2020届河北衡水中学新高考原创考前信息试卷(十四)文科数学

2020届河北衡中同卷新高考原创考前信息试卷（十五）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}02=-=x x x A ,则集合A 的真子集的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图,复数21,z z 在复平面上分别对应点A,B,则21z z ⋅=（ ） A.0 B.2+i C.-2-i D.-1+2i3.若向量a =(x-4,2)与向量b =(1,-1)平行,则|a |=（ ）A.22.B.2C.2D.84.若函数f(x)=122+-x x a的图像关于y 轴对称, 则常数a=（ ）A.-1B.1C. 1或-1D.05.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,判断下列结论: (1)月接待游客量逐月增加; (2)年接待游客量逐年增加;(3)各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月；(4)各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小，变化比较平稳.其中正确结论的个数为（ ）A.1B.2C.3D.46.若抛物线)0(22>=p px y 的焦点是双曲线1322=-py p x 的一个焦点,则p=（ ） A.2 B.4 C.8 D.16 7.函数x x x y 2)(3⋅-=的图象大致是（ ）8.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”。

2020届河北衡水密卷新高考原创考前信息试卷（六）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集{2,1,0,1,2}U =--，集合{0,1}M =,{0,1,2}N =， 则()U M N =I ð（ ）A ．{0,2}B ．{1,2}C ．{2}D ．{0}2．已知i 是虚数单位，则20171i 1()1i i++=- （ ）A ．0B ．1C ．iD ．2i3．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，若12||||PF PF b -=，且双曲线的焦距为，则该双曲线方程为 （ ）A ．2214x y -=B ．22132x y -=C ．2214y x -=D ．22123x y -=4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （ ）A ．2πB ．4πC ．2+4πD ．3+4π5．2016里约奥运会期间，小赵常看的4个电视频道中有2个频道在转播奥运比赛，若小赵这时打开电视，随机打开其中两个频道试看，那么，小赵所看到的第一个电视台恰好没有转播奥运比赛，而第二个电视台恰好在转播奥运比赛的概率为 （ ） A ．12 B ．13C．14D ．166．已知公差为(0)d d ≠的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且18a d =， 则5775S S = （ ） A ．57B ．79C ．1011D ．11237．要得到函数()cos(2)+13f x x π=-的图象，只需把22cos y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向上平移1个单位 D ．向上平移2个单位8．运行如图所示的程序，输出的结果为 （ ）A ．12B ．10C ．9D ．89．已知某函数在[,]ππ-上的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）A ．sin 2xy =B ．cos ||y x x =+C ．ln |cos |y x =D ．sin y x x =+10．若实数,x y 满足不等式组221x y y x y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥，则22(+2)+(3)x y -的最大值和最小值之和为（ ） A ．192B ．352C ．14D ．1811．如图，在四棱锥C ABOD -中，CO ⊥平面,//,ABOD AB OD OB OD ⊥，且212,62AB OD AD ===，异面直线CD 与AB 所成角为30︒，点,,,O B C D 都在同一个球面上，则该球的半径为 （ ）A ．32B ．42C 21D 4212．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：01x ≤≤时，3()3f x x x =-+，且(1)(1)f x f x -=+，若方程()log (||1)+1a f x x =+(0,1)a a >≠恰好有12个实数根，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(5,6)B ．(6,8)C ．(7,8)D ．(10,12)第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：1(,()001[0,1]q q x p q p p p R x x ⎧=⎪=⎨⎪=⎩当为整数，为既约分数）当，或上的无理数，若4,6m n ==则()(lg )mR R m n+= . 14．已知点A 在直线2y x =上，点B 的坐标为(1,1)，O 为坐标原点，则=6OA OB ⋅u u u r u u u r，则||OA =u u u r.15．已知,,[4,4]a b c ∈-，则||||2||a b b c c a -+-+-的最大值为 . 16．圆C 过点(0,2)，且圆心C 在抛物线2y x =上(不与原点重合)，若圆C 与y 轴交于点,A B ，且4AB =，则圆心C 的坐标为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12分）在ABC △中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1tan sin cos cos sin 2A B C B C -=+，且ABC △的面积为23. （1）求bc 的值； （2）若2b c =，求a .18．（12分）如图，四边形ABCD 是矩形，平面MCD ⊥平面ABCD ，且4,42MC MD CD BC ====，N 为BC 中点.（1）求证：AN MN ⊥； （2）求三棱锥C MAN -的体积.19．（12分）2016年9月15中秋节(农历八月十五)到来之际，某月饼销售企业进行了一项网上调查，得到如下数据：为了进一步了解中秋节期间月饼的消费量，对参与调查的喜欢吃月饼的网友中秋节期间消费月饼的数量进行了抽样调查，得到如下数据：已知该月饼厂所在销售范围内有30万人，并且该厂每年的销售份额约占市场总量的35%.（1）试根据所给数据分析，能否有90%以上的把握认为，喜欢吃月饼与性别有关?参考公式与临界值表：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中：n a b c d=+++2()P K k≥0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828（2）若忽略不喜欢月饼者的消费量，请根据上述数据估计：该月饼厂恰好生产多少吨月饼恰好能满足市场需求?20．（12分）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>，其左、右焦点分别为12,F F ，左、右顶点分别为12,A A ，上、下顶点分别为12,B B ，四边形1122A B A B 的面积为4.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,M N 两点，OM ON ⊥（其中O 为坐标原点），求直线l 被以线段12F F 为直径的圆截得的弦长.21．（12分）已知函数2()xx mf x e -=（其中m 为常数）. （1）若()y f x =在[1,4]上单调递增，求实数m 的取值范围； （2）若()y f x =在[1,2]上的最大值为22e ，求m 的值.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(其中t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 4=0m ρρθ--(其中0m >).（1）点M 的直角坐标为(2,2)，且点M 在曲线C 内，求实数m 的取值范围； （2）若2m =，当α变化时，求直线被曲线C 截得的弦长的取值范围.23．（10分）选修4—5不等式选讲 已知函数()||||()f x x m x m =-+∈R .（1）若(1)1f =，解关于x 的不等式()2f x <；（2）若2()f x m ≥对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.文科数学答案与解析1．【答案】C 【解析】由条件可得{2,1,2}U M =--ð，故(){2}U M N =I ð. 2．【答案】A 【解析】201720171i 1()i i i i 01i i++=-=-=-.3．【答案】C 【解析】由双曲线的焦距为225c =可得5c =，由12||||PF PF b -=及双曲线定义可得2a b =，即22224a b c a ==-，故225,1,2c a a b ===，双曲线的方程为2214y x -=. 4．【答案】D 【解析】由三视图可知，该几何体是一个圆柱的一半，其表面积为2122+14=3+42πππ⨯⨯⨯+.5．【答案】B 【解析】设正在转播奥运比赛的电视台为,A B ，没有转播奥运比赛的电视台为c ,d ，则前两个节目出现的不同情况有：(,A B ),(B ,A ),(A ,c ),(c ,A ),(A ,d ),(d ,A ),(B ,c )，(c ,B ),(B ,d ),(d ,B ),(c ,d ),(d ,c )共12种不同情况，第二个电视台在转播奥运比赛的情况有(c ,A ),(d ,A ),(c ,B ),(d ,B )，共4种不同情况，故所求概率为41123P ==. 6．【答案】C 【解析】由18a d =可得1553177475()782102===57()583112a a S a d d a a S a d d ⨯++=⨯++. 7．【答案】B 【解析】由于22cos cos21y x x ==+，故只需把22cos y x =的图象向右平移6π个单位即可得到()=cos[2()]+1cos(2)+163f x x x ππ-=-的图象. 8．【答案】D 【解析】运行程序，输出的结果为满足2113332017n S -=++++L ≥的最小正整数n 的值，由13201713nS -=-≥可得n 的最小值为8，故输出结果为8. 9．【答案】A 【解析】选项C,D 对应的函数都过原点，与图象不符，排除；而选项B 中的函数是偶函数，关于y 轴对称，与图象不符，故符合条件的只有A.10．【答案】B 【解析】画出不等式组221x y y x y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥表示的平面区域如图所示.其中点(1,1),(1,1),(0,2)A B C -，而22(+2)+(3)x y -的几何意义是平面区域内的点(,)x y 与点(2,3)-的距离的平方，最小值为点(2,3)-到直线20x y -+=的距离的平方，即29)22=，最大值为点(2,3)-到点B 的距离的平方，即13，故最大值与最小值之和为935+13=22.11．【答案】C 【解析】由条件可知//AB OD ，所以，CDO ∠为异面直线CD 与AB 所成角，故30CDO ∠=︒，而6OD =，故tan3023OC OD =⋅︒=ABOD 中，易得6OB =，以,,OB OC OD 为相邻的三条棱，补成一个长方体，则该长方体的外接球半径R 即为所求的球的半径，由2222(2)(23)6684R =++=，故21R =.12．【答案】B 【解析】Q 01x ≤≤时，3()3f x x x =-+,∴22'()333(1)0f x x x =-+=--≥，故()f x 在[0,1]上单调递增，且(0)0,(1)2f f ==，由(1)(1)f x f x -=+可知函数()f x 是周期为2的周期函数，而函数()y f x =与log (||1)+1a y x =+都是偶函数，画出它们的部分图象如图所示，根据偶函数的对称性可知，只需这两个函数在(0,+)∞有6个不同交点，显然1a >，结合图象可得log (51)+1<2log (71)+1>2a a +⎧⎨+⎩，即log 61log 81a a<⎧⎨>⎩，故68a <<.13．【答案】13【解析】211()(lg )()(lg 4)0333m R R m R R n +=+=+=.14．【答案】25A 的坐标为(,2)m m ，则(,2)(1,1)3=6OA OB m m m ⋅=⋅=u u u r u u u r，故2m =，则(2,4)OA =u u u r ，故||25OA =u u u r15．【答案】8【解析】设||,||,||x a b y b c z c a --=-,不妨设a b c ≥≥， 则222,,x a b y b c z a c =-=-=-，故222x y z +=，所以， 可设cos ,sin x z y z θθ==(0)2πθ≤≤,022z ≤≤则2(sin cos 2)2)2](22)222=84x y z z z z πθθθ+=+=+=，||||2||a b b c c a ---8.16．【答案】(16,4)【解析】设圆心为2(,)C m m ，则圆的半径为42(2)r m m +- 圆C 的方程为22242()()(2)x m y m m m -+-=+-，令0x =可得22440y my m -+-=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122,44y y m y y m +==-，则2121212||||()4AB y y y y y y =-+-244(44)4m m --，且0m ≠， 故4m =，则圆心C 的坐标为(16,4). 17．【解析】（1）由1tan sin cos cos sin 2A B C B C -=+可得1tan sin ()2A B C -=+，又sin sin()0A B C =+>,1cos 2A ∴=-，即23A π=.（4分）由ABC △的面积可得1sin 232bc A =8bc =.（6分）（2）由2b c =及8bc =可得4,2b c ==，（10分）由余弦定理可得：22212cos 164242()2a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯-=28,∴27a =.（12分）18．【解析】（1）取CD 的中点O ，连接,,OA OM ON ，Q M C M D =，O 为CD 中点，∴MO CD ⊥， 又Q 平面MCD ⊥平面ABCD ，MO ⊂平面MCD ,∴MO ⊥平面ABCD ，（3分） 则23,23,6MO ON OA ===,22224MN MO ON =+=，22224AN BN AB =+=,22248AM MO OA =+=， ∴222MN AN AM +=,∴AN M N ⊥.（6分）（2）连接AC ,NAC △的面积为：114224222NAC S AB NC =⨯⨯=⨯⨯△（8分） ∴三棱锥C MAN -的体积为：1186422333C MAN M NAC NAC V V S MO --==⨯=⨯△（12分）19．【解析】（1）由所给条件可得222()140(50204030)7== 2.706()()()()8060905027n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯=++++⨯⨯⨯＜，所以，没有90%以上的把握认为，喜欢吃月饼与性别有关.（6分）（2）根据所给频率分布直方图可知，第三组数据和第四组数据的频率相同，都是：1500(0.00010.00020.00030.0004)=0.252-+++，（8分）则人均消费月饼的数量为：7500.0002500+12500.000450017500.2522500.25⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯27500.000350032500.00015001900+⨯⨯+⨯⨯=（克）喜欢吃月饼的人数所占比例为：50+409=14014， 根据市场占有份额，恰好满足月饼销售，该厂生产的月饼数量为：919003000000.35=12825000014⨯⨯⨯(克)=128.25(吨).（12分） 20．【解析】（1）四边形1122A B A B 的面积为：1222=42a b ab ⨯⨯=，可得c a =，结合222a b c =+可得1,2c b a ==，（2分） ∴2=4a ，则1b =，∴椭圆C 的方程为2214x y +=.（5分）（2）由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得222(41)8440k x kmx m +++-=，设点1122(,),(,)M x y N x y ，则2222644(41)(44)0k m k m ∆=-+->，即2241m k <+,2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++，（8分） 则2212121212()()=()y y kx m kx m k x x km x x m =+++++，由OM ON ⊥可得0OM ON ⋅=u u u u r u u u r，即12120x x y y +=，∴221212(+1)()=0k x x km x x m +++，即22222448(+1)()=04141m kmk km m k k -⋅+⋅-+++， 整理可得22445k m +=，即||m ① 把①代入2241m k <+可得，该不等式恒成立.（10分） 以12FF 为直径的圆的圆心为(0,0)圆心O 到直线l的距离为d ， 则直线l 被圆O截得的弦长为：.（12分） 21．【解析】（1）由2()xx mf x e -=可得22(2)22'()=x x x x e e x m x m f x e e ---++=，由()y f x =在[1,4]上单调递增可得'()0f x ≥在[1,4]上恒成立， 即220xx m e-++≥,∴22x m +≤，由[1,4]x ∈可得2[2,8]x ∈， 故只需82m +≤,∴6m ≥，即实数m 的取值范围是[6,+)∞.（5分） （2）由（1）可知22'()=xx m f x e -++，①当24m +≥，即2m ≥时,'()>0f x 在(1,2)上恒成立， 故()f x 在(1,2)上单调递增，则()f x 在[1,2]上的最大值为2242(2)=m f e e-=， 故2m =，满足2m ≥；②当22m +≤，即0m ≤时，'()<0f x 在(1,2)上恒成立， 故()f x 在(1,2)上单调递减，则()f x 在[1,2]上的最大值为222(1)=m f e e-=， 故22m e=-，不满足0m ≤，舍去； ③当224m <+<，即02m <<时，由'()0f x =可得22m x +=. 22m x +<时，'()0f x >；当2>2m x +时，()<0f x '，即()f x 在2[1,)2m +上单调递增，在2(,2]2m +上单调递减， 故()f x 的最大值为2222222()2m m m m m f e e ++++-==，即22222m ee +=， 所以，2m =，不满足02m <<，舍去. 综上可知，2m =.（12分） 22．【解析】（1）曲线C 的极坐标方程对应的直角坐标方程为2224=0x y mx +--， 即222()+4x m y m -+=，由点M 在曲线C 的内部可得222(2)2<+4m m -+，解之得1m >， 即实数m 的取值范围是(1,+)∞.（5分）（2）直线l 的极坐标方程为=θα，代入曲线C 的极坐标方程并整理可得24cos 40ρρα--=，设直线l 与曲线C 的两个交点对应的极径分别为12,ρρ，则1212+=4cos ,=4ρραρρ-. 则直线l 与曲线C 截得的弦长为12|ρρ-，,即直线l 与曲线C 截得的弦长的取值范围是.（10分） 23．【解析】（1）由(1)1f =可得|1|11m -+=，故1m =.由()2f x <可得|1|||<2x x -+.①当0x <时，不等式可变为(1)2x x --<，解之得12x >-,∴1<<02x -；②当01x ≤≤时，不等式可变为(1)2x x -+<，即12<,∴01x ≤≤； ③当1x >时，不等式可变为(1)2x x -+<，解之得32x <,∴31<2x <.综上可知，原不等式的解集为13(,)22-.（5分）（2）由绝对值不等式的性质可得()|||||()|||f x x m x x m x m =-+--=≥， 当且仅当()0x m x -≤时等号成立，故()f x 的最小值为||m . 故只需2||m m ≥，即||(||1)0m m -≤，故||1m ≤，即11m -≤≤，即实数m 的取值范围是[1,1]-.（10分）。

2020届河北省衡水密卷新高考原创冲刺模拟试卷（十四）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{(x，y)|x＋y≤2，x，y∈N}，则A中元素的个数为() A．1 B．5C．6 D．无数个答案 C解析由题得A＝{(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(2,0)}，所以A中元素的个数为6.2．已知i是虚数单位，z－是z的共轭复数，若z(1＋i)＝1－i1＋i，则z－的虚部为()A.12B．－12C.12i D．－12i答案 A解析由题意可得z＝1－i(1＋i)2＝1－i2i＝12i－12＝－12i－12，则z－＝－12＋12i，据此可得z －的虚部为12.3．“0<m <2”是“方程x 2m ＋y 22－m ＝1表示椭圆”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析方程x 2m ＋y22－m＝1表示椭圆，即⎩⎨⎧m >0，2－m >0，m ≠2－m⇒0<m <2且m ≠1，所以“0<m <2”是“方程x 2m ＋y 22－m＝1表示椭圆”的必要不充分条件．4．若a >b ，则( ) A ．ln (a －b )>0 B ．3a <3b C ．a 3－b 3>0 D ．|a |>|b |答案 C解析 取a ＝2，b ＝1，满足a >b ，但ln (a －b )＝0，则A 错误；由9＝32>31＝3，知B 错误；取a ＝1，b ＝－2，满足a >b ，但|1|<|－2|，则D 错误；因为幂函数y ＝x 3是增函数，a >b ，所以a 3>b 3，即a 3－b 3>0，C 正确．5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值等于( )A ．30B ．31C ．62D ．63答案 B解析 由流程图可知该算法的功能为计算S ＝1＋21＋22＋23＋24的值，即输出的值为S ＝1＋21＋22＋23＋24＝1×(1－25)1－2＝31.6．已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 6－S 4＝6a 4，则a 5＝( )A ．4B ．10C ．16D ．32答案 C解析 设公比为q (q >0)，S 6－S 4＝a 5＋a 6＝6a 4，因为a 2＝2，所以2q 3＋2q 4＝12q 2，即q 2＋q －6＝0，所以q ＝2，则a 5＝2×23＝16.7．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF ，若AE →·AF→＝1，则λ的值为( ) A ．3 B ．2 C ．32 D ．52 答案 B解析 由题意可得AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·(AD→＋DF →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →＋1λAB →＝1λAB →2＋13BC →2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13λ＋1AB →·BC →，且AB →2＝BC →2＝4，AB →·BC →＝2×2×cos120°＝－2，故4λ＋43＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13λ＋1×(－2)＝1，解得λ＝2. 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，3sin A cos C ＋(3sin C ＋b )cos A ＝0，则角A ＝( )A.2π3 B.π3 C.π6 D.5π6 答案 D解析 ∵a ＝1，3sin A cos C ＋(3sin C ＋b )cos A ＝0， ∴3sin A cos C ＋3sin C cos A ＝－b cos A ， ∴3sin(A ＋C )＝3sin B ＝－b cos A ， ∴3a sin B ＝－b cos A ，由正弦定理可得3sin A sin B ＝－sin B cos A ， ∵sin B >0，∴3sin A ＝－cos A ，即tan A ＝－33，∵A ∈(0，π)，∴A ＝5π6.9．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f (x )＝x 4|4x－1|的图象大致是( )答案 D解析 因为函数f (x )＝x 4|4x －1|，f (－x )＝(－x )4|4－x －1|＝x 4|4－x －1|≠f (x )，所以函数f (x )不是偶函数，图象不关于y 轴对称，故排除A ，B ；又因为f (3)＝97，f (4)＝256255，所以f (3)>f (4)，而C 在x >0时是递增的，故排除C.10．在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( )A ．AC ＝BCB ．AB ＝AC C ．∠ABC ＝π2 D ．∠BAC ＝π2答案 A解析 (直接法)由题意，以点A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，取B (4,0)，则P 0(3,0)，设P (a,0)(a ∈[0,4])，C (x 0，y 0)，则PB →＝(4－a,0)，PC →＝(x 0－a ，y 0)，P 0B →＝(1,0)，P 0C →＝(x 0－3，y 0)，则(4－a )(x 0－a )≥x 0－3，即a 2－(4＋x 0)a ＋3x 0＋3≥0恒成立，所以Δ＝[－(4＋x 0)]2－4(3x 0＋3)≤0，即(x 0－2)2≤0，解得x 0＝2，则易知点C 在边AB 的垂直平分线上，所以AC ＝BC ，故选A.11．在正三角形ABC 内任取一点P ，则点P 到A ，B ，C 的距离都大于该三角形边长一半的概率为( )A ．1－3π6B ．1－3π12C ．1－3π9 D ．1－3π18答案 A解析 满足条件的正三角形ABC 如图所示．设边长为2，其中正三角形ABC 的面积S △ABC ＝34×4＝ 3.满足到正三角形ABC 的顶点A ，B ，C 的距离至少有一个小于等于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆，则S 阴影＝π2，则使取到的点到三个顶点A ，B ，C 的距离都大于1的概率P ＝1－3π6，故选A.12．若存在m ，使得关于x 的方程x ＋a (2x ＋2m －4e x )·[ln (x ＋m )－ln x ]＝0成立，其中e 为自然对数的底数，则非零实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12e C ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12e ，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12e ，＋∞ 答案 C解析 由题意得－12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m x －2e ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m x ＝(t －2e)ln t ⎝ ⎛⎭⎪⎫这里t ＝m x ＋1>0，令f (t )＝(t －2e)ln t (t ＞0)，则f ′(t )＝ln t ＋1－2et ，令h (t )＝f ′(t )，则h ′(t )＝1t ＋2et 2＞0，∴h (t )为增函数，即f ′(t )为增函数． 当t ＞e 时，f ′(t )＞f ′(e)＝0， 当0＜t ＜e 时，f ′(t )＜f ′(e)＝0，∴f (t )≥f (e)＝－e ，且当t →0时，f (t )→＋∞， ∴－12a ≥－e ，解得a ＜0或a ≥12e ，故选C.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝yx －3的最小值是________．答案 －2解析 画出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示(含边界)，联立⎩⎨⎧x －2y ＋2＝0，x －y ＝0，解得A (2,2)，z ＝yx －3的几何意义为可行域内的点与定点P (3,0)的连线的斜率． ∵k P A ＝2－02－3＝－2，∴z ＝yx －3的最小值是－2. 14．已知三棱锥P －ABC 内接于球O ，P A ＝PB ＝PC ＝2，当三棱锥P －ABC 的三个侧面的面积之和最大时，球O 的表面积为________．答案 12π解析 由于三条侧棱相等，根据三角形面积公式可知，当P A ，PB ，PC 两两垂直时，侧面积之和最大．此时P A ，PB ，PC 可看成正方体一个顶点处的三条侧棱，其外接球直径为正方体的体对角线，即4R 2＝3×22＝12，故球的表面积为4πR 2＝12π.15．已知△ABC 的三个顶点的坐标为A (0,1)，B (1,0)，C (0，－2)，O 为坐标原点，动点M 满足|CM→|＝1，则|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是________． 答案2＋1解析 设点M 的坐标是(x ，y )， ∵C (0，－2)，且|CM→|＝1，∴x 2＋(y ＋2)2＝1，x 2＋(y ＋2)2＝1，则点M 的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．∵A (0,1)，B (1,0)，∴OA→＋OB →＋OM →＝(x ＋1，y ＋1)，则|OA→＋OB →＋OM →|＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2，其几何意义表示圆x 2＋(y ＋2)2＝1上的点与点P (－1，－1)间的距离．又点P (－1，－1)在圆C 的外部， ∴|OA →＋OB →＋OM →|max ＝|PC →|＋1 ＝(0＋1)2＋(－2＋1)2＋1 ＝2＋1.16．函数y ＝f (x )的定义域为D ，若∀x ∈D ，∃a ∈[1,2]，使得f (x )≥ax 恒成立，则称函数y ＝f (x )具有性质P ，现有如下函数：①f (x )＝e x －1；②f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1(x ≤0)；③f (x )＝⎩⎨⎧ln (1－x )，x <0，(x －1)3＋1，x ≥0.则具有性质P 的函数f (x )为________．(填序号) 答案 ①②解析 ①设φ(x )＝e x －1－x (x ∈R )，则 φ′(x )＝e x －1－1.当x >1时，φ′(x )>0；当x <1时，φ′(x )<0. ∴φ(x )min ＝φ(1)＝0，所以e x －1－x ≥0，e x －1≥x ，故∃a ＝1，使f (x )≥ax 在R 上恒成立，①中函数f (x )具有性质P ；②易知f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝sin2x (x ≤0)．令φ(x )＝f (x )－2x ＝sin2x －2x (x ≤0)， 则φ′(x )＝2cos2x －2.∴φ′(x )≤0，∴φ(x )在(－∞，0]上是减函数， ∴φ(x )min ＝φ(0)＝0，故f (x )≥2x 恒成立． ∴∃a ＝2，使得f (x )≥ax 在(－∞，0]上恒成立， ②中函数f (x )具有性质P ；③作函数y ＝f (x )与直线y ＝ax 的图象，显然当y ＝ax 过点O (0,0)，A (1,1)，B (2,2)时，斜率a ＝1.根据图象知，不存在a ∈[1,2]，使f (x )≥ax 恒成立． 因此③中函数f (x )不具有性质P . 综上可知，具有性质P 的函数为①②.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知锐角△ABC 面积为S ，角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，角A ，C 的平分线相交于点O ，b ＝23且S ＝34(a 2＋c 2－b 2)，求：(1)角B 的大小； (2)△AOC 周长的最大值．解 (1)∵S ＝34(a 2＋c 2－b 2)， ∴12ac sin B ＝34(a 2＋c 2－b 2)， 故12ac sin B ＝34×2ac cos B ⇒tan B ＝3⇒B ＝π3.(2)设△AOC 的周长为l ，∠OAC ＝α，则α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，π4，∵OA ，OC 分别是角A ，C 的平分线，B ＝π3，∴∠AOC ＝2π3.由正弦定理，得OA sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝OC sin α＝23sin 2π3， ∴l ＝4sin α＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋23＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋23，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，π4，∴α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，7π12， 当α＝π6时，△AOC 周长的最大值为4＋2 3. 18．(本小题满分12分)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到P (C )的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．解 (1)由已知得0.70＝a ＋0.20＋0.15，故a ＝0.35.b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05，乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PC＝AD＝CD＝12AB＝2，AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD.(1)求证：BC⊥平面P AC；(2)若M为线段P A的中点，且过C，D，M三点的平面与线段PB交于点N，确定点N的位置，说明理由；并求三棱锥A－CMN的高．解(1)证明：在直角梯形ABCD中，AC＝AD2＋DC2＝22，BC＝(AB－CD)2＋AD2＝22，所以AC2＋BC2＝AB2，即AC⊥BC.又PC⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PC⊥BC，又AC∩PC＝C，AC，PC⊂平面P AC，故BC⊥平面P AC.(2)N为PB的中点，如图，连接MN，CN.因为M为P A的中点，N为PB的中点，所以MN∥AB，且MN＝12AB＝2.又因为AB∥CD，所以MN∥CD，所以M，N，C，D四点共面，所以N 为过C ，D ，M 三点的平面与线段PB 的交点．因为BC ⊥平面P AC ，N 为PB 的中点，所以点N 到平面P AC 的距离d ＝12BC ＝ 2.又S △ACM ＝12S △ACP ＝12×12×AC ×PC ＝2，所以V 三棱锥N －ACM ＝13×2×2＝23.由题意可知，在Rt △PCA 中，P A ＝AC 2＋PC 2＝23，CM ＝3，在Rt △PCB 中，PB ＝BC 2＋PC 2＝23，CN ＝3，所以S △CMN ＝12×2×2＝ 2.设三棱锥A －CMN 的高为h ，V 三棱锥N －ACM ＝V 三棱锥A －CMN ＝13×2×h ＝23，解得h ＝2，故三棱锥A －CMN 的高为 2.20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，离心率e ＝12，A 是椭圆的左顶点，F 是椭圆的左焦点，|AF |＝1，直线m ：x ＝－4.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 过点F 与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线P A ，QA 分别与直线m 交于M ，N 两点，试问：以MN 为直径的圆是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由．解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝12，a －c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1， 又∵a 2＝b 2＋c 2，∴b ＝3，故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 斜率存在时，设直线l ：y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线P A ：y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)． 令x ＝－4，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－2y 1x 1＋2，同理N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－2y 2x 2＋2. 则以MN 为直径的圆的方程为(x ＋4)(x ＋4)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋2y 1x 1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋2y 2x 2＋2＝0， 整理得，(x ＋4)2＋y 2＋2k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4y ＋4k 2x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝0①由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.② 将②代入①，整理得，x 2＋y 2＋8x －6k y ＋7＝0.令y ＝0，得x ＝－1或x ＝－7.当直线l 斜率不存在时，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32，M (－4，－3)，N (－4,3)， 以MN 为直径的圆为(x ＋4)2＋y 2＝9也过点(－1,0)，(－7,0)两点．综上，以MN 为直径的圆能过两定点(－1,0)，(－7,0)．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x x －12ax －b ，g (x )＝ax 2＋bx .(1)当a ＝2，b ＝－3时，求函数f (x )在x ＝e 处的切线方程，并求函数f (x )的最大值；(2)若函数y ＝f (x )的两个零点分别为x 1，x 2，且x 1≠x 2，求证：g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>1. 解 (1)当a ＝2，b ＝－3时，f (x )＝ln x x －x ＋3(x >0)，f ′(x )＝1－ln x －x 2x 2， 则f ′(e)＝－1，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，1e －e ＋3， 故函数f (x )在x ＝e 处的切线方程为x ＋y －1e －3＝0.令h (x )＝1－ln x －x 2，则h (x )＝1－ln x －x 2在(0，＋∞)是减函数，又h (1)＝0，∴x ∈(0,1)，h (x )>0，f ′(x )>0，x ∈(1，＋∞)，h (x )<0，f ′(x )<0， ∴f (x )在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．∴f (x )max ＝f (1)＝2.(2)证明：∵x 1，x 2是f (x )的两个零点，不妨设x 1<x 2，∴f (x 1)＝f (x 2)＝0.即ln x 1x 1－12ax 1－b ＝0，ln x 2x 2－12ax 2－b ＝0， ∴ln x 1－12ax 21－bx 1＝0，ln x 2－12ax 22－bx 2＝0，相减得ln x 1－ln x 2－12a (x 21－x 22)－b (x 1－x 2)＝0⇒ln x 1x 2x 1－x 2－12a (x 1＋x 2)－b ＝0⇒(x 1＋x 2)ln x 1x 2x 1－x 2－12a ·(x 1＋x 2)2－b (x 1＋x 2)＝0⇒(x 1＋x 2)ln x 1x 22(x 1－x 2)－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝0. ∴(x 1＋x 2)ln x 1x 22(x 1－x 2)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22⇒g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝(x 1＋x 2)ln x 1x 22(x 1－x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＋1ln x 1x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1， 令t ＝x 1x 2，即证0<t <1时，(t ＋1)ln t 2(t －1)>1， (t ＋1)ln t 2(t －1)>1⇔ln t <2(t －1)t ＋1⇔ln t －2(t －1)t ＋1<0， 令m (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1，t ∈(0,1)， m ′(t )＝1t －4(t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2>0， ∴m (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1在(0,1)上是增函数， 又∵m (1)＝0，∴t ∈(0,1)时，m (t )<0，命题得证．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：x ＋y ＝1与曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)在极坐标系中，已知l ：θ＝α(ρ>0)与C 1，C 2的公共点分别为A ，B ，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，当|OB ||OA |＝4时，求α的值．解 (1)曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝1，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22. 曲线C 2的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(2)由(1)知，|OA |＝ρA ＝1cos α＋sin α，|OB |＝ρB ＝4cos α， ∴|OB ||OA |＝4cos α(cos α＋sin α)＝2(1＋cos2α＋sin2α)＝2＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4， ∵|OB ||OA |＝4，∴2＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝4， sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22， 由0<α<π2，知π4<2α＋π4<5π4，即2α＋π4＝3π4，∴α＝π4.23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x ＋2|－|2x －1|.(1)求f (x )>－5的解集；(2)若关于x 的不等式|b ＋2a |－|2b －a |≥|a |(|x ＋1|＋|x －m |)(a ≠0)能成立，求实数m 的取值范围．解 (1)f (x )＝|x ＋2|－|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －3，x <－2，3x ＋1，－2≤x ≤12，3－x ，x >12，故f (x )>－5的解集为(－2,8)．(2)由|b ＋2a |－|2b －a |≥|a |(|x ＋1|＋|x －m |)(a ≠0)能成立，得|b ＋2a |－|2b －a ||a |≥|x ＋1|＋|x －m |能成立， 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪2b a －1≥|x ＋1|＋|x －m |能成立， 令b a ＝t ，则|t ＋2|－|2t －1|≥|x ＋1|＋|x －m |能成立，由(1)知，|t＋2|－|2t－1|≤5 2，又∵|x＋1|＋|x－m|≥|1＋m|，∴|1＋m|≤52，∴实数m的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－72，32.。

2020届河北衡水中学新高考原创考前信息试卷（九）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合A＝{x|0＜x＜6}，B＝{x|x2+x﹣2＞0}，则A∪B＝（）A. {x|1＜x＜6}B. {x|x＜﹣2或x＞0}C. {x|2＜x＜6}D. {x|x＜﹣2或x＞1}【答案】B【解析】【分析】可以求出集合B，然后进行并集的运算即可．【详解】∵B＝{x|x＜﹣2或x＞1}，A＝{x|0＜x＜6}，∴A∪B＝{x|x＜﹣2或x＞0}．故选：B．【点睛】本题考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及并集的运算,是基础题2.若21iz i-=+，则z z +=（ ） A. 1-B. 1C. 3-D. 3【答案】B 【解析】 【分析】复数(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数是(i ,)z a b a b =-∈R ，复数除法运算是将分母实数化，即()()()()()22(,,,)c di a bi ac bd ad bc ic di a b cd R a bi a bi a bi a b +⋅-++-+==∈++⋅-+． 【详解】∵()()2113222i i z i --==-，∴1z z +=.【点睛】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力.3.0.50.4，0.40.5，0.5log 0.4的大小关系为( )A. 0.50.40.50.40.5log 0.4<<B. 0.40.50.50.50.4log 0.4<<C. 0.50.40.5log 0.40.40.5<<D. 0.40.50.5log 0.40.50.4<<【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用对数函数的单调性和特殊点，指数函数的单调性，判断0.40.5，0.50.4，log 0.50.4的大小关系．【详解】∵log 0.50.4＞log 0.50.5＝1，0.50.4＞0.50.5=0，1），0.40.5==∈（0，1），∴log 0.50.4＞0.50.4 ＞0.40.5 ， 故选：A ．【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性比较大小，考查逻辑推理的核心素养.4.若曲线()()sin 402y x ϕϕπ=+<<关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ϕ=（ ） A.23π或53πB.3π或43π C.56π或116π D.6π或76π【答案】A 【解析】 【分析】正弦函数sin y x =的对称中心是()(),0k k Z π∈，由“五点法”作图得，将12x π=代入．【详解】因为曲线()()sin 402y x ϕϕπ=+<<关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以()412k k Z πϕπ⨯+=∈，又02ϕπ<<，所以1k =时23ϕπ=，2k =时5=3ϕπ. 【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力.5.如图，AB 是圆O 的一条直径，C ，D 是半圆弧的两个三等分点，则AB =uu u r（ ）A. AC AD -u u u r u u u rB. 22AC AD -u u u r u u u rC. AD AC -u u u r u u u rD.22AD AC -u u u r u u u r【答案】D 【解析】 【分析】本题是用,AC AD u u u r u u u r 当基底向量，来表示AB u u u r，所以先在 ACD ∆中根据向量减法的三角形法则，用,AC AD u u u r u u u r 表示CD uuu r ，再探究CD uuu r 、AB u u u r的线性关系即可．【详解】因为C ，D 是半圆弧的两个三等分点，所以//CD AB ，且2AB CD =，所以()2222AB CD AD AC AD AC ==-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力与数形结合的数学方法.6.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC ∆中，512BC AC -=.根据这些信息，可得sin 234︒=（ ）125- B. 35+ C. 51+ D.45+ 【答案】C 【解析】 【分析】要求sin 234︒的值，需将角234︒用已知角表示出来，从而考虑用三角恒等变换公式解题．已知角有36︒，正五边形内角108︒，72ACB ∠=︒，已知三角函数值有1512cos724BCAC ︒==，所以234=272+90=144+90︒⨯︒︒︒︒，从而sin 234=cos144︒︒． 【详解】由题可知72ACB ∠=︒，且1512cos72BCAC -︒==，2cos1442cos 721︒=︒-=，则()1sin 234sin 14490cos1444︒=︒+︒=︒=-. 【点睛】本题考查三角恒等变换，考查解读信息与应用信息的能力.7.A ，B ，C 三人同时参加一场活动，活动前A ，B ，C 三人都把手机存放在了A 的包里.活动结束后B ，C 两人去拿手机，发现三人手机外观看上去都一样，于是这两人每人随机拿出一部，则这两人中只有一人拿到自己手机的概率是( ) A.12B.13C.23D.16【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概型结合列举法代入公式即可；【详解】设A ，B ，C 三人的手机分别为A '，B '，C '，则B ，C 两人拿到的手机的可能情况为(),B A C B ''--，(),B A C C ''--，(),B B C A ''--，(),B B C C ''--，(),B C C A ''--，(),B C C B ''--，共六种.这两人中只有一人拿到自己手机的情况有(),B A C C ''--，(),B B C A ''--，共两种， 故所求概率为2163=. 故选：B【点睛】本题考查古典概型，考查应用意识以及枚举法的运用.8.如图，圆C 的部分圆弧在如图所示的网格纸上（小正方形的边长为1），图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点，若圆C 经过点()2,15A ，则圆C 的半径为（ ）A. 2B. 8C. 2D. 10【答案】A 【解析】 【分析】题中的网格，相当于给出了点的坐标，由此可求出直线的方程、切点的坐标；要求圆的半径，可考虑求出圆心坐标，这样圆心与点A 之间的距离即是半径．【详解】由图可知，直线与圆C 切于点()2,1，即圆C 经过点()2,1，又圆C 经过点()2,15，所以圆C 的圆心在直线8y =上.又直线过点()()0,33,0，，所以直线的斜率30103k -==--， 因为直线与圆C 切于点()2,1，所以圆心在直线()1121y x --=--，即10x y --=上.联立8,10,y x y =⎧⎨--=⎩得圆C 的圆心为()9,8，则圆C ()()22928172-+-=.【点睛】本题考查直线与圆，考查数形结合的数学方法.圆心的性质：圆心在弦的垂直平分线上；圆心与切点的连线与切线垂直（121k k ?-）．9.为了配平化学方程式22232aFeS bO cFe O dSO +=+，某人设计了一个如图所示的程序框图，则输出的a ，b ，c ，d 满足的一个关系式为（ ）A. a +b ﹣c ﹣d ＝2B. a +b ﹣c ﹣d ＝3C. a +b ﹣c ﹣d ＝4D. a +b ﹣c ﹣d ＝5【答案】D 【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a ，b ，c ，d 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】模拟程序的运行，可得c ＝1，a ＝2，d ＝4，b 112=， 不满足条件b ∈N ，执行循环体，c ＝2，a ＝4，d ＝8，b ＝11此时，满足条件b ∈N ，退出循环，输出a 的值为4，b 的值为11，c 的值为2，d 的值为8 可得a +b ﹣c ﹣d ＝4+11﹣2﹣8＝5． 故选：D ．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10.设a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边.已知5b =2c =，且sin 2cos cos 2cos cos a A b A C c A B =+，则a =( )A. 1B. 2 5 5【答案】D 【解析】【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式，同角三角函数基本关系式化简已知可得cos A 的值，进而根据余弦定理可求a 的值． 【详解】∵a sin A ＝2b cos A cos C +2c cos A cos B ，∴由正弦定理可得：sin 2A ＝2sin B cos A cos C +2sin C cos A cos B ，可得sin 2A ＝2cos A （sinB cosC +sin C cos B ）＝2cos A sin （B +C ）＝2cos A sin A ， ∵A ∈（0，π），sin A ≠0，∴sin A ＝2cos A ，即tan A ＝2，cos A ==，∵b =c ＝2，∴由余弦定理可得a ===． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．11.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为1AA ，BC ，11C D 的中点，现有下面三个结论：①EFG ∆为正三角形；②异面直线1A G 与1C F 所成角为60︒；③//AC 平面EFG .其中所有正确结论的编号是（ ） A. ① B. ②③C. ①②D. ①③【答案】D 【解析】 【分析】①计算出三边是否相等；②平移1A G 与1C F ，使得它们的平行线交于一点，解三角形求角的大小；③探究平面EFG 内是否有与AC 平行的直线．【详解】易证EFG ∆的三边相等，所以它是正三角形.平面EFG 截正方体所得截面为正六边形，且该截面与1CC 的交点为1CC 的中点N ， 易证//AC EN ，从而//AC 平面EFG .取11A B 的中点H ，连接1C H ，FH ，则11//AG C H ，易知11C H C F HF =≠， 所以1C H 与1C F 所成角不可能是60︒，从而异面直线1A G 与1C F 所成角不是60︒. 故①③正确.【点睛】本题考查点、线、面的位置关系，考查直观想象与数学运算的核心素养.12.已知函数()39f x x x =-，()()()10g x ff x =-，则()g x 的零点个数为( )A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B 【解析】 【分析】利用复合函数的性质，转化为新的方程x 3﹣9x ＝10或13或7的解的问题，然后转化为交点问题即可得答案．【详解】根据题意得，若函数f （x ）＝x 3﹣9x ＝0⇒x （x 2﹣9）＝0，解得x ＝0或±3； 令g （x ）＝f （f （x ）﹣10）＝0⇒f （x ）﹣10＝0或±3，即x 3﹣9x ＝10或13或7； ∵f （x ）＝x 3﹣9x ，∴f ′（x ）＝3x 2﹣9＝3（x 2﹣3）；令f ′（x ）＝0⇒x 3；令f ′（x ）＞0⇒x 3＜或x 3＞令f ′（x ）＜0⇒33x -＜＜ 且f （3）63=f 363 画出函数f （x ）草图为：通过图象可以发现：x 2﹣9x ＝10或13或7共有7个解， 故函数g （x ）有7个零点． 故选：B ．【点睛】本题考查了函数的单调性，导数的应用，函数的零点，复合函数的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.若函数()22,1,21,1,x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩则()()0f f =______.【答案】5 【解析】 【分析】根据分段函数f （x ）的解析式，求出f （0）以及f （f （0））的值即可． 【详解】()03,f =∴Q ()()()035f f f ==.故答案为5【点睛】本题考查了利用分段函数的解析式求函数值的应用问题，是基础题．14.已知x ，y 满足不等式组20200x y x y x -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为________.【答案】6 【解析】 【分析】利用约束条件得到可行域，可知当2z y x =-取最大值时，122zy x =+在y 轴截距最大；由直线12y x =平移可知过A 时截距最大，代入A 点坐标求得结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：当2z y x =-取最大值时，122zy x =+在y 轴截距最大 由直线12y x =平移可知，当122z y x =+过点A 时，截距最大由2020x y x y -+=⎧⎨-=⎩得：()2,4A max 2426z ∴=⨯-= 本题正确结果：6【点睛】本题考查线性规划中的最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在y 轴的截距最值的求解问题，属于常考题型.15.在四棱锥P ABCD -中，PD AC ⊥，AB ⊥平面PAD ，底面ABCD 为正方形，且3CD PD +=，若四棱锥P ABCD -的每个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积的最小值为_____. 【答案】6π 【解析】 【分析】由题得PD ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -可补形成一个长方体，球O 的球心为PB 的中点，利用对角线为直径求解最值即可【详解】∵AB ⊥平面PAD ，∴AB PD ⊥，又PD AC ⊥，∴PD ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -可补形成一个长方体，球O 的球心为PB 的中点， 设()03CD x x =<<，则3PD x =-.从而球O 的表面积为()2243126x πππ⎡⎤=-+≥⎣⎦⎝⎭.故答案为6π【点睛】本题考查球体的表面积，考查函数与方程的数学思想以及直观想象的数学核心素养.16.已知函数f (x )＝212121x x a x a a x ⎧≤⎪⎨⎪⎩＋－，－，＞，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________． 【答案】1<a ≤2 【解析】【详解】因为f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以y=a x－a 递增， 得12＋12a －2≤0，则a ≤2， 又a x －a 是增函数，故a ＞1，所以a 的取值范围为1＜a ≤2.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C =.（1）求b 的值； （2）若4B π=，S 为ABC ∆的面积，求S 的最大值.【答案】（1）4b =（2）4+ 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理将已知等式化为22222a c b -=，与222a c b -=联立可求得b ；（2）利用余弦定理可求得2216a c +=，与222a c b -=联立可求得,a c的关系，代入222a c b -=可求得2c ；利用三角形面积公式可求得S ；由于满足条件的三角形只有一个，可知所求的S 即为最大值.【详解】（1）由sin cos 3cos sin A C A C =得：222222322a b c b c a a c ab bc+-+-⋅=⋅整理可得：22222a c b -=，又222a c b -=24b b ∴=，解得：4b =（2）由余弦定理得：222222cos 16b a c ac b a c =+-=+=2222168a c a c ⎧+-=⎪∴⎨-=⎪⎩，解得：a =2222162a c c ⎛⎫∴-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，解得：212c =+211sin 42222S ac B c ∴==⨯⨯=+ Q 只有一个三角形满足条件max 4S ∴=+【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形的问题，关键是能够通过正余弦定理化简已知等式，将等式变为三边之间的关系；易错点是在求解面积最大值时，忽略满足题意的三角形有且仅有一个，采用常规基本不等式的方式求解最值，造成求解错误.18.在中老年人群体中，肠胃病是一种高发性疾病某医学小组为了解肠胃病与运动之间的联系，调查了50位中老年人每周运动的总时长（单位：小时），将数据分成[0，4），[4，8），[8，14），[14，16），[16，20），[20，24]6组进行统计，并绘制出如图所示的柱形图．图中纵轴的数字表示对应区间的人数现规定：每周运动的总时长少于14小时为运动较少．每周运动的总时长不少于14小时为运动较多．（1）根据题意，完成下面的2×2列联表：有肠胃病无肠胃病总计运动较多运动较少总计（2）能否有99.9%的把握认为中老年人是否有肠胃病与运动有关？附：K2()()()()()2n ad bca b c d a c b d-=++++（n＝a+b+c+d）P（K2≥k）0.0.50 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828【答案】(1)列联表见解析； (2) 有99.9%的把握认为中老年人是否有肠胃病与运动有关【解析】【分析】（1）由柱形图计算得出对应数据，再填写列联表；（2）根据表中数据计算K2，对照数表得出结论．【详解】（1）由柱形图可知，有肠胃病的老年人中运动较少的人数为12+10+8=30， 运动较多的人数为2+1+1=4；无肠胃病的老年人中运动较少的人数为3+2+1=6， 运动较多的人数为2+4+4=10. 故2×2列联表如下： 有肠胃病 无肠胃病 总计 运动较多 4 10 14 运动较少 30 6 36 总计 341650（2）()225046301013.89210.82834161436K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.故有99.9%的把握认为中老年人是否有肠胃病与运动有关【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．19.如图，在五面体ABCDFE 中，侧面ABCD 是正方形，ABE ∆是等腰直角三角形，点O 是正方形ABCD 对角线的交点EA EB =，26AD EF ==且//EF AD .（1）证明：//OF 平面ABE ；（2）若侧面ABCD 与底面ABE 垂直，求五面体ABCDFE 的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）45. 【解析】 【分析】（1）取AB 的中点M ，连接OM 、EM ，证明四边形OFEM 为平行四边形，可得出//OF EM ，再利用直线与平面平行的判定定理可证明出//OF 平面ABE ；（2）取AD 的中点G ，BC 的中点H ，连接GH 、FG 、FH ，将五面体ABCDFE 分割为三棱柱ABE GHF -和四棱锥F CDGH -，证明出AD ⊥底面ABE 和OF ⊥平面ABCD ，然后利用柱体和锥体体积公式计算出两个简单几何体的体积，相加可得出五面体ABCDFE 的体积.【详解】（1）取AB 的中点M ，连接OM 、EM ，Q 侧面ABCD 为正方形，且AC BD O =I ，O ∴为AC 的中点，又M Q 为AB 的中点，//OM BC ∴且12OM BC =， //EF BC Q 且12EF BC =，//OM EF ∴，所以，四边形OFEM 为平行四边形，//OF EM ∴.OF ⊄Q 平面ABE ，EM ⊂平面ABE ，//OF ∴平面ABE ；（2）取AD 的中点G ，BC 的中点H ，连接GH 、FG 、FH ，Q 四边形ABCD 为正方形，AD AB ∴⊥.Q 平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD I 平面ABE AB =，AD ⊂平面ABCD ，AD ∴⊥底面ABE ，易知3EF =，32AE BE ==(213292ABES ∆=⨯=，9327ABE GHF ABE V S EF -∆=⋅=⨯=，M Q 为AB 中点，EA EB =，EM AB ∴⊥，AD ⊥Q 平面ABE ，EM ⊂平面ABE ，EM AD ∴⊥，AB AD A =Q I ，AB 、AD ⊂平面ABCD ，EM ∴⊥平面ABCD .//OF EM Q ，OF ∴⊥平面ABCD ，且3OF EM ==，1633183F CDGH V -∴=⨯⨯⨯=，因此，271845ABCDFE V =+=五面体【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，以及多面体体积的计算，在计算多面体体积时，一般有以下几种方法：（1）直接法；（2）等体积法；（3）割补法.在计算几何体体积时，要结合几何体的结构选择合适的方法进行计算，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知函数()()20xxf x e eax a -=++>.（1）求()f x 的单调区间； （2）若()36548a f x a -<<+对[],x a a ∈-恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1) ()f x 的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,∞+.(2) ()2,3ln 2 【解析】 【分析】（1）先求导，根据导数和函数单调性的关系即可求出，（2）由（1）先求出函数的最小值，可得f （x ）min ＝f （a ）＝f （﹣a ）＝e a +e ﹣a +a 3，则可得即2658a aa e e -⎧⎪⎨+⎪⎩＞＜，即可求出a 的范围． 【详解】（1）()2xxf x e eax -'=-+因为0a >，所以()f x '为增函数 又()00f '=，所以当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>.所以()f x 的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,∞+. （2）由（1）可知，()f x 在[),0a -上单调递减，在(]0,a 上单调递增， 所以()()min 02f x f ==又()f x 为偶函数，所以()()()3max aaf x f a f a e ea -==-=++.因为()36548a f x a -<<+对[],x a a ∈-恒成立， 所以3342,65,8a a a e e a a --<⎧⎪⎨++<+⎪⎩即2,65.8a a a e e ->⎧⎪⎨+<⎪⎩令()1ae t t =>，则265186580888a ae e t t t -+<⇔-+<⇔<<， 因为1t >，所以03ln 2a <<， 所以a 的取值范围为()2,3ln 2.【点睛】本题考查导数的运用：求单调性和最值，考查转化思想方法，以及构造函数法，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题．21.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a 、b 、c ，且为sin cos c C c B =-. （1）求角B 的大小；（2）若b =ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）3B π=（2）【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合辅助角公式可整理得1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，根据角所处的范围可求得66B ππ-=，求得B ；（2）利用余弦定理构造等式，结合基本不等式可求得ac 的最大值，代入三角形面积公式可求得结果.【详解】（1）由sin cos c C c B =-及正弦定理可得：sin sin sin cos C B C C B =-()0,C π∈Qsin 0C ∴≠ cos 1B B -=，即：1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭()0,B π∈Q 5,666B πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭66B ππ∴-=，解得：3B π= （2）由余弦定理得：222222cos 12b a c ac B a c ac =+-=+-=22122a c ac ac ac ac ∴=+-≥-=（当且仅当a c =时取等号）11sin 12sin 223ABC S ac B π∆∴=≤⨯=，即ABC ∆面积的最大值为【点睛】本题考查解三角形相关知识，涉及到利用正弦定理进行边角互化、利用余弦定理和基本不等式求解三角形面积的最大值的问题，属于常考题型.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M 的极坐标方程为2sin 23202πρθθ⎛⎫=<<⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知β为锐角，直线():l R θβρ=∈与曲线C 的交点为A （异于极点），l 与曲线M 的交点为B，若OA OB ⋅=，求l 的直角坐标方程. 【答案】(1) 4sin ρθ= ；(2) 2y x = 【解析】 【分析】(1)先消去参数α，得到曲线C 的普通方程，再化成极坐标方程；(2)由题意知，直线l 是过原点的，所以求出l 的斜率k 或tan β的值即可写出l 的方程. 【详解】解：（1）由题意知曲线C 的直角坐标方程为()2224x y +-=，即224x y y +=， 所以24sin ρρθ=，即4sin ρθ=，故曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（2）因为曲线M 的极坐标方程为2sin 23202πρθθ⎛⎫=<<⎪⎝⎭，所以ρ=将θβ=代入，得OB =因为曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，所以4sin OA β=所以OA OB ⋅===则tan 2β=，故l 的直角坐标方程为2y x =【点睛】设P 为平面上一点，其直角坐标为(),x y ，极坐标为(),ρθ，则cos x ρθ=，sin y ρθ=，()222+x y OP ρρ==，()tan 0yx xθ=≠．23.已知a ，b ，c 为正数，且满足3a b c ++=.（13. （2）证明：9412ab bc ac abc ++≥. 【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析； 【解析】 【分析】(1)用均值定理直接证明；(2) 用分析法证明．【详解】证明：（1）因为a ，b 为正数，所以a b +≥，同理可得b c +≥，a c +≥，所以()2a b c ++≥ 当且仅当1a b c ===时，等号成立3≤.（2）要证9412ab bc ac abc ++≥，只需证14912a b c++≥ 即证()14936a b c a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭， 即证499414936a b a c b c b a c a c b++++++++≥， 即证499422a b a c b c b a c a c b +++++≥.因为44a b b a +≥=，96a c c a +≥=，9412b c c b +≥=， 所以499422a b a c b c b a c a c b+++++≥，当且仅当12a=，1b=，32c=时，等号成立，从而9412ab bc ac abc++≥得证.【点睛】证明不等式常用的方法：综合法，分析法．综合法：从已知条件、不等式的性质和基本不等式出发，通过逻辑推理，推导出所要证明的结论．分析法：将待证明的不等式进行恒等变形，从而探寻证明的突破口．。