离散系统差分方程计算
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1. 设离散控制系统差分方程为y(n)=x(n)+√3x(n−1)+x(n−2)采样周期T。试求：（1）
系统的脉冲传递函数。（2）系统的频率特性表达式。
解：差分方程两边取Z变换，得
Y(z)=(1+√3z
−1+z−2
)X(z)
脉冲传递函数
G(z)=Y(z)X(z)=1+√3z−1+z−2
频率特性
H(ejωT)=1+√3e−jωT+e−2jωT
2. 假设离散系统差分方程为y(n)+
712y(n−1)+1
12
y(n−2)=x(n)。其中;y(−1)=
0，y(−2)=0，x(n)=1，(n≥0)。试求:(1)分析系统的稳定性。（2）y(0)，y(1)，y(2)。
解：（1）对差分方程两边取Z变换，得
(1
+
712z−1+1
12
z−2)Y(z)=X(z)
G(z)=Y(z)X(z)=11+712z−1+112z−2
=
12z
2
12z2+7z+1
特征方程：12z
2
+7z+1=0
解得： z1=−13；z
2
=
−
1
4
由于|z
i
|
<1，即系统稳定。
（2）n=0时，y(0)+
712y(−1)+1
12
y(−2)=1
∴y(0)=1
n=1时，y(1)+
712y(0)+1
12
y(−1)=1
∴y(1)=512
n=2时，y(2)+
712y(1)+1
12
y(0)=1
∴y(2)=97144
3. 某离散控制系统的差分方程为y(n+2)+0.06y(n+1)+0.08y(n)=1，其中：y(0)=
0，y(1)=1，u(k)=1，(k=0，1，2，⋯)。试求：（1）y(2)，y(3)。（2）分析稳定
性。
解：（1）对差分方程两边Z变换，得
(
z
2
+0.6z+0.08)Y(z)=X(z)
G(z)=1z2+0.6z+0.08
特征方程：z
2
+0.6z+0.08=0
解得：z
1=−0.4；z2
=−0.2
由于|z
i
|
<1， 所以系统稳定。
（2）n=0时，y(2)+0.6y(1)+0.08y(0)=1
∴y(2)=0.4
n=1时。y(3)+0.6y(2)+0.08y(1)=1
∴y(3)=0.68
4. 离散控制系统的差分方程为：y(n)+
34y(n−1)+1
8
y(n−2)=u(n)，其中y(−1)=
0，y(−2)=0，t≥0时u(n)=1，t<0时u(n)=0。试求：(1)y(0)，y(1)，y(2)。（2）
脉冲传递函数H(z)=Y(z)U(z)。
解：（1）差分方程两边取Z变换，得
(1
+
34z−1+1
8
z−2)Y(z)=U(z)
H(z)=Y(z)U(z)=11+34z−1+18z−2=8z28z2+6z+1
特征方程：8z
2
+6z+1=0
解得：z1=−12；z2=−14
由于|z
i
|
<1，所以系统稳定。
（2）n=0时，y(0)+
34y(−1)+1
8
y(−2)=0
∴y(0)=1
n=1时，y(1)+
34y(0)+1
8
y(−1)=1
∴y(1)=14
n=2时，y(2)+
34y(1)+1
8
y(0)=1
∴y(2)=1116
5. 已知：离散控制系统的差分方程为y(k)=x(k)−√3x(k−1)+x(k−2)。试求：脉冲传
递函数H(z)=Y(z)X(z)。系统频率特性
解：对差分方程Z变换，得
Y(z)=(1−√3z
−1+z−2
)X(z)
H(z)=Y(z)X(z)=1−√3z−1+z−2
频率特性
H(ejωT)=1−√3e−jωT+e−2jωT
6. 某离散系统的差分方程为y(n)+0.5y(n−1)+0.06y(n−2)=x(n)，其中y(−1)=
y(−2)=0，x(n)={
1 𝑛≥0
0 n<0
。试求（1）脉冲传递函数，并分析稳定。（2）
y(0)，y(1)，y(2)。
解：对差分方程两边Z变换，得
（1+0.5z−1+0.06z−2）Y(z)=X(z)
G(z)=Y(z)X(z)=11+0.5z−1+0.06z−2
=
z
2
z2+0.5z+0.06
特征方程：z
2
+0.5z+0.06=0
解得：z
1=−0.3；z2
=−0.2
由于|z
i
|
<1，所以系统稳定。
(2)n=0时，y(0)+0.5y(−1)+0.06y(−2)=1
∴y(0)=1
n=1时，y(1)+0.5y(0)+0.06y(−1)=1
∴y(1)=0.5
n=2时，y(2)+0.5y(1)+0.06y(0)=1
∴y(2)=0.69
7. 已知离散系统的差分方程为7y(k+2)+8y(k+1)+y(k)=u(k)，试求：（1）脉冲传递
函数G(z)。（2）分析系统稳定性
解：（1）对差分方程两边Z变换，得
(
7z
2
+8z+1)Y(z)=U(z)
G(z)=Y(z)U(x)=17z2+8z+1
(2)特征方程：7z
2
+8z+1=0
解得： z1=−1；z2=−17
由于|z
i
|
=1，所以系统临界稳定。
8. 离散系统差分方程为6y(n+2)+5y(n+1)+y(n)=u(n)，其中y(0)=y(1)=
0，u(n)=1(n≥0)；u(n)=0(n<0)。试求：(1)y(2)，y(3)，y(4)。（2）分析稳定性。
解：(1)n=0时，6y(2)+5y(1)+y(0)=1
∴y(2)=16
n=1时，6y(3)+5y(2)+y(1)=1
∴y(3)=136
n=2时，6y(4)+5y(3)+y(2)=1
∴y(4)=25216
(2)对差分方程两边Z变换，得
(
6z
2
+5z+1)Y(z)=U(z)
G(z)=Y(z)U(z)=16z2+5z+1
特征方程：6z
2
+5z+1=0
解得：z1=−12；z2=−13
由于|z
i
|
<1，所以系统稳定。
9. 某离散系统差分方程为8y(n=2)+6y(n+1)+y(n)=u(n)，其中：y(0)=0，y(1)=
0;n≥0时，u(n)=1；n<0时，u(n)=0。试求：(1)y(2)，y(3)，y(4)。（2）分析
稳定性。
解：（1）n=0时，8y(2)+6y(1)+y(0)=1
∴y(2)=18
n=1时，8y(3)+6y(2)+y(1)=1
∴y(3)=132
n=2时，8y(4)+6y(3)+y(2)=1
∴y(4)=11128
(2)对差分方程两边Z变换，得
(
8z
2
+6z+1)Y(z)=U(z)
G(z)=Y(z)U(z)=18z2+6z+1
特征方程：8z
2
+6z+1=0
解得：z1=−12；z2=−14
由于|z
i
|
<1，所以系统稳定
10. 已知离散控制系统的差分方程为y(k)=x(k)+√2x(k−1)+x(k−2)，试求：脉冲函数
G(z)。
解：对差分方程两边Z变换，得
Y(z)=(1+√2z
−1+z−2
)X(z)
G(z)=Y(z)X(z)=1+√2z−1+z−2
