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资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载求解系统的状态方程地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容求解系统的状态方程一、实验设备PC计算机，MATLAB软件，控制理论实验台二、实验目的(1)掌握状态转移矩阵的概念。
学会用MATLAB求解状态转移矩阵(2)学习系统齐次、非齐次状态方程求解的方法，计算矩阵指数，求状态响应；(3)通过编程、上机调试，掌握求解系统状态方程的方法，学会绘制输出响应和状态响应曲线；(4)掌握利用MATLAB导出连续状态空间模型的离散化模型的方法。
三、实验原理及相关基础(1)参考教材P99~101“3.8利用MATLAB求解系统的状态方程”(2)MATLAB现代控制理论仿真实验基础（3）控制理论实验台使用指导实验内容(1)求下列系统矩阵A对应的状态转移矩阵（a）（b）代码：syms lambdaA=[lambda 0 0;0 lambda 0;0 0 lambda];syms t;f=expm(A*t)（c）代码：syms t;syms lambda;A=[lambda 0 0 0;0 lambda 1 0;0 0 lambda 1;0 0 0 lambda];f=expm(A*t)(2) 已知系统a) 用MATLAB求状态方程的解析解。
选择时间向量t，绘制系统的状态响应曲线。
观察并记录这些曲线。
（1）代码：A=[0 1; -2 -3];B=[3;0];C=[1 1];D=[0];u=1;syms t;f=expm(A*t);%状态转移矩阵x0=0;s1=f*B*u;s2=int(s1,t,0,t)%状态方程解析解状态曲线：（2）A=[0 1;-2 -3];syms t;f=expm(A*t);X0=[1;0];t=[0:0.5:10];for i=1:length(t);g(i)=double(subs(f(1),t(i)));endplot(t,g)状态转移矩阵syms lambdaA=[lambda 0 0;0 lambda 0;0 0 lambda];syms tf=expm(A*t)b) 计算系统在初始状态作用下状态响应和输出响应的数值解(用函数initial( )), 绘制系统的状态响应曲线和输出响应曲线。
第2章 系统的状态空间描述输入输出：可测量，欠全面 §2.1 基本概念 例2.1 密封水箱1()(),y t x t μ=1d [()()]d [()()]d c x u t y t t u t x t t μ⋅=-⋅=-⋅即μ2(m )c 3()(m /s)u t 3()(m /s)y t ()(m )x t11()()()x t x t u t ccμ'=-+.解tt ccx t x u c 001()e()e d τμμττ-⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰. 若()u t r ≡, 则0()e1e,()ttccx t x r r t μμμμ--⎛⎫=+-⇒→∞ ⎪ ⎪⎝⎭, 若想()x h ∞=, 只要()hu t μ=.例2.2 LRC123()()();i t i t i t =+ ()()()()(LRLCu t v t v t v t v t=+=+ 选1()()C i t v t 和； 则：11()()()1()()()C C C Li t v t u t C v t i t v t R'=-+⎧⎪⎨'⎪=-⎩ 其余2()()/,C i t v t R =()()(),()().L C R C v t u t v t v t v t =-=)(t v C )(t v L L RC)(1t i )(t u )(2t i )(3t i 2.2图1. 系统的状态变量状态变量: 完全表征系统,个数最少的一组变量 未来()x t ：由0()x t 和0t t ≥的()u t 完全确定. 对定常, 常取00t =. 2. 状态向量和状态空间状态向量：12()(),(),()Tn x t x t x t x t =⎡⎤⎣⎦ 状态空间：()x t 取值范围 状态轨线：()x t 的轨迹(无时间轴) 3．几点说明(1) 0()x t 和0(),u t t t ≥决定()x t , 0t t ≥(2) n 阶’微分方程’可引出n 个状态变量, 不唯一. (3) 尽选可测量. 离散系统类似.列写方法：‘微方’,’差方’→状态方程； ‘传函’,’流程图’→状态方程.§2.2 线性连续系统的状态空间模型状态方程 + 输出方程;1．一般形式n 维状态()x t , r 维输入()u t , m维输出()y t ,状态方程 ()()()xt A x t B u t =+ （2.3） 输出方程 ()()()y t C x t D u t =+ （2.4）12()()()()n x t x t x t x t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ , 12()()()()r u t u t u t u t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ , 12()()()()m y t y t y t y t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,111212122212r rn n nr b b b b b b B b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦状态矩阵 输入矩阵2122212nn m m m n c c cc c c C c c c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,111212122212r rm m m r d d d d d d D d d d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 输出矩阵 输入输出矩阵(1)若A 、B 、C 和D 都是常数阵, 则系统是定常的； 否则为时变的；(2)若1r =且1m =,则系统是单变量的;否则是多变量的 简记 {A , B , C , D } 如水箱系统:{}111,,,,,,0A B C D c c μμ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭.如LRC 系统状态方程：1111()()()11()()()C C C i t v t u t L Lv t i t v t C CR ⎧'=-+⎪⎪⎨⎪'=-⎪⎩,输出方程：311()()()C i t i t v t R=-,若1L R C ===,则有[]011,,11,0110A B C D -⎡⎤⎡⎤===-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦.2. 由’微方’ 状态模型 设()(1)()(1)1101n n m m n m m ya ya ya yb u b u----++++=+10b ub u +++ (1)若m =0, 则可(1)123,,,,n n x y x y x y x y-==== ,得 1223(1)1()01121,,,,n n n n n n n xy x x y x x y x x ya x a x a x u ---==⎧⎪==⎪⎪⎨⎪==⎪==----+⎪⎩即1122011010000()00101n n n xx x x u t x a a a x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⋅+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦, []12()10[,,,]Tn y t x x x =⋅.令12()n x x x t x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ,011010000,,00101n A B a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦[]100C =,0D =,则有()()()xt A x t B u t =+ , (2.6)()()y t C x t =.(2.7)例2.3 设5612y y y y u +++=,试写出状态模型. 解 令123,,x y x yx y === ,则 122231231265x x x x x x x x u=⎧⎪=⎨⎪=---+⎩ 所以11223301000010()12651xx x x u t x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⋅+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ,[]123()100x y t x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(2) 1m n ≤< (设初始条件全为0)拉变 ()()()Y s G s U s =, 即110()()()mm m m Y s b sb sb Ys --=+++ (*) 其中1101()()nn n Ys U s s a sa --=+++对应()(1)110,n n n ya ya ya y u --'++++= 是情形(1), 故取(1)123,,,,n n x y x y x y x y -====可得状态方程. 改写(*)式得1101()()mm m m Ys Y s b sb sb --=+++ (**)由初值性质110(0)lim ()1limlim ()0(0)0s mm s s m m ysY s sY s y b sb sb →∞-→∞→∞-==⋅=⋅=+++同理(1)(0)(0)(0)0m y y y -==== ,故对(**)作逆变换()(1)10m m m m y b yb yb y--=+++ 01121m m b x b x b x +=+++ ,由此得1122011010000()00101n n n xx x x u t x a a a x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⋅+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦, ()[00][,,,,,]01121Ty t bb b x x xx m n m =⋅+(3) 当m n = 传递函数为11100110()()()()n n n n n n n n n b b a s b b a Y s b U s s a s a -----⎡⎤-++-=+⎢⎥+++⎣⎦11100110()()()()n n n n n n nn n b b a sb b a b U s U s s a sa ------++-=++++12()()Y s Y s =+.其中1()()n Y s b U s =,111002110()()()()n n n n n nn n b b a sb b a Y s U s s a sa ------++-=+++ .为情形(2), 故200111112()[,,,]n n n n n Tn y t b b a b b a b b a x x x --=---⎡⎤⎣⎦⋅ ,综合得001111()n n n n n y t b b a b b a b b a --=---⎡⎤⎣⎦12[,,,]Tn n x x x b u ⋅+例2.4 求323y y y u u ''''++=-的状态空间模型. 解 2,1n m ==,1122()()010()()()231x t x t u t x t x t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ , []12()()31()x t y t x t ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦. 注 情形(3)是情形(1)和(2)的推广或说(1)和(2)都是(3)的特例.例2.5 设2y t yu += . 试求状态模型. 解 令12,x y x y== , 则 {1221,2,xx xtx u ==-+ 即112201002xx u x x t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ , 12[10]x y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.注: 状态矩阵是时变的.2. 传递函数→状态模型传递函数→微分方程→状态模型. 例2.6 设22253()54s s G s s s ++=++,写出其状态模型.解 易得 54253y y y u u ''''''++=++, 由情形(3), 得1122()()010()()()451x t x t u t x t x t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ , []12()()552()()x t y t u t x t ⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦.3. 信号流程图→状态模型 设有下图将1s →⎰, s →t , 得注: 积分器出口是状态变量.⎰5)(t u )(t y +-2⎰++--1x1x 2x2x s15)(s U )(s Y +-2s1++--由前图得112122xx u x x x =-+⎧⎨=-⎩ , 125y x x =-.注 状态模型不唯一. 如由前2图另得2153()11232s G s s s s s -⎛⎫=-= ⎪++++⎝⎭, 改为541/1/()542112/11/s s G s s s ss=-=⋅-++++,等价于下图5)(t u )(t y 2++--⎰1x 1x 2x 2x ⎰4+-易得1122d 25d d 4d x x u tx x u t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩, 12y x x =-, 即2001A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,54B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,[]11C =-.又有微分方程323y yy u u ++=- ,是(2)的情形,故12212,23,x xx x x u ⎧=⎪⎨=--+⎪⎩ 123y x x =-+ , 对应0123A ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦ ,01B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,[]31C =- . 故原系统可有3种数学模型 4．状态方程 传递函数 作拉变, 并设(0)0x =,则()()()sX s A X s B U s =+, ()()()Y s C X s D U s =+,由(2.18)式得1()()()X s sI A B U s -=-代入(2.19),有()1()()Y s C sI A B D U s -⎡⎤=-+⎣⎦,从而传递函数阵()1()G s C sI A B D -=-+.当1m r ==, ()G s 是传递函数.小结n阶微分方程⇔传递函数⇔状态模型⇔状态流程图。
