高数上册复习考试
2009年12月15日
第一章函数与极限
一、 函数
1．认识一些常用函数和初等函数。 2．求函数的自然定义域。
二、 极限
1．极限的计算
（1）善于恒等化简和极限的四则运算法则 （2）常用的计算方法 （a ）常用极限
0lim =∞→n a
n ，)1(0lim <=∞→q q n n ，1lim =∞→n n n ，)0(1lim >=∞→a a n n ，e n f n f n =??
????+∞→)
()(11lim
（∞→)(n f ），[]
e n g n g n =+∞
→)
(1
)(1lim （0)(→n g ）， )
()
(sin lim
n f n f n ∞→ = 1 （0)(→n f ）。
（b ）一些常用的处理方法 (i)分子分母都除以n 的最高次幂。 例如：
3
562
366742n n n n n n -+++ =
3
4311611714
2n
n n n -+++，
3
562346742n n n n n n -+++ =
3
4321161171412
n
n n n n -+++
4
3
43252
3n
n n n n ++++ =
433
21512113
1n
n n n ++++ (ii)根号差的消除。
例如：
)(n f －)(n g =
)
()()()(n g n f n g n f +-，
3
)
()()(n g n f n h - =
(
)(
)
(
)(
)(
)(
)
(
)(
)
[][]2
35
3
4
3
3
3
2
2
3
3
3
4
5
)()()()
()
()()
()
()
()()
()()(n g n f n g n g n f n g n f n g n f n g n f n f n h -??
?
??
?
++
++
+
(iii)指数函数的极限。
)()(lim n v n n u ∞
→ = []
)
(lim )(lim n v n n n u ∞
→∞
→ (都存在）)(lim ,0)(lim n v n u n n ∞
→∞
→>。
(iv)利用指数函数的极限。 当)(lim n f n ∞
→=1时，
[]
)
()(lim n g n n f ∞
→ = []
[])(1)(1
)(1
1)(1lim n g n f n f n n f --∞
→-+ = [][])
(1)(1)(1
1)(1lim n g n f n f n n f --∞→?
?????-+
= [])
(1)(lim n g n f n e
-∞
→
(v)转化为函数的极限可以用洛必达法则。
)(lim n f n ∞
→ = )(lim x f x +∞
→
(vi)利用两边夹原理。
把)(n f 分别缩小、扩大一点点得简单的)(n g 、)(n h ，)(n g ≤)(n f ≤)(n h ，
使容易求得A n h n g n n ==∞
→∞
→)(lim )(lim ，则A n f n =∞
→)(lim 。 （c ）当n x 用递归式给出时
（i ）用数学归纳法证明{}n x 是单调有界的，从而A x n n =∞→lim 存在；
（ii ）对n x 的递归式两边取极限得关于A 的方程，再解出A 。 （d ）记得一些等价关系 当 )(lim n f n ∞
→= 0 时，
)(sin n f ～)(n f ，)(tan n f ～)(n f ，)(arcsin n f ～)(n f ，)(arctan n f ～)(n f
1－)(cos n f ～[]2)(2
1n f ，[]a n f )(1+～[])(n f a ，1)(-n f e ～)(n f ，
[])(1ln n f +～)(n f
（3）函数极限的计算
（a ）（2）中常用的计算方法对函数的六种极限都仍然适用。 （b ）如果已知)(x f 在x 0点连续，则 )(lim 0
x f x x → = )(0x f 。
（c ）记得一些等价关系。（lim 表示六种极限之一） 当 )(lim x f = 0 时，
)(sin x f ～)(x f ，)(tan x f ～)(x f ，)(arcsin x f ～)(x f ，)(arctan x f ～)(x f
1－)(cos x f ～[]2)(2
1
x f ，[]a x f )(1+～[])(x f a ，1)(-x f e ～)(x f ，
[])(1ln x f +～)(x f
（d ）（lim 表示六种极限之一） 当)(lim x f =1时，
[]
)
()(lim x g x f = [][])(1)(1
)(1
1)(1lim x g x f x f x f ---+ = [][])
(1)(1)(1
1)(1lim x g x f x f x f --?
?????-+
= [])
(1)(lim x g x f e
-
（e ）利用两边夹原理。
把)(x f 分别缩小、扩大一点点得简单的)(x g 、)(x h ，
)(x g ≤)(x f ≤)(x h ，
使容易求得A x h x g ==)(lim )(lim ，则A x f =)(lim 。 （f ）不定式的极限（lim 表示六种极限之一） (i)当极限是0
或
∞
∞
型的不定式时，可用洛必达法则： )()(lim
x g x f = )
()
(lim x g x f '' （洛必达法则可以反复应用，但每次应用都要先检查类型。） (ii)对于0∞型的不定式，先变形，再用洛必达法则。
)()(lim x g x f = )(1)(lim
x f x g = []'??????')(1)(lim x f x g = )(1)
(lim x g x f = []'?
?
?
???')(1)(lim x g x f (iii)对于00、∞1、∞0型的不定式。
)()(lim x g x f = f(x)g(x)e ln lim = )(ln )( lim x f x g e = g(x)
1)
(ln
lim x f e = []'??
????'
g(x)1)(ln
lim x f e
(iv)对于∞－∞型的不定式，先计算成一个式子再计算。 （g ）如果0)
()
(lim
≠=c x g x f ，则0)(lim 0)(lim =?=x f x g 。 2．极限的证明
（1）证明 )(lim n f n ∞→= A 的格式
证· 0>?ε，
（打草稿从不等式ε<-A n f )(解出)(εN n >（必要时将A n f -)(放大一
点点得一个简单的>)(n g A n f -)(，再从ε<)(n g 解出)(εN n >）） （*）
取)(εN N =。当N n >时，
（由N n >正确推出ε<-A n f )(（一般是（*）的倒推））
故 )(lim n f n ∞
→= A 。
证明 )(lim 0
x f x x →= A 的格式
证· 0>?ε，
（打草稿从不等式ε<-A x f )(解出)(0εδ<-x x （必要时将A x f -)(放大一点点得一个简单的>)(x g A x f -)(，再从ε<)(x g 解出)(0εδ<-x x ）
） （*） 取)(εδδ=。当δ<-0x x 时，
（由δ<-0x x 正确推出ε<-A x f )(（一般是（*）的倒推）） 故 )(lim 0
x f x x →= A 。
（其它类型极限的证明格式完全类似。） （2）证明 )(lim n f n ∞
→ 存在但不管它是什么。 用数学归纳法证明)(n f 单调并且有界，再根据单调有界原理得出结论。
三、连续性和间断点
1．)(x f 在0x 点连续?)()(lim 00
x f x f x
x =→?)()(lim )(lim 000
x f x f x f x x x x ==-+→→ 要证明)(x f 在0x 点连续就是要证明)()(lim 00
x f x f x
x =→；如果0x 是分段点，则要证明)()(lim )(lim 000
x f x f x f x x x x ==-+
→→。
2．间断点。 （1）找间断点
如果)(x f 在0x 的两边都有定义但)(0x f 没有定义，则0x 是)(x f 的间断点；分段函数的分段点可能是它的间断点。 （2）间断点分类
（a ）如果0x 是)(x f 的间断点并且)(lim 0
x f x x +
→和)(lim 0
x f x x -→都存在，则0x 是第
一类间断点。
（b ）如果)(lim 0
x f x x +→或)(lim 0
x f x x -→至少有一个不存在，则0x 是第二类间断
点。
（c ）如果)(lim 0
x f x
x →存在（即)(lim )(lim 00
x f x f x x x x -+→→=都存在），但)(0x f 没有
定义或)()(lim 00
x f x f x x ≠→，则0x 是可除间断点。重新定义
)(lim )(0
0x f x f x x →=可使0x 变成连续点。
3．闭区间上连续函数的性质
（1）零点存在定理。（2）介值定理。（3）最值定理。
第二章导数与微分
一、导数的计算
1．
用定义计算导数
当要求导的函数不是初等函数时，比如分段函数的分段点或函数没有具体表示式时，直接用定义计算它在0x 点的导数。
000000)()(lim )()(lim lim
)(0x x x f x f x x f x x f x y
x f x x x x --=?-?+=??='→→?→? 2． 用求导公式计算导数
当要求导的函数是初等函数时，用求导公式和复合函数求导法求导数。要记熟用熟相关公式。 3．
复合函数求导
（1）一次复合
如果))((),(),(x f y x u u f y ??===，则
[])())(())(())((x x f x f dx
d x f dx dy y ????''=='==
' dx
du
du dy dx dy =
（2）多次复合
如果)))(((),(),(),(t f y t x x u u f y ψ?ψ?====，则
[])())(()))((()))((()))(((t t t f t f dx
d t f dt dy ψψ?ψ?ψ?ψ?'''=='= dt
dx
dx du du dy dx dy =
更多层次的复合函数的求导方法类推。 4．
隐函数求导
（1）一阶导数的求导步骤：
（a ）把y 看成x 的函数时，0),(=y x F 是一个恒等式；
（b ）用复合函数求导方法对恒等式0),(=y x F 两边对x 求导（求导时
记得y 中有x ）得新的恒等式0),,(='y y x G ； （c ）从0),,(='y y x G 解出y '=),(y x D 。 （2）要求二阶导数时，有两种方法：
（a ）用复合函数求导方法恒等式0),,(='y y x G 两边对x 求导（求导时记得y 和y '中都有x ）得新的恒等式0),,,(='''y y y x H ，再从
0),,,(='''y y y x H 解出y ''=),,(y y x E '，最后代入y '=),(y x D 得y ''=)),(,,(y x D y x E 。
（b ）用复合函数求导方法恒等式y '=),(y x D 两边对x 求导（求导时记
得y 中有x ）得y ''=),,(y y x F '，最后代入y '=),(y x D 得
y ''=)),(,,(y x D y x F 。
更高阶导数的求导方法类推。 5．
参数表示的函数求导
（1）?
?
?==)()
(t y t x ψ?表示的函数)(x y y =在t 点的一阶导数 )()(t t dt
dx dt dy
dx dy y ?ψ''==='
（2）要求二阶导数时，可对??
?
??''='==)()()(t t y p t x ?ψ?表示的函数)(x p p =再次求
导：
)()()(22t t t dx dp y dx d dx
y d y t
??ψ''?
?????''=
='=='' 更高阶导数的求导方法类推。 6．
对数求导法
[][]复合函数求导法）( )()
(ln )()
('='x u x v x v e
x u ）
二、高阶导数
1．
常用函数的高阶导数
[]??
???>=<+--++++=-+n m n m a n n
m x a m n n n x a m a m x p n m n n m m m n ,0,!,)1()1(2)1(!)(1)
( 其中n n n x a x a a x p +++= 10)(。
()
x m x e e =)
(
())2sin(sin )(πm x x m +
= ())2
cos(cos )
(π
m x x m +=
1
)
(!
)1(1+-=
??
?
??m m m x m x []m
m m x m x )
1()!1()1()1ln(1)(+--=+- 2． 莱布尼茨公式
)
()(0)
()
(k n k n
k k n n v u C uv -=∑= 与二项式公式完全类似。
特别注意：当u 是低次多项式时，公式中的项数很少，非常简单。
三、微分的计算
1．
函数)(x f y =在x 点的微分
dx x f dy )('=
2．当)(),(t x x f y ?==复合函数时，微分公式也是
dx x f dy )('=
3．)()()(dx dx x f x dy y +'=?+=?，否则不可微。
四、可导、可微、连续的关系
可导?可微?连续
但连续的函数不一定可导、可微。例如：y=|x|，x=0点。
第三章微分中值定理与导数的应用
一、导数的意义
)(x f '是曲线)(x f y =在x 点切线的斜率；如果)(t s 是路程函数，则)(t s '是在时间t 时的速度；如果)(t v 是速度函数，则)(t v '是在时间t 时的
加速度。
二、中值定理
1．
费马定理
如果0x 是)(x f 的极值点，并且)(0x f '存在，则)(0x f '= 0，即0x 是驻点。
费马定理是中值定理的基础。 2．
罗尔定理
条件：[]??
?
??=)()()b ,a ()(b ,a )(b f a f x f x f 内可导；在开区间上连续；在闭区间
结论：至少存在一点),(b a ∈ξ使得)(ξf '=0。
罗尔定理的三个条件，如果缺少一个，结论就得不到保证。例如：
??
?=<≤=1,
01
0,)(x x x x f ；)(x f =)1(,≤x x ；)(x f =)10(,≤≤x x 。 3． 拉格朗日中值定理
条件：[]()?
??内可导在开区间上连续在闭区间
b a x f b a x f ,)(;,)(
结论：至少存在一点),(b a ∈ξ使得)(ξf '=
a
b a f b f --)
()(。
拉格朗日中值定理的两个条件，如果缺少一个，结论就得不到保证。例如：
?
?
?=<≤=1,01
0,)(x x x x f ；)(x f =)1(,≤x x 。 如果)(x f 在),(b a 内可导，()b a x x x ,,00∈?+，则存在()1,0∈θ使得
x x x f x f x x f ??+'+=?+)()()(000θ
其中x
x ?-=0
ξθ是ξ的分比。这就是有限增量公式。
4．
柯西中值定理
条件：[]()()??
?
??≠'0)(,,)()(,)()(x F b a b a x F x f b a x F x f 中在开区间内可导；在开区间和上连续；在闭区间和
结论：至少存在一点),(b a ∈ξ使得)()(ξξF f ''=)
()()
()(a F b F a f b f --。 5．
中值定理的证明题。
方法是凑一个函数应用相应的中值定理。注意到：
[]
)()()()()()()
(x g x f e x g e x g e
x f x f x f '+'='
[]
)()()(x g e x g e x g e
x x x
λλλλ+'='
[]
)()()(1x g x x g x x g x
-+'='
λλλ
λ
中有一项多一部分)(x f '。
三、泰勒公式
1．
泰勒公式
)()(!
)()(!2)()(!1)()()(00)(2
00)2(000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-+-'+=
其中余项)(x R n 的主要形式有 （1） 拉格朗日余项
10)1()()!
1()
()(++-+=n n n x x n f x R ξ，（ξ在0x 与x 之间）
（2） 皮亚若余项
()n
n x x x R )()(0-= 。
如果M x f n ≤+)()1(，则，用n 次泰勒多项式
n n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(!
)()(!2)()(!1)()()(00)(2
00)2(000-++-+-'+=
近似代替)(x f 产生的误差估计为
1
)!
1()(+-+≤
n n x x n M
x R
2．
为备用，熟记一些常用函数的麦克劳琳公式（00=x 的泰勒公
式）
12)!
1(!1!21!111+++++++=n x
n x
x n e x n x x e θ
1
1
132)
1)(1()1()1(3121)1ln(++-++-+-+++-=+n n n n n x x n x n x x x x θ 1212153)!
12(2)12(sin )!12()1(!51!31sin +--+??????
+++
--+-+-=m m m x m m x x m x x x x πθ []2
2242)!
22()1(cos )!2()1(!41!211cos +++++-+-+-=m m m x m m x x m x x x πθ
3． 用间接法写函数的泰勒公式
（1） 作变换0x x t -=：)(x f =)(0t x f +； （2） 写出)(0t x f +关于t 的麦克劳琳公式：
（a ） 适当恒等化简，把某组东西看成一个整体，使函数变成麦
克劳琳公式已知的函数； （b ） 利用已知写出麦克劳琳公式； （c ） 整理。 （3） 代回变量0x x t -=。 4.用函数的泰勒公式求极限.
四、求极值、最值
1．
极值问题
（1） 极值点的范围
根据费马定理，)(x f 极值点的范围：全部导数不存在的点和)(x f '= 0的全部解。 （2） 求极值的步骤
（a ） 求出)(x f '不存在的全部点：n t t t ,,,21 ； 求出)(x f '= 0的全部解：m x x x ,,,21 。
（b ） 逐点．．
用)(x f '或)(i x f ''判断i x 是否极值点，是极大值点还是极小值点；逐点．．用)(x f '或定义判断i t 是否极值点，是极大值点还是极小值点。一定要有明确的结论。 用)(x f '判断：
?????
?
?'>'<'<'>' )()()iii ()(0)(0)()ii ()(0)(0)()i ()(的极值点。不是的左右附近同号，则
在若的极小值点。是，则的右边附近，在的左边附近若在的极大值点。是，则的右边附近，在的左边附近若在的某去心领域内可导。点连续，在在设x f x x x f x f x x f x x f x x f x x f x x f x x x x f i i i i i i i i i i
用)(i x f ''判断：??
?
??
>''<''='''的极小值点。
是，则如果的极大值点。是，则如果。存在且设)(0)()ii ()(0)()i (0)()(x f x x f x f x x f x f x f i i i i i i
（c ） 必要时求出极值。 2．
求最值
（1）一般情况 （a ）最值点的范围
)(x f 最值点的范围：全部导数不存在的点和)(x f '= 0的全部解以及端点。
（b ）在[]b a ,上求最值的步骤
（i ）求出)(x f '不存在的全部点：m x x x ,,,21 ； 求出)(x f '= 0的全部解：n t t t ,,,21 。
（ii ）)}(,),(),(,),(),(),(m ax {11max n m t f t f x f x f b f a f f =
)}(,),(),(,),(),(),(m in{11min n m t f t f x f x f b f a f f =
相应的点为相应的最值点。（如果求最值的区间是),[b a 、],(b a 或),(b a ，则没有的端点就不在考虑之内。） （2）特殊情况
如果
（i ）根据问题的实际能判断得知)(x f 的最大（小）值肯定在),(b a 内取得；
（ii ）在),(b a 内)(x f '不存在或)(x f '= 0只有一个点0x 。 则0x 就是)(x f 的最大（小）值点。