四川省成都石室中学2019届高三2月开学考试数学(理)试题

石室中学高2019届2018～2019学年下期二模考试数学试卷（理科）注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，集合，.若，则复数等于（）A. 1B. -1C.D.【答案】C【解析】【分析】由复数的概念得到集合Q，计算集合P与集合Q的补集，即可确定出复数z.【详解】,,则，即zi=-1,z=,故选：C【点睛】本题考查集合的交集运算和复数的运算，属于简单题.2.已知为第二象限角，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将平方得到cos sin，再将所求平方，结合为第二象限角即可得到答案.【详解】∵，平方得，∴2cos sin＝﹣∴，∵为第二象限角，∴故选：B．【点睛】本题考查同角三角函数关系式，考查之间关系的应用，属于基础题.3.已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】分析：首先根据平均数的求解方法，代入式子，求得，利用方差的定义和计算公式，求得，从而可以判断其大小关系，求得结果.详解：根据题意有，而，故选C.点睛：该题考查的是有关一组数据的平均数和方差的计算公式，所以在解题的过程中，利用平均数和方差的公式，求新添一个值之后的平均数和方差，从而得到结果.4.设，则使成立的必要不充分条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式可得，然后再结合题意对每个选项进行验证、判断后可得结果．【详解】由可得，解得．选项A中，“”是“”成立的充要条件，所以A不符合题意；选项B中，由“”成立不能得到“”成立，反之，当“”成立时，“”成立，所以“”是“”的必要不充分条件，所以B符合题意；选项C中，“”是“”的既不充分也不必要条件，所以C不符合题意；选项D中，“”是“”的充分不必要条件，所以D不符合题意．故选B．【点睛】解题的关键是正确理解“使成立的必要不充分条件”的含义，即由可得所选结论成立，而由所选的结论不能得到成立．本题考查对充分、必要条件概念的理解，属于基础题．5.设等比数列的前项和为，公比为.若，，则（）A. 3B.C.D. 2【答案】D【解析】【分析】根据题意分析可得等比数列{a n}的公比q≠±1，进而由等比数列的前n项和公式可得q＝2，从而可得a1值. 【详解】等比数列{a n}中，若S6＝9S3，则q≠±1，若S6＝9S3，则，解可得q3＝8，则q＝2，又由S5＝62，则有S5＝＝31a1＝62，解得a1＝2；故选：D．【点睛】本题考查等比数列的前n项和公式的应用，属于基础题．6. 甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游，则周六、周日都有同学参加郊游的情况共有（）A. 2种B. 10种C. 12种D. 14种【答案】D【解析】试题分析：甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游的情况有种，其中周六或周日没有同学参加郊游的情况有种，故周六、周日都有同学参加郊游的情况共有种.考点：计数原理．7.函数的零点构成一个公差的等差数列，要得到的图象，可将的图象（）A. 向右平移个单位B. 向左平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】B【解析】【分析】由题意得函数周期为π，得ω＝2，即f（x）＝sin（2x+）．再根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律可得结论．【详解】根据函数的图象与x轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，可得函数的周期为π，即＝π，得ω＝2，即f（x）＝sin（2x+）．函数＝sin（+2x+）＝sin[2（x+）+]，把f（x）＝sin（2x+）的图象向左平移个单位，可得函数g（x）的图象，故选：B．【点睛】本题考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图像和性质的应用，考查图像的平移变换规律，要注意平移是在给变量x本身做变化．8.已知动直线与圆相交于，两点，且满足，点为直线上一点，且满足，若为线段的中点，为坐标原点，则的值为（）A. 3B.C. 2D. -3【答案】A【解析】动直线与圆：相交于，两点，且满足，则为等边三角形，于是可设动直线为，根据题意可得，，∵是线段的中点，∴，设，∵，∴，∴，解得，∴，∴，故选A．9.体积为的三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，，，则球体积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先用锥体体积公式以及三角形的面积公式得AB•BC＝6，利用余弦定理得出AC的最小值，再利用正弦定理得△ABC的外接圆半径的最小值r，利用公式可得球半径R的最小值，再利用球体体积公式可得出答案．【详解】因为P A⊥平面ABC，三棱锥P﹣ABC的体积为，得，另一方面，可得AB•BC＝6，由余弦定理得＝AB2+BC2﹣AB•BC≥2AB•BC﹣AB•BC＝AB•BC＝6，当且仅当时，等号成立，则AC≥，所以，△ABC的外接圆的直径的最小值为2r=，则球O的半径的最小值为，因此，球O的体积的最小值为．故选：B．【点睛】本题考查球体体积计算，考查利用锥体体积公式以及三角形的面积公式，考查基本不等式，考查计算能力，属于中等题．10.已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】在中，设,右焦点E,由椭圆的对称性，知是平行四边形，所以在中，由余弦定理得,，选C.【点睛】本题的关键是要看到椭圆的对称性把，转化到焦点中，再应用比值及余弦定理，可得离心率。

石室中学高2019届2018～2019学年下期二模考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，集合，.若，则复数等于（）A. 1B. −1C.D.2.已知为第二象限角，且，则（）A. B. C. D.3.已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，4.设，则使成立的必要不充分条件是（）A. B. C. D.5.设等比数列的前项和为，公比为.若，，则（）A. 3B.C.D. 26. 甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游，则周六、周日都有同学参加郊游的情况共有（）A. 2种B. 10种C. 12种D. 14种7.函数的零点构成一个公差的等差数列，要得到的图象，可将的图象（）A. 向右平移个单位B. 向左平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位8.已知动直线与圆相交于，两点，且满足，点为直线上一点，且满足，若为线段的中点，为坐标原点，则的值为（）A. 3B.C. 2D. -39.体积为的三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，，，则球体积的最小值为（）A. B. C. D.10.已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为A. B. C. D.11.已知平面向量，，满足，，，，则的最大值为（）A. -1B. -2C.D.12.已知函数，，其中为自然对数的底数，若存在实数使得，则实数的值为（）A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：7327 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为__________．14.在的展开式中，常数项为__________．15.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半圆.现有一只蚂蚁从点出发沿该几何体的侧面环绕一周回到点，则蚂蚁所经过路程的最小值为__________．16.四边形中，，，，，则的最大值为__________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.在斜三角形中，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求的周长.18.某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，箱内有一个“”号球、两个“”号球、三个“”号球、四个无号球，箱内有五个“”号球、五个“”号球，每次摸奖后放回，消费额满元有一次箱内摸奖机会，消费额满元有一次箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“”号球奖元、“”号球奖元、“”号球奖元，摸得无号球则没有奖金.（Ⅰ）经统计，消费额服从正态分布，某天有为顾客，请估计消费额（单位：元）在区间内并中奖的人数；（Ⅱ）某三位顾客各有一次箱内摸奖机会，求其中中奖人数的分布列；（Ⅲ）某顾客消费额为元，有两种摸奖方法，方法一：三次箱内摸奖机会；方法二：一次箱内摸奖机会，请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大.附：若，则19.如图，四边形中，，，，，，分别在，上，，现将四边形沿折起，使平面平面.（Ⅰ）若，在折叠后的线段上是否存在一点，且，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（Ⅱ）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.20.设，，是抛物线上的三点，点为该抛物线的焦点，点为的中点.（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求面积的最大值.21.已知函数，.（Ⅰ）当，函数图象上是否存在3条互相平行的切线，并说明理由？（Ⅱ）讨论函数的零点个数.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）分别写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点，直线与曲线相交于，两点，若，求的值.23.已知函数.（1）解不等式；（2）若，，.证明：.石室中学高2019届2018～2019学年下期二模考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，集合，.若，则复数等于（）A. 1B. −1C.D.【答案】C【解析】【分析】由复数的概念得到集合Q，计算集合P与集合Q的补集，即可确定出复数z.【详解】,,则，即zi=-1,z=,故选：C【点睛】本题考查集合的交集运算和复数的运算，属于简单题.2.已知为第二象限角，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将平方得到cos sin，再将所求平方，结合为第二象限角即可得到答案.【详解】∵，平方得，∴2cos sin＝﹣∴，∵为第二象限角，∴故选：B．【点睛】本题考查同角三角函数关系式，考查之间关系的应用，属于基础题.3.已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】分析：首先根据平均数的求解方法，代入式子，求得，利用方差的定义和计算公式，求得，从而可以判断其大小关系，求得结果.详解：根据题意有，而，故选C.点睛：该题考查的是有关一组数据的平均数和方差的计算公式，所以在解题的过程中，利用平均数和方差的公式，求新添一个值之后的平均数和方差，从而得到结果.4.设，则使成立的必要不充分条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式可得，然后再结合题意对每个选项进行验证、判断后可得结果．【详解】由可得，解得．选项A中，“”是“”成立的充要条件，所以A不符合题意；选项B中，由“”成立不能得到“”成立，反之，当“”成立时，“”成立，所以“”是“”的必要不充分条件，所以B符合题意；选项C中，“”是“”的既不充分也不必要条件，所以C不符合题意；选项D中，“”是“”的充分不必要条件，所以D不符合题意．故选B．【点睛】解题的关键是正确理解“使成立的必要不充分条件”的含义，即由可得所选结论成立，而由所选的结论不能得到成立．本题考查对充分、必要条件概念的理解，属于基础题．5.设等比数列的前项和为，公比为.若，，则（）A. 3B.C.D. 2【答案】D【解析】【分析】根据题意分析可得等比数列{a n}的公比q≠±1，进而由等比数列的前n项和公式可得q＝2，从而可得a1值.【详解】等比数列{a n}中，若S6＝9S3，则q≠±1，若S6＝9S3，则，解可得q3＝8，则q＝2，又由S5＝62，则有S5＝＝31a1＝62，解得a1＝2；故选：D．点睛】本题考查等比数列的前n项和公式的应用，属于基础题．【6. 甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游，则周六、周日都有同学参加郊游的情况共有（）A. 2种B. 10种C. 12种D. 14种【答案】D【解析】试题分析：甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游的情况有种，其中周六或周日没有同学参加郊游的情况有种，故周六、周日都有同学参加郊游的情况共有种.考点：计数原理．7.函数的零点构成一个公差的等差数列，要得到的图象，可将的图象（）A. 向右平移个单位B. 向左平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】B【解析】【分析】由题意得函数周期为π，得ω＝2，即f（x）＝sin（2x+）．再根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律可得结论．【详解】根据函数的图象与x轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，可得函数的周期为π，即＝π，得ω＝2，即f（x）＝sin（2x+）．函数＝sin（+2x+）＝sin[2（x+）+]，把f（x）＝sin（2x+）的图象向左平移个单位，可得函数g（x）的图象，故选：B．【点睛】本题考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图像和性质的应用，考查图像的平移变换规律，要注意平移是在给变量x本身做变化．8.已知动直线与圆相交于，两点，且满足，点为直线上一点，且满足，若为线段的中点，为坐标原点，则的值为（）A. 3B.C. 2D. -3【答案】A【解析】动直线与圆：相交于，两点，且满足，则为等边三角形，于是可设动直线为，根据题意可得，，∵是线段的中点，∴，设，∵，∴，∴，解得，∴，∴，故选A．9.体积为的三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，，，则球体积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先用锥体体积公式以及三角形的面积公式得AB•BC＝6，利用余弦定理得出AC的最小值，再利用正弦定理得△ABC的外接圆半径的最小值r，利用公式可得球半径R的最小值，再利用球体体积公式可得出答案．【详解】因为PA⊥平面ABC，三棱锥P﹣ABC的体积为，得，另一方面，可得AB•BC＝6，由余弦定理得＝AB2+BC2﹣AB•BC≥2AB•BC﹣AB•BC＝AB•BC＝6，当且仅当时，等号成立，则AC≥，所以，△ABC的外接圆的直径的最小值为2r=，则球O的半径的最小值为，因此，球O的体积的最小值为．故选：B．【点睛】本题考查球体体积计算，考查利用锥体体积公式以及三角形的面积公式，考查基本不等式，考查计算能力，属于中等题．10.已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】在中，设,右焦点E,由椭圆的对称性，知是平行四边形，所以在中，由余弦定理得,，选C.【点睛】本题的关键是要看到椭圆的对称性把，转化到焦点中，再应用比值及余弦定理，可得离心率。

2019届四川省成都石室中学高三上学期入学考试数学（理）试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i iiz 211++-=，则=||z A ．0 B ．12C ．1 D2.设集合{})2(log |2x y x A -==，若全集A U =，{}21|<<=x x B ，则U C B = A ． (),1-∞B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞3.命题“0x ∀>，1ln 1x x≥-”的否定是 A ．0x ∀>，1ln 1x x<-B ．00x ∃>，001ln 1x x <-C ．00x ∃≤，001ln 1x x <-D ． 0x ∀>，1ln 1x x≤- 4.在如图的程序框图中，若输入77,33m n ==，则输出的n 的值是A ．3B ．7C ．11D ．335.在区间[0，2]上随机取一个数x ，使232sin≥x π的概率为 A ．13 B ．12C ．23D ．346. 《九章算术》中，将底面是等腰直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵” ，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该 “堑堵”的体积为A. 2B.32C. 1D. 4+7.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，2531=+a a 且4542=+a a ，则=n n a S A ．14n - B ．41n - C ．12n - D ．21n -8.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，()()11f x f x +=-+，且当01x ≤≤时，则下列结论正确的是A.B. C.D.9．已知约束条件为32402020x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，若目标函数y kx z +=取最大值时的最优解有无数多个,则k 的值为A. 1B. 1-C. D. 1-或110.已知抛物线x y 42=的一条弦AB 经过焦点,F O 为坐标原点，点M 在线段OB 上，且3OB OM =，点N 在射线OA 上，且3ON OA =，过,M N 向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,C D ,则CD 的最小值为A ．4B ．6C ．8D ．1011是A. 24B. 2824-C. 2824+D. 2812．已知函数()(1)(2)e e x f x m x x =----，若关于x 的不等式0)(>x f 有且只有一个正整数解，则实数m 的最大值为A ．3e e 2+B ．2e e 2+C ．3e e 2-D ．2e e 2-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若nxx )1(-的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为 ．14. 直线:2(l y x =过双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点F 且与双曲线C 只有一个公共点，则C 的离心率为 ．15.已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若134,12AB AC AB AC AA ==⊥=,,,则球O 的直径为 ．16.函数2()2cos (0)2xf x x ωωω=->，已知()f x 在区间2(,)33ππ-恰有三个零点，则ω的范围为 .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17.（本小题满分12分）某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量（单位：件）进行了统计，制成如下频率分布直方图，已知实体店与网店销售量相互独立.实体店销售量（单位：件）0网店销售量（单位：件）（Ⅰ）若将上述频率视为概率，已知实体店每天销售量不低于50件可盈利，网店每天销量不低于45件可盈利，求任取一天,实体店和网店都盈利的概率；（Ⅱ）根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量中位数的估计值（精确到0.01）． （Ⅲ）若将上述频率视为概率，记该服装店未来三天实体店销售量不低于40件的天数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.18.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知4,2,2cos ,c b c C b === ,D E 分别为线段BC 上的点，且BD CD =，BAE CAE ∠=∠．(I)求线段AD 的长； (II)求ADE ∆的面积．19.（本小题满分12分）直播答题是最近很热门一款游戏，其答题规则如下：每次都有12道题，每题三个选项中恰有一个正确选项，若中途答错，则退出游戏，若正确回答完12题就可以平分当期奖金. 随着直播答题的发展，平台“烧钱大战”模式的可持续性受到了质疑，某网站随机选取1000名网民进行了调查，得到的数据如下表：(I)根据表格中的数据，能否在犯错误不超过0.5%的前提下，认为对直播答题模式的态度与性别有关系？(II)随着答题的发展，某平台推出了复活卡，每期游戏中回答错误后自动使用复活卡复活，即默认此题回答正确，并可接着回答下一题，但一场仅可使用一次.已知某网友拥有复活卡，在某期的答题游戏中，前8个题都会，第九题到第十二题都不会，他选择从三个选项中随机选择一个选项.求该网友本场答题个数X 的分布列，并求该网友当期可平分奖金的概率.参考公式： ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．临界值表：20.（本小题满分12分）如图O 为坐标原点，圆 22:4,O x y +=点 ),(),,(030321F F -，以线段M F 1为直径的圆N 内切于圆O ，切点为P ，记点M 的轨迹为曲线C .（I ）证明：12||||F M F M +为定值，并求曲线C 的方程；（II ）设Q 为曲线C 上的一个动点，且Q 在x 轴的上方，过2F 作直线Q F l 1//，记l 与曲线C 的上半部分交于R 点，求四边形21F RQF 面积的取值范围.21.（本小题满分12分），()()1g x n x =-+，其中0mn ≠. （I ）若m n =，讨论()()()h x f x g x =+的单调区间； （II ）若()()0f x g x +=的两根为12,x x ，且12x x >，证明：（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，曲线041=-+y x C :，曲线为参数）θθθ(sin 1cos :2⎩⎨⎧+==y x C ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（I ）求曲线21C C ,的极坐标方程； （II ）射线),(:200παραθ<<≥=l 分别交21C C , 于N M ,两点，求||||OM ON 的最大值．23．选修4-5：不等式选讲已知函数()13f x x x =-+-．（I ）解不等式()1f x x ≤+；（II ）设函数()f x 的最小值为c ，实数a ，b 满足0,0,a b a b c >>+=，求证：11122≥+++b b a a ．石室中学高2019届2018~2019学年上期入学考试数学参考答案（理科）1-5：CBBCA 6-10：ADDBA 11-12：CA 13、-20 14、5 15、13 16、7(3,]217解：（Ⅰ）由题意，任取一天，实体店盈利的概率1(0.0320.0200.0122)50.38P =++⨯⨯= 网店盈利的概率21(0.0040.020)50.88P =-+⨯= 由实体店和网店销售量相互独立， 故任取一天,实体店和网店都盈利的概率0.380.880.3344.P =⨯= .…………3分 （Ⅱ）因为网店销售量频率分布直方图中，销售量低于50的直方图面积为()0.0040.0200.04450.340.5++⨯=<，销售量低于55的直方图面积为()0.0040.0200.044+0.06850.680.5++⨯=>…………6分（Ⅲ）由题意，实体店销售量不低于40件的概率31(0.0120.0140.024)54P =-++⨯=……7分故3~(3,)4X B ,X 的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为()3033101464P X C ⎛⎫==⋅-= ⎪⎝⎭, ()2133********P X C ⎛⎫==⋅-=⎪⎝⎭, ()22333272()14464()P X C ==⋅-=, ()3333273()464P X C ==⋅=,分布列为…………11分因为3~(3,)4X B ,所以期望为39(X)344E =⨯=.…………12分18.解：（1）根据题意，2=b ，4=c ，b C c =cos 2，则412cos ==c b C ； 又由4141642cos 2222=-+=-+=a a ab c b a C ，解可得4=a即4=BC ，则2=CD ， 在ACD ∆中，由余弦定理得：6cos 2222=⋅-+=C CD AC CD AC AD ， 则6=AD ；…………………（6分） （2）根据题意，AE 平分BAC ∠，则21==AB AC BE CE ， 变形可得：3431==BC CE ，41cos =C ，则415sin =C ， 615=-=∆∆∆ACE ACD ADE S S S …………………（12分） 19、解析：（I ）依题意，2K故可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为对直播大题模式的态度与性别有关系；…………5分 （Ⅱ）由题意X 的取值为10,11,12，且后四个题每个题答对的概率为13.………………6分 224(X 10);339P ==⨯=2121228(X 11)33333327P ==⨯⨯+⨯⨯=；2233331217(X 12)()()33327P C C ==⨯+=.故X 的分布列为…………………………………………9分记该网友当期可平分奖金为事件A ，则3344441211()()()3339P A C C =⨯+=.故该网友当期可平分奖金的概率为19. ………………………12分 20、解：（1）由题知：O ，P ，N 三点共线，连2MF则4222221=+=+=+||||||||||||ON NP ON MN MF MF ， 所以点M 的轨迹是以21F F ,为焦点，长轴长为4的椭圆，其中，，，，则动点M 的轨迹方程是．……………………………………4分（2）如图：PR F QPR PQMR F PQF S S S S 12121===………………………………6分 因为l 不与y 轴垂直，设PR ：3+=ty x ， ),(),,(2211y x Q y x P所以⎪⎩⎪⎨⎧=++=14322y x ty x 消去x 有：32422++y t )(12⋅+=t PR ||由弦长公式可得：又因为点1F 到直线l 的距离2132td +=所以S ＝131344134212222+++=++⋅=⋅t t t t d PR ||……………10分因为R t ∈，所以3213122≥+++t t （当2=t 等号成立）所以],(20∈S ……………………12分21、解:……………2分 当01x <<时，2210,ln 0,1ln 0x x x x ->->∴-->；当1x >时，2210,ln 0,1ln 0x x x x -<-<∴--<．……………3分 故若0m >，)(h x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞；若0m <，)(h x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞．……………5分 ()2111ln ...+m x n x x ∴=①，同理，()2222+ln ...m x n x x =② 由①-……………7分……………8分122112ln20x x x x x x +<-+，即证：11212221ln+01x x x x x ->+（），……………9分()1'p t t =……………10分()p t ∴在区间[)1,∞+上单调递增，()()10,1p t p t ∴>=∀>成立．故原命题得证．……………12分22. 解：（1） 因为，，，所以 的极坐标方程为04=-+θρθρsin cos ， 因为 的普通方程为，即，对应极坐标方程为．……………………5分（2）因为射线),(:200παραθ<<≥=l ，则),(),,(αραρ21N M ，则αρααρsin ,cos sin 2421=+=，所以)cos (sin sin ||||αααρρ+==2112ON OM＝414242+-)sin(πα 又，),(43442πππα-∈-， 所以当 242ππα=-，即83πα=时，||||ON OM 取得最大值412+……10分- 11 - 23、解：①当1<x 时，不等式可化为124+≤-x x ，1≥x ．又∵1<x ，∴∈x ∅；②当31≤≤x 时，不等式可化为12+≤x ，1≥x ．又∵31≤≤x ，∴31≤≤x ．③当3>x 时，不等式可化为142+≤-x x ，5≤x ．又∵3>x ，∴53≤<x ．综上所得，51≤≤x ．∴原不等式的解集为]5,1[．…………………（5分）（Ⅱ）证明：由绝对值不等式性质得，|1||3||(1)(3)|2x x x x -+-≥-+-=， ∴2=c ，即2=+b a ．令m a =+1，n b =+1，则1>m ，1>n ，1,1-=-=n b m a ，4=+n m ，n n m m b b a a 2222)1()1(11-+-=+++n m n m 114++-+=mn 4=1)2(42=≥， 原不等式得证．…………………（10分）。

2019年四川省成都市石室中学高考数学二模试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i为虚数单位，集合P={1，-1}，Q={i，i2}．若P∩Q={zi}，则复数z等于（）A. 1B.C. iD.2.已知α为第二象限角，且sinα+cosα=，则cosα-sinα=（）A. B. C. D.3.已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为s2，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，4.设x∈R，则使lg（x+1）＜1成立的必要不充分条件是（）A. B. C. D.5.等比例数列{a n}的前n项和为S n，公比为q，若S6=9S3，S5=62，则a1=（）A. B. 2 C. D. 36.甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游，则周六、周日都有同学参加郊游的情况共有（）A. 2种B. 10种C. 12种D. 14种7.函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象与x轴的交点横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到g（x）=cos（ωx+）的图象，可将f（x）的图象（）A. 向右平移个单位B. 向左平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位8.已知动直线l与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，且满足|AB|=2，点C为直线l上一点，且满足，若M是线段AB的中点，则的值为（）A. 3B.C. 2D.9.体积为的三棱锥P-ABC的顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABC，PA=2．∠ABC=，则球O体积的最小值为（）A. B. C. D.10.已知F是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点，若|AF|=2|BF|，且∠AFB=，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.11.已如平面向量，，，满足||=1，=2，=-1，||=2，则的最大值为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=2x+e2x-a，g（x）=ln（2x+2）-4e a-2x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0使得f（x0）-g（x0）=3，则实数a的值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.现采取随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9表示集中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该运动员射击四次至少击中三次的概率为：______．14.在的展开式中，常数项为______．15.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，俯视图是半圆．现有一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A点，则蚂蚁所经过路程的最小值为______．16.四边形ABCD中，AB=1，BC=3，∠ACD=90°，∠CDA=60°，则BD的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在斜三角形ABC中，tan A+tan B+tan A tan B=1．（Ⅰ）求C的值；（Ⅱ）若A=15°，AB=1，求△ABC的周长．18.某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，A箱内有一个“1”号球、两个“2”号球、三个“3”号球、四个无号球，B箱内有五个“1”号球、五个“2”号球，每次摸奖后放回，消费额满100元有一次A箱内摸奖机会，消费额满300元有一次B箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“1”号球奖50元、“2”号球奖20元、“3”号球奖5元，摸得无号球则没有奖金．（Ⅰ）经统计，消费额X服从正态分布N（150，625），某天有1000为顾客，请估计消费额X（单位：元）在区间（100，150]内并中奖的人数；（Ⅱ）某三位顾客各有一次A箱内摸奖机会，求其中中奖人数ξ的分布列；（Ⅲ）某顾客消费额为308元，有两种摸奖方法，方法一：三次A箱内摸奖机会；方法二：一次B箱内摸奖机会，请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大．附：若X～N（μ，σ2），则P（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．19.如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=2AB=4，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB，现将四边形ABCD沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC．（1）若BE=1，是否在折叠后的线段AD上存在一点P，且=λ，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由；（2）求三棱锥A-CDF的体积的最大值，并求出此时二面角E-AC-F的余弦值．20.设A，B，C是抛物线x2=4y上的三点，点F为该抛物线的焦点，点N为AB的中点．（Ⅰ）若=2，求||+||+||值；（Ⅱ）若=3，求△ABC面积的最大值．21.已知函数f（x）=ln x-，a∈R．（Ⅰ）当a=1，函数y=f（x）图象上是否存在3条互相平行的切线，并说明理由？（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的零点个数．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2a cos（）（a ＞）．（Ⅰ）分别写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（2，-1），直线l与曲线C相交于M，N两点，若|MN|2=6|PM|•|PN|，求a的值．23.已知函数f（x）=|x-1|（Ⅰ）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求证：＞．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合P={1，-1}，Q={i，i2}={i，-1}，P∩Q={zi}，∴zi=-1，∴z==i，故选：C．由题意可得，zi=-1，由此求得z的值．本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：由sinα+cosα=，两边平方得，∵α为第二象限角，∴cosα-sinα==．故选：B．把已知等式两边平方求得2sinαcosα，再由cosα-sinα=-求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．3.【答案】A【解析】解：某7个数的平均数为4，方差为2，则这8个数的平均数为=×（7×4+4）=4，方差为s2=×[7×2+（4-4）2]=＜2．故选：A．由题设条件，利用平均数和方差的计算公式进行求解即可．本题考查了平均数和方差的计算应用问题，是基础题．4.【答案】B【解析】解：由lg（x+1）＜1得0＜x+1＜10，得-1＜x＜9，即不等式的等价条件是-1＜x＜9，则使lg（x+1）＜1成立的必要不充分条件对应范围要真包含（-1，9），则对应的范围为x＞-1，故选：B．根据对数不等式的解法，求出不等式的等价条件，结合必要不充分条件的定义进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，求出不等式的等价条件是解决本题的关键．5.【答案】B【解析】解：根据题意，等比例数列{a n}中，若S6=9S3，则q≠±1，若S6=9S3，则=9×，解可得q3=8，则q=2，又由S5=62，则有S5==31a1=62，解可得a1=2；故选：B．根据题意，分析可得等比数列{a n}的公比q≠±1，进而由等比数列的通项公式可得=9×，解可得q=2，又由S5==31a1=62，解可得a1的值，即可得答案．本题考查等比数列的前n项和公式的应用，关键是掌握等比数列的前n项和的性质．6.【答案】D【解析】解：把4名同学分为（3，1）或（2，2）两组，再分配到周六周日两天，故有（C41+）•A22=14种，故选：D．把4名同学分为（3，1）或（2，2）两组，再分配到周六周日两天，问题得以解决．本题考查了分组分配的问题，关键是如何分组，注意平均分组的方法，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：根据函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象与x轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，可得函数的周期为π，即：=π，可得：ω=2，可得：f（x）=sin（2x+）．再由函数g（x）=cos（2x+）=sin[-（2x+）]=sin[2（x+）+]，故把f（x）=sin（2x+）的图象向左平移个单位，可得函数g（x）=cos（2x+）的图象，故选：B．由题意可得可得函数的周期为π，即=π，求得ω=2，可得f（x）=sin（2x+）．再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得出结论．本题主要考查等差数列的定义和性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，考查了转化思想，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：动直线l与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，且满足|AB|=2，则△OAB为等边三角形，于是可设动直线l为y=（x+2），根据题意可得B（-2，0），A（-1，），∵M是线段AB的中点，∴M（-，）设C（x，y），∵，∴（-2-x，-y）=（-1-x，-y），∴，解得，∴C（-，），∴=（-，）•（-，）=+=3，故选：A．由题意设动直线l为y=（x+2），表示出B，C的坐标，再根据中点坐标公式以及向量共线定理和向量的数量积即可求出本题考查了向量在几何中的应用，关键构造直线，考查了向量的坐标运算和向量的数量积，属于中档题9.【答案】B【解析】解：因为PA⊥平面ABC，三棱锥P-ABC的体积为，得，另一方面，可得AB•BC=6，由余弦定理得=AB2+BC2-AB•BC≥2AB•BC-AB•BC=AB•BC=6，当且仅当时，等号成立，则，所以，△ABC的外接圆的直径为最小值为，则球O的半径的最小值为，因此，球O的体积的最小值为．故选：B．先利用锥体体积公式以及三角形的面积公式得出AB•BC=6，利用余弦定理得出AC的最小值，再利用正弦定理得出△ABC的外接圆半径的最小值r，利用公式可得出球体半径R的最小值，再利用球体体积公式可得出答案．本题考查球体体积计算，考查利用锥体体积公式以及三角形的面积公式，考查基本不等式，考查计算能力，属于中等题．10.【答案】C【解析】解：设椭圆的右焦点为M，连接AM，BM，则OF=OM，由椭圆的对称性可知OA=OB，∴四边形AMBF是平行四边形，∴AM=BF，AM∥BF，∴∠FAM=，由椭圆性质可知|AF|+|AM|=2a，|FM|=2c，又|AF|=2|BF|=2|AM|，∴|AF|=，|AM|=，在△AFM中，由余弦定理可得：4c2=+-2×××cos=．∴e2==，故e=．故选：C．设右焦点为M，利用对称性求出AM，AF，根据余弦定理列方程化简即可得出a，c的关系，从而得出结论．本题你考查了椭圆的定义与性质，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：由题意，可知：∵=2，=-1，∴（）•==1．∵||=2，||=1，∴cos===．∴．∴可以把和两个向量作为基底向量来表示和．可设．∵=2，∴2==•==λ+μ1．同理，∵=-1，∴-1====λ+μ2．联立两式，得：，即：．又∵=（λ1+λ2）（）+（μ1+μ2）∴可得，方程组：，即：．由上面两个方程组，可知：．∴====4λ1（1-λ1）+[λ1（λ1-2）+（2-λ1）（1-λ1）]+（2-λ1）（λ1-2）=+3λ1-2．由二次函数的知识，可知：=时，取得最大值为．当λ故选：D．本题根据题干可以把和两个向量作为基底向量来表示和是此题的关键，然后分别就，，（）•用基底向量表示出来，得出所设系数的表达式，由此求的最大值就是求关于其中一个系数的二次函数最值问题．本题主要考查根据题意重设向量基底的技巧，以及用基底向量表示其他向量，最终得出关于其中一个系数的函数最值问题．本题属较难的中档题．12.【答案】A【解析】解：令f（x）-g（x）=2x+e2x-a-1n（2x+2）+4e a-2x，令y=2x-ln（2x+2），y′=2-=，故y=2x-ln（2x+2）在（-1，-）上是减函数，（-，+∞）上是增函数，故当x=-时，y有最小值-1-0=-1，而e2x-a+4e a-2x≥4（当且仅当e2x-a=4e a-2x，即x=（a+ln2）时，等号成立）；故f（x）-g（x）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；故x=（a+ln2）=-，即a=-1-ln2．故选：A．令f（x）-g（x）=2x+e2x-a-1n（2x+2）+4e a-2x，运用导数求出y=2x-ln（2x+2）的最小值；运用基本不等式可得e2x-a+4e a-2x≥4，从而可证明f（x）-g（x）≥3，由等号成立的条件，从而解得a．本题考查了导数的综合应用及基本不等式的应用，同时考查了方程的根与函数的零点的关系应用，属于中档题．13.【答案】0.4【解析】解：该运动员射击四次至少击中三次包括四次全中和四次中有三次击中两种情况，20组随机数中，满足四次全中和四次中有三次击中的有：7527，9857，8636，6947，4698，8045，9597，7424，共8个，∴估计该运动员射击四次至少击中三次的概率：p=．故答案为：0.4．该运动员射击四次至少击中三次包括四次全中和四次中有三次击中两种情况，利用列举法求出20组随机数中，满足四次全中和四次中有三次击中的基本事件，由此能估计该运动员射击四次至少击中三次的概率．本题考查概率的求法，涉及到古典概型、列举法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查集合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．14.【答案】-5【解析】解：的展开式中的通项公式：T r+1=（-1）4-r（r=0，1，2，3，4）．∵的通项公式：T k+1==（-1）k x r-2k，令r-2k=0，即r=2k．r=0，k=0；r=2，k=1；r=4，k=2．∴常数项=1-×+×1=-5．故答案为：-5．的展开式中的通项公式：T r+1=（-1）4-r（r=0，1，2，3，4）．的通项公式：T k+1==（-1）k x r-2k，令r-2k=0，即r=2k．进而得出．本题考查了二项式定理的应用、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】+【解析】解：由题目所给三视图可得，该几何体为圆锥的一半，侧面展开图的半径为2，弧长为π，∴圆心角为，∵一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A点，∴蚂蚁所经过路程的最小值为=+．故答案为：+．由题目所给三视图可得，该几何体为圆锥的一半，侧面展开图的半径为2，弧长为π，再根据一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A点，利用余弦定理求出蚂蚁所经过路程的最小值．本题考查蚂蚁所经过路程的最小值，考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．16.【答案】【解析】解：设∠ABC=α，∠ACB=β，则在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosα=10-6cosα．由正弦定理得=，即sinβ=∵∠ACD=90°，∠CDA=60°，∴AC=CD，在△BCD中，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2-2BC•CD•cos（900+β）即DB2=9+（10-6cosα）+2×3××=-2cosα+2sinα=+4sin（α-）∴当α=时，对角线BD最大，∴BD2=+4=∴BD=，故答案为：设∠ABC=α，∠ACB=β，分别根据余弦定理和正弦定理可得AC2=10-6cosα，以及sinβ=，再根据余弦定理和三角函数的化简可得DB2=+4sin（α-），即可求出最大值．本题考查了正余弦定理的应用，考查了转化思想、函数思想，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）斜三角形ABC中，∵tan A+tan B+tan A tan B=1，∴tan A+tan B=1-tan A tan B，∴tan（A+B）==1，即-tan C=1，可得：tan C=-1，∴C=135°．（Ⅱ）若A=15°，则B=30°，∵AB=1，则由正弦定理可得：==，∴可得：a=sin（45°-30°）=（sin45°cos30°-cos45°sin30°）=，b=×=，∴△ABC的周长为a+b+c=++1=．【解析】（Ⅰ）由条件利用两角和差的正切公式，诱导公式求得tanC的值可得C的值．（Ⅱ）由条件利用正弦定理、两角和差的正弦公式求得a、b的值，可得△ABC 的周长．本题主要考查两角和差的正切、正弦公式，诱导公式，正弦定理的应用，考查了转化思想，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）依题意得μ=150，σ=625，得σ=25，100=μ-2σ，消费额X在区间（100，150]内的顾客有一次A箱内摸奖机会，中奖率为0.6，人数约为＜人，其中中奖的人数约为477×0.6=286人．（Ⅱ）三位顾客每人一次A箱内摸奖中奖率都为0.6，三人中中奖人数ξ服从二项分布，，，，，，，P（ξ=0）=．=0.0064，P（ξ=1）=．=0.288，P（ξ=2）=．=0.432，P（ξ=3）=．=0.216，（Ⅲ）箱摸一次所得奖金的期望值为，B想摸一次所得奖金的期望值为50×0.5+20×0.5=35，方法一所得奖金的期望值为3×10.5=31.5，方法二所得奖金的期望值为35，所以这位顾客选方法二所得的期望值较大．【解析】（Ⅰ）依题意得μ=150，σ=625，得σ=25，100=μ-2σ，消费额X在区间（100，150]内的顾客有一次A箱内摸奖机会，中奖率为0.6．由此能估计估计消费额X （单位：元）在区间（100，150]内并中奖的人数．（Ⅱ）三位顾客每人一次A箱内摸奖中奖率都为0.6，三人中中奖人数ξ服从二项分布，由此能求出ξ的分布列．（Ⅲ）A箱摸一次所得奖金的期望值为50×0.1+20×0.2+5×0.3=10.5，B想摸一次所得奖金的期望值为50×0.5+20×0.5=35，由此能求出这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大．本题考查中奖人数、离散型随机变量的分布列、期望值较大的求法，考查正态分布、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：（1）∵EF∥AB，AB⊥AD，∴EF⊥AF，EF⊥FD，折起后平面ABEF⊥平面EFDC．平面ABEF∩平面EFDC=EF．∴AF⊥平面EFDC．假设线段AD上存在一点P，且=λ，使得CP∥平面ABEF．∵BE=1，可得F（0，0，0），A（0，0，1），D（0，5，0），C（2，3，0）．可得平面ABEF的法向量为=（0，5，0）．∵=λ，∴ =，，+，，=，，，∴P，，，∴=，，，则=，解得．（2）设BE=a，∴AF=a（0＜a≤4），FD=6-a．∴V三棱锥A-CFD===3，当且仅当a=3时取等号．∴当a=3时，三棱锥A-CDF的体积有最大值3．可得A（0，0，3），D（0，3，0），C（2，1，0），E（2，0，0），∴=（2，0，-3），=（2，1，-3），=（0，0，3），=（2，1，0）．设平面ACE的法向量为=（x1，y1，z1），则，∴ ，令x1=3，解得y1=0，z1=2，∴ =（3，0，2）．设平面ACF的法向量为=（x2，y2，z2），则，同理可得=（1，-2，0），∴＜，＞===，∴二面角E-AC-F的余弦值为．【解析】（1）由EF∥AB，AB⊥AD，可得EF⊥AF，EF⊥FD，折起后平面ABEF⊥平面EFDC，可得AF⊥平面EFDC．假设线段AD上存在一点P，且=λ，使得CP∥平面ABEF．若BE=1，可得平面ABEF的法向量为=（0，5，0）．由=λ，可得，可得，利用，解得λ即可判断出．=，（2）设BE=a，可得AF=a（0＜a≤4），FD=6-a．V三棱锥A-CFD利用基本不等式的性质可得：当且仅当a=3时取等号．三棱锥A-CDF的体积有最大值．设平面ACE的法向量为=（x 1，y1，z1），利用，可得．设平面ACF的法向量为，同理可得，利用=即可得出．本题考查了线面平行与垂直的判定与性质定理，考查了通过建立空间直角坐标系利用向量垂直与数量积的关系及平面的法向量的夹角求出二面角的方法，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）∴（-x3，1-y3）=（x1+x2，y1+y2-2），∴x1+x2+x3=0，y1+y2+y3=3，而|FA|=y1+1，|FB|=y2+1，|FC|=y3+1∴||+||+||=|FA|+|FB|+|FC|=y1+1+y2+1+y3+1=（y1+y2+y3）+3=3+3=6，（Ⅱ）∵点N为AB的中点，=3，S ABC=4S FAB，设直线AB：y=kx+b，并代入抛物线得：x2-4kx-4b=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=4k，x1x2=-4b，∴|AB|==，点F（（0，1）到直线AB的距离d=，又N（2k，2k2+b），由=3可得C（-6k，-6k2-3b+4），代入x2=4y得15k2+3b=4，∴k2=≥0∴-＜b，∴S△ABC=|AB|•d=|-1+b|=2•|-1+b|=4，令f（x）=（1+3x）（x-1）2，（-＜x≤），f′（x）=（9x-1）（x-1），∴f（x）在（-，）上递增，在（，1）上递减，在（1，]上递增，∴x=或x=时f（x）取得最大值，x=时，f（x）=×（）2，x=时，f（x）=∴f（x）的最大值为×（）2，S△ABC=4×=【解析】（Ⅰ）利用抛物线的定义可得；（Ⅱ）∵点N为AB的中点，=3，S ABC=4S FAB，设直线AB：y=kx+b，然后将|AB|和点F到AB的距离表示为b的函数，计算面积后用导数求最大值．本题考查三条线段长的和的求法，考查重心性质、抛物线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是难题．21.【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=ln x-，f′（x）===≥0．∴当a=1，函数y=f（x）为单调函数，则函数y=f（x）图象上不存在3条互相平行的切线；（Ⅱ）由f（x）=ln x-，得f′（x）==，当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，而f（x）=ln x-=ln x-2+，当x→0时，f（x）→-∞，当x→+∞，f（x）→+∞，故函数y=f（x）的零点个数为1；当a＞0时，f′（x）==．令g（x）=x2+（2a2-4a）x+4a2．当0＜a≤4时，△=4a3（a-4）≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当x→0时，f（x）→-∞，当x→+∞，f（x）→+∞，故函数y=f（x）的零点个数为1；当a＞4时，由g（x）的对称轴方程为x=2a-a2＜0，g（0）=4a2＞0，可知g（x）在（0，+∞）上大于0恒成立，即f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，当x→0时，f（x）→-∞，当x→+∞，f（x）→+∞，故函数y=f（x）的零点个数为1．综上，函数y=f（x）的零点个数为1个．【解析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx-，求其导函数，由f′（x）≥0，可知当a=1，函数y=f（x）为单调函数，则函数y=f（x）图象上不存在3条互相平行的切线；（Ⅱ）求出原函数的导函数然后对a分类分析原函数的单调性，结合函数零点的判定定理得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）由消去t可得x-y-3=0，由ρ=2a cos（θ+）（a＞）得ρ2=2aρcosθ-2aρsinθ，可得x2+y2=2ax-2ay，（Ⅱ）∵点P（2，-1）在直线l上，所以直线l的参数方程为：（t为参数），并代入曲线C得：2t2+2t+5-6a=0，设M，N对应的参数为t1，t2，则t1+t2=-1，t1t2=，由|MN|2=6|PM|•|PN|得：（t1-t2）2=6|t1t2|，∴（t1+t2）2-4t1t2=6|t1t2|，∴∵a＞，∴1-2（5-6a）=3（6a-5），解得a=1符合，综上a=1．【解析】（Ⅰ）消去t得直线l的普通方程，根据互化公式可得曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）根据直线的参数方程中参数的几何意义可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】（Ⅰ）解：f（x）+f（x+4）=|x-1|+|x+3|=，＜，，＞，当x＜-3时，由-2x-2≥8，解得x≤-5；当-3≤x≤1时，f（x）=4≤8，原不等式不成立；当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．所以，不等式f（x）≥8的解集为{x|x≤-5，或x≥3}．（Ⅱ）证明：f（ab）＞|a|f（），即|ab-1|＞|a-b|．∵|a|＜1，|b|＜1，∴|ab-1|2-|a-b|2=（a2b2-2ab+1）-（a2-2ab+b2）=（a2-1）（b2-1）＞0，所以，|ab-1|＞|a-b|．故所证不等式成立．【解析】（Ⅰ）运用绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，即可得到所求解集；（Ⅱ）f（ab）＞|a|f（），即|ab-1|＞|a-b|，两边平方后作差，由因式分解，即可得证．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查不等式的证明，注意运用平方作差法，考查运算和推理能力，属于中档题．。

成都石室中学高2019届2月份入学考试理科综合试卷（满分300分，时间150分钟）注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效。

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

可能用到的相对原子质量：H-1 B-11 N-14 O-16 Na-23 Ca-40 Cu-64第Ⅰ卷（选择题共126分）一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1.下列关于生物体内元素和化合物的叙述，正确的是A.心肌呈固态是因为心肌细胞中结合水含量高于自由水B.Na+和Cl－是维持人体血浆渗透压的主要无机盐离子C.蛋白质的化学性质与R基无关，与氨基、羧基有关D.核酸、蛋白质、脂肪都是由单体构成的生物大分子2．下图为植物光合作用同化物蔗糖在不同细胞间运输、转化过程的示意图。

下列相关叙述错误的是A.蔗糖的水解有利于蔗糖通过胞间连丝的运输B.蔗糖水解速率影响葡萄糖、果糖向薄壁细胞的转运C.A TP生成抑制剂不会影响胞间连丝对蔗糖的运输D.图中各种物质的跨膜运输分属于三种不同的方式3．下图中A、B、C表示的是物质，1～5 表示的是过程，关于下图的叙述正确的是A.1、3、4过程可发生在真核生物的任何细胞中B.人体细胞中的基因可能是图中A物质或B物质的一个特定的片段C.A的基因中的一个碱基发生替换，有可能导致表达的C的肽链的长度发生改变D.噬菌体中可发生1、2、3、4过程4．下列有关生物进化的叙述，正确的是A.一个随机交配小群体的基因频率在各代均保持不变B.自然选择通过作用于个体而影响种群的基因频率C.发挥自然选择作用的因素是天敌的种类和数量D.共同进化是指不同物种在相互影响中不断进化5．将离体的蛙坐骨神经置于某溶液中，给予一定强度刺激后的电位变化如①—⑤所示，其中②、④的指针偏转到最大（偏转方向与电流方向相同）。

石室中学高2019届2018～2019学年下期二模考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，集合，.若，则复数等于（）A.1 B. -1 C. D.【答案】C【解析】【分析】由复数的概念得到集合Q，计算集合P与集合Q的补集，即可确定出复数z.【详解】,,则，即zi=-1,z=,故选：C【点睛】本题考查集合的交集运算和复数的运算，属于简单题.2.已知为第二象限角，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将平方得到cos sin，再将所求平方，结合为第二象限角即可得到答案.【详解】∵，平方得，∴2cos sin＝﹣∴，∵为第二象限角，∴【点睛】本题考查同角三角函数关系式，考查之间关系的应用，属于基础题.3.已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则（）A.， B. ，C.， D. ，【答案】A【解析】分析：首先根据平均数的求解方法，代入式子，求得，利用方差的定义和计算公式，求得，从而可以判断其大小关系，求得结果.详解：根据题意有，而，故选C.点睛：该题考查的是有关一组数据的平均数和方差的计算公式，所以在解题的过程中，利用平均数和方差的公式，求新添一个值之后的平均数和方差，从而得到结果.4.设，则使成立的必要不充分条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式可得，然后再结合题意对每个选项进行验证、判断后可得结果．【详解】由可得，解得．选项A中，“”是“”成立的充要条件，所以A不符合题意；选项B中，由“”成立不能得到“”成立，反之，当“”成立时，“”成立，所以“”是“”的必要不充分条件，所以B符合题意；选项C中，“”是“”的既不充分也不必要条件，所以C不符合题意；选项D中，“”是“”的充分不必要条件，所以D不符合题意．故选B．【点睛】解题的关键是正确理解“使成立的必要不充分条件”的含义，即由可得所选结论成立，而由所选的结论不能得到成立．本题考查对充分、必要条件概念的理解，属于基础题．5.设等比数列的前项和为，公比为.若，，则（）A. 3B.C.D. 2【分析】根据题意分析可得等比数列{a n}的公比q≠±1，进而由等比数列的前n项和公式可得q＝2，从而可得a1值.【详解】等比数列{a n}中，若S6＝9S3，则q≠±1，若S6＝9S3，则，解可得q3＝8，则q＝2，又由S5＝62，则有S5＝＝31a1＝62，解得a1＝2；故选：D．【点睛】本题考查等比数列的前n项和公式的应用，属于基础题．6. 甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游，则周六、周日都有同学参加郊游的情况共有（）A. 2种B. 10种C. 12种D. 14种【答案】D【解析】试题分析：甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游的情况有种，其中周六或周日没有同学参加郊游的情况有种，故周六、周日都有同学参加郊游的情况共有种.考点：计数原理．7.函数的零点构成一个公差的等差数列，要得到的图象，可将的图象（）A. 向右平移个单位B. 向左平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】B【解析】【分析】由题意得函数周期为π，得ω＝2，即f（x）＝sin（2x+）．再根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律可得结论．【详解】根据函数的图象与x轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，可得函数的周期为π，即＝π，得ω＝2，即f（x）＝sin（2x+）．函数＝sin（+2x+）＝sin[2（x+）+]，【点睛】本题考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图像和性质的应用，考查图像的平移变换规律，要注意平移是在给变量x 本身做变化．8.已知动直线与圆相交于，两点，且满足，点为直线上一点，且满足，若为线段的中点，为坐标原点，则的值为（）A. 3B.C. 2D. -3【答案】A【解析】动直线与圆：相交于，两点，且满足，则为等边三角形，于是可设动直线为，根据题意可得，，∵是线段的中点，∴，设，∵，∴，∴，解得，∴，∴，故选A．9.体积为的三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，，，则球体积的最小值为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】先用锥体体积公式以及三角形的面积公式得AB•BC＝6，利用余弦定理得出AC的最小值，再利用正弦定理得△ABC 的外接圆半径的最小值r，利用公式可得球半径R的最小值，再利用球体体积公式可得出答案．【详解】因为P A⊥平面ABC，三棱锥P﹣ABC的体积为，得，另一方面，可得AB•BC＝6，由余弦定理得＝AB2+BC2﹣AB•BC≥2AB•BC﹣AB•BC＝AB•BC＝6，当且仅当时，等号成立，则AC≥，所以，△ABC的外接圆的直径的最小值为2r=，则球O的半径的最小值为，因此，球O的体积的最小值为．故选：B．【点睛】本题考查球体体积计算，考查利用锥体体积公式以及三角形的面积公式，考查基本不等式，考查计算能力，属于中等题．10.已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】在中，设,右焦点E,由椭圆的对称性，知是平行四边形，所以在中，由余弦定理得,，选C.【点睛】本题的关键是要看到椭圆的对称性把，转化到焦点中，再应用比值及余弦定理，可得离心率。

2018-2019学年四川省成都市石室中学高三（上）入学数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设z＝+2i，则|z|＝（）A．0B．C．1D．2．（5分）设集合，A＝{x|y＝log2（2﹣x）}若全集U＝A，B＝{x|1＜x＜2}，则∁U B＝（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（2，+∞）D．[2，+∞）3．（5分）命题“∀x＞0，lnx≥1﹣”的否定是（）A．∀x＞0，lnx＜1﹣B．∃x0＞0，lnx0＜1﹣C．∃x0≤0，lnx0＜1﹣D．∀x＞0，lnx4．（5分）在如图的程序框图中，若输入m＝77，n＝33，则输出的n的值是（）A．3B．7C．11D．335．（5分）在区间[0，2]上随机取一个数x，使的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）《九章算术》中，将底面是等腰直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的体积为（）A．2B．C．1D．7．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1+a3＝，且a2+a4＝，则＝（）A．4n﹣1B．4n﹣1C．2n﹣1D．2n﹣18．（5分）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，f（x+1）＝f（﹣x+1），且当0≤x≤1时，f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．f（﹣）＜f（3）＜f（）B．f（﹣）＜f（）＜f（3）C．f（3）＜f（）＜f（﹣）D．f（3）＜f（﹣）＜f（）9．（5分）已知约束条件为，若目标函数z＝kx+y取最大值时的最优解有无数多个，则k的值为（）A．1B．﹣1C．D．﹣1或110．（5分）已知抛物线y2＝4x的一条弦AB经过焦点F，O为坐标原点，点M在线段OB 上，且|OB|＝3|OM|，点N在射线OA上，且|ON|＝3|OA|，过M，N向抛物线的准线作垂线，垂足分别为C，D，则|CD|的最小值为（）A．4B．6C．8D．1011．（5分）向量，，满足：||＝4，||＝4，在上的投影为4，（）•（）＝0，则的最大值是（）A．24B．24﹣8C．24+8D．812．（5分）已知函数f（x）＝m（x﹣1）﹣（x﹣2）e x﹣e（e为自然对数底数），若关于x 的不等式f（x）＞0有且只有一个正整数解，则实数m的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为．14．（5分）直线l：y＝2（x﹣）过双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F且与双曲线C只有一个公共点，则C的离心率为．15．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的直径为．16．（5分）函数f（x）＝sinωx+2cos2（ω＞0），已知f（x）在区间（）恰有三个零点，则ω的范围为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（12分）某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量（单位：件）进行了统计，制成如下频率分布直方图，已知实体店与网店销售量相互独立．（Ⅰ）若将上述频率视为概率，已知实体店每天销售量不低于50件可盈利，网店每天销量不低于45件可盈利，求任取一天，实体店和网店都盈利的概率；（Ⅱ）根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量中位数的估计值（精确到0.01）．（Ⅲ）若将上述频率视为概率，记该服装店未来三天实体店销售量不低于40件的天数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．18．（12分）如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝4，b＝2，2c cos C＝b，D，E分别为线段BC上的点，且BD＝CD，∠BAE＝∠CAE．（1）求线段AD的长；（2）求△ADE的面积．19．（12分）直播答题是最近很热门一款游戏，其答题规则如下：每次都有12道题，每题三个选项中恰有一个正确选项，若中途答错，则退出游戏，若正确回答完12题就可以平分当期奖金．随着直播答题的发展，平台“烧钱大战”模式的可持续性受到了质疑，某网站随机选取1000名网民进行了调查，得到的数据如表：（Ⅰ）根据表格中的数据，能否在犯错误不超过0.5%的前提下，认为对直播答题模式的态度与性别有关系？（Ⅱ）随着答题的发展，某平台推出了复活卡，每期游戏中回答错误后自动使用复活卡复活，即默认此题回答正确，并可接着回答下一题，但一场仅可使用一次．已知某网友拥有复活卡，在某期的答题游戏中，前8个题都会，第九题到第十二题都不会，他选择从三个选项中随机选择一个选项．求该网友本场答题个数X的分布列，并求该网友当期可平分奖金的概率．参考公式：K2＝．临界值表：20．（12分）如图O为坐标原点，圆O：x2+y2＝4点F1（），F2（），以线段F1M为直径的圆N内切于圆O，切点为P，记点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）证明：|F1M|+|F2M|为定值，并求曲线C的方程；（Ⅱ）设Q为曲线C上的一个动点，且Q在x轴的上方，过F2作直线l∥F1Q，记l与曲线C的上半部分交于R点，求四边形RQF1F2面积的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝，g（x）＝﹣n（x+1），其中mn≠0．（Ⅰ）若m＝n＝1，求h（x）＝f（x）+g（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）+g（x）＝0的两根为x1，x2，且x1＞x2，证明：＜0．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x+y﹣4＝0，曲线C2：（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线l：θ＝α（）分别交C1，C2于M，N两点，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x﹣3|．（Ⅰ）解不等式f（x）≤x+1；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为c，实数a，b满足a＞0，b＞0，a+b＝c，求证：．2018-2019学年四川省成都市石室中学高三（上）入学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：z＝+2i＝+2i＝﹣i+2i＝i，则|z|＝1．故选：C．2．【解答】解：A＝{x|y＝log2（2﹣x）}＝{x|2﹣x＞0}＝{x|x＜2}，∵B＝{x|1＜x＜2}，∴∁U B＝{x|x≤1}，故选：B．3．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x＞0，lnx≥1﹣”的否定是∃x0＞0，lnx0＜1﹣；故选：B．4．【解答】解：该程序的作用是：用较大的数字m除以较小的数字n，得到商和余数r，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，直到余数r为零即整除时，最后得到m，n的最大公约数．∵77÷33＝2 (11)33÷11＝3 0∴m＝77，n＝33的最大公约数是11，则输出的n的值是11．故选：C．5．【解答】解：∵0≤x≤2，∴0≤≤π，∵sin≥，∴≤≤，即≤x≤，∴P＝＝．故选：A．6．【解答】解：根据三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱ABC﹣A′B′C′，底面是一个直角三角形，两条直角边为＝，斜边为2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的体积为V＝Sh＝×××2＝2．故选：A．7．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∴q＝＝，∴a1+a3＝a1（1+q2）＝a1（1+）＝，解得：a1＝2，∴a n＝2×（）n﹣1＝（）n﹣2，S n＝，∴＝＝2n﹣1，故选：D．8．【解答】解：f（x）是R上的奇函数；又f（x+1）＝f（﹣x+1）；∴f（﹣x）＝f（x+2）；∴f（x）＝﹣f（x+2）＝f（x+4）；即f（x）＝f（x+4）；∴f（x）的周期为4，且0≤x≤1时，f（x）＝；∴f（x）在[0，1]上单调递增；∴f（3）＝f（﹣1+4）＝﹣f（1），＞0，f（）＝＜0；∵；∴；∴；∴．故选：D．9．【解答】解：由约束条件为作出可行域如图，化目标函数z＝kx+y为y＝﹣kx+z，若k＞0，则﹣k＜0，由图可知使目标函数取得最大值的最优解唯一，为（8，10），不合题意；若k≤0，则﹣k≥0，要使目标函数z＝kx+y取最大值时的最优解有无数多个，则直线y ＝﹣kx+z与直线x﹣y＝﹣2重合，此时k＝﹣1．故选：B．10．【解答】解：设直线AB的方程为x＝my+1，代入抛物线y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，∵|OB|＝3|OM|，∴C点的纵坐标为y2，∵|ON|＝3|OA|，∴D点的纵坐标为3y1，∴|CD|＝y2﹣3y1＝y2+≥2＝4，当且仅当y2＝6 时，取等号，即|CD|的最小值为4，故选：A．11．【解答】解：以所在的直线为x轴，以的起点为原点，建立平面直角坐标系，∵||＝4，||＝4，在上的投影为4，设的夹角为θ，∴||cosθ＝＝4，∴＝16，．∴＝（4，0），＝（4，4），设＝（x，y），又＝（4﹣x，﹣y），＝（4﹣x，4﹣y），∵（）•（）＝0，∴（4﹣x）2+（﹣y）（4﹣y）＝0，整理可得，（x﹣4）2+（y﹣2）2＝4，法一：令x＝4+2cosθ，y＝2+2sinθ，则＝4x+4y＝24+8cosθ+8sinθ＝24+8sin（），根据正弦函数的性质可知，最大值是24+8，法二：设x+y＝b，当直线与圆的相切时，b取最值，此时由点到直线的距离公式可得，，∴b＝6±，∴＝4x+4y的最大值24+8故选：C．12．【解答】解：f（x）＝m（x﹣1）﹣（x﹣2）e x﹣e＞0，∴m（x﹣1）＞（x﹣2）e x+e＝0，设y＝g（x）＝（x﹣2）e x+e，∴g′（x）＝（x﹣1）e x，当x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，当x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，∴g（x）≥g（1）＝0，当x→+∞时，f（x）→+∞，当x→﹣∞，f（x）→e，函数y＝m（x﹣1）恒过点（1，0），分别画出y＝g（x）与y＝m（x﹣1）的图象，如图所示，，若不等式f（x）＞0有且只有一个正整数解，则y＝m（x﹣1）的图象在y＝g（x）图象的上方只有一个正整数值，∴2m≤g（3）＝e3+e，∴m≤，故实数m的最大值为，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：∵的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，∴＝，∴n＝6，∴＝，它的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得展开式中的常数项为﹣＝﹣20，故答案为：﹣20．14．【解答】解：双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，因为线l：y＝2（x﹣）过双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F且与双曲线C只有一个公共点，所以＝2，又因为a2+b2＝c2，解得，e＝＞1．e＝，故答案为：8，2．15．【解答】解：因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC ＝4，AB⊥AC，AA1＝12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，△ABC的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面ABC，其中点是球心，即侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是侧面B1BCC1的对角线的长，因为AB＝3，AC＝4，BC＝5，BC1＝＝13，所以球的直径为：13．故答案为：1316．【解答】解：根据题意f（x）＝sinωx+2cos2＝sinωx+2×＝sinωx+cosωx+1＝2sin（ωx+）+1，令f（x）＝0可得sin（ωx+）＝﹣；∴x∈（）恰有三个交点，那么：+2kπ＞ω+，且＜ω+，解得：1﹣6k＜ω≤3﹣6k，且∵ω＞0∴当k＝0时，可得．．故答案为：（2.5，3]．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．【解答】解：（Ⅰ）由题意，任取一天，实体店盈利的概率P1＝（0.032+0.020+0.012×2）×5＝0.38，网店盈利的概率P2＝1﹣（0.004+0.020）×5＝0.88，由实体店和网店销售量相互独立，故任取一天，实体店和网店都盈利的概率P＝0.38×0.88＝0.3344．…………（3分）（Ⅱ）因为网店销售量频率分布直方图中，销售量低于50的直方图面积为：（0.004+0.020+0.044）×5＝0.34＜0.5，销售量低于55的直方图面积为（0.004+0.020+0.044+0.068）×5＝0.68＞0.5．故网店销售量的中位数的估计值为50+≈52.35（件）…………（6分）（Ⅲ）由题意，实体店销售量不低于40件的概率P＝1﹣（0.012+0.014+0.024）×5＝．……（7分）故X～B（3，），X的可能取值为0，1，2，3．相应的概率为：P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：…………（11分）因为X～，B（3，），所以期望为E（X）＝3×．…………（12分）18．【解答】解：（1）根据题意，b＝2，c＝4，2c cos C＝b，则cos C＝＝；又由cos C＝＝＝，解可得a＝4，即BC＝4，则CD＝2，在△ACD中，由余弦定理得：AD2＝AC2+CD2﹣2AC•CD cos C＝6，则AD＝；（2）根据题意，AE平分∠BAC，则＝＝，变形可得：CE＝BC＝，cos C＝，则sin C＝＝，S△ADE＝S△ACD﹣S△ACE＝×2×2×﹣×2××＝．19．【解答】解：（I）依题意，K2的观测值k＝＝＞7.879，故可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为对直播大题模式的态度与性别有关系；…………（5分）（Ⅱ）由题意X的取值为10，11，12，且后四个题每个题答对的概率为；………………（6分）P（X＝10）＝×＝；P（X＝11）××+××＝；P（X＝12）＝××+×＝；故X的分布列为…………………………………………（9分）记该网友当期可平分奖金为事件A，则P（A）＝××+×＝；故该网友当期可平分奖金的概率为．………………………（12分）20．【解答】（Ⅰ）证明：由题知：O，P，N三点共线，连接MF2，则|MF1|+|MF2|＝2|MN|+2|ON|＝2|NP|+2|ON|＝4，∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长为4的椭圆，其中，a＝2，c＝，则b＝1，则动点M的轨迹方程是；（Ⅱ）解：如图：．设l：x＝ty+，R（x1，y1），G（x2，y2），联立，消去x有：．∴，．由弦长公式可得：|RG|＝＝．又∵点F1到直线l的距离d＝．∴S＝（当且仅当t＝等号成立）．∴四边形RQF1F2面积的取值范围是（0，2]．21．【解答】解：（Ⅰ）由已知得h（x）＝f（x）+g（x）＝﹣x﹣1，所以h′（x）＝﹣1＝（1﹣x2﹣lnx），当0＜x＜1时，1﹣x2＞0，﹣lnx＞0，即h′（x）＞0，当x＞1时，1﹣x2＜0，﹣lnx＜0，即h′（x）＜0．故h（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞），（Ⅱ）依题意m＝n（x1+1），∴mlnx1＝n（x12+x1），①，同理，mlnx2＝n（x22+x2），②，由①﹣②得，mln＝n（x12+x1﹣x22﹣x2）＝n（x1﹣x2）（x1+x2+1），∴n（x1+x2+1）＝﹣，∴＝＝﹣，要证+＜0，即证：﹣+＜0，即证：ln+＞0，令t＝＞1，即证p（t）＝lnt+＞0，t＞1，∴p′（t）＝﹣＝＞0，∴p（t）在区间（1，+∞）上单调递增，∴p（t）＞p（1）＝0，t＞1成立．故原命题得证．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，所以C1的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣4＝0，因为C2的普通方程为x2+（y﹣1）2＝1，即x2+y2﹣2y＝0，对应极坐标方程为ρ＝2sinθ，（2）因为射线l：θ＝α（ρ≥0，0），则M（ρ1，α），N（ρ2，α），则ρ1＝，ρ2＝2sinα，所以＝＝sinα（sinα+cosα）＝sin（2α﹣）+，又，0＜α，2α﹣∈（﹣，），所以当2α﹣＝，即α＝时，取得最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】（本小题满分10分）选修4﹣5：不等式选讲（Ⅰ）解：f（x）≤x+1，即|x﹣1|+|x﹣3|≤x+1．①当x＜1时，不等式可化为4﹣2x≤x+1，x≥1．又∵x＜1，∴x∈∅；②当1≤x≤3时，不等式可化为2≤x+1，x≥1．又∵1≤x≤3，∴1≤x≤3．③当x＞3时，不等式可化为2x﹣4≤x+1，x≤5．又∵x＞3，∴3＜x≤5．综上所得，1≤x≤3，或3＜x≤5，即1≤x≤5．∴原不等式的解集为[1，5]．…………………（5分）（Ⅱ）证明：由绝对值不等式性质得，|x﹣1|+|x﹣3|≥|（1﹣x）+（x﹣3）|＝2，∴c＝2，即a+b＝2．令a+1＝m，b+1＝n，则m＞1，n＞1，a＝m﹣1，b＝n﹣1，m+n＝4，，原不等式得证．…………………（10分）。

2019届四川省成都石室中学高三第二次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知为虚数单位，集合，.若，则复数等于（）A．1 B．-1 C．D．【答案】C【解析】由复数的概念得到集合Q，计算集合P与集合Q的补集，即可确定出复数z. 【详解】,,则，即zi=-1,z=,故选：C【点睛】本题考查集合的交集运算和复数的运算，属于简单题.2．已知为第二象限角，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将平方得到cos sin，再将所求平方，结合为第二象限角即可得到答案.【详解】∵，平方得，∴2cos sin＝﹣∴，∵为第二象限角，∴故选：B．【点睛】本题考查同角三角函数关系式，考查之间关系的应用，属于基础题.3．已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则（）A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】分析：首先根据平均数的求解方法，代入式子，求得，利用方差的定义和计算公式，求得，从而可以判断其大小关系，求得结果.详解：根据题意有，而，故选C.点睛：该题考查的是有关一组数据的平均数和方差的计算公式，所以在解题的过程中，利用平均数和方差的公式，求新添一个值之后的平均数和方差，从而得到结果. 4．设，则使成立的必要不充分条件是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解不等式可得，然后再结合题意对每个选项进行验证、判断后可得结果．【详解】由可得，解得．选项A中，“”是“”成立的充要条件，所以A不符合题意；选项B中，由“”成立不能得到“”成立，反之，当“”成立时，“”成立，所以“”是“”的必要不充分条件，所以B符合题意；选项C中，“”是“”的既不充分也不必要条件，所以C不符合题意；选项D中，“”是“”的充分不必要条件，所以D不符合题意．故选B ． 【点睛】解题的关键是正确理解“使成立的必要不充分条件”的含义，即由可得所选结论成立，而由所选的结论不能得到成立．本题考查对充分、必要条件概念的理解，属于基础题． 5．设等比数列的前项和为，公比为.若，，则（ ）A ．3B ．C ．D ．2【答案】D【解析】根据题意分析可得等比数列{a n }的公比q ≠±1，进而由等比数列的前n 项和公式可得q ＝2，从而可得a 1值. 【详解】等比数列{a n }中，若S 6＝9S 3，则q ≠±1，若S 6＝9S 3，则，解可得q 3＝8，则q ＝2，又由S 5＝62，则有S 5＝＝31a 1＝62，解得a 1＝2； 故选：D ． 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式的应用，属于基础题．6．甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游，则周六、周日都有同学参加郊游的情况共有（ ）A ．2种B ．10种C ．12种D ．14种 【答案】D【解析】试题分析：甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游的情况有1624=种，其中周六或周日没有同学参加郊游的情况有2种，故周六、周日都有同学参加郊游的情况共有14216=-种. 【考点】计数原理． 7．函数的零点构成一个公差的等差数列，要得到的图象，可将的图象（ ）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】B【解析】由题意得函数周期为π，得ω＝2，即f（x）＝sin（2x+）．再根据函数y＝A sin （ωx+φ）的图象变换规律可得结论．【详解】根据函数的图象与x轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，可得函数的周期为π，即＝π，得ω＝2，即f（x）＝sin（2x+）．函数＝sin（+2x+）＝sin[2（x+）+]，把f（x）＝sin（2x+）的图象向左平移个单位，可得函数g（x）的图象，故选：B．【点睛】本题考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图像和性质的应用，考查图像的平移变换规律，要注意平移是在给变量x本身做变化．8．已知动直线与圆相交于，两点，且满足，点为直线上一点，且满足，若为线段的中点，为坐标原点，则的值为（）A．3 B．C．2 D．-3【答案】A【解析】动直线与圆：相交于，两点，且满足，则为等边三角形，于是可设动直线为，根据题意可得，，∵是线段的中点，∴，设，∵，∴，∴，解得，∴，∴，故选A．9．体积为的三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，，，则球体积的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先用锥体体积公式以及三角形的面积公式得AB•BC＝6，利用余弦定理得出AC的最小值，再利用正弦定理得△ABC的外接圆半径的最小值r，利用公式可得球半径R的最小值，再利用球体体积公式可得出答案．【详解】因为P A⊥平面ABC，三棱锥P﹣ABC的体积为，得，另一方面，可得AB•BC＝6，由余弦定理得＝AB2+BC2﹣AB•BC≥2AB•BC﹣AB•BC＝AB•BC＝6，当且仅当时，等号成立，则AC≥，所以，△ABC的外接圆的直径的最小值为2r=，则球O的半径的最小值为，因此，球O的体积的最小值为．故选：B．【点睛】本题考查球体体积计算，考查利用锥体体积公式以及三角形的面积公式，考查基本不等式，考查计算能力，属于中等题．10．已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为A．B．C．D．【答案】C【解析】在中，设,右焦点E,由椭圆的对称性，知是平行四边形，所以在中，由余弦定理得,，选C.【点睛】本题的关键是要看到椭圆的对称性把，转化到焦点中，再应用比值及余弦定理，可得离心率。