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平面与平面立体面相交

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相贯线1-两平面立体,平面与曲面立体相交.

相贯线1-两平面立体,平面与曲面立体相交.

2、求相贯线上的贯穿点。
3、先判断可见性，依次
连接贯穿点。
4、补全棱线。
例5：补全带孔三棱柱的水平投影，求作侧面投影。
空间分析
d' a' b'
c'
1、三个截平面相交，在三棱 d" 柱体内形成三条交线。
2、三个截平面与三棱柱形成
a"
b" 前、后 两部分截交线，且截交
(c")
线均在棱柱表面，其水平投影
7
(3) 立体相对位置不同，相贯线形状不一样：
两圆柱轴 线斜交
两圆柱轴线 偏交
8
图例：
全贯
互贯
平×曲
柱柱正交
柱柱正交(等径) 孔孔正交
柱柱偏交
柱穿锥
锥穿柱
球柱偏交
球柱正交 9
二、 平面体与平面体 相交
10
相贯及相贯线的概念
相贯：两立体相交。
相贯线：两立体相交，
其表面的交线。
相贯线
11
平面立体相贯种类及 相贯线的特点
(11’) 1’ 2’ 3’
(31’)
(41’) 4’
11
41 31
1
3
11” 1” (31”) (3”)
41”
2” 4”
解题步骤： 1、分析两立体的 空间关系，确定相 贯线的已知投影。
2、从已知投影出发，确定相贯 线上的贯穿点。
3、先判断可见性，再连接贯穿点。
2 4
例2：已知三棱锥上穿有三棱柱孔洞，求作相贯线。
(41’) 4’
11
(41) 31
1
3
2 (4)
11” 1” (31”) (3”)

平面与平面立体相交

平面与平面立体相交
平面与平面立体相交
何培英
平面与平面立体相交
概述 平面立体的截交线 作图举例
平面与平面立体相交
概述
当平面截切立体时，由截交线围成的平面图形——截断面 平面与立体表面相交产生的交线——截交线
截断面
截断面
截平面
截平面
截交线
截交线
平面与平面立体相交
平面立体的截交线
1.截交线的特点
平面多边形
平面与平面立体相交产生的截交 线是一个封闭的平面多边形。
作图举例
平面与平面立体相交
例3：作出两平面立体交线的三面投影 。
由图可以看出，这是一 个正垂的三棱柱与一个铅垂 的六棱柱相交，三棱柱由前 穿入六棱柱，不再穿出。
两立体相交可以看成是 六棱柱被三个平面截切所得。
作图举例
平面与平面立体相交
例3：作出两平面立体交线的三面投影 。求水平面与六棱柱 面的交点
作图：
求水平面截切后的
1/
截交线
1//
求正垂面截切后的
2/
2//
截交线
（Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ点）
2 1
平面与平面立体相交
作图举例 例2：求三棱锥被截切后的俯视图和左视图。
作图：
求水平面截切后的 截交线
求正垂面截切后的 截交线 （Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ点）
1/
1//
2/
3/ (4/) 4//
2// 3//
Y4 Y3
4
2 1
多边形的顶点是截平面与立体棱 线或边线的交点。
截平面与立 体棱线交点 截平面与立
多边形的边是截平面与立体表面的交线。 体表面交线
平面立体的截交线
2.求截交线的方法
平面与平面立体相交
棱线法：求各棱线与截平面的交点。

机械制图课件-6平面与平面立体表面相交

机械制图课件-6平面与平面立体表面相交
第六讲：平面与平面立体表面相交
平面与平面立体表面的交线称为截交线;当平面切割立体 时,由截交线围成的平面图形称为断面。
断面
一、平面立体的截交线和断面
平面立体的截交线是一个多边形,它的顶点是平面立体的
棱线或底边与截平面的交点,它的边是截平面与平面立体表
面的交线。
s′
Pv
s″
3′ 2′
3″ 2″
1′
1″
作图过程
a′ b′
c′ c″ a″
b″
c
3 a
1s
2
b
（1）、在棱线SA、SB、SC的正面投影s′a′、 s′b′、 s′c′与截平 面P的有积聚性的迹线PV的相交处，作出它们的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的 正面投影1′、 2′、 3′，与PV相重合的直线1′ 2′3′，即为截交线 △ⅠⅡⅢ的正面投影。
（2） 由1′、 2′、 3′引投影连线，分别与sa、 sb、 sc和 s″a″、 s″b″、 s″c″交出1、2、3和1″、2″、 3″。连接这些点 的同面投影，就作出了截交线△ⅠⅡⅢ的水平投影△123和侧面 投影△ 1″2″ 3″。
例3 已知一个缺口三棱锥的正面投影，补全它的水平投影和 侧面投影。
S
A
B
分析：由正面投影可见三棱锥上的缺口系水平面△ⅠⅡⅢ和正垂 面△ⅡⅢ Ⅳ组成，其中点Ⅰ、Ⅳ为棱线SA上的点，这两点的投 影必在棱线的同面投影上。点Ⅱ、Ⅲ分别为处于一般位置的棱面 △SAB和△SAC内的点，因此作辅助线求出它们的投影。
第二步
第三步 第四步
第五步
例２ 试完成五棱柱被两平面Ｐ、Ｑ截切后的正面投 影
完成后的投影图
在形状较为负责的机件上，有时会见到由平面和 平面立体相交而形成的具有缺口的平面立体或穿孔的 平面立体，只要逐个作出各个截平面与平面立体的截 交线，并画出截平面之间的交线，就可作出这些平面 立体的投影图。

6 平面与立体相交

6 平面与立体相交

连线原则：
1、一个平面完全截断立体时，属于立体同一棱 面上的点才能相连； 2、当几个平面截切立体时，属于立体同一棱面， 又属于同一截平面的两点，方能相连，但截平 面与截平面间的交线除外。
重点、难 点： 掌握平面立体切割体的投
影作图方法。
作业： P26 6-1 P27 6-2
第二节 平面与曲面立体 相交
例6-7 求圆锥切割体的投 影。 投影规律：长对正、高平齐、宽相等
3'(4') 5'(6') ° 7'(8') ° 1' ° Pv
° ° 2'
极限点、转向点 特征点
取一般点 依次光滑连接
2″ 3″ 4″ ° ° 6″ 5″ ° ° 8″ 7″ ° °
° °
1″
°
64 8°
°
1
水平、侧面投影是椭圆 将切割体投影补齐
2 ° ° ° °°
3d动画
75 3
例6-8 求圆锥切割体的水平投影和侧面 投影。 投影规律：长对正、高平齐、宽相等
作图: 形体分析 Qv—正垂面 Pv—水平面 正面投影积聚成两条直线
Qv
° 1' °
1″
°
取特殊点：
极限点、转向点、 特征点、 结合点 取一般点 切口的底面是圆 切口的侧面是抛物线 将切割体投影补齐
Ⅱ
Ⅰ
Ⅲ
二、平面与平面立体相交
1、平面与棱柱相交
Pv—正垂面 正面投影是一 条直线 有积聚性 （定位） 水平投影与 棱面积聚 侧面投影取点连线 将切割体投影补齐
b(e)2
°
作图：
a′
b′
c′
a″(c″)
b″
3′ °

相贯线1-两平面立体-平面与曲面立体相交

相贯线1-两平面立体-平面与曲面立体相交

与棱面积聚线重合，同时三个
截平面之间还有三条交线。
a
c
(b) d
作图
1、作出截平面之间交线的水平投影。 2、先画出未截切三棱柱的侧面投影， 根据已知投影补画截交线、截平面之间 交线的投影。 3、补全并加深存在的棱线。
例5：补全带孔三棱柱的水平投影，求作侧面投影。
d' a' b'
c'
空间分析
1、三个截平面相交，在三棱 d" 柱体内形成三条交线。
7
(3) 立体相对位置不同，相贯线形状不一样：
两圆柱轴 线斜交
两圆柱轴线 偏交
8
图例：
全贯
互贯
平×曲
柱柱正交
柱柱正交(等径) 孔孔正交
柱柱偏交
柱穿锥
锥穿柱
球柱偏交
球柱正交 9
二、 平面体与平面体 相交
10
相贯及相贯线的概念
相贯：两立体相交。
相贯线：两立体相交，
其表面的交线。
相贯线
11
平面立体相贯种类及 相贯线的特点
解题步骤： 1、分析两立体的空间关
系，根据积聚性பைடு நூலகம்确定
1”(2”)
相贯线的已知投影。
2、求相贯线上的贯穿点。
3、判断可见性，依次连
接贯穿点。
4、补全棱线。
例4：已知三棱锥与三棱柱相交，求作相贯线。
3”(4”)
5” (6”)
解题步骤： 1、分析两立体的空间关
系，根据积聚性，确定
1”(2”)
相贯线的已知投影。
(11’) 1’ 2’ 3’
(31’)
(41’) 4’
11
41 31
1

平面与立体相交

平面与立体相交

6.2.1 平面与平面立体相交
由于平面立体是由平面围成的,截交线是封闭的平 面多边形，多边形的边是截平面与平面立体表面的交 线。求截交线的问题可以简化为求平面与平面的交线 问题，进而简化为求直线与平面交点的问题。
例1 三棱锥被一正垂面所截切，求截交线的投影。
s’ s
3
2 1
a’ b’
3 1
e’(f’)
g’(h’) b’ b”
RV
RW
h b g
df a
c e
例5
求铅垂圆台与半球的相贯线的投影。
PV2
PV3 PV4
2' 5'
3'
4'
1'
1"
4" 3" 5"
2"
y y
5
3
4
y
2
1
PH1
y
3.
辅助球面法
常用的辅助球面法为同心球面法,要使辅助球面与两立 体表面交线的投影为直线或圆。
例6
3 求出若干个一般点 Ⅴ、Ⅵ、 Ⅶ、Ⅷ；
3" 7" 2"
4 光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
8"
Ⅵ
4
6 1
Ⅰ
Ⅳ Ⅷ
Ⅴ
Ⅲ Ⅶ
7 3
5
Ⅱ
作图步骤： （1）根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别 截交线的形状和性质。 （2）求出截交线上的特殊点。 （3）根据需要求出若干个一般点。 （4）光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判 别可见性。 （5）最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向 轮廓素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。 特殊点：是指绘制曲线时有影响的各种点。 极限位置点 曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。 转向轮廓点 曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是区 分曲线可见与不可见部分的分界点。 特征点 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。 结合点 截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。

平面体与平面体相贯

平面体与平面体相贯

两平面立体相贯线的性质
• （1）两平面立体相交称相贯体，两平面立体 表面的交线称相贯线，相贯线是两平面立体表 面的共有线，相贯线上的点是两平面立体表面 上的共有点。 • （2）平面立体的相贯线通常是封闭的空间折 线；有时也可能是一个平面多边形，即封闭的 平面多边形；在特殊情况下，还可能是不封闭 的。每段折线是两个平面立体上有关表面的交 线，折点则是一个立体的轮廓线与另一立体的 贯穿点。
平面体与平面体相贯
相贯
• 平平相贯
• 平曲贯
（A）互贯
（B）全贯
全贯
• 有贯入有贯出 • 有贯入无贯出 • 如图:
相贯线是两条互相独立的闭合线
相贯线是一条闭合线
互贯
• 有贯入有贯出 • 有贯入无贯出 如图:
相贯线是一闭合线
相贯线是一不闭合线
平平相贯求相贯线的方法
• 交点法 • 交线法 如图:
求作两平面立体的相贯线采用两种方法： （1）分别作出立体的诸棱线与另一立体的贯点， 然后将既位于一个立体的同一表面上、又位于另一 立体的同一表面上的两点依次连成相贯线。 （2）顺次求作两立体有关的交线。 有时，也将这两种方法联合使用。 当立体表面的投影有积聚性时，则利用投影的积 聚性求作相贯性。 可见性的判断 判断原则：只有位于两形体都可见的侧面上的交 线才是可见的。只要有一个侧面不可见，面上的交 线就不可见。

8 平面与立体相交-截交线

8 平面与立体相交-截交线

截切立体
二、截交线的性质： 截交线的性质： 1、截交线是截平面与立体表面的共有 线，线上的任意一点都是截平面与立 体表面的共有点。 2、截交线是一个封闭的平面多边形。 3、截交线的形状取决于立体表面形状， 以及截平面与立体的相对位置。
截交线
三、截交线的求法： 截交线的求法： 画截切立体的投影时，为了清楚地表达该立体的 形状，既要画出截切立体表面上截交线的投影，又要 画出立体轮廓线的投影。
[例题 例题1] 求圆锥截交线。 例题
1.分析 1.分析 截平面为正垂面 截交线为椭圆； ，截交线为椭圆；截交线 的水平投影和侧面投影均 为椭圆； 为椭圆；
3'
2.求出截交线上的特殊点 2.求出截交线上的特殊点 Ⅰ、 Ⅱ、Ⅳ； 3.求出一般点 3.求出一般点Ⅲ、 Ⅴ； 4.光滑顺次连接各点， 4.光滑顺次连接各点，作 光滑顺次连接各点 出截交线，判别可见性； 出截交线，判别可见性； 5．整理轮廓线
五、平面与组合回转体相交
[例题1] 已知顶尖截切后的正面、侧面投影，求作水平投影。 例题1]
分析：
a' g'h' d'e' • f '• • • • b' (c') a" • e" d" c"• • • • • b" h" f " g"
e
h • • f • g • • c •a • • d b
顶尖头是由圆锥和圆柱相 连,被两个平面截切而成，轴线 为侧垂线，截平面分别为侧平 面和水平面。 侧平面与圆柱轴线垂直，与 圆柱的截交线为圆弧，正面投 影积聚为直线，侧面投影为圆 弧的实形。 水平面平行于回转轴，与 圆柱的截交线为开口矩形，与 圆锥的截交线为双曲线，其正 面和侧面投影均为直线 。

大学工程制图第八章平面与立体直线与立体相交

大学工程制图第八章平面与立体直线与立体相交
已知一直线与一圆柱体相交，求交点 坐标。
03
例题3
已知一平面与一直线同时与一球体相交，求 交线方程和交点坐标。
05
02
解法
首先确定平面与长方体表面的交线方程，然 后根据交线方程求解交线。
04
解法
首先确定直线与圆柱体表面的交点坐 标，然后根据交点坐标求解交点。
06
解法
首先分别确定平面和直线与球体表面的交线方 程和交点坐标，然后根据交线方程和交点坐标 求解交线和交点。
05
平面、直线与立体相交在 工程制图中的应用
工程图中平面、直线与立体相交表示方法
交点法
通过求解平面与立体、直线与立 体的交点，将交点在工程图中表 示出来，以此表达平面、直线与 立体的相交关系。
截交线法
当平面与立体相交时，其交线称 为截交线。通过绘制截交线的形 状和位置，可以清晰地表达平面 与立体的相交情况。
03
的形状和特性。
实验内容和步骤
01 • 分析截交线的形成原理，理解其与立体形状的 关系。
02
2. 直线与立体相交
03
• 选择一条直线和一个立体图形。
实验内容和步骤
• 确定直线与立体的相对位置，观察并记录相交点（贯穿点）的位置和特 性。
• 分析贯穿点的形成原理，理解其与立体形状的关系。 3. 实验记录与报告
学会运用投影法表示平面与立体、直线与立体的相交关系
通过学习和实践，能够熟练运用投影法表示平面与立体、直线与立体的相交关系，并能够正确绘制相 应的投影图。
培养空间想象能力和分析能力
通过学习和实践，逐渐培养空间想象能力和分析能力，为后续学习和工作打下基础。
教学内容与安排
平面与立体相交的基本概念和性质

第4章 立体及平面与立体相交

第4章 立体及平面与立体相交
先 求 连面求 三 线和三 棱 。侧棱 柱 注面柱 左 意投的 右 判影水看 平 两 别出棱 个 交，面 侧 线三对 面 的棱三 与 可柱棱 三 见的锥三 各 棱 性条棱 锥 。棱面 的线的 交都交 线穿线 。过。棱 通锥过，三所棱以柱两上立棱体 面是作全水贯平的面。P其，交 P线面是与两三条棱封锥闭各折 个线棱。面前的面交一线条分是 别空与间三折棱线锥，的是底三 面棱三柱角与形三的棱三锥条的 边前平面行两。个棱面的 交线；后面一条 是平面折线，是 三棱柱与三棱锥 后棱面的交线。
外表面和内表面相交
a
84 返回
两回转体表面相交
两立体相交叫作相贯，其表面产生的交线叫做相贯线。
相贯线的性质
相贯线一般为光滑封闭的空间曲线，它是两回转体表 面的共有线。求相贯线的实质就是求两曲面立体表面的共 有点。
作图方法
利用投影的积聚性直接表取点。
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的
投影
擦除多余作图线后的结果
例 已知圆锥被正平面所截，求截交线的正面投影
上一级
[例二]:求圆锥被截切后的截交线，并完成三视图。 QV
PV
擦除多余作图线后的结果
平面与球面相交
[例题] 切割平面为水平面时,圆球的截交线
[例题] 求圆球的截交线
正面投影和侧面投 影是两个相等的矩形， 矩形的高度等于圆柱的 高度，宽度等于圆柱的 直径（回转轴的投影用 细点画线来表示） 。
圆柱体的投影分析（回转轴垂直于H面）
正面投影的左、右边 线分别是圆柱最左、最右 的两条轮廓素线的投影， 这两条素线把圆柱分为前、 后两半，他们在W面上的 投影与回转轴的投影重合。
第4章 立体及平面与立体相交
4.1 平面立体的投影 4.2 曲面立体的投影 4.3 平面与平面立体相交 4.4 平面与曲面立体相交

C5情境01平面与立体相交

C5情境01平面与立体相交
Ⅴ、Ⅵ和B完成水平和侧面投影图；补全 圆锥体侧面投影轮廓线。(图d)
例5-6： 已知带切口的圆锥体的正面投影，完成它的水平投影及侧面投影。
(a)
(b)
分析： 圆锥体的轴线垂直于水平投影面。切口由一个过锥顶的 正垂面P、一个垂直于轴线的水平面Q和一个过圆锥顶的正垂 面R共同切割而形成的(图a )。过圆锥体锥顶的正垂面P与圆 锥面的截交线是两条素线；水平面Q与圆锥面的截交线是圆 弧；正垂面R与圆锥面的截交线是抛物线。三个截切平面都 垂直于正立投影面，截平面之间的两条交线都是正垂线。
作图： 1.作水平截切面Q与半圆球体的截交线，其中Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ、 Ⅳ是圆弧段。(图b) 2.作两个侧平截切面P1、P2与半圆球体的截交线，Ⅰ、Ⅳ和 Ⅱ、Ⅲ是圆弧段在侧面投影重合。(图b) 3.完成投影图；注意交线的可见性，Ⅰ、Ⅳ和Ⅱ、Ⅲ两条交 线侧面投影不可见；补全圆球侧面投影仍存在轮廓圆。(图c)
四、平面与圆锥体相交
截平面的 垂直于轴线 截平面通过 与轴线倾斜θ 平行于一条素 平行于轴线θ=0
位置 截交线
θ=90° 圆
锥顶 两条素线
＞α 椭圆
线θ=α 抛物线
或θ＜α 双曲线
立体图
投影图
平面与圆锥面相交的各种情况
例5-5：已知被切割圆锥体的正面投影，补画水平投影和侧面投影(图a)。
作图： 分析： 因圆锥体轴线垂直于水平投 影面，截平面P是一个正垂面， 与圆锥体轴线斜交并且与圆锥面 上所有的素线相交，所以截交线 为一椭圆。椭圆的正面投影与截 1.求截交线上特殊点的投影。Ⅰ和Ⅳ
为正面轮廓线上的点，也是椭圆轴端点；
Ⅲ和Ⅴ为侧面轮廓线上的点；Ⅱ和Ⅵ为椭 圆另一轴的端点，用纬圆法求出。
2.作一般位置点的投影。在椭圆正面

7第七章 立体及平面与立体表面的交线

7第七章 立体及平面与立体表面的交线

§7.3 立体的尺寸标注 一、单个平面立体的尺寸标注 1、以圆的内接正多边形为底的正正棱柱和正棱锥，可注外接圆的直径和它们的高
图
正棱柱、正棱锥的尺寸注法
2、以圆的内接正多边形为底的斜棱锥，除注出外接圆的直径和它们的高外，还要 注出确定顶点位置的长度方向和宽度方向的尺寸。
3、以任意多边形为底的斜棱锥，除注出注出确定顶点位置的长度方向和宽度方向 的尺寸外，还要注出确定底面多边形的尺寸。
[例] 完成带切口圆柱的水平投影，求作它的侧 面投影。
E:\proe-course\p4-18.prt.1
3、求圆柱截断面的实形
E:\proe-course\p4-19.prt.1
4、补作开槽圆柱体的投影
[例] 完成带切口圆柱的水平投影。
E:\proe-course\p4-20.prt.1
（二）圆锥的截交线 1、圆锥截交线的五种基本形式：圆、椭圆、抛物线、双曲线、两相交直线。
一个投影为多边 形，另外两个投影轮 廓线为矩形。
六棱柱的投影图
棱锥的投影特性
一个投影为多边 形，另外两个投影轮 廓线为三角形。
三棱锥的投影图
S
C
B
A
2、平面立体表面上的点和线
[例]求作棱锥的侧面投影，并求出各立体表面上点和线的其余两面投影。
[例]求作棱柱的第三投影，并求出各立体表面 上点和线的其余两面投影。
2、求截交线投影的方法： 根据截交线的性质，求截交线的方法可归结为求截平面与立体表面一系列共有点的 问题。这些共有点就是立体表面上棱（素）线（直线或曲线）与截平面上的交点， 可以利用有积聚性的投影、辅助线（辅助直线）或辅助平面（辅助圆）的方法求出 这些交点，然后顺次连成平面曲线或折线，即得到截交线的投影。

第八章 平面与立体相交 直线与立体相交

第八章 平面与立体相交 直线与立体相交

第八章 平面与立体相交•直线与立体相交¤ 8-1 平面与立体相交平面与立体相交，可看作是立体被平面所截，这个平面称为截平面．．．，截平面与立体表面的交线称为截交线．．．（图8-1）。

为了正确地画出截交线的投影，应掌握截交线的基本性质：（1）截交线是截平面和立体表面交点的集合，截交线既属于截平面，又属于立体表面，是截平面和立体表面的共有线。

（2）立体是由其表面围成的，所以截交线必然是一个或多个由直线或平面曲线围成的封闭平面图形。

图8-1 平面与立体相交求截交线的实质就是求出截平面和立体表面的共有点。

为此，可以根据立体表面的性质，在其上选取一系列适当的线（棱线、直素线或圆），求这些线与截平面的交点，然后按其可见或不可见用实线或虚线依次连成多边形或平面曲线。

一、平面与平面立体相交平面与平面立体相交，其截交线的形状是由直线围成的多边形。

多边形的顶点为平面立体上有关棱线（包括底面边线）与截平面的交点。

[例8-1] 三棱锥与一正垂面P相交，求截交线的投影（图8-2）。

分析：正垂面P的正面投影有积聚性，即P v，可直接求出平面P与棱线SA、SB、SC的交点Ⅰ（1，1′）、Ⅱ（2，2′）及Ⅲ（3，3′）。

顺次连接各顶点，得截交线为△ⅠⅡⅢ（△123，1′2′3′）。

103关于截交线可见性的判别，在假定截平面透明的前提下，可根据各段交线所在表面的可见与否而定。

可见表面上的交线为可见，用实线画出；不可见表面上的交线为不可见，用虚线画出。

在本例中，三棱锥的三个棱面的水平投影都为可见，故截交线的水平投影△123为可见，用实线画出；正面投影1′2′3′积聚在P V 线上，不再判别。

(a) (b)图8-2 三棱锥的截交线二、平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交，其截交线形状一般为封闭的平面曲线。

曲线上的任何一点，都可当作是曲面上某一条线（直素线或圆）与截平面的交点。

求截交线时必须根据曲面的性质，在其 上选取一系列的直素线或圆，求出它们与截平面的交点。

工程制图平面与立体相交

工程制图平面与立体相交

第十一页，共38页。
【例题2】作出圆柱体被截切后的水平(shuǐpíng)投影。
1、空间(kōngjiān)
b′
b〞
分分析析截平面与圆柱
体轴线的相对位置，
c′d′
d〞
c〞 确定(quèdìng)截交
线的形状——椭圆。
a′
d
a
b
a〞
2、投影分析
截交线的正面投影
和侧面投影分别落在
截平面和圆柱面的积
聚性投影上，要求的
㈢ 求截交线的作图步骤 (bùzhòu)： 1) 空间(kōngjiān)分析及投影 分析
a、截平面与立体的相对位置
—— 确定截交线的形状 b、截平面、立体表面与投影面的相对位置
—— 确定截交线的投影特性
2) 画出截交线的投影 (tóuyǐng)
运用线面交点法或面面交线法，分别求出截平面与 棱面的交线，并连接成多边形。
当截平面平行于投影面时，则截交线圆的投影反映(fǎnyìng)实形； 当截平面垂直于投影面时，则截交线圆的投影为直线段； 当截平面倾斜于投影面时，则截交线圆的投影为椭圆。
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【例题(lìtí)1】完成圆球截切后的水平投影和侧面投影。
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【例题(lìtí)2】完成半球被截切后的水平投影和侧面 投影。
2、截交线的形状通常为平面 曲线，特殊情况下可含有直线 段组成。截交线的形状取决于
回转体表面性质和截平面与回转 体的相对位置。
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㈡ 回转(huízhuǎn)体截交线的求解方法与 步骤
1、空间(kōngjiān)分析
分析回转体的几何形状，以及(yǐjí)截平面与回转体轴线的相对 位置，确定回转体截交线的形状。

截交线和相贯线

截交线和相贯线

截交线和相贯线第一节基本体表面上交线的投影一、平面与平面立体表面相交：平面与平面立体表面相交，可看成是立体被平面截切，截切立体的平面称为截平面，截平面与立体表面的交线称为截交线。

1、截交线的性质：1）共有性：截交线是截平面和立体表面的共有线，截交线上任何一点都是截平面和立体表面的共有点。

2）封闭性：任何立体都有一定范围，截交线是封闭的平面图形。

2、截交线的作图方法：平面立体被某一平面所截后其截交线为多边形，该多边形各边交点是截平面与平面立体棱线上的点，该多边形各边是截平面与立体相应棱面的交线。

要想求出平面立体上的截交线，只需求出立体棱线与截平面的交点即可。

然后，依次连接各点。

例，三棱锥被一正垂面所截，求其截交线投影。

步骤如下：1）利用正垂面的积聚性，求棱线与截平面的三个交点的正面投影1、2、3。

2）求得水平投影1、2、3，连接即可。

二、平面与圆柱体表面相交可根据截平面与圆柱体轴线的位置不同，截交线有三种情况：见表4-1分析下列圆柱体切片、开槽的作图方法，及截交线的形状特点。

1、求斜切圆柱体的投影：用一正垂面截切圆柱，截交线为一椭圆，正面投影为一直线，水平投影为一椭圆。

作图步骤：a)求特殊点，即最高点、最低点、最前点、最后点。

b)求一般位置点。

c)依次连接2、圆柱切片的投影：3、圆柱切口的投影4、平面与圆锥体相交：截交线为抛物线截交线为椭圆截交线为双曲线三、平面与圆球相交：例、半圆头螺钉头部的投影作图方法：第二节两回转体表面的相贯线一、基本概念：相贯线：两立体表面相交，产生的交线成为相贯线。

1、相贯线的基本性质：1）共有性：相贯线是立体表面的共有线，也是两立体表面的分界线，相贯线上的点是两立体表面的共有点。

2）封闭性：一般为封闭的空间曲线，少数情况为平面曲线或直线。

2、相贯线的画法：（1）分析首先分析两曲面立体的几何形状、相对大小和相对位置，进一步分析相贯线是空间曲线，还是处于特殊情况（平面曲线或直线）。

平面与立体表面的交线

平面与立体表面的交线

分析： 1.空间分析；
三、平面与圆柱体表面的交线
例5 完成圆柱切口的水平投影和侧面投影。
分析： 1.空间分析； 2.投影分析。
三、平面与圆柱体表面的交线
例5 完成圆柱切口的水平投影和侧面投影。
Ⅳ
1'(4') 2'(3') 3” 4” 1” 2”
Ⅲ
最前、最后的 素线没有被截 切，仍完整 作图：
Ⅰ Ⅱ
三、平面与圆柱体表面的交线
例7 完成带切口圆筒的水平投影和侧面投影。
1'(4')(5')(8') 2'(3')(5')(6') 7” Ⅷ Ⅶ Ⅴ Ⅳ Ⅰ Ⅵ Ⅲ Ⅱ
8” 5”
6”
4” 1” 3” 2”
内外圆柱面上 最前、最后的 素线没有被截 切，仍完整 作图：
(1)标记截交线的顶点；
8(7) 5 (6) 4(3) 1(2)
4(3)
(1)标记截交线的顶点；
(2)求侧平面的水平投影；
(3)求ⅠⅡ、ⅢⅣ的侧面投影； (4)求圆弧及水平面的侧面投影；
1(2)
(5)完成作图。
三、平面与圆柱体表面的交线
例5 完成圆柱切口的水平投影和侧面投影。
三、平面与圆柱体表面的交线
例6 完成圆柱切口的水平投影和侧面投影。
分析： 1.空间分析；
1(2)
(5)完成作图。
三、平面与圆柱体表面的交线
例6 完成圆柱切口的水平投影和侧面投影。
零件举例-轴
模 型
三、平面与圆柱体表面的交线
例7 完成带切口圆筒的水平投影和侧面投影。
分析： 1.空间分析；
三、平面与圆柱体表面的交线
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§4-2 平面与平面立体表面相交平面与立体表面的交线，称为截交线；当平面切割立体时，由截交线围成的平面图形，称为截面。

一、平面立体的截交线和断面如图4-16a所示，平面立体的截交线是截平面上的一个多边形，它的顶点是平面立体的棱线或底边与截平面的交点，它的边是截平面与平面立体表面的交线，图中截平面P与三棱锥的截交线是一个三角形ⅠⅡⅢ。

如图4-16b中的黑色图形所示，已知三棱锥SABC和正垂的截平面P，求作截交线的三面投影。

作图过程如图4-16b中的红色图形所示：（1）在棱线SA、SB、SC的正面投影s＇a＇、s＇b＇、s＇c＇与截平面P的有积聚性的迹线P v的相交处，作出它们的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影1＇、2＇、3＇，与P v相重合的直线1＇2＇3＇，即为截交线△ⅠⅡⅢ的正面投影。

（2）由1＇、2＇、3＇引投影连线，分别与sa、sb、sc和s″a″、s″b″、s″c″交出1、2、3和1″、2″、3″。

连接这些点的同面投影，就作出了截交线△ⅠⅡⅢ的水平投影△123和侧面投影△1″2″3″。

由于三个棱面的水平投影和棱面SAB、SCA的侧面投影都可见，在其上的截交线的同面投影12、23、31和1″2″、3″1″也都可见，画粗实线；棱面SBC的侧面投影不可见，在其上的截交线的侧面投影2″3″也不可见，画细虚线。

如图4-17a中的黑色图形所示，已知五棱柱的正面投影和水平投影，并用正垂面P切割掉左上方的一块，被切割掉的部分用细双点划线表示，求作截交线以及五棱柱被切割后的三面投影。

因为截交线的各边是正垂面P与五棱柱的棱面和顶面的交线，它们的正面投影都重合在P v上，因为截交线的正面投影已知，五棱柱被切割后的正面投影也已知，只要作出截交线的水平投影，就可以作出五棱柱被切割后的水平投影。

根据五棱柱的正面投影和水平投影，可以作出它的侧面投影；同理，由已作出的截交线的正面投影和水平投影，也可以作出截交线的侧面投影，从而作出五棱柱被切割后的侧面投影。

从已知的正面投影可以直观地看出，断面的水平投影和侧面投影都是可见的。

作图过程如图4-17a中的红色图形所示：（1）在五棱柱正面投影右侧的适当地位画表示后棱面有积聚性的侧面投影的竖直线，用水平投影中从后棱面向前的距离y和y1，按侧面投影与水平投影宽相等和前后对应，以及五棱柱顶面、底面的正面投影和侧面投影应分别在同一水平线上的原则，就可由已知的正面投影和水平投影作出完整的五棱柱的侧面投影。

（2）在截交线已知的正面投影上，标注出棱线AA0、BB0、EE0与截平面P的交点F、G、J的正面投影f＇、g＇、j＇，标注截平面P与顶面的交线HI的正面投影h＇i＇，HI是正垂线，它的正面投影积聚成一点，这就标明了截交线五边形FGHIJ的正面投影f＇g＇h＇i＇j＇。

在aa0、bb0、ee0上分别标出f、g、j，由h＇i＇作出hi，于是就画出了截交线五边形FGHIJ的水平投影fghij，也就补全了五棱柱被切割后的水平投影。

由f＇、g＇、j＇分别在a″a0″、b″b0″、e″e0″上作出f″、g″、j″；由于点I在顶边边侧垂线ED上，所以可直接在积聚成一点的e″d″上标注出i″；在顶面的侧面投影上，从i″向前量取水平投影中h在i前的距离y2，就可作出h″。

连j″与f″、f″与g″、g″与h″，h″i″、i″j″分别积聚在顶面、后棱面的侧面投影上，便画出截交线五边形FGHIJ的侧面投影f″g″h″i″k″。

因为棱线AA0在点F之上的一段已被切割掉，而棱线CC0仍是全部存在的，所以在侧面投影中应将f″以上的粗实线改为细虚线，仅表示侧面投影不可见的棱线CC0的上部的一段；同时还应将h″以前和g″以上的五棱柱被被切割掉的侧面投影的轮廓线擦去或改为细双点划线，也就作出了五棱柱被切割后的侧面投影。

二、平面立体的缺口在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与平面立体相交而形成的具有缺口的平面立体，只要逐个作出各个截平面与平面立体的交线，并画出截平面之间的交线，就可作出具有缺口的平面立体的投影图。

如4-18a中的黑色图形所示，已知一个缺口三棱锥的正面投影，要补全它的水平投影和侧面投影。

从正面投影中可见：缺口是由一个水平面和一个正垂面切割三棱锥而形成的，左棱线SA有一段被切割掉，在正面投影中画成细双点划线，而在水平投影和侧面投影中，则于未经作图确定SA被切割掉的一段棱线的投影之前，暂时先将sa和s″a″都画成细双点画线。

可以想象：因为水平截平面平行于底面，所以它与前、后棱面的交线DE、DF分别平行于底边AB、AC，正垂截平面分别与前、后棱面交于直线GE、GF。

由于两个截平面都垂直于正面，所以它们的交线EF一定是正垂线。

想象的结果如图4-18a右下角的立体图所示。

画出这些交线的投影，也就画出了这个缺口的投影。

作图过程如图4-18a中的红色图形所示：（1）因为这两个截平面都垂直于正面，所以d＇e＇、d＇f＇和g＇e＇、g＇f＇都分别重合在它们的有积聚性的正面投影上，e＇f＇则位于它们的有积聚性的正面投影的交点处。

于是在正面投影中标注出这些交线的投影。

（2）由d＇在sa上作出d。

由d作de∥ab、df∥ac，再分别由e＇、f＇在de、df上作出e、f。

由d＇e＇、de作出d″e″，由d＇f＇、df作出d″f″，它们都重合在水平截平面的积聚成直线的侧面投影上。

（3）由g＇分别在sa、s″a″上作出g、g″，并分别与e、f和e″、f″连成ge、gf和g″e″、g″f″。

（4）连e和f，由于ef被三个棱面SAB、SBC、SCA的水平投影所遮而不可见，画成细虚线；e″f″则重合在水平截平面的有积聚性的侧面投影上。

（5）用粗实线加深在棱线SA上实际存在的SG、DA段的水平投影sg、da和侧面投影s″g″、d″a″；原来用细双点划线表示的GD段的三面投影g＇d＇、gd、g″d″实际上是不存在的，不应画出。

由此就补全了缺口三棱锥的水平投影和侧面投影，作图结果如图4-18b所示。

三、两平面立体相贯两个或多个立体相交（也称为两个或多个立体相贯）形成的形状，称为相贯体，立体表面的交线，称为相贯线。

相贯体是一个整体，将相贯体看作两个或多个立体相交，仅是在对相贯体各部分的形状和相对位置进行分析时的一种假设。

两立体相贯有两平面立体相贯、平面立体与曲面立体相贯、两曲面立体相贯三种情况。

由于在§4-1中已述及本书对曲面立体只着重讲述常见的回转体，所以后两种情况将分别在§4-3、§4-4中讲述。

下面将通过两平面立体相贯的一个例图讲述相贯线、相贯体的投影及其画法。

两平面立体的相贯线通常是一组或两组闭合的空间折线，在特殊情况下可能是不闭合的（例如当两立体具有连在一起的公共的平面表面时），也可能是平面上的闭合折线，即平面多边形（例如一个立体只在另一立体的一个棱面上全部穿进或穿出时）；折线的每一折线段都是两立体各一个平面表面的交线，每一个折点都是一个立体的棱线或底边与另一个立体的交点。

因此，只要分别作出一个立体的诸平面表面与另一个立体的平面表面的交线，就可连接成两立体的相贯线。

图4-19是一个正垂的三棱柱和铅垂的六棱柱相交形成的相贯体、相贯线的三面投影和立体图。

在立体图中，用红色的图形和大写字母表示了这个相贯体上的相贯线。

从图4-19中可见：这个相贯体可假设为正垂三棱柱从前方全部穿入铅垂六棱柱，穿入后就不穿出来了，所以这两个立体的表面有一组相贯线，就是顺次将三棱柱的左棱面与六棱柱的左前棱面、前棱面的交线AB、BC，三棱柱的右棱面与六棱柱的前棱面、右前棱面的交线CD、DE，三棱柱的下棱面与六棱柱的右前、前、左前棱面的交线EF、FG、GA，连接而成闭合的空间折线ABCDEFGA。

相贯体和相贯线投影的画法是：按铅垂六棱柱和正垂三棱柱的投影图画法和它们之间的相对位置（它们有共同的左右对称面，三棱柱下棱面在六棱柱底面之上的距离，三棱柱端面在六棱柱前棱面之前的距离），先用黑色图形画出这两个棱柱的正面投影和水平投影，再用红色图形按正面投影和侧面投影位于水平的投影连线上，且保持前后方向的宽度相等和前后对应，由已作出的正面投影和水平投影画出这两个棱柱的侧面投影。

然后，用红色图形讲述和作出两立体的相贯线。

最后，确定在画相贯体和相贯线过程中，前阶段未能完全确定的暂时先用细双点画线表达的棱线的部分投影，从而完成这个相贯体的投影图。

读者应该注意的是：由于相贯体是一个整体，看作两个立体相交，仅是一种假设，所以不应画出一个立体穿入另一个立体内部的轮廓线，只要想到很多机械零件都是用熔化后的钢铁浇铸成毛坯后，再经机械加工而成的，是一个整体，不是两个立体相交，因而若一立体的轮廓线穿入或穿出另一立体，只能画到穿入或穿出的贯穿点为止，即只能画到相贯线的折点为止，实际上一立体穿入另一立体的轮廓线是不存在的，所以在求作相贯线和相贯体投影前画出的两立体的投影图中，每个立体的轮廓线能确定穿入或穿出另一立体的贯穿点时，就画到贯穿点为止，不画穿进另一立体内部的轮廓线；不能确定时，暂先画成用细双点画线表示的假想投影线，待作出相贯线后，完成相贯体的投影图时，再明确应画出哪些轮廓线的投影，擦去或保留表示实际上不存在的穿入另一立体内部的细双点画线假想投影，于是在图4-19a的侧面投影中，在六棱柱的互相重合的左前、右前棱线于三棱柱的下棱线之上，分别保留了一小段用细双点画线表示的实际上不存在的穿入三棱柱内部的重合的棱线段的假想投影b″g″和d″f″，其他各处的棱线的投影都是按相贯体的实际情况画出的。

如图4-19a所示，当画出了正垂三棱柱和铅垂六棱柱的三面投影后，由于三棱柱的三个棱面的正面投影都有积聚性，六棱柱的左前、前、右前棱面的水平投影也都有积聚性，且按上述对相贯线的分析，相贯线就位于这些棱面上，便可先在正面投影中按分析的顺序，于三棱柱的左、右、下棱面的有积聚性的正面投影上标注出相贯线诸折线段AB和BC、CD和DE、EF和FG和GA的正面投影a＇b＇和b＇c＇、c＇d＇和d＇e＇，e＇f＇和f＇g＇和g＇a＇，再按相贯线各折线段的正面投影，在六棱柱的左前、前、右前棱面的有积聚性的水平投影上标出相贯线诸折线段AB和GA、BC和CD和FC、DE和EF的水平投影ab和ga、bc和cd和fg、de和ef，然后由a＇b＇和ab、b＇c＇和bc、c＇d＇和cd、d＇e＇和de、e＇f＇和ef，f＇g＇和fg、g＇a＇和ga分别按投影关系作出a″b″、b″c″、c″d″、d″e″、e″f″、f″g″、g″a″，由于相贯线和相贯体都左右对称，所以侧面投影可见的a″b″与不可见的e″d″互相重合，b″c″与d″c″、g″a″与f″e″分别积聚于六棱柱前棱面、三棱柱下棱面的有积聚性的、可见的侧面投影上，也都分别互相重合，都画粗实线，又由于三棱柱的下棱面是水平面，六棱柱的前棱面是正平面，它们的交线GF是侧垂线，GF的侧面投影积聚成一点g″f″。