保角变换计算波导的截止频率

目录

1 保角变换的基本理论 ............................................................................................... 1

1.1 保角变换的定义 ............................................................................................. 1

1.2 保角变换的性质 ............................................................................................. 1

2 波导截止频率的计算 ............................................................................................... 2

2.1 分析方法 ......................................................................................................... 3

2.2 保角变换结合矩量法求解波导截止频率 ..................................................... 3

3 总结 ........................................................................................................................... 5

参考文献 ....................................................................................................................... 6 第1页（共6页） 保角变换法在波导截止频率计算中的应用

保角变换法使用复变函数将复杂的边界变换为简单的容易求解的边界。特别是对于二维有势场，由于其力线与等位线总是正交的，因而可以采用保角变换的方法将一个复杂的甚至是解析法无法描述的区域变换到一个易于用解析法描述的区域进行求解，同时，其边界可以与常用的坐标面重合，从而使边界条件变得较为简单直观。比如将复杂的区域变换到矩形区域，且力线和等位线分别和坐标轴平行，以方便求解。

1 保角变换的基本理论

1.1 保角变换的定义

定义1 0arg'()fz称为变换w=f(z)在点0z的旋转角；0|'()|fz称为变换w=f(z)在点0z的伸缩率。

定义2 若对区域D内任一点z，变换w=f(z)具有性质：

（1）保持角度不变，且旋转方向也不变；

（2）保持伸缩率不变。

则称此变换w=f(z)在区域D内为保角变换，也称变换w=f(z)在区域D内保形。如果在区域D内点0z的某一个邻域内变换w=f(z)具有性质（1）、（2），则称变换w=f(z)在点0z的邻域内保形。

定理1 正则变换w=f(z)，在每一个使'()0fz的点z的邻域内保形。

保形变换是正则变换的主要特征。值得注意的是使'()0fz的点0z，也必然是变换w=f(z)在0z处不保形。但在保形变换中这种使变换w=f(z) 不保形的点，能帮助我们实现许多特殊区域的转化。后面我们将会看到任何一个扇形区域到上半平面的变换恰好是利用幂变换在原点的不保形性来实现的。

1.2 保角变换的性质

所谓保角变换或者叫做保形映照，是指通过一个解析函数w=f(z)将z平面上的点变换为w平面上的点。们不加证明的归纳这种变换的性质，并明确指定它的含义。 第2页（共6页） （1）局部单叶性

局部单叶性是指变换函数在其正则点'()0fz附近的一个邻域0||zz内，f（z）单叶解析。

（2）保区域性

保区域性是指z平面的区域D，在w=f（z）变换下所得的像G=f(D)仍然是一个区域。

（3）保连通性

报连通性是指若在z平面的区域内D是一个边界多于一个点的单连通区域，则经过w=f(z)变换后所得像G=f(D)仍然是一个边界多于一个点的单连通区域。

（4）保角性

保角性通常分为两类，我们把变换前后两条曲线之间夹角大小相等，方向相同的叫做第一类保角变换；把变换前后两条曲线之间夹角大小相等，方向相反的叫做第二类保角变换。如f(z)=z就属于第一类变换，()fzz就是第二类变换。以后我们仅仅限于由解析函数构成的第一类变换。

（5）保伸缩率不变性

保伸缩率不变性同前面保角变换定义时所论及的。

（6）保形性

保形性是指在某一个固定点周围的很小区域内，由于伸缩率不变，夹角不变，这样必然将一个很小的三角形变成一个与变换前相似的三角形，把一个圆变换成为一个圆。

通过以上论述，我们知道保角变换、共形映照、保形变换等实际上是同一个变换。以后我们通称保角变换。

2 波导截止频率的计算

在波导截止频率的计算中，采用解析或数值的方法，将波导截面变换为另一个平面的单位圆盘。变换以后因为形状规则，采用全域基函数的矩量法计算截止频率。或者采用变分原理求解截止频率。

波导内部的正规波形的截止频率，只有对于少数几种简单截面可以解析地求出。大多数形状波导的截止频率要数值求解。分析波导截止频率的数值方法常常使用有限元法、有限差分法、变分法和矩量法等。而在使用矩量法求解时，一般都是分析波导中的 TM 模。因为对 TE 模，因其纵向场分量 Hz满足的是第二类边值条件，寻找任意截面的全域基函数比较困难。本章使用保角变换法结合矩量法，将波导截面通过数值或者解析的方法变换到圆形区域，再用矩量法在圆形区域内数值计算截止频率。这样可以方便地找到满足边界条件的全域基函数。用第3页（共6页） 此方法计算了正多边形、半圆形波导及几种波导的 TE和 TM 波的截止频率，结果表明该方法是方便有效的。

2.1 分析方法

均匀波导的截止波数kz由亥姆霍兹方程确定：

220tck （2-1）

其中分别是TE波和TM波的Hz和Ez，t是z平面的横向微分算子，在波导的边界上，对TE波

0n （2-2）

对TM波

0 （2-3）

当用解析解z=f(w)将z平面（z=x+y）保角变换到w平面时，亥姆霍兹方程变化为

22'||0Tckf （2-4）

式中，T是w平面的横向微分算子，是变换后相应的场纵向分量。

在变换以后，由于区域的边界形状规则，边界条件容易处理，这样就为矩量法计算时寻找全域基函数带来许多方便。在本节中，一律将原来问题的截面用解析法或者数值法变换为单位圆或者矩形等规则形状。在圆形区域，选取满足边界条件的波函数作为基函数，将φ展开为基函数的线性组合，代入方程（2-4），选取权函数和基函数相同,使用伽辽金法数值求解这个方程，即可得到截止波数。

2.2 保角变换结合矩量法求解波导截止频率

本节讨论如何运用保角变换结合矩量法求解正多边形波导的最低截止频率。考虑正多边形（边数为 n）波导的最低截止波数。选取正多边形的中心在 z平面的原点，设其内切圆的半径是Pa，将其保角变换到w平面的单位圆内部的变换为

2/02/10[1][1]nwnPnntdtzatdt （2-5）

上式将正多边形的某一个边上的中点变换到z=1，可以将其表示成幂级数的形式，即 第4页（共6页） 121123()nnPzaCwCwCw…… （2-6）

区域变换如图2-1所示。

图2-1 区域变换示意图

为了求解上式中的展开系数，考虑如下等式

2/012(2)+(1)(1)!(1)wnnjjjntdtwjnjn……[2（j-1n）] （2-7）

我们再考虑正多边形顶点和单位圆上的点的对应关系。这相当于将 z 平面和 w 平面沿顺时针都旋转 π /n角度。由于

2/10112[1](,)nnntdtBnnn （2-8）

考虑到正 n 边形的外接圆半径和内切圆半径之间的关系，可以得到

2/2/1100112[1]cos[1]cos(,)nnnnnCtdttdtBnnnnn （2-9）

对于正方形（n=4），可以求出上述数值为

218C(1/4)=0.927037 （2-10）

而系数111.0787CC，也可以求出系数C2等，最后对于正方形（n=4）数为

121.0787,0.10787CC

单位圆内，全域基函数可以比较方便的求得。使用保角变换结合矩量法求出的正多边形（1Pa）的最低截止波数如表2-1所示，表2-1出了正多边形（1Pa ）波导 TM 的最低截止波数。表2-2给出了 TE 波最低非零截止频率（类似于圆形波导的TE11 ）的计算结果。这些结果是在选取变换函数展开到第4项，波函数也展开到第4项的情形下计算的。对于正三角形和正方形，问题本身有精确解。 第5页（共6页） 表2-1 正多边形波导最低TM波的波数

边数n 3 4 5 6 8 无穷大

本文 2.1028 2.2229 2.2825 2.3167 2.3527 2.40481

有限元法 2.096 2.223 2.283 2.317 2.353 2.405

精确值 2.09440 2.22144

2.40483

表2-2 正多边形波导TE波最低非零截止波数

边数n 3 4 5 6 8 无穷大

本文 1.2125 1.5712 1.6978 1.7450 1.7892 1.8411

精确值 1.2092 1.5708 1.8412

本算例的数值计算量很小。保角变换是使用级数展开求解的，选取的全域基函数本身满足边界条件，对基函数的横向微分，基函数之间的内积，都是选用解析的方法求出递推关系进行的，最后仅本征值方程求解使用数值方法。

3 总结

保角变换（也称为共形映射）是复变函数的重要内容之一，它在许多领域中有着广泛的应用，具有强大的生命力。

本文将复杂截面的波导用解析或者数值的方法变换为圆形区域，由于在圆形区域内边界形状简单，从而可以比较方便地选取全域基函数，这样用矩量法计算复杂截面波导截止频率时在编程处理时可以统一考虑和处理。通过数值例子验证了这种方法的正确性和灵活性。