平面与平面立体表面相交

第四章 立体的表面交线

形体表面常见到两种交线，一种是由平面与立体相交而形成的表面交线即截交线，另一种是由两立体相交而形成的表面交线相贯线，如图4-1所示。

图4-1立体表面交线实例

第一节 平面体的截交线

基本形体经平面切割后形成新的形体，切割基本形体的平面称为截平面，截平面与形体表面的交线称为截交线，由截交线围成的平面图形称为截面（或断面），它是新形体的一个表面，如图4-2所示。

截交线是相交两表面的共有线，也是它们的分界线，这些分界线是由一系列共有点组成的，因此求截交线可归纳为求立体表面共有点的问题。

图4-2 平面体截交线的概念

一、 平面体表面取点 平面体表面取点就是根据平面体表面上的一个投影，求作该点其余的投影，并判别其可见性。在特殊位置平面上的点可利用该平面的积聚性投影作图求得；在一般位置平面上的点，则要利用“找点先找线”的方法求得，即过已知点作一辅助直线，求出辅助直线的投影，再求辅助直线上已知点的投影。其次要注意判别点的可见性，即点的投影的可见性与它所在立体表面的可见性一致。

【例4-1】 如图4-3所示，已知三棱柱的表面上点A和点B的正面投影（a’）和b’，求出它们的水平投影和侧面投影。

图4-3 三棱柱表面取点

分析：

由图4-3（a）可以看出，点A的正面投影不可见，可判断A在三棱柱的后棱面上；点B正面投影可见，又位于右侧，可判断B在三棱柱的右侧棱面上，由于三棱柱棱面的水平投影及后棱面的侧面投影均有积聚性，因此可利用积聚性直接作图。

作图：

① 根据“长对正”的投影规律，如图4-3（b）所示，由点a´和b’向下引一条铅垂线与正三棱柱后棱面及右侧棱面的水平投影（斜直线）相交，交点即为A点、B点的水平投影a和b。

② 根据“高平齐，宽相等”的投影规律，由a＇、b＇和a、b求得a" 、b"。

③ 判别可见性，点A所在的平面，其水平投影和侧面投影均具有积聚性，所以无需判别它的可见性。点B所在的右侧棱面其侧面投影不可见，故b" 不可见，标记为（b"）。

两立体相交所产生的表面交线称为

两立体相交所产生的表面交线称为相贯线。

机械零件的形状往往是由两个以上的基本立体，通过不同的方式组合而形成。组合时会产生两立体相交情况，两立体相交称为两立体相贯，它们表面形成的交线称做相贯线，它属于画法几何研究的范畴。

由于立体分为平面立体和曲面（回转）立体，故两立体相交可分为三种情况：

1、平面立体与平面立体相交，相贯线一般是封闭的空间折线。

2、平面立体与曲面立体相交，相贯线是由若干段平面曲线或直线所围成的空间曲线。

3、两曲面立体相交，相贯线一般为封闭的空间曲线。

相贯线的基本性质：

相贯线是两立体表面的共有线，也是两立体的分界线；相贯线上的点是两立体表面的共有点；相贯线一般为封闭的空间曲线，但在特殊情况下也为平面曲线或直线，也可能不封闭。

第五章 相贯线

两立体表面相交，交线称为相贯线。准确地画出相贯线的投影能更完整地表达立体。实际中两立体相交可分为三种情况：平面立体与平面立体相交；平面立体与曲面立体相交；两曲立体相交，如图5-0-1所示。

相贯线有如下性质：

1． 相贯线一般是封闭的空间折线或曲线。其形状随两相交立体表面的性质和相对位置的变化而不同。

2． 相贯线是两立体表面的共有线，是两立体表面公共点的集合。求相贯线，也就是求两相交立体表面的公共点。

第三节 两曲面立体相交

两曲面立体相交，相贯线为封闭的空间曲线，特殊情况为平面曲线。下面介绍常用的两种方法。

一、表面取点法

两回转体相交，如果其中有一个是轴线垂直于投影面的圆柱，则相贯线在该投影面上的投影，就积聚在圆柱面的有积聚性的投影上。于是可以在这个相贯线有积聚性的投影上取一些点，按已知曲面立体表面上的点的一个投影，求其它投影的方法，即表面取点法，作出相贯线的投影。

例1：如图5-3-1所示，求作两正交圆柱的相贯线。

解：相贯线系两圆柱表面公共点的集合，应在铅垂轴线的小圆柱面上，其水平投影重合在水平投影中的小圆周上；同理相贯线的侧面投影也应重合在侧面投影的大圆周上。故只有它的正面投影需要画出，可以用已知曲面上点的一个投影求另外投影的方法。作图步骤如下：

（1） 先求特殊点，即求相贯线上的最前、最后、最左、最右、最上、最下等点。在水平投影的小圆周上直接确定出相贯线上最左、最右点的投影1、3和最前、最后点的投影2、4；对应在侧面投影中为1″、3″和2″、4″，也是最高、最低点的侧面投影；按投影关系可得出它们的正面投影1′、3′和2′、4′。因为两曲面立体前后对称相贯，故最前、最后两点的正面投影重合。

（2） 求作若干一般位置点。依连线光滑准确的需要，作出相贯线上若干个中间点的投影。如在水平投影上取5、6点，其侧面投影为5″、6″，再求出其正面投影5′和6′。

（3） 依次光滑连接1′、5′、2′（4′）、6′、3′各点，即得相贯线的正面投影。

第五讲 平面与立体的表面交线——截交线

教学目标：掌握立体截交线的画法

教学重点：特殊位置平面与回转体的交线

掌握了在立体表面上取点取线的方法，本讲介绍截交线的画法。

一、截交线的概念

平面截切立体，在立体表面上产生的交线，称为截交线。用以截切立体的平面称为截平面，截交线围成的图形称为截断面。求截交线的目的就是求截断面。

二、截交线的基本性质

从图中可以看到，立体不同以及截平面与立体相对位置不同，截交线的形状也各不相同，看它们都有一些共同的性质

1．截交线是截平面与立体表面的共有线，同时位于截平面和立体的表面上。

2. 是一封闭的平面折线或平面曲线。

3. 截交线的形状取决于被截立体的形状及截平面与立体的相对位置。 三、平面与平面立体相交

平面立体的表面都是平面，因此平面与平面立体的交线是一闭合的平面折线——多边形。多边形的各边是截平面与立体相应棱面的交线，多边形的顶点是截平面与立体相应棱线的交点。求截交线时，可根据具体情况求出棱线与截平面的交点，或求出棱面与截平面的交线。

实例分析：

分析截平面切到哪些棱线和棱面，要分别求出与他们的交点和交线。

四、平面与回转体相交

截交线是截平面与回转体表面的共有线。

截交线的形状取决于回转体表面的形状及截平面与回转体轴线的相对位置。

求截交线的方法：即求截平面与回转体表面的共有点。

求截交线的步骤：

· 空间及投影分析

☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置，以确定截交线的形状。

☆ 分析截平面及回转体与投影面的相对位置，明确截交线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出截交线的已知投影，予见未知投影。

· 画出截交线的投影

当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：

☆ 先找特殊点，再补充中间点。

☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。

1．平面与圆柱相交

截平面与圆柱面的交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置。

当截平面与圆柱轴线垂直时，截交线为圆，投影如图示；当截平面与圆柱轴线平行时，截交线为平行两直线（素线），投影如图示；当截平面与圆柱轴线倾斜时，截交线为椭圆，投影如图示。