高数期末考试 一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 2. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 221 n n n n n n π π ππ . 3. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共 16分) 4. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 5. ) ( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 6. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1) -二阶可导且'>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 7. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）2 2x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 8. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--?????≤<-≤=1 32 )(1020 )(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数)(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 ()lim x f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在 =0x 处的连续性. 13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足 =- 1(1)9y 的 解. 四、 解答题（本大题10分） 14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01， 且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵 坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分） 15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线 x y ln =及x 轴围成平面图形D. (1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所 得旋转体的体积V . 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分） 16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的 [,]∈01q ，1 ()()≥??q f x d x q f x dx . 17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且 )(0 =?π x d x f ， cos )(0 =? π dx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个 不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设 ?= x dx x f x F 0 )()(）
2000～2001学年第二学期《 高等数学 》期末考试试题（180学时） 专业班级 学号_______________ 姓名 一、 已知一个二阶常系数线性齐次微分方程有相等的实根a ，试写出此微分方程及通解。 （8分） 二、 设幂级数∑∞=?0 )1(n n n x a 在x =3处发散，在x =1处收敛，试求出此幂级数的收敛半径。（8分） 三、 求曲面323 =+xz y x 在点（1，1，1）处的切平面方程和法线方程 。（10分） 四、 设)(,0x f x >为连续可微函数，且2)1(=f ，对0>x 的任一闭曲线L，有0)(43=+∫L dy x xf ydx x ，求)(x f 。 （10分） 五、 设曲线L （起点为A ，终点为B ）在极坐标下的方程为36(,2sin πθπθ≤≤= r ，其中θ=6π 对应起点A ，3 π θ=对应终点B ，试计算∫+?L xdy ydx 。（10分） 六、 设空间闭区域Ω由曲面222y x a z ??=与平面0=z 围成，其中0>a ，Σ为Ω的 表面外侧，且假定Ω的体积V 已知，计算： ∫∫Σ=+?.)1(2222dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz x 。（10分） 七、 函数),(y x z z =由0),(=z y y x F 所确定，F 具有连续的一阶偏导数，求dz 。 （12分） 八、 计算∫∫∫Ω +,)(22dxdydz y x 其中Ω是由平面z =2与曲面2222z y x =+所围成的闭区域。（12分） 九、 已知级数 ∑∞=1n n U 的部分和arctgn S n =，试写出该级数，并求其和，且判断级数∑∞=1n n tgU 的敛散性。（12分） 十、 设)(x f 连续，证明∫∫∫??=?A A D dt t A t f dxdy y x f |)|)(()(，其中A 为正常数。D ：2||,2||A y A x ≤≤ 。（8分）
武汉大学2019-2020学年 第二学期期末《高等数学A2》考试试卷（A 卷） 一、试解下列各题(每小题5分，共50分)1.讨论二重极限00 11lim()sin x y x y x y →→+的存在性。2.设级数11()n n n a a ∞-=-∑收敛，1(0)n n n b b ∞=≥∑收敛，证明：1n n n a b ∞ =∑绝对收敛。 3.设(,,)u f x y z =有连续偏导数，函数(,)z z x y =由方程x y z xe ye ze -=所确定，函数()y y x =由0sin x y x t e dt t -=?确定，求du dx .4.设2[,()]z f x y xy ?=-,其中(,)f u v 具有二阶连续偏导数,)(u ?二阶可导,求y x z ???2.5.已知全微分()()y y xy x x y xy x y x f d 2d 2),(d 2222--+-+=，求),(y x f 的表达式。 6.设曲面方程为0),(=--by z ax z F （b a ,为正常数）,(,)F u v 具有一阶连续的偏导数，且02 2≠+v u F F ，试证明此曲面上任一点处法线恒垂直于一常向量。7.求22(,)f x y x y y =++在区域222 22:4,12x D x y y +≤+≥上的平均值。8.求2(,,)F x y z yzi z k =+ 穿出曲面∑的通量，∑为柱面：221,0y z z +=≥被平面 0,1x x ==截下部分。9.计算积分333x dydz y dzdx z dxdy ∑ ++?? ，其中∑为球面：2222x y z R ++=的外侧。10.设∑ 为半球面z =(23)x y z dS ∑++??. 二、(10分)已知空间曲线Γ：22223620 x y z x y z ?+-=?--=?，且空间曲线Γ在xoy 坐标面的投影曲线为L ,若取L 为顺时针方向，求曲线积分22 223L ydx xdy x y -+?．三、(8分)考察两直线111: 213 x y z l +-==-和2:42,3,24l x t y t z t =+=-+=-，是否相交？如相交，求出其交点，如不相交，求出两直线之间的距离d . 四、(本题24分，其中（1）8分，（2）8分，（3）4分，（4）4分，)已知某座小山的表面形状曲面方程为2275z x y xy =--+，取它的底面所在的平面为xoy 坐标面。(1)设点00(,)M x y 为这座小山底部所占的区域D 内的一点，问高函数(,)h x y ，在该点沿平面
2010-2011第一学期《高等数学B1》期末考试试题解 一、计算题（7?8分） 1、求由方程ln()x y xy e +=确定的隐函数()y y x =的导数dy dx 。 2 、求x →3、求3002 0sin lim cos x x x t dt t dt →??。 4、求1242lim n n x x x n n n n →∞????????++++++ ? ? ???? ??????? 。 5 、求不定积分 。 6、求定积分2 0(1sin )x x dx π-?。 7、求方程22x y xy xe -'+=的通解。 8、设2(),lim ()0x x f x e f x -→+∞'==求20()x f x dx +∞?。 解、1、(1),x y x y x y y xy dy y xye e y xy dx xye x +++'+-'=+=-。 2 、 0000222184lim lim lim 111222 x x x x x x x →→→→??==== 3、330200 20sin sin lim lim 0cos cos x x x x t dt x x t dt →→==??。 4、101242lim (2)1n n x x x x t dt x n n n n →∞????????++++++=+=+ ? ? ???? ???????? 。 5 、) 2212(1)11ln ln 121x e t t u v v dt dv v v v C x C v ====--=+=-++?。
6、2222 00 (1sin )cos sin 128x x x dx x x x π ππ??-=+-=- ????。 7、222 2,,,,2Pdx x x P x Q xe Pdx x Qe dx -?====??通解：222x x y e C -??=+ ???。 8、2 344()()lim lim lim 0939x x x x x f x f x x e x -→+∞→+∞→+∞'==-=-，()22 3233000000()11()()333111(1)666 x x t t t x f x x f x dx x f x dx x e dx te dt t e +∞+∞ +∞+∞-=+∞+∞--'=-=-=-=---=-????。 二、（7分）证明当02x π<<时2sin x x π >。 证、记sin ()12x f x x π=-。2(cos sin )()2x x x f x x π-'=。记()c o s s i n g x x x x =-。()sin 0(0)2g x x x x π'=-<<<，()g x 在02 x π≤≤严格单调下降。()(0)0,()0(0)2g x g f x x π'<=<<<。()f x 在02x π≤≤严格单调下降。()0(0)22f x f x ππ??>=<< ???。故当02x π<<时2sin x x π>。 三、（10分）设抛物线2y ax bx c =++过原点，当01x ≤≤时0y ≥，又已知该抛物线与x 轴及直线1x =所围成图形的面积为 13 。试确定,,a b c 使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小。 解、由抛物线2 y ax bx c =++过原点得0c =。 120 ()32a b A ax bx dx =+=+?。令13A =得223a b -=。 2222120224(1)4()()352712a a a a a V a ax x dx ππ??---??=+=++ ? ????? ?。 28(1)12()5 273a a a V a π--??'=-+ ???。()V a 有唯一聚点54a =-。根据问题的实际，54a =-时旋转体的体积V 最小。 53,,042 a b c =-==。
武汉大学2009 —2010 学年度第 一 学期 《数学物理方法》试卷（A ） 学院 专业 班 学号 姓名 分数 一．求解下列各题（10分×4=40分） 1．一条弦绳被张紧于点（0，0）与（1，0）两端之间，固定其两端，把它拉成x A πsin 的形状之后，由静止状态被释放而作自由振动。写出此物理问题的定解问题，并写出本征值和本征函数。 2．写出一维无界波动问题的达朗贝尔公式，利用达朗贝尔公式求解一维无界波动问题 ???????==>+∞<<-∞=-==x u x u t x u u t t t xx tt sin cos )0,(0200 并画出t =2时的波形。 3．定解问题???????==+==><<=-====2 ,sin 1,)0,0(000202t t t l x x xx tt u x u t u t u t l x u a u ，若要使边界条件齐次化，求其辅助函数，并写出边界条件齐次化后相应的定解问题。 4．计算积分?-=1 12)(dx x P x I l 二．（本题15分）用分离变量法求定解问题 ???? ?????===><<=-===x l u u u t l x Du u t l x x x x xx t π2cos 0 )0,0(000 三．（本题15分）有一内半径为a ，外半径为2a 的均匀球壳，其内、外表面的温度分 布分别保持为零和θcos ，试求此均匀球壳的稳定温度分布。
四．（本题15分）计算和证明下列各题： (1) （10分） dx x J x I ?=)(03 （将计算结果中的贝塞尔函数化为零阶和一阶的，因为工程上有零阶、一阶贝塞尔函数表可查。） (2) （5分）利用递推关系证明： )(1)()('0''02x J x x J x J -= 五.（本题15分）设有一长为l 的圆柱，其半径为R 。若圆柱的侧面及下底面（0=z ）接地，而上底面（l z =）保持电势分布为f (ρ)。1）写出该圆柱的电势分布的定解问题；2）本征值和本征值函数；3）定解问题的通解。 参考公式 .
高数期末考 试 一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 2. lim (cos cos cos )→∞-+++=2 2 221 n n n n n n π π ππ . 3. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin －dx x x x . 二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 4. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷 小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 5. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1 f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 6. 若()()()02x F x t x f t dt =-? ，其 中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导 且'>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐 点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极 值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的 拐点。 7. (2)( )(1 +=?t f x x f x f 是连续函数，且设（A ）2 2 x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 8. 三、解答题（本大题有5小题， 每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'() y x 以及 '(0)y . 10. .d )1(177 x x x x ?+-求 11. 求，， 设?- -?????≤<-≤=1 2 1020)(x x x x xe x f x 12. 设函数)(x f 连续， =?1 0()()g x f xt dt ，且→=0()lim x f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性. 13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足
武汉大学数学分析1992 1．给定数列如下： }{n x 00>x ，?? ? ???+?=?+11)1(1k n n n x a x k k x ，",2,1,0=n （1）证明数列收敛。 }{n x （2）求出其极限值。 2．设函数定义在区间)(x f I 上，试对“函数在)(x f I 上不一致连续”的含义作一肯定语气的（即不用否定词的）叙述，并且证明：函数在区间x x ln ),0(+∞上不一致连续。 3．设函数在区间上严格递增且连续，)(x f ],0[a 0)0(=f ，为的反函数，试证明成立等式： 。 )(x g )(x f []x x g a x x f a f a d )(d )()(0 0∫ ∫?=4．给定级数∑+∞ =+01 n n n x 。 （1）求它的和函数。 )(x S （2）证明广义积分 x x S d )(10 ∫ 收敛，交写出它的值。 5．对于函数??? ????=+≠++=0,00,),(222 22 22y x y x y x y x y x f ，证明： （1）处处对),(y x f x ，对可导； y （2）偏导函数，有界； ),(y x f x ′),(y x f y ′（3）在点不可微。 ),(y x f )0,0(（4）一阶偏导函数，中至少有一个在点不连续。 ),(y x f x ′),(y x f y ′)0,0(6．计算下列积分： （1）x x x x a b d ln 10 ?∫ ，其中为常数，b a ,b a <<0。 （2），其中为平面上由直线∫∫?D y y x e d d 2 D x y =及曲线31 x y =围成的有界闭区域。 武汉大学数学分析1994 1．设正无穷大数列（即对于任意正数}{n x M ，存在自然数，当时，成立）， N N n >M x n >E 为的一切项组成的数集。试证必存在自然数}{n x p ，使得E x p inf =。 2．设函数在点的某空心邻域内有定义，对于任意以为极限且含于的数列 ，极限都存在（有限数）。 )(x f 0x 0 U 0x 0 U }{n x )(lim n n x f ∞ →（1）试证：相对于一切满足上述条件的数列来说，数列的极限是唯一确定的， 即如果和是任意两个以为极限且含于的数列，那么总有 }{n x )}({n x f }{n x }{n x ′0x 0 U )(lim )(lim n n n n x f x f ′=∞ →∞ →。 （2）记（1）中的唯一确定的极限为，试证：)}({n x f A A x f x x =→)(lim 0 。 3．设函数在点的邻域)(x f 0x I 内有定义，证明：导数)(0x f ′存在的充要条件是存在这样的函数，它在)(x g I 内有定义，在点连续，且使得在0x I 内成立等式：
武汉大学高等数学A 期末考试试卷 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy = 2．求极限 (,)(0,0)lim x y →= （ ） A ． 14 B ．12- C ．1 4 - D ．12 3 ．直线: 327 x y z L ==-和平面:327 80x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上
C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤， 则D σ= （ ） A ．33()2 b a π - B ．332()3b a π- C ．334()3b a π- D ．333()2b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1121n n ∞=-∑ D ．1 n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22{(,)1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 3．设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数，求z z x y ??+??。
专升本高等数学试卷 (A卷)
武汉大学网络教育入学考试 高等数学模拟试题 一、单项选择题 1、在实数范围内，下列函数中为有界函数的是( ) A.x y e = B.1sin y x =+ C.ln y x = D.tan y x = 2、函数23()32 x f x x x -=-+的间断点是( ) A.1,2,3x x x === B.3x = C.1,2x x == D.无间断点 3、设()f x 在0x x =处不连续，则()f x 在0x x =处( ) A. 一定可导 B. 必不可导 C. 可能可导 D. 无极限 4、当x →0时，下列变量中为无穷大量的是（ ） A.sin x x B.2x - C.sin x x D. 1sin x x + 5、设函数()||f x x =，则()f x 在0x =处的导数'(0)f = ( ) A.1 B.1- C.0 D.不存在. 6、设0a >，则2(2)d a a f a x x -=? ( ) A.0()d a f x x -? B.0()d a f x x ? C.02()d a f x x ? D.02()d a f x x -? 7、曲线2 3x x y e --= 的垂直渐近线方程是( ) A.2x = B.3x = C.2x =或3x = D.不存在 8、设()f x 为可导函数，且()()000lim 22h f x h f x h →+-=，则0'()f x = ( ) A. 1 B. 2 C. 4 D.0 9、微分方程''4'0y y -=的通解是( ) A. 4x y e = B. 4x y e -= C. 4x y Ce = D. 412x y C C e =+ 10、级数1(1)34 n n n n ∞=--∑的收敛性结论是（ ） A. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 无法判定 11 、函数()f x ( ) A. [1,)+∞ B.(,0]-∞ C. (,0][1,)-∞?+∞ D.[0,1]
2018年武汉大学自主招生数学试题 1.对于数列{u n }，若存在常数M >0，对任意的n ∈N +，恒有 |u n +1?u n |+|u n ?u n ?1|+···+|u 2?u 1|≤M, 则称数列{u n }为B 数列. （I ）首项为1，公比为q (|q |<1)的等比数列是否为B 数列？请说明理由； （II ）设S n 为数列{x n }的前n 项和，给出下列两组论断： A 组：1? 数列{x n }是B 数列，2?数列{x n }不是B 数列B 组：1? 数列{S n }是B 数列，2?数列{S n }不是B 数列请以其中一组的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论，组成一个命题，并判断所给命题的真假，并证明你的结论； （III ）若数列{a n },{b n }都是B 数列，证明：{a n b n }也是B 数列. 2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1,F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的左，右焦点，A,B 是椭圆E 的左，右顶点，D (1,0)为线段OF 2的中点，且??→AF 2+5??→BF 2=?→0. （I ）求椭圆E 的方程； （II ）若M 为椭圆E 上的动点（异与点A,B ），连接MF 1并延长交椭圆E 于点N ，连接MD.ND 并分别延长交椭圆E 于点P,Q ，连接P Q .设直线MN 、P Q 的斜率存在且分别为k 1,k 2,试问是否存在常数λ，使得k 1+λk 2=0恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由. 3.已知函数 f (x )=ln x ?ax +a x ,其中a 为常数. （I ）若f (x )的图像在x =1处的切线经过点(3,4)，求a 的值；（II ）若00；（III ）当函数f (x )存在三个不同的零点时，求a 的取值范围. 4.设x,y,z 为非负实数，满足xy +yz +zx =1,证明：1x +y +1y +z +1z +x ≥52 .5.设f (x )是定义在区间(1,+∞)上的函数，其导函数为f ′(x ),如果存在实数a 和函数h (x ),其中h (x )对任意的x ∈(1,+∞)都有h (x )>0,使得f ′(x )=h (x )(x 2?ax +1),则称函数f (x )具有性质P (a ). （I ）设函数 f (x )=ln x + b +2x +1(x >1),其中b 为常数， 1? 求证：函数f (x )具有性质P (a )；
武汉大学2004年攻读硕士学位研究生入学考试试题 科目名称：数学分析 科目代码：369 一、计算下列各题： 1．求2 12lim ( ...),(1)n n n a a a a →∞ + ++ > ； 解 212lim (...)n n n a a a →∞+++211() 1l i m ()11(1) 1n n n n a a a a a a →∞-=-=--- ； 2 、求lim (sin sin x →∞ ； 解 l i m (1n )x →∞ lim 2cos 2 2 x →∞ = lim 2sin 02 x →∞ ==； 3、求2 3 sin()lim x x t dt x →? ； 解 2 3 s i n ()l i m x x t d t x →? 2 2 sin()lim (')3x x L Hospital x →=法则 13 = ； 4、 设2 1 1arctan 2n n k S k == ∑，求lim n n S →∞ . 解：利用公式arctan arctan arctan 1x y x y xy --=+， 2 1 11a r c t a n a r c t a n a r c t a n 22121 k k k = - -+， 2 1 1 arctan 2n n k S k == ∑111arctan arctan 2121n k k k =? ?=- ?-+? ?∑
1 a r c t a n 1 a r c t a n 21 n =-+， lim 4 n n S π →∞ = ，即2 1 1arctan 24 k k π ∞ == ∑。 5. 求 4 8 12 4 8 12 1... 59! 13! 1...3! 11!15! ππ π ππ π + + + ++ +++！ 7！； 解 设 4 8 12 4 8 12 1... ()59! 13! 1() ...3! 11!15! A B π π π ππ π π π+ + + += + +++！ 7！， 则有 33 ()()sin ()()2 A B e e A B ππ πππππππππ-?-=? ?-+=?? 23 ()4() 4e e A e e B π π ππ πππππ ---? = =- 。 6. " (,)()(),()(,)xy x xy y F x y x yz f z dz f z F x y = -? 设：其中为可微函数，求。 解 '2 (,)()()()()xy x y y F x y z f z dz x xy xf xy = -+-? ， "22 2 (,)( )(23)()(1)()xy x x F x y f x y f xy xy y f xy y y '= +-+-。 二、设113(1)0(1,2,3...)3n n n x x x n x ++>= =+，，，证明：lim n n x →∞ 存在，并求出极限。 证明：2 13(1)333n n n n n n n x x x x x x x ++--= -= ++， 13n n x x +- = +， 1(1)n n n x x x +>>> 当不难证明 1(2)n n n x x x +< << 当不难证明
高数上册复习考试 2009年12月15日 第一章函数与极限 一、 函数 1．认识一些常用函数和初等函数。 2．求函数的自然定义域。 二、 极限 1．极限的计算 （1）善于恒等化简和极限的四则运算法则 （2）常用的计算方法 （a ）常用极限 0lim =∞→n a n ，)1(0lim <=∞→q q n n ，1lim =∞→n n n ，)0(1lim >=∞→a a n n ，e n f n f n =?? ????+∞→) ()(11lim （∞→)(n f ），[] e n g n g n =+∞ →) (1 )(1lim （0)(→n g ）， ) () (sin lim n f n f n ∞→ = 1 （0)(→n f ）。 （b ）一些常用的处理方法 (i)分子分母都除以n 的最高次幂。 例如： 3 562 366742n n n n n n -+++ = 3 4311611714 2n n n n -+++， 3 562346742n n n n n n -+++ =
3 4321161171412 n n n n n -+++ 4 3 43252 3n n n n n ++++ = 433 21512113 1n n n n ++++ (ii)根号差的消除。 例如： )(n f －)(n g = ) ()()()(n g n f n g n f +-， 3 ) ()()(n g n f n h - = ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) [][]2 35 3 4 3 3 3 2 2 3 3 3 4 5 )()()() () ()() () () ()() ()()(n g n f n g n g n f n g n f n g n f n g n f n f n h -?? ? ?? ? ++ ++ + (iii)指数函数的极限。 )()(lim n v n n u ∞ → = [] ) (lim )(lim n v n n n u ∞ →∞ → (都存在）)(lim ,0)(lim n v n u n n ∞ →∞ →>。 (iv)利用指数函数的极限。 当)(lim n f n ∞ →=1时， [] ) ()(lim n g n n f ∞ → = [] [])(1)(1 )(1 1)(1lim n g n f n f n n f --∞ →-+ = [][]) (1)(1)(1 1)(1lim n g n f n f n n f --∞→? ?????-+ = []) (1)(lim n g n f n e -∞ → (v)转化为函数的极限可以用洛必达法则。 )(lim n f n ∞ → = )(lim x f x +∞ → (vi)利用两边夹原理。 把)(n f 分别缩小、扩大一点点得简单的)(n g 、)(n h ，)(n g ≤)(n f ≤)(n h ， 使容易求得A n h n g n n ==∞ →∞ →)(lim )(lim ，则A n f n =∞ →)(lim 。 （c ）当n x 用递归式给出时
1.对于数列{u n }，若存在常数M >0，对任意的n ∈N*，恒有 |u n +1－u n |+|u n －u n －1|+…+|u 2－u 1|≤M ， 则称数列{u n }为B —数列. (1)首项为1，公比为q (|q |<1)的等比数列是否为B —数列?请说明理由； (2)设S n 是数列{x n }的前n 项和，给出下列两组判断： A 组：①数列{x n }是 B —数列，②数列{x n }不是B —数列； B 组：③数列{S n }是B —数列，④数列{S n }不是B —数列. 请以其中一组中的论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题，判断所给出的命题的真假，并证明你的结论； (3)若数列{a n }、{b n }都是B —数列，证明：数列{a n b n }也是B —数列. 【解析】(1)由题意，u n =q n －1，|u i +1－u i |=|q |i － 1(1－q )， 于是： |u n +1－u n |+|u n －u n －1|+…+|u 2－u 1| =(1－q )·1－|q |n 1－|q | ≤1－|q |n ≤1， 由定义知，数列为B —数列. (2)命题1：数列{x n }是B —数列，数列{S n }是B —数列.此命题是假命题. 取x n =1(n ∈N*)，则数列{x n }是B —数列；而S n =n ， |S n +1－S n |+|S n －S n －1|+…+|S 2－S 1|=n ， 由于n 的任意性，显然{S n }不是B —数列. 命题2：若数列{S n }是B —数列，则数列{x n }是B —数列.此命题是真命题. 证明：|S n +1－S n |+|S n －S n －1|+…+|S 2－S 1|=|x n +1|+|x n |+…+|x 2|≤M ， 又因为 |x n +1－x n |+|x n －x n －1|+…+|x 2－x 1| ≤|x n +1|+2|x n |+2|x n －1|+…+2|x 2|+|x 1| ≤2M +|x 1|， 所以：数列{x n }为B —数列. (3)若数列{a n }、{b n }均为B —数列，则存在正数M 1，M 2，对于任意的n ∈N*，有
_ 武汉大学网络教育入学考试 专升本 高等数学 模拟试题 一、单项选择题 1、在实数范围内，下列函数中为有界函数的是( b ) A.x y e = B.1sin y x =+ C.ln y x = D.tan y x = 2、函数23 ()32 x f x x x -= -+的间断点是( c ) A.1,2,3x x x === B.3x = C.1,2x x == D.无间断点 3、设()f x 在0x x =处不连续，则()f x 在0x x =处( b ) A. 一定可导 B. 必不可导 C. 可能可导 D. 无极限 4、当x →0时，下列变量中为无穷大量的是（ D ） A.sin x x B.2x - C. sin x x D. 1sin x x + 5、设函数()||f x x =，则()f x 在0x =处的导数'(0)f = ( d ) A.1 B.1- C.0 D.不存在. 6、设0a >，则2(2)d a a f a x x -=? ( a ) A.0 ()d a f x x - ? B.0 ()d a f x x ? C.0 2()d a f x x ? D.0 2()d a f x x -? 7、曲线2 3x x y e --=的垂直渐近线方程是( d ) A.2x = B.3x = C.2x =或3x = D.不存在 8、设()f x 为可导函数，且()() 000lim 22h f x h f x h →+-=，则0'()f x = ( c ) A. 1 B. 2 C. 4 D.0 9、微分方程''4'0y y -=的通解是( d ) A. 4x y e = B. 4x y e -= C. 4x y Ce = D. 412x y C C e =+ 10、级数 1 (1)34 n n n n ∞ =--∑的收敛性结论是（ a ） A. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 无法判定 11 、函数 ()f x =( d )