6 从传递函数求离散状态方程

第一章概论，讲述计算机控制系统的发展过程；计算机控制系统在日常生活和科学研究中的意义；计算机控制系统的组成及工作原理；计算机控制的特点、优点和问题；与模拟控制系统的不同之处；计算机控制系统的设计与实现问题以及计算机控制系统的性能指标。

1.计算机控制系统与连续模拟系统类似，主要的差别是用计算机系统取代了模拟控制器。

2.计算机系统主要包括：．A／D转换器，将连续模拟信号转换为断续的数字二进制信号，送入计算机；．D／A转换器，将计算机产生的数字指令信号转换为连续模拟信号(直流电压)并送给直流电机的放大部件；．数字计算机(包括硬件及相应软件)，实现信号的转换处理以及工作状态的逻辑管理，按给定的算法程序产生相应的控制指令。

3.计算机控制系统的控制过程可以归结为：．实时数据采集，即A/D变换器对反馈信号及指令信号的瞬时值进行检测和输入；．实时决策，即计算机按给定算法，依采集的信息进行控制行为的决策，生成控制指令；．实时控制，即D/A变换器根据决策结果，适时地向被控对象输出控制信号。

4.计算机控制系统就是利用计算机来实现生产过程自动控制的系统。

5.自动控制，是在没有人直接参与的情况下，通过控制器使生产过程自动地按照预定的规律运行。

6.计算机控制系统的特性系统规模有大有小系统类型多种多样系统造价有高有低计算机控制系统不断推陈出新7.按功能分类1)数据处理系统2)直接数字控制（DDC）3)监督控制（SCC）4)分散型控制5)现场总线控制系统按控制规律分类1)程序和顺序控制2)比例积分微分控制（PID）3)有限拍控制4)复杂控制5)智能控制按控制方式分类1)开环控制2)闭环控制9.计算机控制系统的结构和组成控制算法软件网络硬件11.硬件平台运算处理与存储部分：CPU，存储器（RAM，ROM，EPROM，FLASH-ROM，EEPROM以及磁盘等），时钟，中断，译码，总线驱动等。

输入输出接口部分：各种信号（模拟量，开关量，脉冲量等）的锁存、转换、滤波，调理和接线，以及串行通讯等。

已知传递函数求状态空间表达式在控制系统理论中，常常需要将已知的传递函数转换为状态空间表达式。

这是因为状态空间形式更加直观，便于进行控制器设计和系统分析。

首先，我们需要将传递函数化简为标准形式：$$G(s) = frac{b_0 s^n + b_1 s^{n-1} + cdots + b_{n-1} s + b_n}{s^n + a_1 s^{n-1} + cdots + a_{n-1} s + a_n}$$其中 $n$ 为传递函数的阶数，$b_i$ 和 $a_i$ 是系数。

接下来，我们可以通过状态空间的基本方程来表示传递函数： $$begin{aligned}dot{x} &= Ax + Buy &= Cx + Duend{aligned}$$其中，$x$ 是 $n$ 维状态向量，$u$ 是 $m$ 维输入向量，$y$ 是$p$ 维输出向量。

$A$、$B$、$C$、$D$ 是系数矩阵，它们的维度分别为 $n times n$、$n times m$、$p times n$ 和 $p times m$。

我们可以通过下列步骤获得$A$、$B$、$C$ 和 $D$：1. 首先，将传递函数分解为零极点形式：$$G(s) =kfrac{(s-z_1)(s-z_2)cdots(s-z_n)}{(s-p_1)(s-p_2)cdots(s-p_n )}$$其中，$k$ 是比例系数，$z_i$ 和 $p_i$ 是零点和极点。

2. 利用零极点分解结果，构造传递函数的控制分式表达式：$$G(s) = kfrac{(s-z_1)}{(s-p_1)} cdot frac{(s-z_2)}{(s-p_2)} cdots frac{(s-z_n)}{(s-p_n)}$$3. 对每个控制分式，构造对应的状态空间模型：$$begin{aligned}dot{x_i} &= p_i x_i + uy_i &= z_i x_iend{aligned}$$其中，$i$ 取值为 $1$ 到 $n$。

python 将传递函数转换为离散状态方程如何将传递函数转换为离散状态方程引言：传递函数是描述连续系统的一种数学表示方法，它能够清晰地表示系统输入和输出之间的关系。

然而，在某些情况下，我们可能需要将传递函数转换为离散状态方程，以便对离散系统进行分析和控制。

在本文中，我们将介绍如何将传递函数转换为离散状态方程，并详细讨论每个步骤。

第一步：确定离散时间点在将传递函数转换为离散状态方程之前，我们需要确定离散时间点。

离散时间点是指我们对系统进行观测和采样的时间点。

通常情况下，我们选择等间隔的时间点进行采样，以简化计算和分析。

根据系统的动态响应速度和采样需求，我们可以选择适当的采样频率。

第二步：转换传递函数为差分方程传递函数将系统的输入和输出之间的关系表示为一个比例关系。

换句话说，传递函数描述了系统对输入信号的响应。

我们可以通过将传递函数转换为差分方程来描述系统的离散状态方程。

差分方程是离散系统中状态和输入与输出之间的关系的数学描述。

它类似于传递函数中的比例关系，但是使用差分方程我们可以更直接地描述系统在每个离散时间点的状态。

通过使用差分方程，我们可以更好地理解离散系统的动态行为。

为了将传递函数转换为差分方程，我们需要使用z变换的方法。

z变换是用于离散系统分析的一种数学工具，它可以将离散时间域的信号转换为z域的复数函数。

通过对传递函数进行z变换，我们可以得到离散系统的差分方程。

第三步：离散化传递函数的参数在使用z变换将传递函数转换为差分方程之后，我们需要离散化传递函数的参数。

传递函数中的参数通常是比例、积分和微分项，它们代表了系统对不同输入的响应。

为了在离散系统中使用这些参数，我们需要根据所选的采样频率对它们进行离散化。

离散化的方法有多种，常用的方法包括零阶保持、一阶保持和Tustin方法。

这些方法可以将传递函数的参数转换为离散系统中的等效参数，以便我们可以在离散系统中进行分析和控制。

第四步：确定差分方程的初始状态在离散系统中，初始状态非常重要，它决定了系统在初始时刻的行为。

MATLAB根据传递函数矩阵求状态空间方程在探讨MATLAB如何根据传递函数矩阵求状态空间方程之前，首先需要了解传递函数和状态空间方程的概念。

传递函数是描述线性时不变系统输入与输出之间关系的数学方法，通常用于描述信号处理、控制系统等领域中的系统行为。

而状态空间方程则是另一种描述系统动态行为的方法，它能够全面描述系统的状态随时间的变化。

在工程领域中，状态空间方程常常用于分析系统的稳定性、控制系统的设计等问题。

在MATLAB中，我们可以利用控制工具箱提供的函数来求解传递函数矩阵对应的状态空间方程。

我们需要用tf函数将传递函数表示为MATLAB中的传递函数对象，然后利用ss函数将传递函数对象转化为状态空间对象，从而得到对应的状态空间方程。

接下来，我们以一个具体的例子来演示MATLAB如何根据传递函数矩阵求状态空间方程。

假设有如下传递函数矩阵：\[ G(s) = \begin{bmatrix} \frac{2s+1}{s^2+3s+2} &\frac{3s+2}{s^2+s+1} \\ \frac{s+1}{s^2+2s+1} &\frac{4s+1}{s^2+4s+3} \end{bmatrix} \]我们希望利用MATLAB求解对应的状态空间方程。

我们可以利用tf函数将传递函数矩阵表示为MATLAB中的传递函数对象：```matlabnum = {[2 1; 3 2]; [1 1; 4 1]}; % 分子矩阵den = {[1 3 2; 1 1 1]; [1 2 1; 1 4 3]}; % 分母矩阵G = tf(num,den);```接下来，我们可以利用ss函数将传递函数对象转化为状态空间对象：```matlabsys = ss(G);```通过以上步骤，我们就可以得到对应的状态空间方程。

值得注意的是，状态空间方程通常表示为如下形式：\[ \dot{x} = Ax + Bu \]\[ y = Cx + Du \]其中，\[ A \]、\[ B \]、\[ C \]、\[ D \] 分别是状态方程的系数矩阵，\[ x \] 是系统的状态向量，\[ u \] 是系统的输入向量，\[ y \] 是系统的输出向量。

自动控制原理状态方程知识点总结自动控制原理中的状态方程是描述系统动态行为的一种数学模型。

通过分析系统的输入和输出，可以利用状态方程来预测系统的响应和稳定性。

本文将对状态方程的基本概念、求解方法以及应用进行总结。

一、状态方程的基本概念状态方程（State Equation）是指用代表系统参数和输入的变量来描述控制系统中元件状态随时间变化的关系表达式。

一般形式如下所示：dx(t)/dt = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)其中，x(t)表示状态向量，代表系统的状态变量；u(t)为输入向量，指系统的输入信号；y(t)为输出向量，代表系统的输出信号；A、B、C、D为系统的参数矩阵。

二、状态方程的求解方法1. 直接求法：通过系统的关系方程，将所有元件的微分方程组合在一起，得到状态方程。

这种方法适用于简单且线性的系统。

2. 简化求法：对于线性定常系统，可以使用拉普拉斯变换将微分方程转换为代数方程，然后通过代数求解的方法得到状态方程。

3. 传递函数转换法：对于已知系统的传递函数，可以通过传递函数转换为状态方程的形式。

通过分子多项式的展开和分母多项式的因式分解，得到状态方程的形式。

三、状态方程的应用1. 系统分析：通过状态方程可以推导系统的稳定性、响应特性等。

可以通过分析系统的状态转移矩阵，判断系统的稳定性和控制性能。

2. 系统设计：利用状态方程可以进行系统的控制器设计。

可以通过选择适当的状态反馈增益矩阵，使系统满足不同的控制要求。

3. 系统仿真：借助计算机仿真工具，可以利用状态方程对系统进行仿真分析，模拟不同输入下系统的响应和稳定性，从而指导实际系统的控制设计。

总结：状态方程是自动控制原理中的重要概念，能够用数学模型描述系统的动态行为。

掌握状态方程的基本概念、求解方法和应用，对于理解和设计控制系统具有重要意义。

通过本文的介绍，相信读者已经对状态方程有了更深入的理解和认识。

让我们在自动控制原理的学习中更加游刃有余，应用自如。