四川省成都市石室中学高三数学模拟(理科)

一、单选题二、多选题1. 已知，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A．B．C．D．2. 已知平面向量，的夹角为60°，，，则A ．2B．C．D．3. 已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是（）A．B．C．D．4. 将编号为1，2，3，4，5的小球放入编号为1，2，3，4，5的小盒中，每个小盒放一个小球．则恰有2个小球与所在盒子编号相同的概率为（ ）A．B．C．D．5. 已知函数的最小正周期为，且其图象关于直线对称，则函数图象的一个对称中心是（ ）A．B．C．D．6. 已知集合A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |0≤x ≤2}，则A ∪B ＝（ ）A ．{x |0≤x <1}B ．{x |－1<x ≤2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |0<x <1}7.不等式对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A．B．C．D．8.已知数列满足，且，则下列说法中错误的是（ ）A ．若，则是等差数列B．若，则是等差数列C ．若，则是等比数列D ．若，则是等比数列9. 如图1，在菱形ABCD 中，，，将沿AC 折起，使点B 到达点P 的位置，形成三棱锥，如图2.在翻折的过程中，下列结论正确的是（）A．B ．三棱锥体积的最大值为3C．存在某个位置，使四川省成都市石室中学2023届高三高考模拟测试数学（理科）试题(高频考点版)四川省成都市石室中学2023届高三高考模拟测试数学（理科）试题(高频考点版)三、填空题四、解答题D ．若平面平面ACD ，则直线AD 与平面PCD所成角的正弦值为10. 已知双曲线，若的离心率最小，则此时（ ）A．B．双曲线的渐近线方程为C．双曲线的一个焦点坐标为D．双曲线的焦点到渐近线的距离为11. 已知，，，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．12. 意大利画家列奥纳多·达・芬奇的画作《抱银鼠的女子》中，女士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达・芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”．后人给出了悬链线的函数解析式：，其中为曲线顶点到横坐标轴的距离，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地，双曲正弦函数的表达式为．若直线与双曲余弦函数双曲正弦函数的图象分别相交于点，，曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相交于点，则下列结论正确的为（ ）A．B ．是偶函数C．D ．若是以为直角顶点的直角三角形，则实数13. 已知定义在上的可导函数满足，不等式的解集为则= __________.14. 已知向量，，且，则__________.15. 直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________．16. 在数列和等比数列中，，，.（1）求数列及的通项公式；（2）若，求数列的前n 项和.17. 在全民抗击新冠肺炎疫情期间，某市教育部门开展了“停课不停学”活动，为学生提供了多种网络课程资源．活动开展一个月后，某学校随机抽取了高二年级的学生若干进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间（单位：小时），将样本数据分成，，，，五组（全部数据都在内），并整理得到如图所示的频率分布直方图．(1)已知该校高二年级共有800名学生，根据统计数据，估计该校高二年级每天学习时间不低于5小时的学生人数；(2)利用统计数据，估计该校高二年级学生每天平均学习时间；(3)若样本容量为40，从学习时间在的学生中随机抽取3人，X 为所抽取的3人中来自学习时间在内的人数，求X 的分布列和数学期望．18. 在平面直角坐标系中，动点M到直线的距离等于点M到点的距离的2倍，记动点M的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)已知斜率为的直线l与曲线C交于A、B两个不同点，若直线l不过点，设直线的斜率分别为，求的值；(3)设点Q为曲线C的上顶点，点E、F是C上异于点Q的任意两点，以为直径的圆恰过Q点，试判断直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．19. 已知二次函数.(1)当时，解关于的不等式；(2)若的解集是，解关于的不等式20. 设函数．(1) 当时,求函数的单调区间；(2) 当时,求函数在上的最小值和最大值．21.已知点，，为坐标原点，函数.(1)求函数的最小值及此时的值；(2)若A为的内角，，，求的周长的最大值.。

一、单选题1. 已知，则（ ）A．B．C．D．2.已知均为的子集，且，则（ ）A．B．C．D．3.已知平面向量满足，且与的夹角为，则“”是“”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.已知数列的前项和为，点在函数的图象上，等比数列满足，其前项和为，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．5. 命题“，”是真命题的充要条件是（ ）A．B．C．D．6.已知全集，集合，，则A．B．C．D．7. 已知建筑地基沉降预测对于保证施工安全，实现信息化监控有着重要意义．某工程师建立了四个函数模型来模拟建筑地基沉降随时间的变化趋势，并用相关指数、误差平方和、均方根值三个指标来衡量拟合效果．相关指数越接近1表明模型的拟合效果越好，误差平方和越小表明误差越小，均方根值越小越好．依此判断下面指标对应的模型拟合效果最好的是（ ）．A ．相关指数误差平方和均方根值0.949 5.4910.499B ．相关指数误差平方和均方根值0.933 4.1790.436C ．相关指数误差平方和均方根值0.997 1.7010.141D ．相关指数误差平方和均方根值0.9972.8990.3268.已知集合，，则（ ）A．B．C．D．9. 已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左支交于，两点．若，则（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1210. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．四川省成都市石室中学2023届高三高考模拟测试数学（理科）试题二、多选题三、填空题四、填空题11. 已知函数分别与直线交于点A ，B ，则下列说法正确的（ ）A．的最小值为B．，使得曲线在点A 处的切线与曲线在点B 处的切线平行C ．函数的最小值小于2D ．若，则12.已知函数将的图像向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图像，则下列命题正确的是（ ）A ．是偶函数B．函数的单调递减区间为C．直线是函数的图象的对称轴D ．函数在上的最小值为13. 已知的顶点在圆上，顶点在圆上.若，则（ ）A．的面积的最大值为B．直线被圆截得的弦长的最小值为C ．有且仅有一个点，使得为等边三角形D．有且仅有一个点，使得直线，都是圆的切线14. 已知实数、满足方程，则下列说法正确的是（ ）A ．的最大值为B ．的最小值为C．的最大值为D ．的最大值为15. 伴随着国内经济的持续增长，人民的生活水平也相应有所提升，其中旅游业带来的消费是居民消费领域增长最快的，因此挖掘特色景区，营造文化氛围尤为重要．某景区的部分道路如图所示，，，，，要建设一条从点到点的空中长廊，则______．16. 若圆柱的高、底面半径均为1，则其表面积为___________．17.设函数，则______．18. 法国数学家加斯帕・蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆：，则的蒙日圆的方程为______；若过圆上的动点作的两条切线，分别与圆交于，两点，则面积的最大值为______．19. 某校进行了物理学业质量监测考试，将考试成绩进行统计并制成如下频率分布直方图，a 的值为______；考试成绩的中位数为______．五、解答题六、解答题20. 求值.（1）；（2）.21. （1）已知角终边上一点，求的值；（2）化简求值：22. 在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表一：男生等级优秀合格尚待改进频数15x 5表二：女生等级优秀合格尚待改进频数153（1）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；（2）由表中统计数据填写下边列联表，试采用独立性检验进行分析，能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“测评结果优秀与性别有关”.男生女生总计优秀非优秀总计0.100.050.012.7063.8416.635参考数据与公式：，其中.23. 一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了7组观测数据如下表所示：温度21232527293235七、解答题八、解答题产卵个数个711212466115325(1)画出散点图，根据散点图判断与哪一个适宜作为产卵数y关于温度x的回归方程类型（给出判断即可､不必说明理由）；(2)根据（1）的判断结果及表中数据.建立关于的回归方程.（附：可能用到的公式，可能用到的数据如下表所示：27.43081.290 3.612147.7002763.764705.59240.180（对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.）24. 已知，.(1)记，讨论的单调区间；(2)记，若有两个零点a，b ，且.请在①②中选择一个完成.①求证：；②求证：25. 我市近日开展供热领域民生问题“大调研、大起底、大整治、大提升”工作，在调查阶段，从两小区一年供热期的数据中随机抽取了相同20天的观测数据，得到两小区的同日室温平均值如下图所示：根据室内温度（单位：），将供热状况分为以下三个等级：室内温度供热等级不达标达标舒适(1)试估计小区当年（供热期172天）的供热状况为“舒适”的天数；(2)若两小区供热状况相互独立，记事件“一天中小区供热等级优于小区供热等级”. 根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件的概率；(3)若从供热状况角度选择生活地区居住，你建议选择中的哪个小区，并简述判断依据.九、解答题26. 已知函数．(1)当时，若在上恒成立，求实数的取值范围；(2)设为的两个不同零点，证明：．。

一、单选题二、多选题1.已知，在上单调递减，，则的解集是（ ）A．B．C．D．2. 设全集，集合，则（ ）A．B．C．D．3. 若随机变量服从正态分布，，则实数等于（ ）A．B ．0C ．1D ．24.的值为（ ）A．B．C．D．5. 已知集合，，则集合=（ ）A ．{1，2}B ．{1，2，3}C ．{0，1，2}D ．（0，1）6. 在的二项展开式中，第二项的系数为（ ）A ．4B．C ．6D．7. 已知，，则“”是“”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8.在平面上，已知定点，动点.当在区间上变化时，动线段所形成图形的面积为（ ）A．B．C．D．9.已知函数，则（ ）A ．在区间单调递增B．的图象关于直线对称C ．的值域为D ．关于的方程在区间有实数根，则所有根之和组成的集合为10. 已知函数在上可导，且的导函数为.若为奇函数，则下列说法正确的有（ ）A．B．C．D．11.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，下列结论正确的是（ ）A ．若，则B．若，则的最小值为5C．以线段为直径的圆与直线相切D ．若，则直线的斜率为12. 设、分别是双曲线：的左右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则下列结论正确的四川省成都石室中学2024届高三零诊模拟考试理科数学试题四川省成都石室中学2024届高三零诊模拟考试理科数学试题三、填空题四、解答题是（ ）A．B ．的焦距是C．的离心率为D ．的面积为13. 函数的定义域为______________.函数的值域为______________.若，则______________.14. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为__________．15. 已知z 为复数，则的一个充要条件是z 满足________．16. 已知，均为正实数，且．（1）求的最大值；（2）求的最大值．17.已知四边形满足，，是的中点，将沿着翻折成，使平面平面，F ，G 分别为，的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）证明：∥平面；（3）证明：平面平面18. 已知函数.（1）如果关于x的不等式在恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当时，证明：.19. 如图，已知椭圆的离心率为，F 为椭圆C的右焦点，，.(1)求椭圆C 的方程；(2)设O为原点，P为椭圆上一点，AP的中点为M，直线OM与直线交于点D，过O且平行于AP的直线与直线交于点E.求证：.20. 已知在数列中，，，.（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：.21.已知锐角中，，且_____.请从下列个条件中任选两个填充在横线上，并求的值.①的面积为；②；③注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分.。

成都石室中学2022-2023年度下期高2024届零诊模拟数学试题（理科）（总分：150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.若复数z 满足23z z i +=-，其中i 为虚数单位，则||z =（）A.2B.C.D.3【答案】C 【解析】【分析】设复数(,)z x yi x y R =+∈，利用相等，求得1,1x y ==-，进而可求复数的模.【详解】设复数(,)z x yi x y R =+∈，则22233z z x yi x yi x yi i +=++-=+=-，则1,1x y ==-，所以1z i =-，所以z =，故选：C.【点睛】本题考查了复数相等的概念和复数模的求解，着重考查了学生的推理与运算能力.2.在某校高中篮球联赛中，某班甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是（）A.甲得分的极差是18B.乙得分的中位数是16.5C.甲得分更稳定D.甲的单场平均得分比乙低【答案】B【分析】根据图一中甲的得分情况可判断ABC 的正误，结合图二可判断图一丢失的数据，计算两者的均值后可判断D 的正误.【详解】对于甲，其得分的极差大于或等于28919-=，故A 错误；从折线图看，甲的得分中最低分小于10，最高分大于或等于28，且大于或等于20的分数有3个，故其得分不稳定，故C 错误；乙的数据由小到大依次为：9,14,15,16,17,18,19,20乙得分的中位数为161716.52+=，故B 正确.乙得分的平均数为914151819171620168+++++++=，从折线图上，茎叶图中甲的得分中丢失的数据为一个为15，另一个可设为m ，其中1015m <<，故其平均数为912131520262812313316888m m ++++++++=>>，故D 错误.故选：B.3.某老师为了了解数学学习成绩得分y （单位：分）与每天数学学习时间x （单位：分钟）是否存在线性关系，搜集了100组数据100100115600,11200i i i i x y ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑，并据此求得y 关于x 的线性回归方程为 56y bx =+ .若一位同学每天数学学习时间约80分钟，则可估计这位同学数学成绩为（）A.106 B.122C.136D.140【答案】C 【解析】【分析】利用回归方程经过样本中心可求b ，故可估计这位同学每天数学学习时间约80分钟后的数学成绩.【详解】由题设可得56001120056,112100100x y ====，故1125656b =⨯+ ，故1b = ，故 56y x =+，故当80x =时，8056136y =+=，故选：C.4.利用随机模拟方法可估计无理数π的数值，为此设计右图所示的程序框图，其中rand 表示产生区间(0,1)上的随机数,P 是s 与n 的比值，执行此程序框图，输出结果P 的值趋近于A.πB.4π C.2π D.22π【答案】B 【解析】【分析】根据程序框图可知由几何概型计算出x ，y 任取（0，1）上的数时落在221x y +<内的频率，结合随机模拟实验的频率约为概率，即可得到答案．【详解】解:根据程序框图可知P 为频率，它趋近于在边长为1的正方形中随机取一点落在扇形内的的概率21414πππ⨯⨯=故选B【点睛】本题考查的知识点是程序框图，根据已知中的程序框图分析出程序的功能，并将问题转化为几何概型问题是解答本题的关键，属于基础题.5.已知命题p ：1k <，命题q ：直线10kx y -+=与抛物线24y x =有两个公共点，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】k【详解】由10kx y -+=和24y x =可得()214kx x +=，整理得到：()222410k x k x +-+=，因为直线与抛物线有两个不同的交点，故()22Δ2440k k k ≠⎧⎪⎨=-->⎪⎩，故1,0k k <≠，故命题q 成立能推出命题p 成立；反之，若1k <，取0k =，此时()222410k x k x +-+=仅有一个实数根14x =，故此时直线与抛物线仅有一个不同的交点，故命题p 成立不能推出命题q 成立，故p 是q 的必要不充分条件，故选：B .6.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6道中的一位选手得第一名；观众丁猜测：4，5，6道的选手都不可能得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是A.甲 B.乙C.丙D.丁【答案】D 【解析】【详解】若甲对,则乙也对,所以甲错;若甲错乙对,则丙也对,所以乙错,即3道的选手得第一名,此时只有丁对,因此选D.7.已知函数1()ln(1)f x x x=+-,则()y f x =的图像大致为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【详解】试题分析：设()ln(1)g x x x =+-，则()1xg x x'=-+，∴()g x 在()1,0-上为增函数,在()0,∞+上为减函数，∴()()00g x g <=，1()0()f xg x =<，得0x >或10x -<<均有()0f x <排除选项A ，C ，又1()ln(1)f x x x =+-中,10ln(1)0x x x +>⎧⎨+-≠⎩，得1x >-且0x ≠，故排除D.综上，符合的只有选项B.故选B.考点：1、函数图象；2、对数函数的性质.8.某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为A. B. C.4 D.【答案】B 【解析】【详解】解：如图所示，该几何体是棱长为2的正方体中的三棱锥-P ABC ，其中面积最大的面为：122PBC S =⨯= .本题选择B 选项.三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．9.若过点()1,2的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线290x y +-=的距离为() A.655B.C.455D.【答案】A 【解析】【分析】根据题意可得圆在第一象限，根据几何关系可设圆的方程为222()()x a y a a -+-=，a >0，代入()1,2即可求出a ，根据点到直线距离公式即可求出答案．【详解】由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为(),a a ，则半径为a ，0a >．故圆的方程为222()()x a y a a -+-=，再把点(2,1）代入，222(2)(1)a a a -+-=，解得5a =或1，故要求的圆的方程为22(5)(5)25x y -+-=或22(1)(1)1x y -+-=．故所求圆的圆心为()5,5或()1,1；故圆心到直线290x y +-=的距离655d ==或655d ==；故选：A ．10.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为M ，N ，点P 在C 的渐近线上，120⋅=PF PF ，60MPN ︒∠=，则双曲线的C 的渐近线方程为（）A.2y x =± B.32y x =±C.y =D.233y x =±【答案】D由题可得12PF F △是直角三角形，则可得121||2OP F F c ==.又在OPN 中，由余弦定理可求得||PN b =，根据勾股定理可知PN ON ⊥，则在Rt PMN 中，利用||tan ||MN MPN PN ∠=可得3b a =，即渐近线方程为3y x =±.【详解】连接OP ，则由120PF PF ⋅=可知12PF PF ⊥，则在12Rt PF F 中，121||2OP F F c ==，在OPN 中，tan b PON a ∠=，则cos aPON c∠=，又||ON a =，则由余弦定理得：222||||||2||||cos PN OP ON OP ON PON =+-⋅⋅∠，解得||PN b =，由222||||||OP ON PN +=知PN ON ⊥，即PN MN ⊥，所以在Rt PMN 中，||tan ||MN MPN PN ∠=，即2ab =233b a =，所以所求渐近线方程为：233y x =±.故选D .【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，利用余弦定理解三角形，属于中档题.11.若函数321()4(0)3f x x ax x a =-+>存在两个极值点1x 和2x ，则12()()f x f x +取值范围为（）A.16,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.⎛-∞ ⎝C.16,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.⎛-∞ ⎝【答案】C【分析】求出函数的导数，根据原函数有两个极值点可求2a >，再根据零点的性质可得()3222448x a x a =--、()3211448x a x a =--，据此可用a 表示12()()f x f x +，利用导数可求其范围.【详解】2()24f x x ax '=-+，因为()f x 存在两个极值点1x 和2x ，故1x 和2x 为2240x ax -+=的两个不同的根，故24160a ∆=->且211240x ax -+=，222240x ax -+=，122x x a +=，故2a <-（舍）或2a >且21124x ax =-，所以()()322111111242244448x ax x a ax x a x a =-=--=--，同理()3222448x a x a =--，故()()()()2121212121()()44162843f x f x a x x a a a x x x x ⎡⎤+=-+--+-++⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()212441622883a a a a a a a ⎡⎤=---⨯-+⎣⎦3338448833a a a a a =-+=-+，设()348,23a s a a a =-+>，故()2480s a a '=-+<，故()s a 在()2,+∞上为减函数，故()()321621633s a s <=-=，故12()()f x f x +的取值范围为：16,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故选：C.12.在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别为棱111,,AB CC C D 的中点，动点Q ∈平面MNP ，2DQ AB ==，则下列说法错误的是（）A.1B MBC -的外接球面积为9πB.直线//PQ 平面11A BCC.正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形D.点Q 的轨迹长度为3π【答案】D 【解析】【分析】可证明正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形，故可判断C 的正误，利用面面平行的判定定理可判断B 的正误，利用补体法可求1B MBC -的外接球的直径后可判断A 的正误，利用向量的方法可求D到平面MNP 的距离，从而可求点Q 的轨迹长度，故可判断D 的正误.【详解】如图，设111,,A D A A BC 的中点分别为,,S R T ，连接,,,,PS SR RM MT TN .由正方体的性质可得11//A C RN ，而SP 为三角形111A D C 的中位线，故11//SP A C ，故//SP RN ，故,,,S P R N 四点共面，同理，,,,S P T N 也四点共面，故,,,,S P R N T 五点共面，同理,,,R N T M 也四点共面，故,,,,,S P R N T M 六点共面.正方体被平面MNP 截得的截面为六边形，SP PN NT TM MT RS SP =======，因为平面MNP I 平面11B BCC NT =，平面MNP I 平面1A DDA SR =，而平面11//B BCC 平面1A DDA ，故//NT SR ，而NT 为三角形1BCC 的中位线，故1//NT BC ，故1//SR BC ，但PSR ∠与11AC B ∠方向相反，故PSR ∠与11AC B ∠互补，而11A C B △为等边三角形，故1160A C B ∠=︒，故120PSR ∠=︒，同理120SRM RMT MTN TNP NPS ∠=∠=∠=∠=∠=︒，故正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形，故C 正确.由11//A C RN ，RN ⊄平面11A B C ，11AC ⊂平面11A B C ，故//RN 平面11A B C ，同理故//RS 平面11A B C ，而,,RN RS R RN RS =⊂ 平面MNP ，故平面11//A B C 平面MNP ，而PQ ⊂平面MNP ，故//PQ 平面11A B C ，故B 正确.对于A ，将三棱锥1B MBC -补成如图所示的长方体11MBCG HB C P -，其中,H G 分别为11A B 、DC 的中点，则其外接球的直径即为11MBCG HB C P -3=，故三棱锥1B MBC -的外接球的表面积为2π39π⨯=，故A 正确.建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,2,1,0,0,2,1,0,1,2D M N P ，故()()2,1,1,2,0,2MN MP =-=-，设平面MNP 的法向量为(),,m x y z = ，则00m MN m MP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，故20220x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩，取1x =，则1,1z y ==，故()1,1,1m = ，而()0,1,2DP =，故D 到平面MNP的距离为DP md m⋅== 而2DQ =，故点Q 的轨迹为平面MNP 与球面的截面（圆），1=，故圆的周长为2π12π⨯=，故D 错误.【点睛】思路点睛：空间几何题外接球的半径的求法，可先根据几何性质确定球心的位置，然后把球的半径放置在可解的图形中求解，也可以通过补体转化为规则几何体的外接球的半径，而与球的截面的计算问题，则需计算球心到截面的距离.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.设命题2:0,p x x a x ∀>+>，若p ⌝是假命题，则实数a 的取值范围是__________.【答案】a <【解析】【分析】根据原命题为真结合基本不等式可求参数的取值范围.【详解】因为p ⌝是假命题，故p 为真命题，因为0x >，故2x x+≥x =时，等号成立，故a <.故答案为：a <.14.在同一平面直角坐标系xOy 中，曲线22:1C x y +=所对应的图形经过伸缩变换2x x y =⎧⎪⎨=''⎪⎩得到图形C '.点P 在曲线C '上，则点P到直线:60l y +-=的距离的最小值为____________.【答案】6152【解析】【分析】通过2x x y =⎧⎪⎨=''⎪⎩得到2x x y ⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩，然后代入到曲线C 的方程即可得到曲线C '的方程，再设()2cos P θθ利用点到直线的距离公式、辅助角公式及三角函数的性质计算可得.【详解】由2x x y =⎧⎪⎨=''⎪⎩得到2x x y ⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩，代入到221x y +=中得22()()143x y ''+=．即22143x y +=为曲线C '的直角坐标方程，设()2cos P θθ，则点P到直线60l y +-=的距离d ==其中（25sin 5ϕ=，5cos 5ϕ=），所以当sin()1θϕ+=时min d =，即点P 到直线l 的距离最小值为6152-.故答案为：615215.已知函数()f x 的定义域为ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭，其导函数是()f x '.有()()cos sin 0f x x f x x '+<，则关于x 的不等式π()2cos 3f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为_________.【答案】ππ,23⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】构造函数()()cos f x F x x =，利用导数说明函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】依题意令()()cos f x F x x =，ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则2()cos ()sin ()cos f x x f x x F x x'+'=，因为当ππ22x -<<时，()()cos sin 0f x x f x x '+<，所以当2,ππ2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0F x '<，∴()F x 在ππ,22⎛⎫ ⎪⎝⎭-上单调递减，则π()2cos 3f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭ 等价于π()3πcos cos 3f f x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭>，即π()3F x F ⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴π3ππ22x x ⎧<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩，解得ππ23x -<<，所以所求不等式的解集为ππ,23⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：ππ,23⎛⎫- ⎪⎝⎭16.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，经过抛物线上一点P ，作斜率为34的直线交C 的准线于点Q ，R 为准线上异于Q 的一点，当PQR PQF ∠∠=时，PF =______．【答案】259##729【解析】【分析】根据题设条件确定P 在第一象限内，且PF QF ⊥，设2(,)4m P m 且0m >，结合0FP FQ ⋅= 得到关于m 的方程并求值，又214m PR PF ==+即可得结果.【详解】不妨令R 为过P 点垂直于准线的垂足，又PQR PQF ∠∠=，即QF 为FQR ∠角平分线，Q 是斜率为34的直线与抛物线准线的交点，则P 在第一象限内，而PR QR ⊥，且||||PR PF =，根据角平分线性质知：PF QF ⊥，如上图示，令2(,)4m P m 且0m >，则直线PQ 为23()44m y m x -=-，令=1x -，则21631216Q m m y --=，由222231*********(1,)(2,)20416216m m m m m m m FP FQ m ----⋅=-⋅-=-+= ，整理可得322381232(4)(38)0m m m m m -+-=+-=，则83m =，故225149m PR PF ==+=.故答案为：259三、解答题（本题共6道小题，22题10分，其余各题12分，共70分）17.已知函数()ln f x ax x =+其中a 为常数，设e 为自然对数的底数.（1）当1a =-时，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）是否存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-？若存在，求出求a 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）1y =-（2）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；（2）假设存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-，利用导数可得11e a -<<-，再利用导数求出函数()f x 在区间()1,e 上的最大值，结合已知最大值列式，解得2e a =-，不满足11ea -<<-，从而可得结论.【小问1详解】当1a =-时，()ln f x x x =-+，0x >，(1)1f =-，1()1f x x'=-+，()01f '=，所以曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为10y +=，即1y =-.【小问2详解】假设存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-，因为()ln f x ax x =+，0x >，1()f x a x '=+，若0a ≥，则()0f x '>在区间()1,e 上恒成立，()f x 在区间()1,e 上单调递增，此时()f x 在区间()1,e 上无最大值；故a<0，令()0f x '>，得10x a<<-，令()0f x '<，得1x a >-，则函数()f x 在1(0,a -上单调递增，在1(,)a-+∞上单调递减，因为函数()f x 在开区间()1,e 上有最大值为3-，所以11e a <-<，即11e a -<<-，所以函数()f x 在1(1,a -上单调递增，在1(,e)a -上单调递减，所以max 1()f x f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭11(ln a a a ⎛⎫⋅-+- ⎪⎝⎭11ln a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭3=-，得2e a =-，又11ea -<<-，所以2e a =-不成立，故不存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-.18.今年是中国共青团建团100周年，我校组织了1000名高中同学进行团的知识竞赛.成绩分成6组：[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图.若图中未知的数据a ，b ，c 成等差数列，成绩落在[)[)40,5070,80 内的人数为400.（1）求出直方图中a ，b ，c 的值；（2）估计中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（3）在区间[]80,100内的学生中通过分层抽样抽取了5人，现从5人中再随机抽取两人进行现场知识答辩，求抽取两人中恰好有1人得分在区间[]90,100内的事件概率.【答案】（1）0.01,0.015,0.02a b c ===,（2）平均数为70.5，中位数为71.7.（3）35【解析】【分析】（1）根据频率之和为1、,,a b c 成等差数列以及成绩落在[)[)40,5070,80 内的人数为400可得关于,,a b c 的方程，求出其解即可.（2）利用组中值可求均值，利用公式可求中位数.3）根据频率之比可得抽取人数之比，再用列举法求出基本事件的总数和随机事件中的基本事件的个数，故可求对应的概率.【小问1详解】因为,,a b c 为等差数列，故2b a c =+，又()220.03101a b c +++⨯=，故220.07a b c ++=，因为成绩落在[)[)40,5070,80 内的人数为400，故()4000.03101000a +⨯=，故0.01a =，故0.015,0.02b c ==.【小问2详解】由频率分布直方图可得平均数为：450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，前3组的频率之和为0.10.150.20.45++=，前4组的频率之和为0.10.150.20.30.75+++=，故中位数在区间[)70,80中，设该数为x ，则700.50.451100.36x --==，故57071.73x =+≈.【小问3详解】区间[)80,90、[]90,100上的频率之比为0.15:0.13:2=，故5人中在分数在[)80,90内的人数为3人，记为,,a b c ，分数在[]90,100内的人数为2人，记为,A B ，从5人中随机抽取两人进行现场知识答辩，共有10种取法：{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,a A b A a B b B c A c B ，{}{}{}{},,,,,,,a b a c c b A B .设C 为“两人中恰好有1人得分在区间[]90,100内”，则C 中的基本事件为：{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,a A b A a B b B c A c B ，共6个，故()63105P A ==.19.如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是以,AB CD 为底边的等腰梯形，且124,60,AB AD DAB AD D D ︒==∠=⊥.（I ）求证：平面11D DBB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若112D D D B ==，求直线AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值.【答案】（I ）证明见解析；（Ⅱ）217.【解析】【分析】（Ⅰ）要证明平面11D DBB ⊥平面ABCD ，只需证明AD ⊥平面11D DBB 即可；（Ⅱ）取BD 的中点O ，易得1D O ⊥面ABCD ，以O 为原点，分别以1,,OB OC OD 为,,x y z 的非负半轴建立空间直角坐标系，计算平面1B BC 的法向量为n 与AB ，再利用公式||sin |cos ,|||||n AB n AB n AB θ⋅=<>=⋅ 计算即可.【详解】（Ⅰ）ABD △中，4AB =，2AD =，60DAB ∠=︒，由余弦定理得222cos603BD AB AD AB AD =+-⋅= ，则222AD BD AB +=，即AD BD ⊥，而11,AD D D BD D D D ⊥⋂=，故AD ⊥平面11D DBB ，又AD ⊂面ABCD ，所以平面11D DBB ⊥平面ABCD .（Ⅱ）取BD 的中点O ，由于11D D D B =，所以1D O BD =，由（Ⅰ）可知平面11D DBB ⊥面ABCD ，故1D O ⊥面ABCD .由等腰梯形知识可得DC CB =，则CO BD ⊥，2211431D O DD DO =-=-，以O 为原点，分别以1,,OB OC OD 为,,x y z 的非负半轴建立空间直角坐标系，则1(3,2,0),(3,0,0),(0,1,0),(3,0,0),(0,0,1)A B C D D ---，则11(23,2,0),(3,0,1),(3,1,0)AB BB DD BC ====-设平面1B BC 的法向量为(,,)n x y z =，则1110000z n BB n BC y ⎧+=⋅=⎪⇒⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩，令1x =，则y z ==n = ，所以，||sin |cos ,|7||||n AB n AB n AB θ⋅=<>===⋅ ，即直线AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值为217.【点晴】本题考查面面垂直的证明、向量法求线面角，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.20.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一点，标记为F ；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F ；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点F 到圆心E 的距离为4，按上述方法折纸.以点F 、E 所在的直线为x 轴，线段EF 中点为原点建立平面直角坐标系.（1）求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）若过点()1,0Q 且不与y 轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴的正半轴上是否存在定点(),0T t ，使得直线TM ，TN 斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22195x y +=（2）存在，()3,0T ，109-【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义对照折纸的方法求出,,a b c ；（2）设直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理再结合斜率的两点公式求解即可.【小问1详解】如图以FE 所在的直线为x 轴，FE 的中点O 为原点建立平面直角坐标系，设(),P x y 为椭圆上一点，由题意可知，64PF PE PA PE AE EF +=+==>=，所以P 点轨迹是以F ，E 为焦点，长轴长26a =的椭圆，所以2c =，3a =，则2225b a c =-=，所以椭圆方程为22195x y +=；【小问2详解】由已知：直线l 过()1,0Q ，设l 的方程为1x my =+，由题意m 必定是存在的联立两个方程得221951x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得()225910400m y my ++-=，()22Δ100160590m m =++>得R m ∈，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1221059m y y m -+=+，1224059y y m -=+（*）所以()()1212121211TM TN y y y y k k x t x t my t my t ⋅=⋅=--+-+-()()()1222121211y y m y y m t y y t =+-++-，将（*）代入上式，可得()()222405991TM TN k k t m t -⋅=-+-，要使TM TN k k ⋅为定值，则有290t -=，29t =，又∵0t >∴3t =，此时109TM TN k k ⋅=-，∴存在点()3,0T ，使得直线TM 与TN 斜率之积为定值109-.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21.设函数()()2cos 102x f x x x =-+≥.（1）求()f x 的最值；（2）令()sin g x x =，()g x 的图象上有一点列()*11,1,2,...,,22i i i A g i n n ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N ，若直线1i i A A +的斜率为()1,2,...,1i k i n =-，证明：1217 (6)n k k k n -+++>-.【答案】（1）()f x 在[)0,∞+上的最小值为()00f =，()f x 在[)0,∞+上无最大值.（2）见解析【解析】【分析】（1）求出原函数的二阶导数后可判断二阶导数非负，故可判断导数非负，据此可求原函数的最值.（2）根据（1）可得3sin (0)6x x x x ≥-≥，结合二倍角的正弦可证：2271162i i k +>-⨯，结合等比数列的求和公式可证题设中的不等式.【小问1详解】()sin f x x x '=-+，设()sin s x x x =-+，()10()()故()()00s x s >=，所以()0f x ¢>，故()f x 在[)0,∞+上为增函数，故()f x 在[)0,∞+上的最小值为()00f =，()f x 在[)0,∞+上无最大值.【小问2详解】先证明一个不等式：3sin (0)6x x x x ≥-≥，证明：设()3sin ,06x u x x x x =-+≥，则()2cos 1()02x u x x f x '=-+=≥（不恒为零），故()u x 在[)0,∞+上为增函数，故()()00u x u ≥=即3sin (0)6x x x x ≥-≥恒成立.当*N i ∈时，11111111222sin sin 112222i i i i i i i i g g k ++++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==- ⎪⎝⎭-11111111111122sin cos sin 2sin 2cos 122222i i i i i i i +++++++⎛⎫⎛⎫=-=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由（1）可得()2cos 102x x x ≥->，故12311cos 1022i i ++≥->，故111112311112sin 2cos 12sin 2112222i i i i i i ++++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-≥-- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112213322111112sin121222622i i i i i i i +++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-≥-- ⎪ ⎪⎪⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222224422117111711111622626262i i i i i +++++⎛⎫⎛⎫=--=-⨯+⨯>-⨯ ⎪⎪⨯⎝⎭⎝⎭,故1214627111...16222n n k k k n -⎛⎫+++>--+++ ⎪⎝⎭ 41111771112411166123414n n n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=--⨯=--⨯ ⎪⎝⎭-771797172184726n n n n =--+⨯>->-.【点睛】思路点睛：导数背景下数列不等式的证明，需根据题设中函数的特征构成对应的函数不等式，从而得到相应的数列不等式，再结合不等式的性质结合数列的求和公式、求和方法等去证明目标不等式.22.在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为()11x m y k m =-⎧⎨=-⎩(m 为参数)，直线2l 的参数方程2x n n y k =⎧⎪⎨=+⎪⎩(n 为参数).若直线12,l l 的交点为P ，当k 变化时，点P 的轨迹是曲线C .（1）求曲线C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，点,A B 是曲线C 两动点，60AOB ∠=︒，求AOB 面积的最大值.【答案】（1）22(1)1(0)x y x +-=≠（2）334【解析】【分析】（1）首先将直线方程化为普通方程，再联立消去k ，即可得到曲线C 的普通方程；（2）由cos x ρθ=、sin y ρθ=得到曲线C 的极坐标方程，设()1,A ρθ，2,3πB ρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，（π2θ≠），即可表示OA 、OB ，则1sin 2AOB S OA OB AOB =⋅∠△，利用三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得.【小问1详解】直线1l 的参数方程为()11x m y k m =-⎧⎨=-⎩(m 为参数)，则直线1l 的普通方程为y kx =-，直线2l 的参数方程2x n n y k =⎧⎪⎨=+⎪⎩(n 为参数)，则直线2l 的普通方程为2x y k -=，依题意0k ≠，由2y kx x y k =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去k 得2(2)y y x -=-，整理得22(1)1(0)x y x +-=≠，所以曲线C 的普通方程为22(1)1(0)x y x +-=≠.2因为曲线C 的普通方程为22(1)1(0)x y x +-=≠，cos x ρθ= ，sin y ρθ=，∴曲线C 的极坐标方程为()()22cos sin 11ρθρθ+-=（π2θ≠），故曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=（π2θ≠）．设()1,A ρθ，2,3πB ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，（π2θ≠），则12sin OA ρθ==，2π2sin 3OB ρθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，1sin 2AOB S OA OB AOB ∴=⋅∠ 1ππ2sin 2sin sin 233θθ⎛⎫=⨯⨯+⨯ ⎪⎝⎭πsin3θθ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭ππsin cos cos sin33θθθ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭23sin cos 22θθθ=+1cos 23sin 2222θθ-=+⨯12cos 22224θθ⎫=-+⎪⎪⎝⎭π2264θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当πsin 216θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，AOB S 有最大值334．。

四川省成都市石室中学2023届高三适应性模拟检测理科数
学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题
A．561
6．《易∙系辞上》有
二、填空题
14．已知函数()(2
2log f x x =+15．已知,αβ均为锐角，tan 16．1e ，2e 是两个不共线的向量，已知,,A B D 三点共线，则实数k =
三、解答题
17．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列{}n S 的前n 项和，已知2n n S T +=．(1)求证：数列{}n S 是等比数列；(2)求数列{}n na 的前n 项和n A ．
18．如图，在三棱锥S ABC -中，SA SB SC ==，BC AC ⊥．
(1)证明：平面SAB ⊥平面(2)若BC SC =，SC SA ⊥成的角为60°，若存在，请求出19．移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至我国移动物联网连接数达家．右图是2018-2022年移动物联网连接数对应的t 分别为1~5．
(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到它们的相关程度；
(2)(i)假设变量x 与变量Y 的n 对观测数据为满足一元线性回归模型()0,()Y bx e
E e D e σ=+⎧⎨==⎩
误差平方和Q ＝21n
i i e =∑取得最小值时，参数(ii)令变量,x t t y w =-=2()0,()Y bx e
E e D e σ
=+⎧⎨==⎩利用网连接数．
附：样本相关系数r =。

一、单选题二、多选题1. 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x /万元1020304050销售额y /万元62758189根据收集到的数据（如表），由最小二乘法求得回归方程为.现发现表中有一个数据模糊看不清，则该数据为（ ）A ．68B ．68.3C ．68.5D ．702. 复数的虚部是（ ）A．B．C．D．3. 设向量，，，且满足，则（ ）A．B．C．D ．24. 已知cos(α－β)＝，cos2α＝，α∈(0，)，β∈(0，π)，且α＜β，则α＋β＝（ ）A．B．C．D．5. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（）A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳6. 若集合，，则（ ）A．B．C．D．7. 若复数满足，则（ ）A．B．C．D．8. 设，，，则（ ）A．B．C．D．9. 欧拉函数是初等数论中的重要内容．对于一个正整数，欧拉函数表示小于或等于且与互质的正整数的数目．换句话说，是所有不超过且与互素的数的总数．如：，．则以下是真命题的有（ ）A．的定义域为，其值域也是B．在其定义域上单调递增，无极值点C．不存在，使得方程有无数解四川省成都石室中学2024届高三零诊模拟考试理科数学试题四川省成都石室中学2024届高三零诊模拟考试理科数学试题三、填空题四、解答题D．，当且仅当是素数时等号成立10.如图，正三棱柱的各棱长均为1，点是棱的中点，点满足，点为的中点，点是棱上靠近点的四等分点，则（）A．三棱锥的体积为定值B．的最小值为C ．平面D ．当时，过点的平面截正三棱柱所得图形的面积为11. 下列选项中描述的多面体，一定存在外接球的有（ ）A ．侧面都是矩形的三棱柱B ．上、下底面是正方形的四棱柱C ．底面是等腰梯形的四棱锥D ．上、下底面是等边三角形的三棱台12.如图，半圆面平面，四边形是矩形，且，，分别是，线段上的动点（不含端点），且，则下列说法正确的有（）A ．平面平面B．存在使得C ．的轨迹长度为D ．直线与平面所成角的最大值的正弦值为13.已知奇函数满足，若当时且，，则实数________.14.不等式的解集是______．15. 若将函数表示为，其中为实数，则___________.16. 在中，角所对的边分别为，已知.(1)求角的大小；(2)若，且，求边；(3)若，求周长的最大值.17. 已知函数，其中．(1)求函数的极值；(2)若函数有4个零点，求实数a 的取值范围．18. 如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路（长度均超过3千米），在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米，千米．(1)求线段的长度；(2)若，求两条观光线路与之和的最大值．19. 如图，平面四边形，其中．将沿折起，使P在面上的投影即为在线段上，且，为中点，过作平面，使平行于平面，且平面与直线分别交于D、E，与交于G．（1）求的值；（2）求多面体的体积．20. 已知中心在原点的椭圆的长轴长为，且与抛物线有相同的焦点．(1)求椭圆的方程；(2)若点的坐标为，点，是椭圆上的两点点，，不共线，且，证明直线斜率存在时过定点，并求面积的取值范围．21. 已知函数.（1）求的最小值；（2）若存在区间，使在上的值域为，求实数的取值范围.。

一、选择题1. 【答案】C解析：观察选项，A、B、D均不符合指数函数的性质，只有C选项满足指数函数的定义。

2. 【答案】B解析：利用二次函数的性质，当a>0时，函数开口向上，且对称轴为x=-b/2a。

根据选项，只有B选项符合。

3. 【答案】A解析：根据三角函数的性质，正弦函数在第二象限和第三象限为负，故选A。

4. 【答案】D解析：根据复数的乘法运算，将复数分别乘以i，得到i^2=-1，i^3=-i，i^4=1。

故选D。

5. 【答案】C解析：根据排列组合公式，A选项的排列数为A5^5，B选项的排列数为A5^3，C 选项的排列数为A5^2，D选项的排列数为A5^4。

故选C。

二、填空题6. 【答案】x^2-2x+1解析：利用完全平方公式，将x^2-2x+1分解为(x-1)^2。

7. 【答案】π/6解析：根据正弦函数的定义，sin(π/6)=1/2。

8. 【答案】3解析：利用数列的通项公式，an=2n-1，代入n=5，得到a5=25-1=9。

9. 【答案】i解析：根据复数的乘法运算，(1+i)^2=1^2+2i+1i^2=1+2i-1=2i。

10. 【答案】4解析：利用排列组合公式，C(5,2)=54/2=10，故选4。

三、解答题11. 【答案】解：设函数f(x)=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数。

（1）根据题目条件，当x=1时，f(x)=1，代入函数表达式得到a+b+c=1。

（2）当x=2时，f(x)=4，代入函数表达式得到4a+2b+c=4。

（3）当x=3时，f(x)=9，代入函数表达式得到9a+3b+c=9。

解以上方程组，得到a=1，b=-2，c=2。

故函数f(x)=x^2-2x+2。

12. 【答案】解：设直线l的方程为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。

（1）根据题目条件，直线l过点A(2,1)，代入方程得到1=2k+b。

（2）直线l与圆x^2+y^2=1相切，根据切线与圆的性质，切线与半径垂直，即斜率的乘积为-1。

四川省成都市石室中学2023届高三高考模拟测试数学
（理科）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
．甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数
．甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数
．设zÎC，则在复平面内35
££所表示的区域的面积是（）
z
．B．C．D．
．
13
B ．
23
C ．
43
二、填空题
13．“五一”假期期间，小明和小红两位同学计划去卷上的圆锥曲线大题.如图，小红在街道E 处，小明14．已知点C 的坐标为()2,0，点,A B 是圆0AC BC ×=uuu r uuu r
，设P 为线段AB 的中点，则15．已知函数()()2e R x f x ax a =-Î有两个极值点围为___________．
三、双空题
信基站核心部件，下表统计了该科技集团近几年来在A部件上的研发投入x（亿元）与收益y（亿元）的数据，结果如下：。

一、单选题二、多选题1. 函数是定义在R 上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（ ）A ．－32B ．32C ．16D ．82.已知函数仅有一个极值点，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．3. 已知函数，则函数的零点为（ ）A．B ．，0C．D ．04. 国庆长假过后学生返校，某学校为了做好防疫工作组织了6个志愿服务小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，则不同的分配方法种数为（ ）A ．65B ．125C ．780D ．15605. 春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（ ）A ．10天B ．15天C ．19天D ．2天6. 在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）A．B．C．D．7. 已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点，则下列结论中错误的是（ ）A．的标准方程为B．的离心率等于C．与双曲线的渐近线不相同D ．直线与有且仅有一个公共点8.已知，则（ ）A．B．C．D．9. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离声压级燃油汽车10混合动力汽车10电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．A．B．C．D．四川省成都市石室中学2022-2023学年高三下学期二诊模拟考试理科数学试题四川省成都市石室中学2022-2023学年高三下学期二诊模拟考试理科数学试题三、填空题四、解答题10. 我国古代《九章算术》里记载了一个“羡除”的例子，羡除，隧道也，其所穿地，上平下邪，如图是一个“羡除”模型，该“羡除”是以为顶点的五面体，四边形为正方形，平面，则（）A．该几何体的表面积为B．该几何体的体积为C．该几何体的外接球的表面积为D ．与平面所成角的正弦值为11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）A．函数是偶函数，且在上不单调B ．函数是奇函数，且在上不单调递增C ．函数在上单调递增D ．对任意，都有，且12. 下列说法正确的有（ ）A ．若随机变量，，则B ．残差和越小，模型的拟合效果越好C．根据分类变量与的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断与有关且犯错误的概率不超过5%D ．数据4，7，5，6，10，2，12，8的第60百分位数为613.设，，记，，分别为a ，b 的算术平均数、几何平均数、调和平均数，古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过时A ，G ，H 的大小关系，则A ，G ，H 中最大的为______，最小的为______．14. 如图，已知正四面体EFGH 和正四棱锥的所有棱长都相等，现将正四面体EFGH 的侧面EGH 与正四棱锥的侧面PAB 重合（P ，E 重合；A ，H 重合；B ，G 重合）后拼接成一个新的几何体，对于新几何体，下列说法正确的有______①②PF 与BC 异面③新几何体为三棱柱④新几何体的6个顶点不可能在同一个球面上15. 已知的三个顶点为,,,求的外接圆方程__________________.16.如图，已知三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧面为菱形，为其两对角线的交点，，，，分别为，的中点，顶点在底面的射影为底面中心．（1）求证：平面，且平面；（2）求三棱锥的体积．17. 如图，点是锐角的终边与单位圆的交点，逆时针旋转得，逆时针旋转得，…，逆时针旋转得．（1）若的坐标为，求点的横坐标；（2）若点的横坐标为，求的值．18. 已知函数，，且关于的不等式的解集为，设.（1）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；（2）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.19. 如图，在三棱锥中，已知是正三角形，平面为的中点，在棱上，且.(1)求三棱锥的体积;(2)求证:平面;(3)若为中点，在棱上，且，求证:平面.20. 某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负.现A，B双方参加比赛，A方在每一场获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立.（1）当时，求A方恰在比赛四场后赢得比赛的概率；（2）若B方在每一场获胜的概率为q，设比赛场数为.（i）试求的分布列及数学期望；（用P，q表示）（ⅱ）求的最大值，并给出能够减少比赛场数的建议.21. 已知函数.(1)求函数在区间上的最值；(2)讨论方程实根个数.。

成都石室中学2023-2024年度下期高2024届三诊模拟数学试题（理）（总分：150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．满足{},,,M a b c d ⊆且{}{},,M a b c a ⋂=的集合M 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．在A B C ∆中，“AC B ∠是钝角”是“CA CB AB +<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图，已知甲的成绩的极差为31，乙的成绩的平均值为24，则下列结论错误的是（）A ．9x =B ．6y =C ．乙的成绩的中位数为28D ．乙的成绩的方差小于甲的成绩的方差4.用数学归纳法证明()111212322n n f n +=++++≥ （*n ∈N ）的过程中，从n k =到1n k =+时，()1f k +比()f k 共增加了（）A ．1项B ．21k -项C ．+12k 项D ．2k 项5．已知函数()1sin cos 4f x x x =+，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的图象关于直线π2x =对称B ．()f x 的周期为πC ．(1π,4)是()f x 的一个对称中心D ．()f x 在区间ππ,42⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增6．物理学家本·福特提出的定律：在b 进制的大量随机数据中，以n 开头的数出现的概率为()1log b b n P n n+=.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若()80*4102log 81()1log 5n k P n k ==∈+∑N ，则k 的值为（）A ．7B ．8C ．9D ．107．已知函数2()2ln f x x x =+的图象在两个不同点()()11,Ax f x 与()()22,B x f x 处的切线相互平行，则12x x+的取值可以为（）A ．14B ．1C ．2D ．1038.佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效.因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1的ABC D Y 由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊，那么在图2这个六面体中，棱AB 与CD 所在直线的位置关系为（）A ．平行B ．相交C ．异面且垂直D ．异面且不垂直9．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为（）A ．316B ．1316C ．716D ．91610．在平面直角坐标系xOy 中，点()()1,0,2,3A B -，向量OC mOA nOB =+，且40m n --=.若点C 的轨迹与双曲线2212x y -=的渐近线相交于两点P 和Q （点P 在x 轴上方），双曲线右焦点为F ，则POF QOFS S ∆∆=（）A ．3+22B ．322-C ．196217+D ．196217-11．如图，射线l 与圆()()22:111C x y -+-=，当射线l 从0l 开始在平面上按逆时针方向绕着原点O 匀速旋转（A 、B 分别为0l 和l 上的点，转动角度AOB α∠=不超过π4）时，它被圆C 截得的线段EF 长度为()L α，则其导函数()L α'的解析式为（）A ．()2sin2L αα='B ．()2cos2L αα='C ．()2cos2sin2L ααα='D ．()cos2sin2L ααα='12．若存在(),x y 满足23100290360x y x y x y -+>⎧⎪+->⎨⎪--<⎩，且使得等式()()324e ln ln 0x a y x y x +--=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（）A ．()3,0,2e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(),0∞-D ．30,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.若复数13i 22z =+（i 为虚数单位），则2z z ⋅=.14．已知a 是1与2的等差中项，b 是1与16的等比中项，则ab 等于.15.已知函数()f x 的定义域为R ，对于任意实数x y 、均满足()()2233f x f y x y f ++⎛⎫=⎪⎝⎭，若()21f =，()510f =，则()724f =.16.成都石室中学校园文创产品圆台形纸杯如图所示，其内部上口直径､下口直径､母线的长度依次等于8cm 、6cm 、12cm ，将纸杯盛满水后再将水缓慢倒出，当水面恰好到达杯底（水面恰好同时到达上口圆“最低处”和下口圆“最高处”）的瞬间的水面边缘曲线的离心率等于.三、解答题（本题共6道小题，共70分）17．（本小题满分12分）如图，在平面四边形ABCD 中，已知点C 关于直线BD 的对称点'C 在直线AD 上，30CBD CDB ∠=∠=︒，75ACD ∠=︒．(Ⅰ)求sin sin BACABC∠∠的值；(Ⅱ)设AC =3，求2AB ．18．（本小题满分12分）某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度(单位：cm)介于[]15,25之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)若从高度在[)15,17和[)17,19中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在[)15,17内的株数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ；(Ⅲ)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在[]21,25的条件下，至多1株高度低于23cm 的概率.19．（本小题满分12分）已知函数2()ln ,f x ax x a =-∈R .(Ⅰ)讨论函数()f x 的单调性；(Ⅱ)设0,()()a g x f x bx >=+，且1x =是()g x 的极值点，证明：2+ln 12ln 2b a ≤-.20．（本小题满分12分）已知平面α与平面β是空间中距离为1的两平行平面，AB α⊂，CD β⊂，且2AB CD ==，AB 和CD 的夹角为60︒.(Ⅰ)证明：四面体ABCD 的体积为定值；(Ⅱ)已知异于C 、D 两点的动点P β∈，且P 、A 、B 、C 、D的球面上.当PA ，PB 与平面α的夹角均为θ时，求cos θ.选考题：共10分。

一、单选题1. 如图，为了测量某湿地A ，B 两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C ，D ，E ．从D 点测得∠ADC ＝67.5°，从C 点测得∠ACD ＝45°，∠BCE ＝75°，从E 点测得∠BEC ＝60°．若测得DC ＝2，CE＝(单位：百米)，则A ，B 两点的距离为（）A．B ．2C ．3D ．22. 点(1,1)到直线的距离是（ ）A ．1B ．2C．3. 函数的图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象（）A ．向右平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度4. 在三角函数部分，我们研究过二倍角公式，实际上类似的还有三倍角公式，则下列说法中不正确的有（ ）A．B ．存在时，使得C ．给定正整数，若，，且，则D ．设方程的三个实数根为，，，并且，则5. 以表示标准正态总体在区间内取值的概率，若随机变量服从正态分布，则概率等于A．B．C．D．6. 已知，，，则a ，b ，c 的大小关系是( )A．B．C．D．7. 若数列满足，（且），则( )A．B．C．D．8. 点声源在空中传播时，衰减量（单位：dB ）与传播距离d （单位：米）之间的关系式为．若传播距离从20米变化到40米，则衰减量的增加值约为（参考数据：）（ ）A．B．C．D．9. 已知，，且，则（ ）四川省成都市石室中学2022-2023学年高三下学期二诊模拟考试理科数学试题二、多选题A．B．C．D．10. 已知向量，的夹角为，，，则（ ）A ．2B．C．D．11. 设备的经济寿命是指设备从投入使用开始到因继续使用在经济上不合理而被更新所经历的时间，由维护费用的提高和使用价值的降低决定的设备的经济寿命有如下计算公式：，其中为设备的经济寿命（单位：年），P为设备目前实际价值，为设备N年末的净残值，为设备的低劣化值．若有一台设备，目前实际价值为8000元，预计经济寿命为7年，设备的低劣化值为300元，则该设备7年末的净残值为（ ）A ．600元B ．650元C ．700元D ．750元12. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13. 已知等差数列满足，前 项和为，则（ ）A ．8B ．12C ．16D ．2414. 曲线在处切线的倾斜角为，则（ ）A ．2B．C ．1D．15.已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，的延长线交于，，则的离心率（ ）A．B．C．D．16. 已知集合，则（ ）A．B．C．D．17. 已知直线：，：，则下列结论正确的有（ ）A ．若，则B．若，则C ．若，在x轴上的截距相等则D ．的倾斜角不可能是倾斜角的2倍18.如图，在长方体中，，下列命题正确的有（）A．B．三、填空题C ．平面平面D ．平面平面19. 已知直线l 过点，点，到l 的距离相等，则l 的方程可能是( )A．B．C．D．20.已知函数，则（ ）A ．在单调递减，则B ．若，则函数存在2个极值点C ．若，则有三个零点D ．若在恒成立，则21. 已知圆台上､下底面的半径分别为2和4，母线长为4.正四棱台上底面的四个顶点在圆台上底面圆周上，下底面的四个顶点在圆台下底面圆周上，则（ ）A ．与底面所成的角为60°B．二面角小于60°C．正四棱台的外接球的表面积为D ．设圆台的体积为，正四棱台的体积为，则22.设函数，给定下列命题，其中正确的是（ ）A．若方程有两个不同的实数根，则；B．若方程恰好只有一个实数根，则；C ．若，总有恒成立，则；D．若函数有两个极值点，则实数.23. 某数学学习小组甲、乙、丙三人分别构建了如图所示的正四棱台①，②，③，从左往右.若上底面边长、下底面边长、高均依次递增，记正四棱台①，②，③的侧棱与底面所成的角分别为，，，正四棱台①，②，③的侧面与底面所成的角分别为，，，则（）A．B．C．D．24. 如图所示，中，，点M 为线段AB 中点，P 为线段CM 的中点，延长AP 交边BC 于点N ，则下列结论正确的有（）．A．B．C．D ．与夹角的余弦值为25. 投票评选活动中，经常采用简单多数原则或积分原则.简单多数原则指个评委对个候选人进行一次表决，各自选出认为最佳的人选，按四、解答题每个候选人所得票数不同决定不同名次；积分原则指每个评委先对个候选人排定顺序，第一名得分，第二名得分，依此类推，最后一名得1分，每个候选人最后的积分多少决定各自名次.下表是33个评委对A ､B ､C ､D 四名候选人作出的选择，则按不同原则评选，名次不相同的候选人是__________.选票数名次6753931st CA C A BD2nd A C D D A A 3rd BBBBD C 4thD D A CCB26. 已知正三棱锥P －ABC 的底面边长为6，其内切球的半径为1，则此三棱锥的高为___．27. 已知向量与共线且方向相同，则_____.28. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，边长为2的正方形ABCD 沿x 轴滚动（无滑动滚动），点D恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则_____________.29. 已知，向量，，且，则θ＝______________．30. 若双曲线的焦距为，则实数______．31.已知函数为偶函数，则的解集为__________．32.设直线系，对于下列四个命题：①M 中所有直线均经过一个定点；②存在定点P 不在M 中的任一条直线上；③对于任意整数，存在正n 边形，使其所有边均在M 中的直线上；④M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等．其中真命题的序号是_________（写出所有真命题的序号）33. （1）已知角终边上一点，求的值；（2）化简求值：34. （1）求曲线和曲线围成图形的面积；（2）化简求值：．五、解答题35.已知，．记．（1）求的值；（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．36. 已知函数.(1)求f （x ）的最小正周期和在的单调递增区间；(2)已知，先化简后计算求值：37. 设分别为椭圆: 的左、右焦点，是椭圆短轴的一个顶点，已知的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)如图，是椭圆上不重合的三点，原点是的重心（i ）当直线 垂直于 轴时，求点 到直线的距离；（ii ）求点到直线的距离的最大值.38. 随着寒冷冬季的到来，羽绒服进入了销售旺季，某调查机构随机调查了400人，询问他们选购羽绒服时更关注保暖性能还是更关注款式设计，得到以下的列联表：更关注保暖性能更关注款式设计合计女性16080240男性12040160合计280120400附：．0.100.050.0102.7063.8416.635(1)是否有95%的把握认为男性和女性在选购羽绒服时的关注点有差异？(2)若从被调查的更关注保暖性能的人中按男女比例用分层抽样的方法抽取7人进行采访，再从这7人中任选2人赠送羽绒服，求这2人都是女性的概率．39.某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为）作为样本（样本容量）进行统计，按照、、、、的分组作出频率分布直方图，已知得分在、的频数分别为、.（1）求样本容量和频率分布直方图中的、的值；（2）估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数.40.已知：①函数；②向量，，且，；③函数的图象经过点.请在上述三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知______，且函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为．(1)若，且，求的值；(2)求函数在上的单调递减区间．(3)请用五点作图法作出函数的图象.41. 设函数图像的一条对称轴是直线 .（1）求；（2）求函数的单调递增区间;（3）画出函数在区间上的图像.42. 正六棱锥的高为，底面边长为．(1)按1∶1画出它的二视图；(2)求其侧面积；(3)求它的侧棱和底面的夹角．43. 若动点到定点与定直线的距离之和为4.（1）求点的轨迹方程，并画出方程的曲线草图；（2）记（1）得到的轨迹为曲线，问曲线上关于点（）对称的不同点有几对？请说明理由.44. 如图为一块直四棱柱木料，其底面满足：，．(1)要经过平面内的一点和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（借助尺规作图，并写出作图说明，无需证明）(2)若，，当点是矩形的中心时，求点到平面的距离．六、解答题45. 如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，∠A ＝60°，E ，F 分别为线段AB ，CD 上的点，且BE ＝2AE ，DF ＝FC ，现将△ADE 沿DE 翻折至的位置，连接，．(1)若点G 为线段上一点，且，求证：平面；(2)当三棱锥的体积达到最大时，求二面角的正弦值．46.如图，直棱柱的底面是菱形，分别为棱，的中点，.（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值.47. 已知函数.(1)若在点处的切线方程为，求实数的值；(2)设.在（1）的条件下，若满足，求证：.48.已知函数，函数与函数的图象关于直线对称.（1）求函数；（2）时，求证：函数在区间不单调.49. 如图，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D ，E 分别是棱BC ，AB 的中点，点F 在棱CC 1上，已知AB ＝AC ，AA 1＝3，BC ＝CF ＝2．（1）求证：C 1E 平面ADF ；（2）设点M 在棱BB 1上，当BM 为何值时，平面CAM ⊥平面ADF ．50.已知如图，点为椭圆的短轴的两个端点，且的坐标为，椭圆的离心率为.七、解答题(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线不经过椭圆的中心，且分别交椭圆与直线于不同的三点（点在线段上），直线分别交直线于点.求证：四边形为平行四边形.51. 某中学对学生钻研奥数课程的情况进行调查，将每周独立钻研奥数课程超过6小时的学生称为“奥数迷”，否则称为“非奥数迷”，从调查结果中随机抽取100人进行分析，得到数据如表所示：奥数迷非奥数迷总计男243660女122840总计3664100(1)判断是否有的把握认为是否为“奥数迷”与性别有关？(2)现从抽取的“奥数迷”中，按性别采用分层抽样的方法抽取3人参加奥数闯关比赛，已知其中男、女学生独立闯关成功的概率分别为、，在恰有两人闯关成功的条件下，求有女生闯关成功的概率.参考数据与公式：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828，其中.52. 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标为k，当时，产品为一级品；当时，产品为二级品；当时，产品为三级品．现用两种新工艺（分别称为A 工艺和B 工艺）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（以下均视频率为概率）．A 工艺的频数分布表：指标值分组频数10304020B 工艺的频数分布表：指标值分组频数510154030(1)若从B 工艺产品中有放回地随机抽取4件，记“抽出的B 工艺产品中至多有2件二级品”为事件C ，求事件C 的概率；(2)若两种新产品的利润率y 与质量指标值k 满足如下关系：（其中），应用统计知识，请你说明最好投资哪种工艺？53. 某电商平台统计了近七年小家电的年度广告费支出(万元)与年度销售量(万台)的数据，如表所示:年份2016201720182019202020212022广告费支出1246111319销售量 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4其中，(1)若用线性回归模型拟合与的关系，求出关于的线性回归方程；(2)若用模型拟合得到的回归方程为，经计算线性回归模型及该模型的分别为0.75和0.88，请根据的数值选择更好的回归模型拟合与的关系，进而计算出年度广告费为何值时，利润的预报值最大？参考公式：，；54. 习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，这将进一步推动新能源汽车产业的迅速发展．以下是近几年我国新能源乘用车的年销售量数据及其散点图：年份20132014201520162017年份代码新能源乘用车年销量（万辆）（1）请根据散点图判断，与中哪一个更适宜作为年销售量关于年份代码的回归方程类型? (给出判断即可，不必说明理由)（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并预测年我国新能源乘用车的销售量(精确到).附: 1.最小二乘法估计公式：其中55. 学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛.(1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率；(2)比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积分.现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为，乙赢概率为，比赛共进行二轮.（i）在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列；（ii）在两轮比赛中，求这两名学生得分的分布列和均值.八、解答题56. 2022年北京冬奥组委发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（2022）》显示，北京冬奥会已签约45家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式.为了解该45家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对45家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家，余下的企业中，每天的销售额不足30万元的企业占，统计后得到如下列联表：销售额不少于30万元销售额不足30万元合计线上销售时间不少于8小时1720线上销售时间不足8小时合计45(1)请完成上面的列联表，并依据的独立性检验，能否认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关；(2)①按销售额进行分层抽样，在上述赞助企业中抽取5家企业，求销售额不少于30万元和销售额不足30万元的企业数；②在①条件下，抽取销售额不足30万元的企业时，设抽到每天线上销售时间不少于8小时的企业数是X ，求X 的分布列及期望值.附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828参考公式：，其中.57.已知(1)若单调递增，求的取值范围；(2)证明：当时，58. 已知的三个角的对边分别为，且(1)求 B ；(2)若，求的面积.59.在等比数列中，，且成等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n 项和．60. 已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)若函数的图象总在函数的图象的上方，求实数的取值范围．61. 已知函数，.(1)讨论函数的单调性；(2)若，对任意，当时，不等式恒成立，求实数m 的取值范围.62. 已知函数.(1)若，求的极值.(2)若方程在区间上有解，求实数的取值范围.。

一、单选题二、多选题1.已知，若点为曲线：与曲线：的交点，且两条曲线在点处的切线重合，则实数的最大值为（ ）A．B．C．D．2. 使函数为偶函数，则的一个值可以是（ ）A．B．C．D．3.已知是单位向量，且它们的夹角是.若，且，则（ ）A ．2B．C ．2或D ．3或4. 已知等差数列的公差和首项都不等于0，且成等比数列，则＝A ．2B ．3C ．5D ．75. 已知函数，若关于的方程由5个不同的实数解，则实数的取值范围是A．B．C．D．6. 已知三棱锥中，面，底面是以为直角顶点的直角三角形，且，三棱锥的体积为.过点作于，过作于，则三棱锥外接球的体积为（）A．B．C．D．7. 已知正项等比数列{}满足=9，则=（ ）A ．15B ．125C ．27D ．7298. 对两个具有线性相关关系的变量x 和y 进行统计时，得到一组数据，通过这组数据求得回归直线方程为，则m 的值为（ ）A ．3B ．5C ．5.2D ．69.随机变量的分布列如表：其中，下列说法正确的是（）12P A．B．C．有最大值D ．随y 的增大而减小四川省成都石室中学2024届高三零诊模拟考试理科数学试题(3)四川省成都石室中学2024届高三零诊模拟考试理科数学试题(3)三、填空题四、解答题10. 17世纪初，约翰·纳皮尔为了简化计算而发明了对数．对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明．我们知道，任何一个正实数N 可以表示成的形式，两边取常用对数，则有，现给出部分常用对数值（如下表），则下列说法中正确的有（ ）真数x 2345678910（近似值）0.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.954 1.000真数x 111213141516171819（近似值）1.0411.0791.1141.1461.1761.2041.2301.2551.279A．在区间内B．是15位数C ．若，则D ．若是一个35位正整数，则11. 下列命题中，正确的是（ ）A ．已知随机变量X 服从二项分布，若，则B ．已知随机变量X 服从正态分布，若，则C ．已知，，，则D ．已知，，，则12. 已知a ，b ，c 满足c <a <b ，且ac <0，那么下列各式中一定成立的是（ ）A ．ac （a -c ）>0B ．c （b -a ）<0C．D．13. 已知两圆的方程分别为和，则这两圆公共弦的长等于__________.14.已知点为双曲线上任意一点，则点到两条渐近线距离乘积的最大值为______.15.的展开式中含项的系数为______．16. 如图,在四棱锥P －ABCD 中,四边形ABCD 是菱形,PA =PC ,E 为PB 的中点．求证:(1)平面AEC ;(2)平面AEC ⊥平面PBD ．17. 某厂每日生产一种大型产品1件，每件产品的投入成本为2000元.产品质量为一等品的概率为，二等品的概率为，每件一等品的出厂价为10000元，每件二等品的出厂价为8000元.若产品质量不能达到一等品或二等品，除成本不能收回外，没生产一件产品还会带来1000元的损失.（1）求在连续生产3天中，恰有一天生产的两件产品都为一等品的的概率；（2）已知该厂某日生产的2件产品中有一件为一等品，求另一件也为一等品的概率；（3）求该厂每日生产该种产品所获得的利润（元）的分布列及数学期望.18. 已知e是自然对数的底数，．(1)设，求曲线在点处的切线方程；(2)若，都有，求实数a的取值范围．19. 已知函数（1）已知直线与曲线相切，且与坐标轴围成等腰三角形，求直线的方程；（2）已知，设曲线在点处的切线被坐标轴截得的线段长度为，求的最大值．20. 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交C丁A．B两点．当l⊥x轴时，△ABF2的面积为3．(1)求C的方程；(2)是否存在定圆E，使其与以AB为直径的圆内切？若存在，求出所有满足条件的圆E的方程；若不存在，请说明理由．21. 已知函数的最小正周期为.(1)求值；(2)再从条件①.条件②、条件③三个条件中选择一个作为已知.确定的解析式.设函数，求的单调增区间.条件①：是偶函数；条件②：图象过点；条件③：图象的一个对称中心为.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.。

一、单选题二、多选题1. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ）A．B．C．D．2. 已知全集，集合，，则=（ ）A ．{}B ．{}C ．{}D ．{}3. 已知是定义在R 上的函数，，且当时，，若，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．c >b >a4. 以点为圆心，且与直线相切的圆的方程为（ ）A．B．C．D．5. “角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”．“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1．对任意正整数．记按照述规则实施第n 次运算的结果为，若，且均不为1，则（ ）A ．5或16B ．5或32C ．3或8D ．7或326.已知函数，则下列说法的是（ ）A．在区间上单调递增B．在区间上单调递减C ．的图象关于直线对称D ．的图象关于点对称错误7. 正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre 于1733年提出，但由于德国数学家Gauss 率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作．当，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布．如果那么对任意的a ，通常记，也就是说，表示对应的正态曲线与x 轴在区间内所围的面积．某校高三年级800名学生，期中考试数学成绩近似服从正态分布，高三年级数学成绩平均分100，方差为36，，那么成绩落在的人数大约为（ ）A ．756B ．748C ．782D ．7648. 已知直线，，则“”是“”的（ ）A ．充分非必要B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件9.在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是曲线．则下列说法正确的是（ ）A．曲线的方程为B ．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是C．当三点不共线时，若点，则射线平分D ．过曲线外一点作曲线的切线，切点分别为，则直线过定点10. 下列关于排列组合数的等式或说法正确的有（ ）A．B ．设，则的个位数字是6C ．已知，则等式对任意正整数，都成立四川省成都市石室中学2023届高三下学期三诊模拟考试理科数学试题(1)四川省成都市石室中学2023届高三下学期三诊模拟考试理科数学试题(1)三、填空题四、解答题D．等式对任意正整数都成立11. 在正方体中，E ，F 分别为，的中点，则下列结论错误的是（ ）A．平面B ．平面C ．平面D．平面12.已知函数的最小正周期为2，则（ ）A ．B ．曲线关于直线对称C．的最大值为2D．在区间上单调递增13.已知 ，则_____.14. 已知，则等于_______．15.在数列中，若存在一个确定的正整数，对任意满足，则称是周期数列，叫做它的周期．已知数列满足，当数列的周期为3时，则的前2016项的和___________．16. 随着生活水平的提高，人们对空气质量的要求越来越高，某机构为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查人,并将调查情况进行整理后制成下表：年龄（岁）频数赞成人数(1)世界联合国卫生组织规定:岁为青年，为中年，根据以上统计数据填写以下列联表：青年人中年人合计不赞成赞成合计(2)判断能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为赞成“车辆限行”与年龄有关？附：，其中独立检验临界值表：(3)若从年龄的被调查中各随机选取人进行调查，设选中的两人中持不赞成“车辆限行”态度的人员为，求随机变量的分布列和数学期望.17. 已知.(1)求时，在处的切线方程；(2)若存在两个极值点，且，求实数m 的取值范围.18.已知定义域为的函数是奇函数，当时，.（1）求在上的解析式；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.19.在△ABC中，内角，，所对的边分别是，，，且．(1)求角的大小；(2)若是边上一点，且，若，求△ABC面积的最大值．20. 在平面四边形中，已知，.(1)证明：；(2)若，，，求四边形的面积.21.已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，且，是正三角形．(1)求的方程；(2)若直线与仅有一个公共点，且与的两条渐近线分别交于，记的面积为，的面积为（是坐标原点），则是否存在最小值？若存在，求出该最小值，若不存在．请说明理由．。

一、单选题1.若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是A．B．C．D．2. 已知两条不同的直线l ，m 和一个平面α，下列说法正确的是（ ）A ．若l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥αB ．若l ⊥m ，l ⊥α，则m ∥αC ．若l ⊥α，m ∥α，则l ⊥mD ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m3. 已知为第一象限角，且，则（ ）A．B．C．D．4. 函数的图象大致为（ ）A．B．C．D．5.已知双曲线的右焦点为F ，点A 为C 的一条渐近线上的一点，且（O 为坐标原点），点M 为C 的左顶点，以AM 为直径的圆与x 轴交于不同于点M 的点B ，且，则C 的渐近线方程为（ ）A．B．C．D．6. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．7. 设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）8.已知集合.现给出下列函数：①②③④，若时，恒有，则所有可取的函数的编号是四川省成都市石室中学2024届高三一模数学（理）试题四川省成都市石室中学2024届高三一模数学（理）试题二、多选题三、填空题四、解答题A ．①②③④B ．①②④C ．①②D ．④9. 已知数列是各项均为正数的等比数列，是公差大于0的等差数列，且，，则（ ）A．B．C．D．10.已知函数及其导函数的定义域均为R ，若为奇函数，的图象关于y 轴对称，则下列结论中一定正确的是（ ）A．B ．C．D．11. 在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数．最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数等．双曲函数在物理及生活中有着某些重要的应用，譬如达·芬奇苦苦思索的悬链线（例如固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线即为悬链线）问题，可以用双曲余弦型函数来刻画．则下列结论正确的是（ ）A．B．为偶函数，且存在最小值C ．，D ．，且，12. 已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（ ）A．所有奇数项的二项式系数和为B．所有项的系数和为C ．二项式系数最大的项为第6项或第7项D ．有理项共5项13. 已知函数.若，则实数的最小值为______.14. 已知椭圆与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，点F 是椭圆的一个焦点，若△ABF 是等腰三角形，则的值为________.15. 填表：函数使函数有意义的x 的实数范围1________________2________________3________________4________________16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，，E ，F ，M 分别是PB ，CD ，PD的中点．(1)证明：平面PAD ．(2)求平面AMF与平面EMF的夹角的余弦值．17. 已知.(1)讨论的单调性；(2)确定方程的实根个数.18. 如图是一个四棱柱被一个平面所截的几何体，底面是正方形，M是的中点，.(1)证明：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.19. 已知函数．(1)若对任意的恒成立，求的取值范围；(2)证明：.20. 如图，已知圆的直径长为2，上半圆圆弧上有一点，，点是弧上的动点，点是下半圆弧的中点，现以为折线，将下半圆所在的平面折成直二面角，连接、、.（1）当平面时，求的长；（2）当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值.21. 2021年4月17日，江苏园博会正式向公众开放.昔日废弃采矿区化茧成蝶，变身成了"世界级山地花园群”.园博园的核心景区苏韵荟谷以流水串联，再现了江苏13个地市历史名园的芳华，行走其间，仿佛穿游在千年历史长河中，吸引众多游客前来打卡某旅行社开发了江苏园博园一-日游线路，考虑成本与防疫要求，每团人数限定为不少于35人，不多于40人除去成本，旅行社盈利100元/人.已知该旅行社已经发出的10个旅行团的游客人数如下表所示∶序号12345游客人3935383836数序号678910游客人3940374038数（1）该旅行社计划从这10个团队中随机抽取3个团队的游客，就服务满意度进行回访，求这3个团队人数不全相同的概率；（2）预计暑假期间发团200个，将盈利总额记为X(单位∶万元)，用上表中的频率估计概率，求X的数学期望.。

一、单选题二、多选题1. 一个频率分布表（样本容量为）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在上的频率为，则估计样本在、内的数据个数共有（）A．B．C．D．2. 已知，其中是虚数单位，是复数的共轭复数，则复数（ ）A．B．C．D．3. 已知是虚数单位，复数满足，则的虚部是（ ）A．B．C．D．4. 核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时监测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀初始数值时，的数量与扩增次数满足，其中为的初始数量，为扩增效率．已知某被测标本扩增次后，数量变为原来的倍，则扩增效率约为（）参考数据：A．B．C．D．5. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到如图所示的函数的图象，则（）A．B．C．D．6. 已知，则（ ）A．B．C．D．7. 已知函数，若是偶函数，则（ ）A ．－4B ．－2C ．2D ．48. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a ，b ，x ，y >0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）A ．16B ．25C ．36D ．499. 已知，则下列不等式正确的是（ ）A．B．C．D．四川省成都市石室中学2023届高三下学期三诊模拟考试理科数学试题四川省成都市石室中学2023届高三下学期三诊模拟考试理科数学试题三、填空题四、解答题10.已知，为双曲线C ：x 2–=1的左、右焦点，在双曲线右支上取一点P ，使得PF 1⊥PF 2，直线PF 2与y 轴交于点Q ，连接QF 1，△PQF 1，的内切圆圆心为I ，则下列结论正确的有（ ）A ．F 1，F 2，P ，I 四点共圆B ．△PQF 1的内切圆半径为1C ．I 为线段OQ 的三等分点D ．PF 1与其中一条渐近线垂直11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）A ．在上单调递减B．直线为图象的一条对称轴C ．在上的解集为D ．函数在上的图象与直线的交点的横坐标之和为12.如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（）A ．直三棱柱的体积是1B．直三棱柱的外接球表面积是C ．三棱锥的体积与点的位置有关D．的最小值为13. 个男生和个女生进入三个不同的教室，满足每个教室里必须有女生，有男生的教室至少有个女生，那么满足条件的分配方式共有_______种.14.在直三棱柱中，若，则异面直线与所成的角等于_________.15. 函数的定义域是___________16. 已知动圆经过定点，且与圆：内切.(1)求动圆圆心的轨迹的方程；(2)设轨迹与轴从左到右的交点为，，点为轨迹上异于，的动点，设交直线于点，连接交轨迹于点，直线，的斜率分别为，.①求证：为定值；②证明：直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.17.已知函数，．(1)求函数极值；(2)若对恒成立，求的最小值．18. 已知椭圆与抛物线交于y 轴上的同一点M ，过坐标原点O 的直线l与相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与相交于点D ，E ．(1)①求椭圆与抛物线的方程；②证明：MD，ME的斜率之积为定值．(2)记△MAB、△MDE的面积分别为、，求的最小值，并求取最小值时直线MA的方程．19. 已知函数.（1）若，求证：函数在区间内是增函数；（2）求证：“”是“在区间内存在唯一实数，使”的必要不充分条件.20.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：0200(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并求出函数的解析式；(2)将图象上的所有点向左平行移动个单位长度，得到图象，求的图象离原点最近的对称中心.21. 在中，、、分别是三个内角的对边，已知，.(1)若的面积，求；(2)若是直角三角形，求与.。

一、单选题二、多选题1. “角股猜想”是“四大数论世界难题”之一，至今无人给出严谨证明．“角股运算”指的是任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1．在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，该猜想就是：反复进行角股运算后，最后结果为1．我们记一个正整数经过次角股运算后首次得到1（若经过有限次角股运算均无法得到1，则记），以下说法有误的是（ ）A ．可看作一个定义域和值域均为的函数B ．在其定义域上不单调，有最小值，无最大值C ．对任意正整数，都有D ．是真命题，是假命题2. 已知直线：，：，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为4，点M 在圆上，且C 的一条渐近线上存在点N ，使得四边形为平行四边形，O 为坐标原点，则C 的离心率的取值范围为（ ）A．B．C．D．4. 已知等差数列的公差为，随机变量满足，，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．5. 已知是公差为的等差数列，为数列的前n 项和，若成等比数列，则（ ）A．B ．14C ．12D ．166.已知，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7. 已知函数则函数在区间上的最大值的取值范围是（ ）A．B．C．D．8.已知，方程与的根分别为，，则的取值范围为A．B．C．D．9.关于函数,下列选项错误的有（ ）A．函数最小正周期为B．表达式可写成C ．函数在上单调递增D．的图像关于直线对称10. 已知直线和圆，则下列说法正确的是（ ）A ．存在，使得直线与圆相切B ．若直线与圆交于两点，则的最小值为C ．对任意，圆上恒有4个点到直线的距离为D ．当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点11.已知函数（）有两个不同的极值点，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则曲线的切线斜率不小于四川省成都市石室中学2023届高三适应性模拟检测理科数学试题(高频考点版)四川省成都市石室中学2023届高三适应性模拟检测理科数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题B．函数的单调递减区间为C ．实数a的取值范围为D．若函数的所有极值之和小于，则实数a的取值范围为12. 下列函数是奇函数且在上单调递减的是（ ）A．B．C．D．13.某中学共有学生人，其中高一年级人，高二年级人，高三年级人，现采用分层抽样的方法，抽取人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为__________________.14. 已知函数，，若直线与函数，的图象均相切，则的值为________；若总存在直线与函数，图象均相切，则的取值范围是________15.如图所示，在正方体中，点P在线段上运动，设异面直线与所成的角为，则的最小值是___________.16.已知数列的前项和为，，当，且时，．(1)证明：为等比数列；(2)设，记数列的前项和为，若，求正整数的最小值．17. 已知数列的前n项和为，且成等差数列，(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)记，若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值．18.已知函数的导函数的两个零点为和．（1）求的单调区间；（2）若的极小值为，求在区间上的最大值．19.已知数列满足．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．20. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，为的中点，点为底边上的点，，．(1)证明：平面平面；(2)若，求三棱锥的体积．21. 如图所示，沿河有A、B两城镇，它们相距千米．以前，两城镇的污水直接排入河里，现为保护环境，污水需经处理才能排放．两城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污水处理厂（在两城镇之间或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送）．依据经验公式，建厂的费用为（万元），表示污水流量；铺设管道的费用（包括管道费）（万元），表示输送污水管道的长度（千米）．已知城镇A和城镇B的污水流量分别为、，、两城镇连接污水处理厂的管道总长为千米．假定：经管道输送的污水流量不发生改变，污水经处理后直接排入河中．请解答下列问题（结果精确到）：（1）若在城镇A和城镇B单独建厂，共需多少总费用？（2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇A到拟建厂的距离为千米，求联合建厂的总费用与的函数关系式，并求的取值范围．。

11 8 7 712 5 1 3 13 1 2成都石室中学2023-2024年度下期高2024届二诊模拟考试数学试题（理）（A 卷）（总分：150分，时间：120分钟 ）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.已知复数i11+=z （其中i 为虚数单位），则z 的虚部是A.21-B.i 21-C.21D.i 212.若集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧===21|,2,1x y y B A ，则A a ∈是B a ∈的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.如图是根据某校高三8位同学的数学月考成绩（单位：分）画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生数学月考成绩的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生数学月考成绩的个位数字，则下列结论正确的是A.这8位同学数学月考成绩的极差是14B.这8位同学数学月考成绩的中位数是122C.这8位同学数学月考成绩的众数是118D.这8位同学数学月考成绩的平均数是1244.已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，则这个几何体的体积是 A.π23B.π35C.π37D.π295.已知数列{}n a 为等差数列，且23691010a a a a a ++++=，则48a a +的值为A.2B.4C.6D.86.若b a ,是正实数，且142131=+++b a b a ，则b a +的最小值为A ．54B ．32C ．1D ．27.当20π≤<x 时，关于x 的不等式0))(sin 32cos sin 2(≤--+x x x x a 有解，则a 的最小值是A ．2B ．3C ．4D ．248.在2023年成都“世界大学生运动会”期间，组委会将甲，乙，丙，丁四位志愿者分配到C B A ,,三个场馆执勤，若每个场馆至少分到一人，且甲不能被分配到A 场馆，则不同分配方案的种数是A ．48B ．36C ．24D ．129. 已知抛物线x y 42=，弦AB 过其焦点，分别过弦的端点B A ,的两条切线交于点C ，点C 到直线AB 距离的最小值是A ．41B ．21C ．1D ．210.如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中，E 为棱11B A 的中点，F 为四边形11D DCC 对角线的交点，下列说法：①EF //平面11B BCC ；②若EF //平面11A ADD ，则AD BC //；③若四边形ABCD 矩形，且11C D EF ⊥，则四棱柱1111D C B A ABCD -为直四棱柱.其中正确说法的个数是A. 0B.1C.2D.311.已知函数2()22cos xxf x x x -=+++，若)2(f a =,)(1e e fb -=,)(1ππf c=，则A.c b a <<B. a c b <<C.c a b <<D.b c a<<12.若双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点分别为21,F F ，过右焦点2F 的直线l 与双曲线C 交于B A ,两点，已知l 的斜率为k ，⎪⎭⎫⎝⎛+∞,a b k ，且B F AF 222=，0160=∠AB F ，则直线AB 的斜率是A. 32B.3 C.33D.2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.已知向量)2,1(-=a ，),2(x b =，若b a ⊥，则实数=x.14.已知实数y x ,满足约束条件04340y x y x y ³⎧ï+≤⎨ï-³⎩，则y x z 23+=的最大值是.15.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2731+⎪⎭⎫⎝⎛⋅=nn x S ，则n a a a 21取最大值时，n 的值为 ．16.若1³x ，恒有11ln 22---≤-+mx x e mxe x x x ，则m 的取值范围是.三、解答题：共70分。