平面与立体相交

直线穿入立体的 部分不画线。
《机械制图》
第8章 平面及直线与立体相交
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8.3.2 直线与回转体相交
如果直线或回转体表面的投影有积聚性，可直接求出交 点的投影；如无法直接利用积聚性投影，一般则要通过作 辅助面的方法，才能作出直线与回转体的交点。 【例】求直线AB与圆锥的交点。 分析：
直线和圆锥的投影都不具备积聚性， 故要利用辅助面进行作图。 包含直线AB和锥顶S作辅助面与圆锥 面交于两条素线，这两条素线与AB的交 点即为直线AB与圆锥的交点。
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第8章 平面及直线与立体相交
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8.2.3 平面与圆球相交
平面与圆球相交，截交线始终为圆；依据截平面相对于投影 面的不同位置，截交线的投影可为圆、椭圆或者积聚为直线。 分析： 两个侧平面和一个水平面截切圆球， 【例】求作圆球截切后的俯 截交线分别为侧平圆弧和水平圆弧； 视图、左视图。 侧平截面和水平截面的交线为正垂线；
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要点小结
• 平面截切平面体时，截交线的特点及作法 • 平面截切回转体时，截交线的性质和作法 • 直线与平面体或回转体时，交点的作法
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第8章 平面及直线与立体相交
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8.1 平面与平面体相交
(4) 2
1
4
1 3
分析：
截平面与四棱柱的四条棱线相 交，截交线为四边形。 截平面为正垂面，截交线的正 面投影积聚，水平投影、侧面投 影为类似的四边形图形。
2
3
Ⅳ 4 Ⅲ 1 Ⅱ
Ⅰ
作图步骤：
* 利用主视图中截平面的积聚性， 找出截交线4个顶点的正面投影： * 利用“三等”关系，在棱线上作出 截交线顶点的侧面和水平投影； * 顺序连接各顶点，画出截交线； * 补全棱线的投影。

1’
4’
5’
2’
3’
解题步骤
1 分析 截交线的水平投影和 侧面投影已知，正面投影为 双曲线并反映实形；
2 求出截交线上的特殊点Ⅰ
1” 、ⅡⅢ；
3 求出一般点ⅣⅤ ；
4”(5”) 4 光滑且顺次地连接各点，
作出截交线，并且判别可见 性；
5 整理轮廓线。
2”(3”)
24
1 53
点击动画
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例10 求带缺口圆锥的水平投影和侧面投影。
4 整理轮廓线。
y
a1
4
s
y
2 b
例3 求立体截切后的投影
6
（5）4
1
2 （3）
35
1
6
24
6
5
4
3 1 2 Ⅵ
Ⅴ Ⅳ
Ⅲ
ⅠⅡ
5.1.2 平面与曲面立体相交
曲面立体截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和直 线所围成的平面图形或多边形。
截交线
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截交线
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1. 平面与圆柱相交
截平面平行于轴线， 交线为平行于轴线的 两条平行直线
1. 表面取点法
表面取点法求作相贯线的一般步骤
（1）分析 首先分析两曲面立体的几何形状、相对大小和 相对位置，进一步分析相贯线是空间曲线，还是处于特殊情况 （平面曲线或直线）。分析两曲面立体对投影面的相对位置， 两曲面立体的投影是否有积聚性，哪个投影有积聚性。分析相 贯线哪个投影是已知的，哪个投影是要求作的。
1’ 6’
2’(3’) 4’(5’)
1”
3” 5” 6”
2” 4”
6 1
5 3
2 4
例11 已知正垂面所截切球的正面投影,求其余两面投影。

4、利用积聚性求平面立体的截交线
平面立体的截交线是由若干直线段所组成的 封闭的平面多边形。多边形的各边是截平面与 平面立体的棱面和底面的交线，多边形的各顶 点是截平面与平面立体的棱线和边线的交点。
积聚性法：当截平面与立体表面或者其中之一 在某一投影面上的投影有积聚性时，可利用它 们有积聚性的投影求截交线的投影。
面是封闭的,因此截交线是 封闭的平面图形。
研究平面与立体相交，目的就是求截交线的投影。
3、截交线的基本作图方法与步骤：
（一）分析 1）空间分析: 分析交线的空间形状。 2）投影分析: 分析交线的投影。
（二）作图 1）补出被截切的立体原三视图 2）求交线上的特殊点：如截平面与平面立 体棱线和底边的交点、交线在回转面转向轮廓 线上的点、交线上的极限点等。 3）求交线上的一般点。 4）判别交线的可见性。 5）按顺序光滑连点。 6）补齐立体的轮廓线。
2’
2”
4” 3”
3’
1’
例 求侧垂面 P与圆锥面的 截交线。
2 4 3 1
1” Pw
求出截交线的投影后 ，应注意补齐被截切立 体的轮廓线。
（3） 平面与圆球相交
平面与圆球相交，不论截平面与圆球的
相对位置如何，截交线都是圆。但根据截平 面对投影面的相对位置不同，其截交线的投 影可能为圆、椭圆或积聚成一直线段。
a”
12
b
22
正垂面P与直立 正圆柱面相交。
正垂面P与直立圆筒相交。
当α<45°时：交线的侧面投影为长椭圆
c’ (d’) b’ c”
d”
b”
α
a’ d a c
a”
b
当α＞45°时：交线的侧面投影为扁椭圆
c’ (d’) d” b’ c” b”

5’’
6’’
(8) 11 10 (9)
1 (7)
3 (5) (6) 2
图3-13
附：题 4:
求圆锥被截切后的水平投影和侧面投影。 求圆锥被截切后的水平投影和侧面投影
分析: 分析 截平面过锥顶,截交线 截平面过锥顶 截交线 为三角形. 为三角形面截切后的正面投影。 求圆锥被正平面截切后的正面投影。
附：题1:
补画左视图。 补画左视图。
例5：求左视图
虚实分界点
图3-11
附：题2:
补画左视图。 补画左视图。
●
●
●
●
图3-12
附：题 3:
补画左视图。 补画左视图。
3’ (10)’ 2’ (11)’ 11’’ (10)’’ 3’’ 2’’
1’
1’’
7’
(8)’ 6’ (9)’ 5’
8’’
9’’
7’’
能 是 直 线 或 椭 圆 。 但 是 截 交 线 的 投 影 可 能 是 圆 ， 也 可 平 面 截 圆 球 体 ， 其 截 交 线 都 是 圆 ， 当截平面为 平面时， 平面时，其 面投影 圆 当截平面为投影面平行面时，截交线（ 当截平面为投影面平行面时，截交线（圆） 在该投影面上的投影反映实形， 在该投影面上的投影反映实形，其余两 面投影积聚为直线段； 面投影积聚为直线段； 当截平面为投影面的垂直面时，截交线在该 当截平面为投影面的垂直面时， 投影面上的投影积聚为直线段， 投影面上的投影积聚为直线段，其余两面 圆； 投影为 圆；
表3-1
截平 面的 位置 形 状 立 体 图 与轴线倾斜 与轴线垂直 过锥顶 与所有素线 相 交 椭圆 平行于一条 素 线 抛物线加 直线段 与轴线平行 双曲线加 直线段