河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试数学试题附答案

2021年河北省衡水中学高考数学第二次联考试卷（文科）（全国Ⅰ）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|x2−2x≤0}，集合B满足A∪B=A，则B可以为()A. {x|x≤2}B. {x|−1≤x≤2}C. {1,2}D. {−1,0，1，2}2.设复数z=|√3+i|−i2021，则在复平面内z对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.“直播电商”已经成为当前经济发展的新增长点，某电商平台的直播间主要经营食品和服装两大类商品，2020年前三个季度，该直播间每个季度的收入都比上一季度翻了一番，整理前三季度的收入情况如图所示，则下列说法错误的是()A. 该直播间第三季度的总收入是第一季度的4倍B. 该直播间第三季度的服装收入比第一季度和第二季度的服装总收入还要多C. 该直播间第二季度的食品收入是第三季度食品收入的13D. 该直播间第一季度的食品收入是第三季度食品收入的164.函数f(x)=x的图象大致为()ln|x|A.B.C.D.5. 已知函数f(x)=sinx −x ，设a =f(π0.1)，b =f(0.1π)，c =f(log 0.1π)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a >b >cB. b >c >aC. c >b >aD. b >a >c6. 在钝角三角形ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3)，|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，S △ABC =√32，点D 为BC 的中点，则|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) A. √72B. √52C. √32D. 127. 已知函数f(x)=me x−2+n 的图象恒过点(2,1)，若对于任意的正数m ，n ，不等式1m+4n ≥A 恒成立，则实数A 的最大值为( ) A. 9 B. 3+2√2 C. 7D. 4√28. 设抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，倾斜角为θ(0<θ<π2)的直线l 经过抛物线的焦点F ，且与抛物线相交于M ，N 两点，若FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2FN 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则sin2θ=( )A. 2√23B. 13C. √24D. 4√299. 若各项均为正数的数列{a n }满足a n+1=4a n ，a 1a 5=256，则使得不等式4n <133(1+√a 1+√a 2+⋯+√a n )成立的最大正整数n 的值为( )A. 5B. 6C. 7D. 810. 在平面内，A ，C 是两个定点，B 是动点，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则△ABC 的内角A 的最大值为( )A. π6B. π4C. π3D. π211. 已知函数f(x)={−2x 2+4x,0≤x ≤2,12f(x +2),x <0,若函数g(x)=f(x)−kx +k 在区间[−2,1]上有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是( )A. (−4−2√3,0)B. (−1,0)C. (−4+2√3,0)D. (−12,0)12.在△ABC中，AC=2√3，顶点B在以AC为直径的圆上，点P在平面ABC上的射影为AC的中点，PA=2，则其外接球的表面积为()A. 12πB. 163π C. 94π D. 16π二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若某几何体的三视图如图所示、则该几何体的体积为______ ．14.从古至今，文学与数学都有着密切的联系.一首诗从末尾一字读至开头一字另成一首新诗，称之为“通体回文诗”，数学中也有类似的情况：对一个整数n(n>10)从左向右和从右向左读其结果都是质数，可以称它为“通体质数”.若在闭区间[10,30]中，任取一个整数，则此整数是“通体质数”的概率为______ ．15.对于双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)来说，我们定义圆x2+y2=a2为它的“伴随圆”.过双曲线x2a2−4y29=1(a>0)的左焦点F1作它的伴随圆的一条切线，设切点为T，且这条切线与双曲线的右支相交于点P，若M为PF1的中点，M在T右侧，且|MO|−|MT|为定值12，则该双曲线的离心率为______ ．16.已知函数f(x)=sin2x+sin(2x+π3)+a同时满足下述性质：①若对于任意的x1，x2，x3∈[0,π4]，f(x1)+f(x2)≥f(x3)恒成立；②f(π6)≤√3−a2，则a的值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}是递增的等差数列，a1=12，且满足a4是a2与a8的等比中项．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和．(2)求数列{1a n a n+118.如图，DA⊥平面ABC，DA=AC=1，O是AB的中点，△ACO为等边三角形．(1)证明：平面ACD⊥平面BCE；(2)若AD//BE，P为CE的中点，Q为线段OP上的动点，判断三棱锥QACD的体积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由．19.电子烟是一种模仿卷烟的电子产品.有害公共健康.为研究吸食电子烟是否会引发肺部疾病，某医疗机构随机抽取了100人进行调查，吸电子烟与不吸电子烟的比例为1：3，整理数据得到如表：感染肺部疾病未感染肺部疾病总计吸电子烟15不吸电子烟50总计(1)完成2×2列联表，在犯错误的概率不超过5%的前提下，能否认为吸食电子烟与感染肺部疾病有关？(2)为进一步调查分析电子烟中诱发肺部疾病的成分因素，在感染肺部疾病的被调查人中，按照吸电子烟和不吸电子烟这两大类别，采用分层抽样的方法抽取8人，从这8个人中任取2人进行血液、痰液等相关医学检查v求这两个人来自同一类别的概率．，其中n=a+b+c+d．参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.已知函数f(x)=sinx−ae x−1(a∈R)．(1)定义f(x)的导函数为f(1)(x)，f(1)(x)的导函数为f(2)(x)，……以此类推，若)的单调区间；f(2020)(1)=sin1，求函数f(2x+π3(2)若a≥1，x≥0，证明：f(x)<0．21.已知圆M：(x−√6)2+y2=32，点Q是圆M上的一个动点，点N(−√6,0)，若线段QN的垂直平分线交线段QM于点T．(1)求动点T的轨迹曲线C的方程；(2)设O是坐标原点，点P(2,1)，点R(异于原点)是曲线C内部且位于y轴上的一个动点，点S与点R关于原点对称，直线PR，PS分别与曲线C交于A，B(异于点P)两点，判断直线AB是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，说明理由．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=mt 2y=mt，(m≠0,t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=√22．(1)求直线l的直角坐标方程；(2)若直线l经过曲线C的焦点T，且与曲绒C交于M，N两点，求|TM|⋅|TN|．23.已知函数f(x)=|x−1|．(1)求不等式f(x)−f(2x+4)≤1的解集；(2)当x<−1时，f(ax)+f(−x)+x>0恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，集合B满足A∪B=A，∴B⊆A，∴B可以为{1,2}．故选：C．求出集合A，由集合B满足A∪B=A，得B⊆A，由此能求出集合B．本题考查集合的运算，考查并集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵i4=1，i2021=(i4)505⋅i=i，|√3+i|=√(√3)2+12=2，复数z=|√3+i|−i2021=2−i，则在复平面内z对应的点(2,−1)位于第四象限，故选：D．由i4=1，可得i2021=(i4)505⋅i=i，再利用几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查统计图的应用，属基础题．依题意，根据统计图的数据，逐个选项判断即可．【解答】解：设第一季度的总收入为a，则由题意可知，第二季度的总收人为2a，第三季度的总收入为4a，故A正确；由图可知，该直播间第三季度的服装收人为4a×0.7=2.8a，第一季度和第二季度的服装总收入为a×0.9+2a×0.8=2.5a<2.8a，故B正确；该直播间第二季度的食品收入为2a×0.2=0.4a，第三季度的食品收入为4a×0.3=1.2a；0.4a1.2a =13，故C正确；而第一季度的食品收人是0.1a，不满足是第三能度食品收入的16.故D错误．故选D．4.【答案】B【解析】解：函数的定义域为{x|x≠0且x≠±1}，f(−x)=−xln|−x|=−xln|x|=−f(x)，则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除A，当x→+∞，f(x)→+∞，排除D，当x=e时，f(e)=elne=e<5，排除C，故选：B．先求出函数的定义域，判断函数是奇函数，利用极限思想以及f(e)的值利用排除法进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，以及函数值的符号，利用极限思想以及排除法是解决本题的关键，是基础题．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查利用指数函数、对数函数性质比较大小，考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．由题意得f′(x)≤0，可得f(x)在定义域上单调递减，比较π0.1，0.1π，log0.1π大小即可得a，b，c的大小关系．【解答】解：由题意得f′(x)=cosx−1≤0，所以f(x)在定义域上单调递减．因为π0.1>π0=1，0<0.1π<0.10=1，log0.1π<0，所以π0.1>0.1π>log0.1π，即c>b>a．故选C．6.【答案】C【解析】解：如图，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,S △ABC =√32， ∴12|AB⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅sin∠BAC =sin∠BAC =√32，∴cos∠BAC =±12，若cos∠BAC =12，则：|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4−2×2×1×12=3，∴∠B =90°，△ABC 是直角三角形，与已知△ABC 是钝角三角形矛盾， ∴cos∠BAC =−12，∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=12⋅√4+1−2×2×1×12=√32． 故选：C ．可画出图形，可求出|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，根据S △ABC =√32即可求出sin∠BAC =√32，从而得出cos∠BAC =±12，然后根据△ABC 为钝角三角形可得出cos∠BAC =−12，然后根据|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2，进行数量积的运算即可求出|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值． 本题考查了向量减法和数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，向量长度的求法，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：可令x −2=0，即x =2，可得f(2)=m +n =1， 由m >0，n >0，可得1m+4n=(m +n)(1m+4n)=1+4+n m+4m n≥5+2√n m⋅4m n=9，当且仅当n =2m =23时取得等号， 则A ≤9，可得A 的最大值为9． 故选：A ．可令x −2=0，求得m +n =1，再由乘1法和基本不等式求得1m +4n 的最小值，由不等式恒成立思想得到A 的最大值．本题考查不等式恒成立问题解法，以及基本不等式的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：因为抛物线y 2=2px(p >0)， 所以焦点F(p2,0)，设过焦点F ，倾斜角为θ的直线方程为y =k(x −p2)，k =tanθ，(0<θ<π2)， 设M 点坐标为(x 1,y 1)，N 点坐标为(x 2,y 2)， 与抛物线联立得k 2x 2−(2p +pk 2)x +p 2k 24=0，所以x 1+x 2=2p+pk 2k 2，x 1x 2=p 24，因为FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2|FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2， 所以|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos180°=−2|FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2 所以|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | 所以x 1+p2=2(x 2+p2)，即x 1=2x 2+p2， 两边加x 2可得，x 1+x 2=3x 2+p2， 又因为x 1+x 2=2p+pk 2k 2，所以2p+pk 2k 2=3x 2+p2，解得x 2=pk 2+4p 6k 2，又因为x 1x 2=p 24，所以(2x 2+p2)x 2=p 24，所以2x 22+p2⋅x 2=p 24，所以2(pk 2+4p 6k 2)2+p 2⋅(pk 2+4p 6k 2)=p 24，所以k 4−7k 2−8=0， 解得k 2=8或k 2=−1(舍)， 又因为k >0， 所以k =tanθ=2√2，所以sin2θ=2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=2tanθtan 2θ+1=4√29．故选：D ．根据题意设M 点坐标为(x 1,y 1)，N 点坐标为(x 2,y 2)，直线方程为y =k(x −p2)，k =tanθ，(0<θ<π2)，与抛物线联立，结合韦达定理可得x 1+x 2=2p+pk 2k2，x 1x 2=p24，由于FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2|FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2，推出|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos180°=−2|FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2，即x 1=2x 2+p2，即可解得k ，tanθ，再计算sin2θ即可得出答案．本题考查抛物线的方程，直线与抛物线相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：各项均为正数的数列{a n }满足a n+1=4a n ，可得a n+1a n=4，则数列{a n }是公比为4的等比数列，又a 1a 5=256，∴a 12q 4=256，即a 1=1，∴a n =4n−1=(2n−1)2，可得√a n =2n−1，由不等式4n <133(1+√a 1+√a 2+⋯+√a n )成立， 得4n <133(1+20+21+22+⋯+2n−1)=133(1+1−2n1−2)=133×2n ， ∴2n <133<28，即n <8，可得最大正整数n 的值为7． 故选：C ．由已知可得数列{a n }是公比为4的等比数列，再由已知求得公比，得到数列通项公式，然后利用等比数列的前n 项和公式求1+√a 1+√a 2+⋯+√a n ，代入已知不等式求得n 的范围，可得最大正整数n 的值．本题考查等比数列的通项公式及前n 项和，考查指数不等式的解法，是中档题．10.【答案】A【解析】解：根据题意，设CD 的中点为E ，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ， 则|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3r ，|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2r ，CD 的中点为E ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即有|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |，又由|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ， 则点B 在以E 为圆心，CD 为直径即半径为r 的圆上， 连接AB ，当AB 与圆E 相切时，∠A 最大，当AB 与圆相切时，BE =r ，AE =2r ，∠EBA =π2，则A =π6，故内角A 的最大值为π6， 故选：A ．根据题意，设CD 的中点为E ，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ，由向量加法的性质可得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即有|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |，进而可得|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ，则点B 在以E 为圆心，CD 为直径即半径为r 的圆上，分析可得当AB 与圆相切时，∠A 最大，由直线与圆的位置关系分析可得答案．本题考查平面向量数量积的性质以及向量加法的性质，关键是分析B 的轨迹，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：函数f(x)={−2x 2+4x,0≤x ≤2,12f(x +2),x <0,， 作出f(x)在[−2,1]的函数图象， 当x ∈[−2,0)时，f(x)=−x 2−2x ． 那么g(x)在区间[−2,1]上有3个不同的零点，转化为f(x)图象与y =kx −k 的交点问题即可求解．∵y =kx −k =k(x −1)，直线恒过(1,0)， ∴−x 2−2x =kx −k 只有2个交点， 此时△=(2+k)2+4k =0， 解得k =2√3−4，要使f(x)图象与y =kx −k 有3个交点， 可知−4+2√3<k <0． 故选：C ．作出f(x)在[−2,1]的函数图象，根据g(x)在区间[−2,1]上有3个不同的零点，转化为f(x)图象与y =kx −k 的交点问题即可求解．本题考查了方程的根与函数的图象的应用，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：如图，∵顶点B在以AC为直径的圆上，∴∠ABC=90°，∵AD=DC，∴D为△ABC的外心，又PD⊥平面ABC，且AD=DC，∴PA=PC=2，∵PD⊂平面PAC，可得平面PAC⊥平面ABC，则△PAC的外心即为三棱锥P−ABC外接球的球心．在△PAC中，由余弦定理可得，cos∠APC=22+22−(2√3)22×2×2=−12，∴∠APC=120°，sin∠APC=√32，设△PAC外接圆的半径为R，则2R=ACsin∠APC=2√3√32=4，得R=2．∴其外接球的表面积为S=4π×22=16π．故选：D．由已知可得△ABC为直角三角形，得到AC的中点D为△ABC外接圆圆心，再由PD⊥底面ABC，可得△PAC的外心即为三棱锥P−ABC外接球的球心，求解三角形得到三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】16π9【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面半径为2，高为4的13圆锥体；故V=13×13×π×22×4=16π9．故答案为：16π9．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．14.【答案】421【解析】解：在闭区间[10,30]中，任取一个整数，基本事件总数n=21，此整数是“通体质数”包含的基本事件有：11，13，17，19，共4个，∴此整数是“通体质数”的概率为P=421．故答案为：421．先求出基本事件总数n=21，再用列法求出此整数是“通体质数”包含的基本事件有4个，由此能求出此整数是“通体质数”的概率．本题考查概率的运算，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力、应用意识等核心素养，是基础题．15.【答案】√132【解析】解：设双曲线的右焦点为F2，如图，则|MO|=12|PF2|，在Rt△OF1T中，|OF1|=c，|OT|=a，∴|TF1|=b，|OM|−|MT|=12|PF2|−(12|PF1|−b)=b−a=32−a=12，∴a=1，∴c=√a2+b2=√1+94=√132，故答案为：√132．根据双曲线的性质，定义，设出双曲线右焦点为F2，即可解出a的值，可以直接求出离心率．本题考查了双曲线的定义，性质，学生的运算能力，属于中档题．16.【答案】0【解析】解：f(x)=sin2x +(12sin2x +√32cos2x)+a=32sin2x +√32cos2x +a =√3(√32sin2x +12cos2x)+a=√3sin(2x +π6)+a当x ∈[0,π4]时，2x +π6∈[π6,2π3]，∴当x ∈[0,π4]时，f(x)∈[a +√32,a +√3]，∵对于任意x 1，x 2，x 3∈[0,π4]，f(x 1)+f(x 2 )≥f(x 3) 恒成立， ∴2f(x)min ≥f(x)max ， ∴2(a +√32)≥a +√3，∴a ≥0 ①，∵f(π6)=√3+a ≤√3−a 2，∴a 2+a ≤0，∴−1≤a ≤0 ②，由①②可得a =0． 故答案为：a =0．首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的最值的应用得出结论．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．17.【答案】解：(1)由数列{a n }是递增的等差数列，设公差为d ，d >0，由a 1=12，且a 4是a 2与a 8的等比中项，可得a 42=a 2a 8，即(12+3d)2=(12+d)(12+7d)， 解得d =12(0舍去)， 则a n =12+12(n −1)=12n ； (2)1an a n+1=112n⋅12(n+1)=4(1n −1n+1)，则数列{1an a n+1}的前n 项和为4(1−12+12−13+⋯+1n −1n+1) =4(1−1n+1)=4nn+1．【解析】(1)设公差为d ，d >0，由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差，进而得到所求通项公式；(2)求得1a n a n+1=4(1n−1n+1)，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18.【答案】证明：(1)∵DA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DA⊥BC，∵DA=AC=1，O是AB的中点，△ACO为等边三角形，∴OC=12AB，∴BC⊥AC，∵DA∩AC=A，∴BC⊥平面ACD，∵BC⊂平面BCE，∴平面ACD⊥平面BCE．解：(2)取BC的中点R，连接OR，PR，在△ACB，△BCE中，OR，PR分别为中位线，∴OR//AC，PR//BE，∵AD//BE，∴PQ//AD，∵AC⊂平面ACD，PR⊄平面ACD，∴PR//平面ACD，同理OR//平面ACD，∵PR∩OR=R，PR⊂平面OPR，OR⊂平面OPR，∴平面ACD//平面OPR，∵BC⊥AC，∴平面ACD与平面OPR的距离CR=12BC=√32，∵S△ACD=12×1×1=12，∴V Q−ACD=13×12×√32=√312．故三棱锥QACD的体积是定值，值为√312．【解析】(1)根据直角三角形的性质可得BC⊥AC，再根据线面垂直的性质可得DA⊥BC，根据线面垂直和面面垂直的判断定理即可证明．(2)取BC 的中点R ，连接OR ，PR ，根据中位线定理，以及面面平行的判定定理可得平面ACD//平面OPR ，即可求出三棱锥QACD 的体积是为定值，根据三棱锥的体积公式即可求出．本题考查了线线垂直，线面垂直，面面垂直，线线平行，线面平行，面面平行的判定和性质，以及三棱锥的体积公式，属于中档题．19.【答案】解：(1)由题意知，吸电子烟的有100×11+3=25(人)，不吸电子烟的有100−25=75(人)，由此填表如下：由表中数据，计算K 2=100×(15×50−25×10)225×75×40×60=509≈5.556>3.841，所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为吸食电子烟与感染肺部疾病有关； (2)用分层抽样方法抽取8人，吸电子烟的有8×14=2(人)，不吸电子烟的有6人， 从这8个人中任取2人，则这两个人来自同一类别的概率为P =C 22+C 62C 82=47．【解析】本题考查了独立性检验应用问题，也考查了分层抽样方法与古典概型的概率计算问题，是基础题．(1)分别求出吸电子烟和不吸电子烟的人数，填写列联表，计算K 2，对照附表得出结论； (2)求出用分层抽样法抽取的8人中吸电子烟和不吸电子烟的人数，计算所求的概率值．20.【答案】解：(1)先证f (n)(x)=sin(x +nπ2)−ae x−1，当n =1时，f (1)(x)=cosx −ae x−1=sin(x +π2)−ae x−1成立， 假设n =k 时，f (k)(x)=sin(x +kπ2)−ae x−1，成立，则n =k +1时，f (k+1)(x)=(f (k)(x))′=cos(x +kπ2)−ae x−1=sin(x +(k+1)π2)−ae x−1成立，所以f (n)(x)=sin(x +nπ2)−ae x−1，则f (2020)(1)=sin(1+2020π2)−ae 0=sin1−a =sin1，可得a =0，所以f(x)=sinx ，f(2x+π3)=sin(2x+π3)，令−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，解得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ，k∈Z，令π2+2kπ≤2x+π3≤3π2+2kπ，k∈Z，解得π12+kπ≤x≤7π12+kπ，k∈Z，所以f(2x+π3)的单调递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ]，k∈Z，单调递减区间为[π12+kπ,7π12+kπ]，k∈Z．(2)证明：要证f(x)<0，即证sinx<ae x−1，又a≥1，则ae x−1≥e x−1，故只需证sinx<e x−1，令g(x)=e x−1−x，x≥0，则g′(x)=e x−1−1，在(0,1)上，g′(x)<0，g(x)单调递减，在(1,+∞)上，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)≥g(1)=0，所以e x−1≥x，令ℎ(x)=x−sinx，则ℎ′(x)=1−cosx≤0，所以在(0,+∞)上，ℎ(x)单调递增，所以ℎ(x)≥ℎ(0)=0，所以x≥sinx，所以sinx≤x≤e x−1，因为左右两边的不等号不能同时取到，所以sinx<e x−1，所以f(x)<0，得证．【解析】(1)利用数学归纳法证得f(n)(x)=sin(x+nπ2)−ae x−1，由f(2020)(1)=sin1，即可求得a值，从而可得f(2x+π3)，再由正弦函数的单调性即可求解；(2)分析可得要证f(x)<0，只需证sinx<e x−1，再利用导数分别证得e x−1≥x，x≥sinx，即可证明结论成立．本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查三角函数的单调性及不等式的证明，考查数学归纳法及分析法的应用，属于难题．21.【答案】解：(1)由题意知，圆M：(x−√6)2+y2=32，所以圆心M(√6,0)，r=4√2，因为线段QN的垂直平分线交线段QM于点T，所以|TQ|=|TN|， 因为|QT|+|TM|=4√2，所以|TM|+|TN|=4√2>2√6=|MN|，由椭圆的定义可知，2a =4√2，2c =2√6，解得a =2√2，c =√6， 所以b 2=a 2−c 2=(2√2)2−(√6)2=8−6=2， 所以曲线C 的方程为x 28+y 22=1．(2)设R(0,y 0)，y 0∈(−√2,√2)，S(0,−y 0)， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 直线PR 的方程为y −1=y 0−1−2(x −2)， 直线PS 的方程为y −1=y 0+12(x −2)，联立直线PR 与椭圆的方程，消去y 得(y 02−2y 0+2)x 2+4(1−y 0)y 0c +4y 02−8=0，可得2x 1=4y 02−8y 02−2y0+2，所以x 1=2y 02−4y 02−2y0+2， 则y 1=1−y 02(2y 02−4y 02−2y 0+2)+y 0=−y 02+4y 0−2y 02−2y 0+2，联立直线PS 与椭圆的方程，消去y 得(y 02+2y 0+2)x 2−4(1+y 0)y 0c +4y 02−8=0，所以2x 2=4y 02−8y 02+2y0+2，所以x 2=2y 02−4y 02+2y0+2， 所以y 2=−y 02−4y 0−2y 02+2y 0+2，则A(2y 02−4y 02−2y0+2,−y 02+4y 0−2y 02−2y 0+2)，B(2y 02−4y 02+2y0+2,−y 02−4y 0−2y 02+2y 0+2)，所以k AB =−y 02−4y 0−2y 02+2y 0+2−−y 02+4y 0−2y 02−2y 0+22y 02−4y 02+2y 0+2−2y 02−4y 02−2y 0+2=y 02−2y 02(y 02−2)，则直线AB 的方程为y −−y 02−4y 0−2y 02+2y 0+2=y 02−2y 02(y 02−2)(x −2y 02−4y 02+2y 0+2)，所以y =y 02−2y 02(y 02−2)x −y 02−2y 0y 02+2y0+2+−y 02−4y 0−2y 02+2y 0+2=y 02−2y 02(y 02−2)x +−2y 02−2y 0−2y 02+2y 0+2，则设直线过定点(m,n)，则y =y 02−2y02(y 02−2)(x −m)+n ，则有−m(y 02−2y 0)2(y 02−2)+n =−2y 02−2y 0−2y 02+2y 0+2，所以−m(y 02−2y 0)(y 02+2y 0+2)+2n(y 02−2)(y 02+2y 0+2)=(−2y 02−2y 0−2)(2y 02−4)，所以−my 04−2my 03−2m +2my 03+4my 02+4my 0+2ny 04+4ny 03+4n −4ny 02−8ny 0−8n =−4y 04+8y 02−4y 03+8y 0−4y 02+8，所以{−m +2n =−4−2m +2m +4n =−4，解得{m =2n =−1，所以直线AB 过定点(2,−1)．【解析】(1)由题意知圆心M(√6,0)，r =4√2，由线段QN 的垂直平分线交线段QM 于点T ，推出|TQ|=|TN|，得|TM|+|TN|=4√2>2√6=|MN|，由椭圆的定义可知，a =2√2，c =√6，进而可得椭圆的方程．(2)设R(0,y 0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，写出直线PR ，直线PS 的方程，分别联立椭圆的方程可得A ，B 点坐标，进而写出直线AB 的方程，设直线过定点(m,n)，则y =y 02−2y02(y 02−2)(x −m)+n ，化简，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=√22，转换为√22ρcosθ−√22ρsinθ=√22，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为直角坐标为x −y −1=0．曲线C 的参数方程为{x =mt 2y =mt ，(m ≠0,t 为参数)，转换为直角坐标方程为y 2=mx ．直线与x 轴的交点坐标为(1,0)，故抛物线的焦点坐标为(1,0)，故抛物线的方程为y 2=4x ． 设直线的参数方程为{x =1+√22t y =√22t(t 为参数)代入抛物线的方程为y 2=4x ，得到t 2−4√2t −8=0(t 1和t 2为M 和N 对应的参数)， 所以t 1t 2=−8，故|TM|·|TN|=|t 1t 2|=8．【解析】本题考查的知识要点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．第21页，共21页 (1)直接利用转换关系，把极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.【答案】解：(1)f(x)−f(2x +4)≤1即为|x −1|−|2x +3|≤1，等价为{x ≤−321−x +2x +3≤1或{−32<x <11−x −2x −3≤1或{x ≥1x −1−2x −3≤1， 解得x ≤−3或−1≤x <1或x ≥1，所以解集为{x|x ≤−3或x ≥−1}；(2)当x <−1时，f(ax)+f(−x)+x >0恒成立，可得|ax −1|+|−x −1|+x >0，化为|ax −1|−x −1+x >0，即|ax −1|>1，可得ax −1>1或ax −1<−1对x <−1恒成立，即有a <2x 对x <−1恒成立，或a >0，由x <−1时，2x >−2．所以a ≤−2或a >0，可得实数a 的取值范围是(−∞,−2]∪(0，+∞)．【解析】(1)由绝对值的意义和零点分区间法，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；(2)由题意可得|ax −1|>1对x <−1恒成立，由绝对值的解法和不等式恒成立思想，可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．。

绝密★启用前河北衡水中学2021届全国高三第二次联合考试文科数学本试卷4页．总分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{1,3,5,7},{2,3,4,5}A B ==，则()UA B ⋂=（ ）A ．{3,5}B ．{2,4}C ．{3,7}D ．{2,5} 2，已知复数21(2)z i =-，则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．为了弘扬“扶贫济困，人心向善”的传统美德，某校发动师生开展了为山区贫困学生捐款献爱的活动．已知第一天募捐到1000元，第二天募捐到1500元，第三天募捐到2000元，……照此规律下去，该学校要完成募捐20000元的日标至少需要的天数为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．94．已知向量(1,2),||2,||13a b a b ==-=，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π5．甲、乙、丙、丁4人在某次考核中的成绩只有一个人是优秀，他们的对话如下，甲：我不优秀；乙：我认为丁优秀；丙：乙平时成绩较好，乙背定优秀；丁：乙的说法是错误的若四人的说法中只有一个是真的，则考核成绩优秀者为（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．卡西尼卵形线是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．在数学史上，同一平面内到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知卡西尼卵形线是中心对称图形且有唯一的对称中心．若某卡西尼卵形线C 两焦点间的距离为2，且C 上的点到两焦点的距离之积为1，则C 上的点到其对称中心距离的最大值为（ ）A ．1BCD ．27．MOD 函数是一个求余函数，格式为MOD(,)M N ，其结果为两个数M ，N 作除法运算MN后的余数，例：MOD(36,10)6=，如图，该程序框图给出了一个求余的实例．若输入的6,1n v ==，则输出的u 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若过点2F 作渐近线的垂线，垂足为P ，且12F PF 的面积为2b ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．1+B ．1+C D9．已知函数()sin()(0,||)g x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，函数()sin 2f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则（ ）A ．1()22g x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．1()22x g x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．1()22x g x f ⎛⎫=+⎪⎝⎭ D ．()(21)g x f x =- 10．中医药在抗击新冠肺炎疫情中发挥了重要作用，但由于中药材长期的过度开采，本来蕴藏丰富的中药材量在不断减少．研究发现，t 期中药材资源的再生量()1t t t x f x rx N⎛⎫=-⎪⎝⎭，其中t x 为t 期中药材资源的存量，r ，N 为正常数，而t 期中药资源的利用量与存量的比为采挖强度．当t 期的再生量达到最大，且利用量等于最大再生量时，中药材资源的采挖强度为（ ） A ．2r B ．3r C ．4r D ．5r 11．已知圆22:1C x y +=，直线:2l x =，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点（ ）A ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(0,2)C ．(2,1)D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭12．已知函数)()ln3sin 2f x x x x =+-+，则不等式2(1)41f f x ⎛⎫+-< ⎪+⎝⎭的解集是（ ） A ．{|11}x x x <->或 B ．{|1}x x > B ．{|1}x x <- D ．{|11}x x -<<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知角α的终边上有一点(2,3)P ，则cos2α的值为___________．14．若x ，y 满足约束条件1,36,24,x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪--⎩则4z x y =+的最小值为__________．15．已知直线:l y x b =+为曲线()xf x e =的切线，若直线l 与曲线217()22g x x mx =-+-也相切，则实数m 的值为__________．16．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若sin sin B C =c =，则ABC 外接圆半径的最小值为______________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（12分）已知在公比为2的等比数列{}n a 中，234,,4a a a -成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()2125log 1,,,?,n n n a n b a n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n b 的前2n 项和2n S ． 18．（12分）某数学兴趣小组为了探究参与某项老年运动是否与性别有关的问题，对城区60岁以上老人进行了随机走访调查．得到的数据如下：从统计数据中分析得参与该项老年运动的被调查者中，女性的概率是13． （1）求22⨯列联表中p ，q ，x ，y 的值；（2）是否有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关？（3）若将参与该项老年运动的老人称为“健康达人”，现从参与调查的“健康达人”中按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行健康状况跟踪调查，那么被跟踪调查的2人中都是男性的概率是多少？参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，2PA AB ==，PB =，60ABC ∠=︒，且平面PAC ⊥平面ABCD ．（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）若M 是PC 上一点，且BM PC ⊥，求三棱锥M BCD -的体积． 20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，M 是椭圆E 上一点，M 关于x 轴的对称点为N ，且14MA NB k k ⋅=． （1）求椭圆E 的离心率；（2）若椭圆E的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，斜率为1的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，在y 轴上存在点R ，使得以线段PQ 为直径的圆经过点R ，且()0RQ RP PQ +⋅=，求直线l 的方程． 21．（12分） 已知函数()(0)xa xf x a xe-=>． （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）在区间,2a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上，()f x 是否存在最大值与最小值？若存在，求出最大值与最小值；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为2,x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数）以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭． （1）求圆C 的普通方程及极坐标方程；（2）过点A 的直线l 与圆C 交于M ，N 两点，当MCN 面积最大时，求直线l 的直角坐标方程． 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分） 设函数()1|21|f x x x =---． （1）求不等式()1f x -的解集；（2）若不等式()1f x ax <-恒成立，求实数a 的取值范围．河北衡水中学2021届全国高三第二次联合考试·文科数学一、选择题1．B 【解析】由题意得{2,4,6,8}UA =，所以(){2,4}U AB ⋂=．2．D 【解析】复数21134(2)342525z i i i ===+--，则342525z i =-，所以在复平面内z 对应的点位于第四象限．3．C 【解析】设第n 天募捐到n a 元，则数列{}n a 是以1000为首项，500为公差的等差数列，所以其前n 项和250(3)n S n n =+．因为7817500,22000S S ==，所以至少需要8天可完成募捐目标．4．D 【解析】因为||13a b -=，所以2()13a b -=，即22213a a b b -⋅+=．设a 与b 的夹角为θ，则32cos 413θ-⨯+=，解得cos 2θ=-，所以a 与b 的夹角为56π． 5．A 【解析】假设甲优秀，则甲、乙、丙说法错误，丁说法正确，满足题设要求；假设乙优秀，则乙说法错误，甲、丙、丁说法正确，不满足题设要求；假设丙优秀，则乙、丙说法错误，甲、丁说法正确，不满足题设要求；假设丁优秀，则丙、丁说法错误，甲、乙说法正确，不满足题设要求综上，优秀者为甲． 6．B 【解析】设左、右焦点分别为12,F F ，以线段12F F 的中点为坐标原点，12,F F 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则12(1,0),(1,0)F F -．设曲线上任意一点(,)P x y ，1=，化简得该卡西尼卵形线的方程为()()222222x yx y +=-，显然其对称中心为(0,0)．由()()222222xy x y +=-得()()222222240x y x y y +-+=-，所以()()222222x y x y ++，所以2202x y +2．当且仅当0,y x ==时等号成立，所以该卡西尼卵形线上的点．7．A 【解析】当1i =时，1v =；当2i =时，2v =；当3i =时，4v =…当7i =时，64v =，所以MOD(64,7)1u ==．8．D 【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，在2OPF 中，122222,,||,2F PF OPF PF b OF c OP a SS ab b ======，所以a b =，离心率c e a === 9．C 【解析】由题图可得()sin2g x x π=，所以由()sin 2f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象得()g x 的图象，只需将()f x 图象上的所有点向左平移12个单位长度得到12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得1()sin 222x g x f x π⎛⎫=+=⎪⎝⎭．10．A 【解析】由题意得()22124t t t t t t x rx r N rN f x rx rx x N N N ⎛⎫⎛⎫=-=-+=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当2t N x =时，()t f x 有最大值4rN，所以当利用量与最大再生量相同时，采挖强度为422rNr N =． 11．A 【解析】因为P 为直线l 上的动点，所以可设(2,)P t ，由题意可得圆心C 的坐标为(0,0)，以线段PC 为直径的圆N 的方程为2220x y x ty +--=．两圆方程作差，即得两圆公共弦AB 的方程为210x ty +-=，所以直线AB 过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭．12．D【解析】构造函数)()()2ln 3sin g x f x x x x =-=-+-．因为()()0g x g x -+=，所以()gx 是奇函数，因为)ln3lnx -=，(sin )cos 10x x x '-=-，所以()g x 在区间(0,)+∞上是减函数．因为()g x 是奇函数且(0)0g =，所以()g x 在R 上是减函数．不等式2(1)41f f x ⎛⎫+-< ⎪+⎝⎭等价于22(1)201f f x ⎛⎫-+--< ⎪+⎝⎭，即2(1)(1)1g g g x ⎛⎫<--= ⎪+⎝⎭，所以211x >+，解得11x -<<． 二、填空题13．513- 【解析】由题意得sin α==，则225cos212sin 121313αα⎛=-=-⨯=- ⎝⎭． 14．325【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，所以当目标函数过直线36,24x y x y +=-=-的交点224,55⎛⎫⎪⎝⎭时，z 取最小值，所以min 224324555z =⨯+=．15．4或2- 【解析】设直线:l y x b =+与曲线()xf x e =相切于点()00,xx e ，由()001xf x e '==，得00x =，所以切点坐标为(0,1)，所以直线l 的方程为1y x =+．又由直线l 与曲线()g x 相切，得217122x mx x -+-=+，化简得222(1)90,4(1)360x m x m --+=∆=--=，解得4m =或2m =-．16．1 【解析】由sinsin B C =，得sin cos 2sin sin cos B B C C C B +=-，即sin 2sin A B C =，所以由正弦定理得2a c=．所以22262cos 2a b c C ab +--==，所以62sin C +，设ABC 外接圆半径为R ，因此22(31)sin cR C=-，所以31R -1．三、解答题17．解：（1）因为数列{}n a 的公比q 为2， 所以2131412,4,484a a a a a a ==-=-．因为234,,4a a a -成等差数列， 所以1118284a a a =+-，解得12a =，所以2nn a =． （6分）（2）由（1）可得51,?,.?n nn n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数 （8分）所以奇数项是以6为首项，10为公差的等差数列，偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以()()21321242n n n S b b b b b b -=+++++++()(616104)242n n =+++-++++()212(6104)212nn n -+-=+- 21522n n n +=++-12252n n n +=++-． （12分）18．解：（1）由题意得1163p p =+，解得8p =，所以40832q =-=， （2分） 所以16824,443276x y =+==+=． （4分）（2）由列联表中的数据可得2K 的观测值2100(1632844)0.585 2.70660402476k ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯． （5分） 所以没有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关． （7分） （3）由（1）得“健康达人”共有24人，其中男性16人，女性8人，所以抽样比61244k ==． （7分） 因此按性别分层抽样抽取的6人中有男性11644⨯=人，记为1234,,,A A A A ，女性1824⨯=人，记为12,B B ， （9分） 从这6人中抽取2人的所有方式为()12,A A ，()13,A A ，()14,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，()24,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()34,A A ，()31,A B ，()32,A B ，()41,A B ，()42,A B ，()12,B B ，共15种情况，其中符合题目要求的是6种情况，所以抽取的全是男性的概率为62155P ==． （12分）19．（1）证明：因为四边形ABCD 为菱形， 所以BD AC ⊥．因为平面PAC ⊥平面ABCD ，平面PAC ⋂平面,ABCD AC BD =⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥平面PAC ． （2分）因为PA ⊂平面PAC ，所以PA BD ⊥． （3分）又因为2,PA AB PB === 所以222PA AB PB +=，所以PA AB ⊥． （5分） 又因为,AB BD ⊂平面,ABCD AB BD B ⋂=， 所以PA ⊥平面ABCD ． （6分） （2）解：由（1）得PA ⊥平面ABCD ， 因为AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥， （8分）所以PC ==，所以PBC 为等腰三角形．在PBC 中，由余弦定理得2223cos 24PB PC BC BPC PB PC +-∠==⋅． 因为BM PC ⊥，所以34PM PB =，所以34PM PC =． 易得14CM PC =， （10分）又1sin1202BCDSBC CD =⋅︒=，所以111112443436BCDM BCD P BCDV V S PA--==⨯⨯=⨯=三棱锥三棱锥．（12分）20．解：（1）由椭圆E的方程可得(,0),(,0)A aB a-．设()00,M x y，则()00,N x y-，所以200022000.MA NBy y yk kx a x a x a-⋅=⋅=-+--．又点()00,M x y在椭圆E上，所以2200221x ya b+=，所以22220002221y x a xb a a-=-=，所以2222214MA NBy bk kx a a⋅=-==-，所以椭圆E的离心率e====．（4分）（2）由题意知椭圆E的一个焦点为，所以椭圆E的标准方程为2214xy+=．（5分）设直线l的方程为()()1122,(0,),,,,y x m R t P x y Q x y=+，线段PQ的中点为(),S SS x y，联立221,4,xyy x m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y，得2258440x mx m++-=，则()()2226420441650m m m∆=--=->，解得25m<，所以21212844,55m mx x x x-+=-=，（7分）所以124,255S S Sx x m mx y x m+==-=+=，所以4,55m mS⎛⎫- ⎪⎝⎭．（8分）由()0RQ RP PQ +⋅=，得RS PQ ⊥， （9分）所以511405m t m -⨯=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 解得35mt =-． （10分） 又因为以线段PQ 为直径的圆过点R ， 所以PR QR ⊥，所以12121y t y tx x --⋅=-． 又1122,y x m y x m =+=+，代入上式整理得()212122()()0x x m t x x m t +-++-=，即()222244880555m m m -⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1m =±．所以直线l 的方程为1y x =±． （12分）21．解：（1）由题意得函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞， （1分）则22()xx ax af x x e --'=． （3分）令()0f x '=，得12x x ==．因为0a >，所以120,0x x <>．当x 在定义域上变化时，()f x '的变化情况如下表：所以函数()y f x =的单调递增区间为,,22a a ⎛⎛⎫-+-∞+∞⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递减区间为,0,22a a ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （6分）（2）令()0xa xf x xe -==，得x a =， 则a 是函数()f x 的唯一零点． （7分）因为20a x a -=-=<， 所以20a x <<，所以202aa x <<<． 当0x a <<时，()0f x >；当x a >时，()0f x <． （9分）由（1）可知函数()f x 在区间2,2ax ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间()2,x +∞上单调递增， （10分）所以()f x 在区间,2a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的最大值为22a a f e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，最小值为()2222x a x f x x e -=，其中2x = （12分）22．解：（1）圆C 的直角坐标方程为22(2)8x y -+=， （2分） 极坐标方程为24cos 4ρρθ-=． （4分）（2）4A π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为(4,4)A ． （5分） 111||||sin ||||84222MCNSCM CN MCN CM CN =∠=⨯=， 当90MCN ∠=︒时，面积最大，此时，圆心C 到直线l 的距离22d =⨯=． （6分） 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为4x =，满足题意； （7分） 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为4(4)y k x -=-，即440kx y k -+-=，圆心C 到直线l的距离2d ==，解得34k =，即3440x y -+=． （9分） 综上，直线l 的方程为4x =或3440x y -+=． （10分）23．解：（1）由题意得1,,2()132,,2x x f x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩ （2分）当12x时，令1x --，解得112x ； 当12x <时，令321x --，解得1132x <． （4分） 综上所述，()1f x -的解集为1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （5分）（2）由（1）得1,,2()132,,2x x f x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩当12x，-1x ax -<-，即(1)10a x +->， （6分） 此时，应有10,1(1)10,2a a +>⎧⎪⎨+->⎪⎩解得1a >； （7分）当12x <时，321x ax -<-，即(3)10a x -+>， （8分） 此时，应有30,1(3)10,2a a -⎧⎪⎨-+⎪⎩解得13a ． （9分）综上所述，实数a 的取值范围是(1,3]． （10分）。

2021年河北省衡水中学高考数学第二次联考试卷（理科）（全国Ⅱ）一、选择题（共12小题）.1．已知集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4，5}，B＝{0，2，4}，则A∩∁U B＝（）A．{5}B．{2，4}C．{0，2，5}D．{0，2，4，5} 2．已知sinα＞0，cosα＜0，则（）A．sin2α＞0B．cos2α＜0C．D．3．已知复数z＝a+（a﹣1）i（a∈R），则|z|的最小值为（）A．B．C．D．14．直线y＝2x﹣1被过点（0，1）和（2，1），且半径为的圆截得的弦长为（）A．B．C．D．或5．已知一四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的较长侧棱与底面所成角的正切值为（）A．B．C．D．6．已知双曲线的焦点F（c，0）到渐近线的距离为，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．7．异或运算是一种逻辑运算，异或用符号“∧”表示，在二进制下，当输入的两个量的同一数位的两个数字不同时，输出1，反之输出0．如十进制下的数10与9表示成二进制分别是1010，1001（即10＝1×23+0×22+1×21+0×20，9＝1×23+0×22+0×21+1×20），那么10∧9＝1010∧1001＝0011，现有运算12∧m＝1100∧n＝0001，则m的值为（）A．7B．9C．11D．138．已知奇函数f（x）的定义域为R，且满足f（2+x）＝f（2﹣x），以下关于函数f（x）的说法：①f（x）满足f（8﹣x）+f（x）＝0；②8为f（x）的一个周期；③是满足条件的一个函数；④f（x）有无数个零点．其中正确说法的个数为（）A．1B．2C．3D．49．已知三棱锥P﹣ABC的高为1，底面△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC，且P，A，B，C都在体积为的球O的表面上，则该三棱锥的底面△ABC的边长为（）A．B．C．3D．10．甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为P n，则P10的值为（）A．B．C．D．11．若P（n）表示正整数n的个位数字，a n＝P（n2）﹣P（2n），数列{a n}的前n项和为S n，则S2021＝（）A．﹣1B．0C．1009D．101112．已知函数f（x）＝e x ln|x|，a＝f（﹣ln3），b＝f（ln3），c＝f（3e），d＝f（e3），则a，b，c，d的大小顺序为（）A．a＞b＞c＞d B．d＞c＞b＞a C．c＞d＞b＞a D．c＞d＞a＞b二、填空题（共4小题）.13．若向量，满足＝（cosθ，sinθ）（θ∈R），||＝2，则|2﹣|的取值范围为．14．在一次去敬老院献爱心活动中，甲、乙、丙、丁、戊5名同学比带队老师先到，老师想知道他们到的先后顺序，甲说乙不是最早的，乙说甲不是最晚的，丙说他比乙先到．若他们说的都为真话，从上述回答分析，5人可能到的先后顺序的不同情况种数为．15．已知等差数列{a n}满足a2＝3，a3是a1与a9的等比中项，则的值为．16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD+AA1＝2，E为棱C1D1上任意一点，给出下列四个结论：①BD1与AC不垂直；②长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的表面积最小为3π；③E到平面A1B1D的距离的最大值为；④长方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面积的最大值为6．其中所有正确结论的序号为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，△ABD为等边三角形，BD＝2，AC ＝，BC＝1．（1）求∠CBD的大小；（2）求△ADE的面积．18．为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“3+1+2”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学，生物，政治，地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A组合：物理、化学、生物，B组合：历史、政治、地理，C组合：物理、化学、地理根据选课数据得到，选择A组合的概率为，选择B组合的概率为，选择C组合的概率为，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的．（1）求这三位同学恰好选择互不相同组合的概率；（2）记η表示这三人中选择含地理的组合的人数，求η的分布列及数学期望．19．如图，两个全等的梯形ABCD与BAEF所在的平面互相垂直，AB⊥AD，AD∥BC，AB ＝AD，BC＝2AD，P为CF的中点．（1）证明：DP∥平面ABFE；（2）求平面DEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．20．已知曲线C的方程为．（1）求曲线C的离心率；（2）设曲线C的右焦点为F，斜率为k的动直线l过点F与曲线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，证明：为定值．21．已知函数f（x）＝x+alnx，g（x）＝x2e x，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＝2时，方程g（x）＝mf（x）有两个实根，求实数m的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1上存在点P到曲线C2的距离为1，求b的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x+b|，a，b∈R．（1）当a＝4，b＝1时，求不等式f（x）≤9的解集；（2）当ab＞0时，f（x）的最小值为1，证明：|+|≥．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4，5}，B＝{0，2，4}，则A∩∁U B＝（）A．{5}B．{2，4}C．{0，2，5}D．{0，2，4，5}解：由题意得∁U B＝{1，3，5}，所以A∩∁U B＝{5}．故选：A．2．已知sinα＞0，cosα＜0，则（）A．sin2α＞0B．cos2α＜0C．D．解：由sinα＞0，cosα＜0，可得α∈（2kπ+，2kπ+π），k∈Z，对于A，可得sin2α＝2sinαcosα＜0，错误；对于B，当α∈（2kπ+，2kπ+π），k∈Z时，cosα∈（﹣1，0），此时cos2α＝2cos2α﹣1∈（﹣1，1），错误；对于C，因为∈（kπ+，kπ+），k∈Z，可得，正确；对于D，因为∈（kπ+，kπ+），k∈Z，当k为偶数时，可得sin＞0，错误；故选：C．3．已知复数z＝a+（a﹣1）i（a∈R），则|z|的最小值为（）A．B．C．D．1解：因为z＝a+（a﹣1）i，所以，所以|z|的最小值为，故选：B．4．直线y＝2x﹣1被过点（0，1）和（2，1），且半径为的圆截得的弦长为（）A．B．C．D．或解：过点（0，1）和（2，1），半径为的圆的圆心（1，﹣1）或（1，3）．过点（0，1），（2，1）且半径为的圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝5或（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5，则圆心到直线y＝2x﹣1的距离为或，则弦长＝．故选：B．5．已知一四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的较长侧棱与底面所成角的正切值为（）A．B．C．D．解：设该四棱锥为P﹣ABCD，则由题意可知四棱锥P﹣ABCD满足底面ABCD为矩形，则：平面PDC⊥平面ABCD，且PC＝PD＝3，AB＝4，AD＝2．如图，过点P作PE⊥CD，则PE⊥平面ABCD，连接AE，可知∠PAE为直线PA与平面ABCD 所成的角，则，，所以．故选：C．6．已知双曲线的焦点F（c，0）到渐近线的距离为，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．解：双曲线的焦点F（c，0）到渐近线bx±ay＝0的距离为，解得，所以．又c2＝a2+b2，所以b2＝3a2．因为点在双曲线上，所以，所以a2＝3，b2＝9，所以双曲线的方程为．故选：D．7．异或运算是一种逻辑运算，异或用符号“∧”表示，在二进制下，当输入的两个量的同一数位的两个数字不同时，输出1，反之输出0．如十进制下的数10与9表示成二进制分别是1010，1001（即10＝1×23+0×22+1×21+0×20，9＝1×23+0×22+0×21+1×20），那么10∧9＝1010∧1001＝0011，现有运算12∧m＝1100∧n＝0001，则m的值为（）A．7B．9C．11D．13解：由12∧m＝1100∧n＝0001，可得n＝1101，表示成十进制为13，所以m＝13．故选：D．8．已知奇函数f（x）的定义域为R，且满足f（2+x）＝f（2﹣x），以下关于函数f（x）的说法：①f（x）满足f（8﹣x）+f（x）＝0；②8为f（x）的一个周期；③是满足条件的一个函数；④f（x）有无数个零点．其中正确说法的个数为（）A．1B．2C．3D．4解：因为f（2+x）＝f（2﹣x），所以f（4+x）＝f（﹣x），因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（4+x）＝﹣f（x），所以f（8+x）＝﹣f（x+4）＝f（x），所以8为f（x）的一个周期，故②正确；由f（8+x）＝f（x）可得f（8﹣x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（8﹣x）+f（x）＝0，故①正确；为奇函数满足f（x）+f（﹣x）＝0，且一条对称轴为直线x＝2，故③正确；由f（x）为奇函数且定义域为R知，f（0）＝0，又f（x）为周期函数，所以f（x）有无数个零点，故④正确．故选：D．9．已知三棱锥P﹣ABC的高为1，底面△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC，且P，A，B，C都在体积为的球O的表面上，则该三棱锥的底面△ABC的边长为（）A．B．C．3D．解：设球O的半径为R，由球的体积为可得，，解得R＝2．因为三棱锥P﹣ABC的高h为1，所以球心O在三棱锥外．如图，设点O1为△ABC的外心，则OO1⊥平面ABC．在Rt△AO1O中，由，且OO1＝R﹣h＝1，得．因为△ABC为等边三角形，所以，所以．故选：C．10．甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为P n，则P10的值为（）A．B．C．D．解：抛掷两颗正四面体骰子观察底面上的数字之和为5有4种情况，得点数之和为5的概率为，第n次由甲掷有两种情况：一是第n﹣1由甲掷，第n次由甲掷，概率为，二是第n﹣1次由乙掷，第n次由甲掷，概率为．这两种情况是互斥的，所以，即，所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以．故选：A．11．若P（n）表示正整数n的个位数字，a n＝P（n2）﹣P（2n），数列{a n}的前n项和为S n，则S2021＝（）A．﹣1B．0C．1009D．1011解：由题意得a1＝﹣1，a2＝0，a3＝3，a4＝﹣2，a5＝5，a6＝4，a7＝5，a8＝﹣2，a9＝﹣7，a10＝0，a11＝﹣1，a12＝0，…∴数列{a n}为周期数列，且周期为10，因为S10＝5，所以S2021＝5×202+（﹣1）＝1009，故选：C．12．已知函数f（x）＝e x ln|x|，a＝f（﹣ln3），b＝f（ln3），c＝f（3e），d＝f（e3），则a，b，c，d的大小顺序为（）A．a＞b＞c＞d B．d＞c＞b＞a C．c＞d＞b＞a D．c＞d＞a＞b解：因为，所以a＜b．因为函数f（x）＝e x ln|x|在区间（0，+∞）上单调递增，所以b，c，d中b最小．构造函数g（x）＝x﹣elnx，则，当x≥e时，g'（x）≥0，所以g（x）在区间[e，+∞）上单调递增，所以g（3）＝3﹣eln3＞g（e）＝0，所以3＞eln3．所以e3＞3e，所以d＞c，所以d＞c＞b＞a．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若向量，满足＝（cosθ，sinθ）（θ∈R），||＝2，则|2﹣|的取值范围为[0，4]．解：，，设与的夹角为α，则：，∵α∈[0，π]，∴0≤8﹣8cosα≤16，∴，∴的取值范围为[0，4]．故答案为：[0，4]．14．在一次去敬老院献爱心活动中，甲、乙、丙、丁、戊5名同学比带队老师先到，老师想知道他们到的先后顺序，甲说乙不是最早的，乙说甲不是最晚的，丙说他比乙先到．若他们说的都为真话，从上述回答分析，5人可能到的先后顺序的不同情况种数为48．解：按乙到达的名次顺序进行分类：乙第二个到达有A21A22＝4种，乙第三个到达有A21A21A22＝8种，乙第四个到达有A32A22＝12种，乙最后到达有A44＝24种，所以不同的情况种数为4+8+12+24＝48．故答案为：48．15．已知等差数列{a n}满足a2＝3，a3是a1与a9的等比中项，则的值为3n或（3n2+3n）．解：设等差数列{a n}的公差为d，由a2＝3，可得a1+d＝3，①由a3是a1与a9的等比中项，可得a32＝a1a9，即（a1+2d）2＝a1（a1+8d），化为da1＝d2，②由①②可得a1＝d＝或a1＝3，d＝0，当a1＝3，d＝0时，＝a2+a4+…+a2n＝3+3+…+3＝3n；当a1＝d＝时，＝a2+a4+…+a2n＝3+6+…+3n＝（3n2+3n）．故答案为：3n或（3n2+3n）．16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD+AA1＝2，E为棱C1D1上任意一点，给出下列四个结论：①BD1与AC不垂直；②长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的表面积最小为3π；③E到平面A1B1D的距离的最大值为；④长方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面积的最大值为6．其中所有正确结论的序号为②③④．解：对于①，当长方体为正方体时，BD1⊥AC，故①错误；对于②，如图，设AD＝x，则AA1＝2﹣x（0＜x＜2），所以，当x＝1时，BD1的最小值为，即长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的直径为，所以外接球表面积的最小值为3π，故②正确；对于③，设点E到平面A1B1D的距离为h，如图，由，可得，所以由②可知，，其中，当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时等号成立，，当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时等号成立，所以，当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时，等号成立，故③正确；对于④，该长方体的表面积为S＝2x+2x（2﹣x）+2（2﹣x）＝4+4x﹣2x2＝﹣2（x﹣1）2+6，当x＝1时，S的最大值为6，故④正确．故答案为：②③④．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，△ABD为等边三角形，BD＝2，AC ＝，BC＝1．（1）求∠CBD的大小；（2）求△ADE的面积．解：（1）在△ABC中，，由余弦定理得．因为0＜∠ABC＜π，所以，所以．（2）由知，BC∥AD，所以△BCE∽△DAE，所以，所以DE＝2BE．因为BD＝2，所以．所以．18．为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“3+1+2”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学，生物，政治，地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A组合：物理、化学、生物，B组合：历史、政治、地理，C组合：物理、化学、地理根据选课数据得到，选择A组合的概率为，选择B组合的概率为，选择C组合的概率为，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的．（1）求这三位同学恰好选择互不相同组合的概率；（2）记η表示这三人中选择含地理的组合的人数，求η的分布列及数学期望．解：用A i表示第i位同学选择A组合，用B i表示第i位同学选择B组合，用∁i表示第i 位同学选择C组合，i＝1，2，3．由题意可知，A i，B i，∁i互相独立，且．（1）三位同学恰好选择不同组合共有种情况，每种情况的概率相同，故三位同学恰好选择不同组合的概率为：．（2）由题意知η的所有可能取值为0，1，2，3，且η~B(3,)，所以，，，，所以η的分布列为η0123P所以．19．如图，两个全等的梯形ABCD与BAEF所在的平面互相垂直，AB⊥AD，AD∥BC，AB ＝AD，BC＝2AD，P为CF的中点．（1）证明：DP∥平面ABFE；（2）求平面DEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：如图，取BF的中点Q，连接PQ，AQ．因为P，Q为CF，BF的中点，所以PQ∥BC，且．又因为AD∥BC，BC＝2AD，所以PQ∥AD，且PQ＝AD，所以四边形ADPQ为平行四边形，所以DP∥AQ．又AQ⊂平面ABFE，DP⊄平面ABFE，所以DP∥平面ABFE．（2）解：因为平面ABCD⊥平面BAEF，平面ABCD∩平面BAEF＝AB，FB⊥AB，FB⊂平面BAEF，所以FB⊥平面ABCD．又BC⊂平面ABCD，所以FB⊥BC．又AB⊥FB，AB⊥BC，所以以B为坐标原点，分别以BA，BC，BF所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设BC＝2，则．设平面DEF的一个法向量为，则，令z＝1，得．易知平面BCF的一个法向量为，所以．所以平面DEF与平面BCF所成锐二面角的余弦值为．20．已知曲线C的方程为．（1）求曲线C的离心率；（2）设曲线C的右焦点为F，斜率为k的动直线l过点F与曲线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，证明：为定值．【解答】（1）解：由可知，点（x，y）到点（﹣1，0），（1，0）的距离之和为4，且4＞2，根据椭圆的定义可知，曲线C为焦点在x轴上的椭圆．设椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，则2a＝4，2c＝2，所以曲线C的离心率为．（2）证明：设椭圆的短轴长为2b，由（1）可得b2＝a2﹣c2＝3，所以曲线C的方程为，则F（1，0）．由题意可知，动直线l的方程为y＝k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），由,得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，所以．设AB的中点为Q（x0，y0），则，．当k≠0时，线段AB的垂直平分线的方程为，令y＝0，得，所以，＝＝，所以．当k＝0时，l的方程为y＝0，此时，．综上，为定值．21．已知函数f（x）＝x+alnx，g（x）＝x2e x，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＝2时，方程g（x）＝mf（x）有两个实根，求实数m的取值范围．解：（1）由题意知函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）＝x+alnx，a∈R，所以，①当a≥0时，f'（x）＞0在区间（0，+∞）上恒成立，所以函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；②当a＜0时，令f'（x）＞0，得x＞﹣a，令f'（x）＜0，得0＜x＜﹣a，所以函数f（x）的单调递增区间为（﹣a，+∞），单调递减区间为（0，﹣a）；综上：当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（﹣a，+∞），单调递减区间为（0，﹣a）；（2）方程g（x）＝mf（x）有两个实根，即关于x的方程x2e x﹣m（x+2lnx）＝0有两个实根，即函数h（x）＝x2e x﹣m（x+2lnx）有两个零点，又h（x）＝x2e x﹣m（x+2lnx）＝e x+2lnx﹣m（x+2lnx），令t＝x+2lnx，由（1）得t是关于x的单调递增函数，且t∈R，所以只需函数u（t）＝e t﹣mt有两个零点，令u（t）＝0，得，令，则，易知当t∈（﹣∞，1）时，φ（t）单调递增，当t∈（1，+∞）时，φ（t）单调递减，所以当t＝1时，φ（t）取得最大值，又因为当t＜0时，φ（t）＜0，当t＞0时，φ（t）＞0，φ（0）＝0，则函数的图象如图所示：所以当，即m∈（e，+∞）时，函数h（x）有两个零点，所以实数m的取值范围为（e，+∞）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1上存在点P到曲线C2的距离为1，求b的取值范围．解：（1）由（α为参数），消去参数α，得曲线C1的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4,由，得，令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得x﹣y＝b，所以曲线C2的直角坐标方程为x﹣y﹣b＝0．（2）设P（1+2cosα，1﹣2sinα），因为点P到直线x﹣y﹣b＝0的距离为1，所以，化简得①．若关于α的方程①有解，则曲线C1上存在点P到曲线C2的距离为1，所以②，或③由②得，由③得，所以b的取值范围为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x+b|，a，b∈R．（1）当a＝4，b＝1时，求不等式f（x）≤9的解集；（2）当ab＞0时，f（x）的最小值为1，证明：|+|≥．【解答】（1）解：由题意得f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，当x≥2时，原不等式可化为3x﹣3≤9，解得x≤4，故2≤x≤4；（1分）当﹣1≤x＜2时，原不等式可化为5﹣x≤9，解得x≥﹣4，故﹣1≤x＜2；当x＜﹣1时，原不等式可化为﹣3x+3≤9，解得x≥﹣2，故﹣2≤x＜﹣1．综上，不等式f（x）≤9的解集为[﹣2，4]．（2）证明：因为≥＝，且ab＞0，所以，当且仅当或时等号成立，。

绝密★启用前河北省衡水中学2021届全国高三毕业班下学期第二次联合考试(Ⅱ卷)数学(文)试题本试卷4页．总分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{1,3,5,7},{2,3,4,5}A B ==，则()U A B ⋂=（ ）A ．{3,5}B ．{2,4}C ．{3,7}D ．{2,5}2，已知复数21(2)z i =-，则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．为了弘扬“扶贫济困，人心向善”的传统美德，某校发动师生开展了为山区贫困学生捐款献爱的活动．已知第一天募捐到1000元，第二天募捐到1500元，第三天募捐到2000元，……照此规律下去，该学校要完成募捐20000元的日标至少需要的天数为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．94．已知向量(1,2),||2,||13a b a b ==-=，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π5．甲、乙、丙、丁4人在某次考核中的成绩只有一个人是优秀，他们的对话如下，甲：我不优秀；乙：我认为丁优秀；丙：乙平时成绩较好，乙背定优秀；丁：乙的说法是错误的若四人的说法中只有一个是真的，则考核成绩优秀者为（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6．卡西尼卵形线是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．在数学史上，同一平面内到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知卡西尼卵形线是中心对称图形且有唯一的对称中心．若某卡西尼卵形线C两焦点间的距离为2，且C上的点到两焦点的距离之积为1，则C 上的点到其对称中心距离的最大值为（）A．1 B D．27．MOD函数是一个求余函数，格式为MOD(,)M N，其结果为两个数M，N作除法运算MN后的余数，例：MOD(36,10)6=，如图，该程序框图给出了一个求余的实例．若输入的6,1n v==，则输出的u的值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左、右焦点分别为12,F F,若过点2F作渐近线的垂线,垂足为P,且12F PF的面积为2b,则该双曲线的离心率为（）A．1+．1+ C D。

2021年河北省衡水中学高考数学第二次联考试卷（文科）（全国Ⅰ）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|x2−2x≤0}，集合B满足A∪B=A，则B可以为()A. {x|x≤2}B. {x|−1≤x≤2}C. {1,2}D. {−1,0，1，2}2.设复数z=|√3+i|−i2021，则在复平面内z对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.“直播电商”已经成为当前经济发展的新增长点，某电商平台的直播间主要经营食品和服装两大类商品，2020年前三个季度，该直播间每个季度的收入都比上一季度翻了一番，整理前三季度的收入情况如图所示，则下列说法错误的是()A. 该直播间第三季度的总收入是第一季度的4倍B. 该直播间第三季度的服装收入比第一季度和第二季度的服装总收入还要多C. 该直播间第二季度的食品收入是第三季度食品收入的13D. 该直播间第一季度的食品收入是第三季度食品收入的164.函数f(x)=x的图象大致为()ln|x|A.B.C.D.5. 已知函数f(x)=sinx −x ，设a =f(π0.1)，b =f(0.1π)，c =f(log 0.1π)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a >b >cB. b >c >aC. c >b >aD. b >a >c 6. 在钝角三角形ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3)，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，S △ABC =√32，点D 为BC 的中点，则|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) A. √72B. √52C. √32D. 127. 已知函数f(x)=me x−2+n 的图象恒过点(2,1)，若对于任意的正数m ，n ，不等式1m +4n ≥A 恒成立，则实数A 的最大值为( ) A. 9 B. 3+2√2C. 7D. 4√28. 设抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，倾斜角为θ(0<θ<π2)的直线l 经过抛物线的焦点F ，且与抛物线相交于M ，N 两点，若FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2FN 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则sin2θ=( )A. 2√23B. 13C. √24D. 4√299. 若各项均为正数的数列{a n }满足a n+1=4a n ，a 1a 5=256，则使得不等式4n <133(1+√a 1+√a 2+⋯+√a n )成立的最大正整数n 的值为( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 在平面内，A ，C 是两个定点，B 是动点，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则△ABC 的内角A 的最大值为( )A. π6B. π4 C. π3 D. π211. 已知函数f(x)={−2x 2+4x,0≤x ≤2,12f(x +2),x <0,若函数g(x)=f(x)−kx +k 在区间[−2,1]上有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是( )A. (−4−2√3,0)B. (−1,0)C. (−4+2√3,0)D. (−12,0)12.在△ABC中，AC=2√3，顶点B在以AC为直径的圆上，点P在平面ABC上的射影为AC的中点，PA=2，则其外接球的表面积为()A. 12πB. 163π C. 94π D. 16π二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若某几何体的三视图如图所示、则该几何体的体积为______ ．14.从古至今，文学与数学都有着密切的联系.一首诗从末尾一字读至开头一字另成一首新诗，称之为“通体回文诗”，数学中也有类似的情况：对一个整数n(n>10)从左向右和从右向左读其结果都是质数，可以称它为“通体质数”.若在闭区间[10,30]中，任取一个整数，则此整数是“通体质数”的概率为______ ．15.对于双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)来说，我们定义圆x2+y2=a2为它的“伴随圆”.过双曲线x2a2−4y29=1(a>0)的左焦点F1作它的伴随圆的一条切线，设切点为T，且这条切线与双曲线的右支相交于点P，若M为PF1的中点，M在T右侧，且|MO|−|MT|为定值12，则该双曲线的离心率为______ ．16.已知函数f(x)=sin2x+sin(2x+π3)+a同时满足下述性质：①若对于任意的x1，x2，x3∈[0,π4]，f(x1)+f(x2)≥f(x3)恒成立；②f(π6)≤√3−a2，则a的值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}是递增的等差数列，a1=12，且满足a4是a2与a8的等比中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{1a n a n+1}的前n项和．18.如图，DA⊥平面ABC，DA=AC=1，O是AB的中点，△ACO为等边三角形．(1)证明：平面ACD⊥平面BCE；(2)若AD//BE，P为CE的中点，Q为线段OP上的动点，判断三棱锥QACD的体积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由．19.电子烟是一种模仿卷烟的电子产品.有害公共健康.为研究吸食电子烟是否会引发肺部疾病，某医疗机构随机抽取了100人进行调查，吸电子烟与不吸电子烟的比例为1：3，整理数据得到如表：感染肺部疾病未感染肺部疾病总计吸电子烟15不吸电子烟50总计(2)为进一步调查分析电子烟中诱发肺部疾病的成分因素，在感染肺部疾病的被调查人中，按照吸电子烟和不吸电子烟这两大类别，采用分层抽样的方法抽取8人，从这8个人中任取2人进行血液、痰液等相关医学检查v求这两个人来自同一类别的概率．参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.0500.0100.0050.001 k0 3.841 6.6357.87910.82820.已知函数f(x)=sinx−ae x−1(a∈R)．(1)定义f(x)的导函数为f(1)(x)，f(1)(x)的导函数为f(2)(x)，……以此类推，若f(2020)(1)=sin1，求函)的单调区间；数f(2x+π3(2)若a≥1，x≥0，证明：f(x)<0．21.已知圆M：(x−√6)2+y2=32，点Q是圆M上的一个动点，点N(−√6,0)，若线段QN的垂直平分线交线段QM于点T．(1)求动点T的轨迹曲线C的方程；(2)设O是坐标原点，点P(2,1)，点R(异于原点)是曲线C内部且位于y轴上的一个动点，点S与点R关于原点对称，直线PR，PS分别与曲线C交于A，B(异于点P)两点，判断直线AB是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，说明理由．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=mt 2y=mt，(m≠0,t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=√22．(1)求直线l的直角坐标方程；(2)若直线l经过曲线C的焦点T，且与曲绒C交于M，N两点，求|TM|⋅|TN|．23.已知函数f(x)=|x−1|．(1)求不等式f(x)−f(2x+4)≤1的解集；(2)当x<−1时，f(ax)+f(−x)+x>0恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，集合B满足A∪B=A，∴B⊆A，∴B可以为{1,2}．故选：C．求出集合A，由集合B满足A∪B=A，得B⊆A，由此能求出集合B．本题考查集合的运算，考查并集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵i4=1，i2021=(i4)505⋅i=i，|√3+i|=√(√3)2+12=2，复数z=|√3+i|−i2021=2−i，则在复平面内z对应的点(2,−1)位于第四象限，故选：D．由i4=1，可得i2021=(i4)505⋅i=i，再利用几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：对于选项A：因为该直播间每个季度的收入都比上一季度翻了一番，所以第三季度的总收入是第一季度的2×2=4倍，所以选项A正确，对于选项B：不妨设第一季度的总收入为a，则第二季度、第三季度的总收入分别为2a、4a，所以第三季度的服装收入为4a×70%=2.8a，第一季度和第二季度的服装总收入为a×90%+2a×80%= 2.5a，因为2.8a>2.5a，所以选项B正确，对于选项C：由题意第二季度的食品收入为2a×20%=0.4a，第三季度的食品收入为4a×30%=1.2a，因为0.4a1.2a =13，即直播间第二季度的食品收入是第三季度食品收入的13，故选项C正确，对于选项D：第一季度的食品收入为a×10%=0.1a，因为0.1a1.2a =112，即第一季度的食品收入是第三季度食品收入的112，所以选项D错误，故选：D．由题意可知选项A正确，不妨设第一季度的总收入为a，则第二季度、第三季度的总收入分别为2a、4a，根据统计图中信息，求出各季度食品收入和服装收入，即可判定选项B，C，D的正误．本题主要考查了统计图的应用，同时考查了学生的计算能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：函数的定义域为{x|x ≠0且x ≠±1}， f(−x)=−x ln|−x|=−x ln|x|=−f(x)，则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除A ，当x →+∞，f(x)→+∞，排除D ， 当x =e 时，f(e)=elne =e <5，排除C ，故选：B ．先求出函数的定义域，判断函数是奇函数，利用极限思想以及f(e)的值利用排除法进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，以及函数值的符号，利用极限思想以及排除法是解决本题的关键，是基础题． 5.【答案】C【解析】解：∵f(x)=sinx −x ， ∴f′(x)=cosx −1≤0，∴函数f(x)=sinx −x 在R 上单调递减，又π0.1>π0=1，0<0.1π<1，log 0.1π<log 0.11=0， ∴f(log 0.1π)>b =f(0.1π)>f(π0.1)， 即c >b >a ， 故选：C ．利用f′(x)=cosx −1≤0，可知函数f(x)=sinx −x 在R 上单调递减，再利用指数函数与对数函数的单调性质比较π0.1与0.1π及log 0.1π的大小关系，即可得到答案．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了导数的应用，考查逻辑推理与运算能力，属于中档题． 6.【答案】C【解析】解：如图，|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,S △ABC =√32， ∴12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅sin∠BAC =sin∠BAC =√32，∴cos∠BAC =±12， 若cos∠BAC =12，则：|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4−2×2×1×12=3，∴∠B =90°，△ABC 是直角三角形，与已知△ABC 是钝角三角形矛盾， ∴cos∠BAC =−12，∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )2=12⋅√4+1−2×2×1×12=√32． 故选：C ．可画出图形，可求出|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，根据S △ABC =√32即可求出sin∠BAC =√32，从而得出cos∠BAC =±12，然后根据△ABC 为钝角三角形可得出cos∠BAC =−12，然后根据|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )2，进行数量积的运算即可求出|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值． 本题考查了向量减法和数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，向量长度的求法，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于中档题． 7.【答案】A【解析】解：可令x −2=0，即x =2，可得f(2)=m +n =1， 由m >0，n >0，可得1m+4n=(m +n)(1m+4n)=1+4+n m+4m n≥5+2√n m⋅4m n=9，当且仅当n =2m =23时取得等号， 则A ≤9，可得A 的最大值为9． 故选：A ．可令x −2=0，求得m +n =1，再由乘1法和基本不等式求得1m +4n 的最小值，由不等式恒成立思想得到A 的最大值．本题考查不等式恒成立问题解法，以及基本不等式的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：因为抛物线y 2=2px(p >0)， 所以焦点F(p2,0)，设过焦点F ，倾斜角为θ的直线方程为y =k(x −p2)，k =tanθ，(0<θ<π2)， 设M 点坐标为(x 1,y 1)，N 点坐标为(x 2,y 2)， 与抛物线联立得k 2x 2−(2p +pk 2)x +p 2k 24=0，所以x 1+x 2=2p+pk 2k 2，x 1x 2=p 24，因为FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2|FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2， 所以|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos180°=−2|FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2 所以|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | 所以x 1+p2=2(x 2+p2)，即x 1=2x 2+p2， 两边加x 2可得，x 1+x 2=3x 2+p2， 又因为x 1+x 2=2p+pk 2k 2，所以2p+pk 2k 2=3x 2+p2，解得x 2=pk 2+4p 6k 2，又因为x 1x 2=p 24，所以(2x 2+p 2)x 2=p 24，所以2x 22+p2⋅x 2=p 24，所以2(pk 2+4p 6k 2)2+p2⋅(pk 2+4p 6k 2)=p 24，所以k 4−7k 2−8=0，解得k 2=8或k 2=−1(舍)， 又因为k >0，所以k =tanθ=2√2，所以sin2θ=2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=2tanθtan 2θ+1=4√29．故选：D ．根据题意设M 点坐标为(x 1,y 1)，N 点坐标为(x 2,y 2)，直线方程为y =k(x −p2)，k =tanθ，(0<θ<π2)，与抛物线联立，结合韦达定理可得x 1+x 2=2p+pk 2k 2，x 1x 2=p 24，由于FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2|FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2，推出|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos180°=−2|FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2，即x 1=2x 2+p2，即可解得k ，tanθ，再计算sin2θ即可得出答案． 本题考查抛物线的方程，直线与抛物线相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题． 9.【答案】C【解析】解：各项均为正数的数列{a n }满足a n+1=4a n ，可得a n+1a n=4，则数列{a n }是公比为4的等比数列，又a 1a 5=256，∴a 12q 4=256，即a 1=1， ∴a n =4n−1=(2n−1)2，可得√a n =2n−1，由不等式4n <133(1+√a 1+√a 2+⋯+√a n )成立， 得4n <133(1+20+21+22+⋯+2n−1)=133(1+1−2n 1−2)=133×2n ，∴2n <133<28，即n <8，可得最大正整数n 的值为7． 故选：C ．由已知可得数列{a n }是公比为4的等比数列，再由已知求得公比，得到数列通项公式，然后利用等比数列的前n 项和公式求1+√a 1+√a 2+⋯+√a n ，代入已知不等式求得n 的范围，可得最大正整数n 的值． 本题考查等比数列的通项公式及前n 项和，考查指数不等式的解法，是中档题． 10.【答案】A【解析】解：根据题意，设CD 的中点为E ，|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ， 则|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3r ，|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2r ，CD 的中点为E ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即有|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |，又由|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ，则点B 在以E 为圆心，CD 为直径即半径为r 的圆上，连接AB ，当AB 与圆E 相切时，∠A 最大，当AB 与圆相切时，BE =r ，AE =2r ，∠EBA =π2， 则A =π6，故内角A 的最大值为π6，故选：A ．根据题意，设CD 的中点为E ，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ，由向量加法的性质可得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即有|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |，进而可得|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ，则点B 在以E 为圆心，CD 为直径即半径为r 的圆上，分析可得当AB 与圆相切时，∠A 最大，由直线与圆的位置关系分析可得答案．本题考查平面向量数量积的性质以及向量加法的性质，关键是分析B 的轨迹，属于中档题． 11.【答案】C【解析】解：函数f(x)={−2x 2+4x,0≤x ≤2,12f(x +2),x <0,，作出f(x)在[−2,1]的函数图象，当x ∈[−2,0)时，f(x)=−x 2−2x ．那么g(x)在区间[−2,1]上有3个不同的零点，转化为f(x)图象与y =kx −k 的交点问题即可求解． ∵y =kx −k =k(x −1)，直线恒过(1,0)， ∴−x 2−2x =kx −k 只有2个交点， 此时△=(2+k)2+4k =0， 解得k =2√3−4，要使f(x)图象与y =kx −k 有3个交点， 可知−4+2√3<k <0． 故选：C ．作出f(x)在[−2,1]的函数图象，根据g(x)在区间[−2,1]上有3个不同的零点，转化为f(x)图象与y =kx −k 的交点问题即可求解．本题考查了方程的根与函数的图象的应用，属于中档题． 12.【答案】D【解析】解：如图，∵顶点B 在以AC 为直径的圆上，∴∠ABC =90°， ∵AD =DC ，∴D 为△ABC 的外心，又PD ⊥平面ABC ，且AD =DC ，∴PA =PC =2， ∵PD ⊂平面PAC ，可得平面PAC ⊥平面ABC ，则△PAC 的外心即为三棱锥P −ABC 外接球的球心． 在△PAC 中，由余弦定理可得，cos∠APC =22+22−(2√3)22×2×2=−12，∴∠APC =120°，sin∠APC =√32，设△PAC 外接圆的半径为R ，则2R =ACsin∠APC =2√3√32=4，得R =2．∴其外接球的表面积为S=4π×22=16π．故选：D．由已知可得△ABC为直角三角形，得到AC的中点D为△ABC外接圆圆心，再由PD⊥底面ABC，可得△PAC 的外心即为三棱锥P−ABC外接球的球心，求解三角形得到三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】16π9【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面半径为2，高为4的13圆锥体；故V=13×13×π×22×4=16π9．故答案为：16π9．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．14.【答案】421【解析】解：在闭区间[10,30]中，任取一个整数，基本事件总数n=21，此整数是“通体质数”包含的基本事件有：11，13，17，19，共4个，∴此整数是“通体质数”的概率为P=421．故答案为：421．先求出基本事件总数n=21，再用列法求出此整数是“通体质数”包含的基本事件有4个，由此能求出此整数是“通体质数”的概率．本题考查概率的运算，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力、应用意识等核心素养，是基础题．15.【答案】√132【解析】解：设双曲线的右焦点为F2，如图，则|MO|=12|PF2|，在Rt△OF1T中，|OF1|=c，|OT|=a，∴|TF1|=b，|OM|−|MT|=12|PF2|−(12|PF1|−b)=b−a=32−a=12，∴a=1，∴c=√a2+b2=√1+94=√132，故答案为：√132．根据双曲线的性质，定义，设出双曲线右焦点为F2，即可解出a的值，可以直接求出离心率．本题考查了双曲线的定义，性质，学生的运算能力，属于中档题．16.【答案】0【解析】解：f(x)=sin2x+(12sin2x+√32cos2x)+a=32sin2x+√32cos2x+a=√3(√32sin2x+12cos2x)+a =√3sin(2x+π6)+a当x∈[0,π4]时，2x+π6∈[π6,2π3]，∴当x∈[0,π4]时，f(x)∈[a+√32,a+√3]，∵对于任意x1，x2，x3∈[0,π4]，f(x1)+f(x2)≥f(x3)恒成立，∴2f(x)min≥f(x)max，∴2(a+√32)≥a+√3，∴a≥0①，∵f(π6)=√3+a≤√3−a2，∴a2+a≤0，∴−1≤a≤0②，由①②可得a=0．故答案为：a =0．首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的最值的应用得出结论．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．17.【答案】解：(1)由数列{a n }是递增的等差数列，设公差为d ，d >0，由a 1=12，且a 4是a 2与a 8的等比中项，可得a 42=a 2a 8，即(12+3d)2=(12+d)(12+7d)， 解得d =12(0舍去)， 则a n =12+12(n −1)=12n ； (2)1an a n+1=112n⋅12(n+1)=4(1n −1n+1)，则数列{1an a n+1}的前n 项和为4(1−12+12−13+⋯+1n −1n+1) =4(1−1n+1)=4nn+1．【解析】(1)设公差为d ，d >0，由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差，进而得到所求通项公式； (2)求得1an a n+1=4(1n −1n+1)，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18.【答案】证明：(1)∵DA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴DA ⊥BC ，∵DA =AC =1，O 是AB 的中点，△ACO 为等边三角形， ∴OC =12AB ，∴BC ⊥AC ， ∵DA ∩AC =A ， ∴BC ⊥平面ACD ， ∵BC ⊂平面BCE ，∴平面ACD ⊥平面BCE ．解：(2)取BC 的中点R ，连接OR ，PR ，在△ACB ，△BCE 中，OR ，PR 分别为中位线， ∴OR//AC ，PR//BE ， ∵AD//BE ， ∴PQ//AD ，∵AC ⊂平面ACD ，PR ⊄平面ACD ， ∴PR//平面ACD ，同理OR//平面ACD ，∵PR ∩OR =R ，PR ⊂平面OPR ，OR ⊂平面OPR ， ∴平面ACD//平面OPR ， ∵BC ⊥AC ，∴平面ACD 与平面OPR 的距离CR =12BC =√32，∵S △ACD =12×1×1=12，∴V Q−ACD =13×12×√32=√312．故三棱锥QACD 的体积是定值，值为√312．【解析】(1)根据直角三角形的性质可得BC ⊥AC ，再根据线面垂直的性质可得DA ⊥BC ，根据线面垂直和面面垂直的判断定理即可证明．(2)取BC 的中点R ，连接OR ，PR ，根据中位线定理，以及面面平行的判定定理可得平面ACD//平面OPR ，即可求出三棱锥QACD 的体积是为定值，根据三棱锥的体积公式即可求出．本题考查了线线垂直，线面垂直，面面垂直，线线平行，线面平行，面面平行的判定和性质，以及三棱锥的体积公式，属于中档题．19.【答案】解：(1)由题意知，吸电子烟的有100×11+3=25(人)，不吸电子烟的有100−25=75(人)，由由表中数据，计算K 2=100×(15×50−25×10)225×75×40×60=509≈5.556>3.841，所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为吸食电子烟与感染肺部疾病有关； (2)用分层抽样方法抽取8人，吸电子烟的有8×14=2(人)，不吸电子烟的有6人， 从这8个人中任取2人，则这两个人来自同一类别的概率为P =C 22+C 62C 82=47．【解析】(1)分别求出吸电子烟和不吸电子烟的人数，填写列联表，计算K 2，对照附表得出结论； (2)求出用分层抽样法抽取的8人中吸电子烟和不吸电子烟的人数，计算所求的概率值．本题考查了独立性检验应用问题，也考查了分层抽样方法与古典概型的概率计算问题，是基础题．20.【答案】解：(1)先证f (n)(x)=sin(x +nπ2)−ae x−1， 当n =1时，f (1)(x)=cosx −ae x−1=sin(x +π2)−ae x−1成立， 假设n =k 时，f (k)(x)=sin(x +kπ2)−ae x−1，成立，则n=k+1时，f(k+1)(x)=(f(k)(x))′=cos(x+kπ2)−ae x−1=sin(x+(k+1)π2)−ae x−1成立，所以f(n)(x)=sin(x+nπ2)−ae x−1，则f(2020)(1)=sin(1+2020π2)−ae0=sin1−a=sin1，可得a=0，所以f(x)=sinx，f(2x+π3)=sin(2x+π3)，令−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，解得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ，k∈Z，令π2+2kπ≤2x+π3≤3π2+2kπ，k∈Z，解得π12+kπ≤x≤7π12+kπ，k∈Z，所以f(2x+π3)的单调递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ]，k∈Z，单调递减区间为[π12+kπ,7π12+kπ]，k∈Z．(2)证明：要证f(x)<0，即证sinx<ae x−1，又a≥1，则ae x−1≥e x−1，故只需证sinx<e x−1，令g(x)=e x−1−x，x≥0，则g′(x)=e x−1−1，在(0,1)上，g′(x)<0，g(x)单调递减，在(1,+∞)上，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)≥g(1)=0，所以e x−1≥x，令ℎ(x)=x−sinx，则ℎ′(x)=1−cosx≤0，所以在(0,+∞)上，ℎ(x)单调递增，所以ℎ(x)≥ℎ(0)=0，所以x≥sinx，所以sinx≤x≤e x−1，因为左右两边的不等号不能同时取到，所以sinx<e x−1，所以f(x)<0，得证．【解析】(1)利用数学归纳法证得f(n)(x)=sin(x+nπ2)−ae x−1，由f(2020)(1)=sin1，即可求得a值，从而可得f(2x+π3)，再由正弦函数的单调性即可求解；(2)分析可得要证f(x)<0，只需证sinx<e x−1，再利用导数分别证得e x−1≥x，x≥sinx，即可证明结论成立．本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查三角函数的单调性及不等式的证明，考查数学归纳法及分析法的应用，属于难题．21.【答案】解：(1)由题意知，圆M：(x−√6)2+y2=32，所以圆心M(√6,0)，r=4√2，因为线段QN 的垂直平分线交线段QM 于点T ， 所以|TQ|=|TN|，因为|QT|+|TM|=4√2，所以|TM|+|TN|=4√2>2√6=|MN|，由椭圆的定义可知，2a =4√2，2c =2√6，解得a =2√2，c =√6， 所以b 2=a 2−c 2=(2√2)2−(√6)2=8−6=2， 所以曲线C 的方程为x 28+y 22=1．(2)设R(0,y 0)，y 0∈(−√2,√2)，S(0,−y 0)， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 直线PR 的方程为y −1=y 0−1−2(x −2)， 直线PS 的方程为y −1=y 0+12(x −2)，联立直线PR 与椭圆的方程，消去y 得(y 02−2y 0+2)x 2+4(1−y 0)y 0c +4y 02−8=0，可得2x 1=4y 02−8y 02−2y0+2，所以x 1=2y 02−4y 02−2y0+2， 则y 1=1−y 02(2y 02−4y 02−2y 0+2)+y 0=−y 02+4y 0−2y 02−2y 0+2，联立直线PS 与椭圆的方程，消去y 得(y 02+2y 0+2)x 2−4(1+y 0)y 0c +4y 02−8=0，所以2x 2=4y 02−8y 02+2y0+2，所以x 2=2y 02−4y 02+2y0+2， 所以y 2=−y 02−4y 0−2y 02+2y 0+2，则A(2y 02−4y 02−2y+2,−y 02+4y 0−2y 02−2y 0+2)，B(2y 02−4y 02+2y 0+2,−y 02−4y 0−2y 02+2y 0+2)，所以k AB =−y 02−4y 0−2y 02+2y 0+2−−y 02+4y 0−2y 02−2y 0+22y 02−4y 02+2y 0+2−2y 02−4y 02−2y 0+2=y 02−2y02(y 02−2)，则直线AB 的方程为y −−y 02−4y 0−2y 02+2y 0+2=y 02−2y 02(y 02−2)(x −2y 02−4y 02+2y0+2)，所以y =y 02−2y02(y 02−2)x −y 02−2y 0y 02+2y+2+−y 02−4y 0−2y 02+2y 0+2=y 02−2y02(y 02−2)x +−2y 02−2y 0−2y 02+2y 0+2，则设直线过定点(m,n)，则y =y 02−2y02(y 02−2)(x −m)+n ，则有−m(y 02−2y 0)2(y 02−2)+n =−2y 02−2y 0−2y 02+2y 0+2，所以−m(y 02−2y 0)(y 02+2y 0+2)+2n(y 02−2)(y 02+2y 0+2)=(−2y 02−2y 0−2)(2y 02−4)，所以−my 04−2my 03−2m +2my 03+4my 02+4my 0+2ny 04+4ny 03+4n −4ny 02−8ny 0−8n =−4y 04+8y 02−4y 03+8y 0−4y 02+8，所以{−m +2n =−4−2m +2m +4n =−4，解得{m =2n =−1，所以直线AB 过定点(2,−1)．【解析】(1)由题意知圆心M(√6,0)，r =4√2，由线段QN 的垂直平分线交线段QM 于点T ，推出|TQ|=|TN|，得|TM|+|TN|=4√2>2√6=|MN|，由椭圆的定义可知，a =2√2，c =√6，进而可得椭圆的方程． (2)设R(0,y 0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，写出直线PR ，直线PS 的方程，分别联立椭圆的方程可得A ，B 点坐标，进而写出直线AB 的方程，设直线过定点(m,n)，则y =y 02−2y02(y 02−2)(x −m)+n ，化简，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=√22，转换为√22ρcosθ−√22ρsinθ=√22，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为直角坐标为x −y −1=0．曲线C 的参数方程为{x =mt 2y =mt ，(m ≠0,t 为参数)，转换为直角坐标方程为y 2=mx ．直线与x 轴的交点坐标为(1,0)，故抛物线的焦点坐标为(1,0)，故抛物线的方程为y 2=4x ． 设直线的参数方程为{x =1+√22t y =√22t(t 为参数)代入抛物线的方程为y 2=4x ，得到t 2−4√2t −8=0(t 1和t 2为M 和N 对应的参数)， 所以t 1t 2=−8，故|TM|·|TN|=|t 1t 2|=8．【解析】本题考查的知识要点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． (1)直接利用转换关系，把极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.【答案】解：(1)f(x)−f(2x +4)≤1即为|x −1|−|2x +3|≤1， 等价为{x ≤−321−x +2x +3≤1或{−32<x <11−x −2x −3≤1或{x ≥1x −1−2x −3≤1，解得x ≤−3或−1≤x <1或x ≥1， 所以解集为{x|x ≤−3或x ≥−1}；(2)当x <−1时，f(ax)+f(−x)+x >0恒成立， 可得|ax −1|+|−x −1|+x >0，化为|ax −1|−x −1+x >0，即|ax −1|>1， 可得ax −1>1或ax −1<−1对x <−1恒成立， 即有a <2x 对x <−1恒成立，或a >0，>−2．由x<−1时，2x所以a≤−2或a>0，可得实数a的取值范围是(−∞,−2]∪(0，+∞)．【解析】(1)由绝对值的意义和零点分区间法，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；(2)由题意可得|ax−1|>1对x<−1恒成立，由绝对值的解法和不等式恒成立思想，可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．。