6-10:BAACA 11、12：CB 二、填空题13. ln 215. 125 16.32- 三、解答题17.解：（1）由频率分布直方图知，被调查的50人中年龄在45岁以上的人数为(0.010.01)10500+⨯⨯=，年龄在45岁以下的人数为50-10=40，其中45岁以上支持“延迟退休”的人数为3,45岁以下支持“延迟退休”人数为25，则2×2列联表如下：2250(257153) 3.429 2.70640102822K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.所以有90%的把握认为以45岁为分界点对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异. （2）由频率分布直方图知，被调查的50人中年龄在[45,55)和年龄在[55,65]的人数都为0.0110505⨯⨯=，其中年龄在[45,55)和年龄在[55,65]支持： “延迟退休”的人数分布为2,1，故ξ的所有可能取值为0,1,2,3.223422559(0)50C C P C C ξ===，1122123434225512(1)25C C C C C P C C ξ+===，221112423422553(2)10C C C C C P C C ξ+===，1422551(3)25C P C C ξ===. 所以ξ的分布列是所以ξ的期望值是912015025E ξ=⨯+⨯3162310255+⨯+⨯=. 18.解：（1）由题意知：243ππω=，解得：32ω=， ∵sin sin 2cos cos sin cos B C B C A A+--=， ∴sin cos sin cos B A C A +=2sin cos sin cos sin A B A C A --， ∴sin cos cos sin sin cos B A B A C A ++cos sin 2sin C A A +=， ∴sin()sin()2sin A B A C A +++=. ∴sin sin 2sin 2C B A b c a +=⇒∴+=.（2）因为2b c a +=，b c =，所以a b c ==，所以ABC ∆为等边三角形，OACB OAB ABC S S S ∆∆=+=21sin 24OA OB AB θ+•sin 4θ=+22(2cos )OA OB OA OB θ+-•sin 4θθ=+2sin()34πθ=-+， ∵(0,)θπ∈，∴2(,)333πππθ-∈-，当且仅当32ππθ-=，即56πθ=时取最大值，OACB S的最大值为24+.19.（1）证：∵面11ACC A ⊥面ABC ，AB AC ⊥， ∴AB ⊥面11ACC A ，即有AB CD ⊥； 又1AC A C =，D 为1AA 中点，则1CD AA ⊥. ∴CD ⊥面11ABB A .（2）如图所示以点C 为坐标系原点，CA 为x 轴，1CA 为z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -，则有(,0,0)A a ，(,,0)B a a ，1(0,0,)A a ，1(0,,)B a a ，1(,0,)C a a -，设(,,)E x y z ，且1BE BB λ=，即有(,,)(,0,)x a y a z a a λ--=-， 所以E 点坐标为((1),,)a a a λλ-.由条件易得面11A C A 的一个法向量为1(0,1,0)n =. 设平面11EA C 的一个法向量为2(,,)n x y z =，由2111n A C n A E⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩可得0(1)(1)0ax ax ay az λλ-=⎧⎨-++-=⎩，令1y =，则有21(0,1,)1n λ=-，则1212cos||3||||n n n n π==•12=，得1λ=-所以，当1||13||BE BB =-时，二面角11E AC A --的大小为3π. 20.解：（1）设点P 的坐标为(,)(2)x y x ≠±，则02PA y k x -=+，02PB y k x -=- ， 依题意14PA PBk k =-•，所以1224y y x x =-+-•，化简得2214x y +=，所以动点P 的轨迹E 的方程为221(2)4x y x +=≠±. （2）设能构成等腰直角HMN ∆，其中H 为(0,1)，由题意可知，直角边HM ，HN 不可能垂直或平行于x 轴，故可设HM 所在直线的方程为1y kx =+，（不妨设0k >），则HN 所在直线的方程为11y x k=-+. 联立方程22144y kx x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 整理得22(14)80k x kx ++=，解得2814M kx k=-+.将2814M kx k =-+代入1y kx =+可得228114M k y k -=++，故点M 的坐标为22288(,1)1414k k M k k--+++.所以||HM ==.同理可得24H k=+，由||||HM HN =，得22(4)14k k k +=+，所以324410k k k -+-=，整理得2(1)(31)0k k k --+=，解得1k =或k =当HM 斜率1k =时，HN 斜率-1；当HM 斜率k =HN ；当HM 斜率32k -=时，HN 斜率32--. 综上所述，符合条件的三角形有3个. 21.解：（1）2(2)2'()2a f x a x x--=--=，0x >. 1）当2a ≥，'()0f x <； 2）当2a <，令'()0f x =，22x a=-； 综上：当2a ≥时，()f x 的单调递减区间是(0,)+∞； 当2a <时，()f x 的单调递减区间是2(0,)2a -，单调递增区间是2(,)2a+∞-. （2）∵1()xg x xe-=，∴1'()(1)xg x x e-=-，∴()g x 在(0,1)内递增，在(1,)e 内递减.又∵(0)0g =，(1)1g =，2()0eg e e -=>，∴函数()g x 在(0,)e 内的值域为(0,1]. 由()(2)(1)2ln f x a x x =---，得(2)2'()a x f x x--=.①当2a ≥时，'()0f x <，()f x 在(0,]e 上单调递减，不合题意； ②当2a <时，令'()0f x >，则22x a >-；令'()0f x <，则202x a<<-.i ）当22e a ≥-，即222a e -≤<时，()f x 在(0,]e 上单调递减，不合题意； ii ）当22e a <-，即22a e <-时，()f x 在2(0,]2a -上单调递减，在2(,]2e a-上单调递增.令22()()2ln22m a f a a a ==---，22a e <-，则'()2am a a-=-， ∴()m a 在(,0)-∞上单调递增，在(0,2]2e-上单调递减；∴()(0)0m a m ≤=，即22ln 02a a -≤-在(,2)2e-∞-上恒成立.令22t a =-，则0t >，设1()ln k t t t =+，0t >，则21'()t k t t-=，∴()k t 在(0,1)内单调递减，在(1,)+∞上单调递增，∴()(1)10k t k ≥=>，即1ln 0t t +>，∴1ln t t>-，∴1t t e ->，即232222a a e ea -->>-.∴当32(0,)a x e-∈时，()(2)(1)2ln f x a x x =--->22ln 2(3)1a x a a -->---=，且()f x 在(0,]e 上连续.欲使对任意的0(0,]x e ∈在(0,]e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =， 使0()()i f x g x =成立，则需满足()1f e ≥，即321a e ≤--. 又∵2322(2)01(1)e e e e e +---=>--，∴23221e e ->--， ∴321a e ≤--.综上所述，3(,2]1a e ∈-∞--. 22.解：（1）由题意：曲线C 的直角坐标方程为：221169x y +=. （2）设直线l 的参数方程为cos 1sin x t y =∂⎧⎨=+∂⎩（∂为参数）代入曲线C 的方程有：22(7sin 9)32sin 1280t t ∂++∂-=，设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则212t t =-，则121232sin 97sin t t t ∂+=-=-+∂，21212128297sin t t t =-=-+∂•， ∴2sin 1∂=，∴直线l 的方程为：0x =.。