武汉大学2019-2020第二学期高等数学A2期末试卷(A卷)

2019-2020学年武汉市名校数学高二第二学期期末统考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知函数log (8)a y ax =-(其中0a >，1a ≠)在区间[1,4]上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．1(0,)2C ．1(,1)2D ．(1,2)2．曲线1y x x =-上一点74,4P ⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程是（ ）．A ．51680x y ++=B ．51680x y -+=C ．51680x y +-=D ．51680x y --=3．由曲线24x y =，24x y =-，4x =，4x =-围成图形绕y 轴旋转一周所得为旋转体的体积为1V ，满足2216x y +≤，22(2)4x y +-≥，22(2)4x y ++≥的点(,)x y 组成的图形绕y 轴旋一周所得旋转体的体积为2V ，则（ ） A ．1212V V =B ．1223V V =C ．12V V =D ．122V V =4．复数2)(1z i i =+(i 为虚数单位)等于（） A ．2B ．2-C ．2iD ．2i -5．过点(2,0)-且斜率为23的直线与抛物线C ：24y x =交于M ，N 两点，若C 的焦点为F ，则FM FN ⋅=u u u u v u u u v（ ）A ．5B ．6C ．7D ．86．设k 1111S k 1k 2k 32k=+++⋯++++,则1k S +=( ) A ．()k 1S 2k 1++B ．()k 11S 2k 12k 1++++ C ．()k 11S 2k 12k 1+-++ D ．()k 11S 2k 12k 1+-++7．函数()24412x f x x -+=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．8．5(12)(2)x x --的展开式中，3x 的系数是（ ） A ．160B ．-120C ．40D ．-2009．已知集合A ＝{x ｜x ＜1}，B ＝{x ｜3x ＜1}，则A∩B＝（ ） A ．{x ｜x ＜0}B ．（x ｜x ＞0}C ．{x ｜x ＞1}D ．{x ｜x ＜1}10．下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的是（ ） A ．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条直线，若，则B ．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条向量，若，则C ．在平面内，若两个正三角形的边长的比为，则它们的面积比为.类比推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为，则它们的体积比为D ．若，则复数.类比推理：“若，则”11．已知等式 ，定义映射，则( )A ．B ．C ．D ．12．若2131aii i+=--+，a R ∈，则a =（ ） A ．4-B ．3-C ．3D ．4二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知x 、y 满足组合数方程21717x yC C =，则xy 的最大值是_____________.14．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 ．15．在未来3天中，某气象台预报天气的准确率为0.8，则在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是______．16．已知“x m ≥”是“124x>”的充分不必要条件，且m ∈Z ，则m 的最小值是_____． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知椭圆2222:1x y C a b += ()0a b >> 的离心率为22，其中左焦点()2,0F -.（1）求出椭圆C 的方程；（2）若直线y x m =+与曲线C 交于不同的,A B 两点，且线段AB 的中点M 在曲线222x y +=上，求m的值.18．如图，矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，60ABE ∠=︒，G 为BE 中点.()1求证：平面ACG ⊥平面BCE ； ()2若3AB BC =，求二面角B CA G --的余弦值.19．（6分）如图，圆柱的轴截面是11ABB A ，D 为下底面的圆心，1C C 是母线，12AC BC CC ===.（1）证明：1//AC 平面1B CD ； （2）求三棱锥11A CDB -的体积.20．（6分）已知函数2()(2)1x xf x te t e =++-，t ∈R .（Ⅰ）当1t =-时，求()f x 的单调区间与极值；（Ⅱ）当0t >时，若函数()()41xg x f x e x =--+在R 上有唯一零点，求t 的值 21．（6分）已知复数()3z bi b R =+∈，且()13i z +⋅为纯虚数，求1zi+.（其中i 为虚数单位） 22．（8分）我校食堂管理人员为了解学生在校月消费情况，随机抽取了 100名学生进行调查.如图是根据调査的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图.已知[350,450)，[450,550)，[550,650)金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”.（1）求m ，n 值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数.x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并判断能否有90%的把握认为“高消费群”与性别有关？ 高消费群 非高消费群 合计 男 女 10 50 合计附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++()20P k k …0.100.050.0100.0050k K02.7063.841 6.635 7.879参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】 【分析】分类讨论a 的范围，根据真数的符号以及单调性，求出a 的范围． 【详解】解：函数y ＝log a （8﹣ax ）（其中a ＞0，a ≠1）在区间[1，4]上单调递减， 当a ＞1时，由函数t ＝8﹣ax 在区间[1，4]上单调递减且t ＞0， 故8﹣4a ＞0，求得1＜a ＜1．当0＜a ＜1时，由函数t ＝8﹣ax 在区间[1，4]上单调递减，可得函数y ＝log a （8﹣ax ）在区间[1，4]上单调递增，这不符合条件． 综上，实数a 的取值范围为（1，1）， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、一次函数的性质，属于中档题． 2．A 【解析】 【分析】求导利用导数的几何意义求出曲线1y x =-74,4P ⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线斜率,再用点斜式写出方程即可. 【详解】 由题21'y x =-.故4215'|416x y ==-=-.故曲线1y x =-74,4P ⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程是()754416y x +=--. 化简得51680x y ++=. 故选：A 【点睛】本题主要考查了根据导数的几何意义求解函数在某点处的切线方程.属于基础题. 3．C 【解析】【分析】由题意可得旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y 轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为||y ，求出所得截面的面积相等，利用祖暅原理知，两个几何体体积相等． 【详解】解：如图，两图形绕y 轴旋转所得的旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y 轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为||y ，所得截面面积21(44||)S y π=-，22222(4)[4(2||)](44||)S y y y πππ=----=-12S S ∴=，由祖暅原理知，两个几何体体积相等，故选：C ．【点睛】本题主要考查祖暅原理的应用，求旋转体的体积的方法，体现了等价转化、数形结合的数学思想，属于基础题． 4．B 【解析】 【分析】由复数的乘法运算法则求解. 【详解】()212 2.z i i i i =+==-g 故选B ．【点睛】本题考查复数的乘法运算，属于基础题. 5．D 【解析】分析：由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，由点斜式求出直线方程，与抛物线方程联立求出,M N 的坐标，利用数量积的坐标表示可得结果. 详解：抛物线2:4C y x =的焦点为()1,0F ，过点()2,0-且斜率为23的直线为324y x =+， 联立直线与抛物线2:4C y x =，消去x 可得，y y -+=2680，解得122,4y y ==，不仿()()1,2,4,4M N ，()()0,2,3,4FM FN ==u u u u v u u u v，则()()0,23,48FM FN ⋅=⋅=u u u u r u u u r，故选D.点睛：本题考查抛物线的简单性质的应用，平面向量的数量积的应用，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题. 6．C 【解析】分析：由题意将k 替换为1k +，然后和k S 比较即可. 详解：由题意将k 替换为1k +，据此可得：()()()()1111111121321k S k k k k +=+++++++++++L()111123421k k k k =++++++++L ()11111123422121k k k k k k =+++++++++++L ()111111111234221211k k k k k k k k =+++++++-+++++++L ()1111111123422121k k k k k k k =++++++-++++++L ()112121k S k k =+-++. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查数学归纳法中由k 到k+1的计算方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7．D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性排除选项，利用特殊值定义点的位置判断选项即可． 【详解】函数2441()2x f x x-+=是偶函数，排除选项B ，当x=2时，f （2）=1532-＜0，对应点在第四象限，排除A ，C ； 故选D ． 【点睛】本题考查函数的图象的判断，考查数形结合以及计算能力． 8．D 【解析】 【分析】将已知多项式展开,将求展开式中3x 的项的系数转化为求二项式展开式的项的系数;利用二项展开式的通项公式求出通项,令通项中的r 分别取32，求出二项式的含3x 和含2x 的系数． 【详解】555(12)(2)2(12)(12)x x x x x --=---5(12)x -Q 的展开式的通项为155(2)(2)r r r r r r T C x C x +=-=-，令3r =得5(12)x -展开式中3x 的项的系数是35880C -=-, 令2r =得5(12)x -展开式中2x 的项的系数是25440C =,555(12)(2)2(12)(12)x x x x x ∴--=---的展开式中3x 的项的系数是2(80)40200⨯--=-.故选:D . 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用,其中解答中熟记二项展开式的通项,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,难度较易. 9．A 【解析】 【分析】分别求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ． 【详解】∵集合A ＝{x|x ＜1}，B ＝{x|3x ＜1}＝{x|x ＜0}， ∴A ∩B ＝{x|x ＜0}． 故选：A ． 【点睛】本题考查交集的求法及指数不等式的解法，考查运算求解能力，是基础题．10．D【解析】【分析】对四个答案中类比所得的结论逐一进行判断，即可得到答案【详解】对于，空间中，三条直线，若，则与不一定平行，故错误对于，若，则若，则不正确，故错误对于，在平面上，正三角形的面积比是边长比的平方，类比推出在空间中，正四面体的体积是棱长比的立方，棱长比为，则它们的体积比为，故错误对于，在有理数中，由可得，，解得，故正确综上所述，故选【点睛】本题考查的知识点是类比推理，解题的关键是逐一判断命题的真假，属于基础题．11．C【解析】试题分析：本题可以采用排除法求解，由题设条件，等式左右两边的同次项的系数一定相等，故可以比较两边的系数来排除一定不对的选项，由于立方项的系数与常数项相对较简单，宜先比较立方项的系数与常数项，由此入手，相对较简．解：比较等式两边x3的系数，得4=4+b1，则b1=1，故排除A，D；再比较等式两边的常数项，有1=1+b1+b2+b3+b4，∴b1+b2+b3+b4=1．故排除B故应选C考点：二项式定理点评：排除法做选择题是一种间接法，适合题目条件较多，或者正面证明、判断较困难的题型．12．A【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数21aii++，然后利用复数相等的性质列方程求解即可.详解：因为()()()()2i1i 2i1i1i1iaa+-+=++-()()22i 2a a ++-=13i =--，所以212232aa +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得4a =-，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．128 【解析】 【分析】由组合数的性质得出()208y x x =≤≤或217x y +=，然后利用二次函数的性质或基本不等式求出xy 的最大值，并比较大小可得出结论. 【详解】x Q 、y 满足组合数方程21717x yC C =，()208y xx ∴=≤≤或217x y +=，当2y x =时，则[]220,128xy x =∈；当217x y +=时，222172892224x y xy +⎛⎫⎛⎫≤==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因此，当216x y ==时，xy 取得最大值128. 故答案为：128. 【点睛】本题考查组合数基本性质的应用，同时也考查了两数乘积最大值的计算，考查了二次函数的基本性质的应用以及基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 14．283π-． 【解析】试题分析：由三视图可得几何体为正方体挖去一个圆锥：则：，211212333S Sh ππ==⨯⨯=圆锥． 得体积为：283π-考点：三视图与几何体的体积． 15．0.768【解析】 【分析】至少连续2天预报准确包含3种情况：①三天都预报准确；②第一二天预报准确，第三天预报不准确；③第一天预报不准确，第二三天预报准确．分别求解后根据互斥事件的概率加法公式求解即可． 【详解】至少连续2天预报准确包含3种情况： ①三天都预报准确，其概率为30.80.512=；②第一二天预报准确，第三天预报不准确，其概率为20.80.20.128⨯=； ③第一天预报不准确，第二三天预报准确，其概率为20.20.80.128⨯=． ∴在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是0.5120.1280.1280.768P =++=．即所求概率为0.768． 【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率的求法和互斥事件的概率，解答类似问题时首先要分清概率的类型，然后在选择相应的公式求解．某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对立事件的概率，这样可减少运算量，提高准确率．要注意“至多”“至少”等题型的转化． 16．1- 【解析】 【分析】先求解指数不等式，再运用充分不必要条件求解范围. 【详解】1224x x >⇒>-，则由题意得2m >-，所以m 能取的最小整数是1-． 【点睛】本题考查指数不等式和充分不必要条件，属于基础题. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）22184x y +=（2）32m =或3m =-【解析】 【分析】（1）根据离心率和焦点坐标求出,a b ，从而得到椭圆方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出M 点横坐标，代入直线得到M 坐标；再将M 代入曲线方程，从而求得m . 【详解】（1）由题意得：2c a =，2c =解得：a =2b =所以椭圆C 的方程为：22184x y +=（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点为()00,M x y由22184x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得2234280x mx m ++-= 由29680m ∆=->，解得：m -<<所以120223x x m x +==-，003my x m =+= 因为点()00,M x y 在曲线222x y +=上所以222233m m ⎛⎫-+⨯= ⎪⎝⎭解得：32m =或3m =- 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，关键是能够通过联立，将中点坐标利用韦达定理表示出来，从而利用点在曲线上构造方程，求得结果. 18．()1证明见解析；()27. 【解析】 【分析】()1推出CB AB ⊥，从而CB ⊥平面ABEF ，进而得出CB AG ⊥，再得出AG BE ⊥，从而AG ⊥平面BCE ，由此能证明平面ACG ⊥平面BCE ；()2以A 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B CA G --的余弦值.【详解】解：()1证明：Q 平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB AB ⊥， 平面ABCD I 平面ABEF AB =.∴CB ⊥平面ABEF ，∴CB AG ⊥.在菱形ABEF 中，60ABE ∠=︒，可知ABE △为等边三角形，G 为BE 中点，∴AG BE ⊥.Q BE CB B =I ，∴AG ⊥平面BCE .Q AG ⊂平面ACG ，∴平面ACG ⊥平面BCE .()2由()1知，AD ⊥平面ABEF ，AG BE ⊥，∴AG ，AF ，AD 两两垂直，以A 为原点，如图建立空间直角坐标系. 设2AB =，则23BC =，()0,0,0A ，()3,0,0G ，233,1,C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎭，()3,1,0B -.设(),,m x y z =u r为平面ABC 的法向量，由00m AB m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 可得302330x y x y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩， 取()1,3,0m =u r ，同理可求平面ACG 的法向量()0,2,3n =r，∴2321cos ,27m n m n m n ⋅===⨯u r ru r r u r r ，即二面角B CA G --的余弦值等于217.【点睛】本题考查面面垂直的证明，线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力，考查函数与方程思想，属于中档题. 19．（1）证明见解析；（2）43. 【解析】 【分析】（1）连接1BC 交1B C 于点O ，连接OD ，利用三角形中位线定理证明1//OD AC ，由线面平行的判定定理可得结论；（2）先利用面面垂直的性质证明CD ⊥平面11ABB A ，可得点C 到平面11A DB 的距离为CD ，由11111113A CDBC A DB A DB V V S CD --∆==⨯，结合棱锥的体积公式可得结果. 【详解】（1）如图，连接1BC 交1B C 于点O ，连接OD .Q 四边形11BCC B 是矩形，O ∴是1BC 的中点.∴点D 为AB 的中点，1//OD AC ∴.又OD ⊂平面1B CD ，1AC ⊄平面1B CD ，1//AC ∴平面1B CD . （2）AC BC =Q ，AD BD =，CD AB ∴⊥.在三棱柱111ABC A B C -中，由1AA ⊥平面ABC ，得平面11ABB A ⊥平面ABC . 又平面11ABB A I 平面ABC AB =，CD \^平面11ABB A ，∴点C 到平面11A DB 的距离为CD ，且sin24CD AC π==.11111113A CDBC A DB A DB V V S CD --∆∴==⨯111111422223263A B AA CD =⨯⨯⨯⨯=⨯=. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、以及棱锥体积，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.20．（Ⅰ）()f x 的单调递增区间是(,ln 2)-∞-，单调递减区间是(ln 2,)-+∞.极大值是34-，无极小值.（Ⅱ）1 【解析】 【分析】（Ⅰ）把1t =-代入2()(2)1xx f x tet e =++-，令()0f x '=，求出极值点，再求出()f x 的单调区间，确定函数的极值；（Ⅱ）函数()()41xg x f x e x =--+在R 上有唯一零点，等价于()g x 的极小值等于0，列出等式，可求得t. 【详解】解：（Ⅰ）当1t =-时，2()1xx f x ee =-+-，则()2()2ee e 12e xx x x f x '=-+=-，令()0f x '=，得ln2x =-，∴()f x 的单调递增区间是(,ln 2)-∞-，单调递减区间是(ln 2,)-+∞. ∴()f x 的极大值是3(ln 2)4f -=-，无极小值. （Ⅱ）当0t >时，()()41xg x f x e x =--+2e (2)e xx t t x =+--，由2()2e(2)e 1xx g x t t '=+--()()e 12e 10x xt =-+=，得ln x t =-，∴()g x 在(,ln )t -∞-上单调递减，在(ln ,)t -+∞上单调递增， ∴()g x 的极小值是(ln )g t -，∴只要(ln )0g t -=，即1ln 10t t-+=， 令1()ln 1F t t t =-+，则211()0F t t t '=+>，∴()F t 在(0,)+∞上单调递增. ∵(1)0F =， ∴t 的值是1. 【点睛】本题主要考查利用导函数求增减区间和极值；以及根据函数零点的个数，确定参数的取值，数形结合方法的应用是解决本题的关键.21【解析】 【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义出复数z ，再代入目标式子利用复数的运算法则、模的计算公式即可得到答案． 【详解】复数3i()z b b =+∈R ，且(1)3i z +⋅为纯虚数．即(13)(3)33(9)i bi b b i +⋅+=-++为纯虚数，330b ∴-=，90b +≠， 解得1b =．3z i ∴=+．∴3(3)(1)42211(1)(1)2z i i i i i i i i i ++--====-+++-，|||2|1zi i∴=-=+ 【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、模的计算公式，考查对概念的理解、考查基本运算求解能力，属于基础题．22．（1）0.0025,0.0035m n ==，470x =（2）没有90%的把握 【解析】分析：（1）由题意知 ()1000.6m n +=且20.0015m n =+，得,m n ，用每个矩形的中点值乘以面积求和可得平均值；（2）由题知数据完善2×2列联表，计算2K ，查表下结论即可. 详解：（1）由题意知 ()1000.6m n +=且20.0015m n =+ 解得0.0025,0.0035m n == 所求平均数为：3000.154000.355000.256000.157000.10470x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(元)（2）根据频率分布直方图得到如下2×2列联表：根据上表数据代入公式可得()22100154035101001.332.7062575505075K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯ 所以没有90%的把握认为“高消费群”与性别有关．点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图，考查独立性检验，意在考查学生对统计概率的基础知识的掌握情况. （2）频率分布直方图中，一般利用平均数的公式1122···n n x x p x p x p =+++计算.其中n x 代表第n 个矩形的横边的中点对应的数，n p 代表第n 个矩形的面积.。

2019-2020学年武汉市名校数学高二第二学期期末统考试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．16π B ．20πC ．24πD ．32π【答案】C 【解析】 【分析】根据正四棱柱的底面是正方形,高为4,体积为16,求得底面正方形的边长,再求出其对角线长,然后根据正四棱柱的体对角线是外接球的直径可得球的半径,再根据球的表面积公式可求得. 【详解】依题意正四棱柱的体对角线1BD 是其外接球的直径, 1BD 的中点O 是球心, 如图:依题意设AB BC ==x ,则正四棱柱的体积为:24x 16=,解得2x =, 所以外接球的直径2222444162426R x x ++=++=所以外接球的半径6R =,则这个球的表面积是2424R ππ=.故选C . 【点睛】本题考查了球与正四棱柱的组合体,球的表面积公式,正四棱柱的体积公式,属中档题. 2．设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 分析：求出0.2211log0.3,0.3log a b ==，得到11a b+的范围，进而可得结果． 详解：.0.30.3log0.2,2a b log ==0.2211log0.3,0.3log a b ∴== 0.3110.4log a b ∴+= 1101a b ∴<+<,即01a b ab+<<又a 0,b 0><ab 0∴<即ab a b 0<+<故选B.点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题．3．在“新零售”模式的背景下,自由职业越来越流行，诸如:淘宝网店主、微商等等.现调研某自由职业者的工资收入情况.记x 表示该自由职业者平均每天工作的小时数，y 表示平均每天工作x 个小时的月收入.假设y 与x 具有线性相关关系，则y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+必经过点( ) A ．()3,3 B ．()3,4C ．()4,4D ．()4,5【答案】C 【解析】分析：先求均值，再根据线性回归方程性质得结果. 详解：因为23456 2.534 4.564,455x y ++++++++====，所以线性回归方程ˆˆˆybx a =+必经过点()4,4, 选C.点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求,a b ，写出回归方程，回归直线方程恒过点(,)x y .4．已知关于x 的方程22cos cos 2sin02Cx x A B -+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形【答案】B 【解析】分析：根据题意利用韦达定理列出关系式，利用两角和与差的余弦函数公式化简得到A=B ，即可确定出三角形形状．详解：设已知方程的两根分别为x 1，x 2， 根据韦达定理得：x 1+x 2=cosAcosB ，x 1x 2=2sin 22C=1﹣cosC ， ∵x 1+x 2=12x 1x 2， ∴2cosAcosB=1﹣cosC ， ∵A+B+C=π，∴cosC=﹣cos （A+B ）=﹣cosAcosB+sinAsinB ， ∴cosAcosB+sinAsinB=1，即cos （A ﹣B ）=1， ∴A ﹣B=0，即A=B ， ∴△ABC 为等腰三角形． 故选B ．点睛：此题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有：根与系数的关系，两角和与差的余弦函数公式，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．5．已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为（ ） A ．0.75 B ．0.6C ．0.52D ．0.48【答案】A 【解析】 【分析】记事件:A 该元件使用寿命超过1年，记事件:B 该元件使用寿命超过2年，计算出()P A 和()P AB ，利用条件概率公式可求出所求事件的概率为()()()P AB P B A P A =.【详解】记事件:A 该元件使用寿命超过1年，记事件:B 该元件使用寿命超过2年， 则()0.8P A =，()()0.6P AB P B ==，因此，若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为()()()0.60.750.8P AB P B A P A ===，故选A. 【点睛】本题考查条件概率的计算，解题时要弄清楚两个事件的关系，并结合条件概率公式进行计算，考查分析问题和计算能力，属于中等题.6．已知i 为虚数单位，复数z 满足()11z i +=，则z 的共轭复数z =( ) A ．1122i + B ．1122i - C ．1122-+i D ．1122i -- 【答案】A 【解析】由()1i 1z +=，得()()11i 1111i,i 1i 1i 1i 2222z z -===-∴=+++-，故选A. 7．对于函教,以下选项正确的是( )A ．1是极大值点B ．有1个极小值C ．1是极小值点D ．有2个极大值【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值点,再逐项判断即可． 【详解】当当，故1是极大值点,且函数有两个极小值点故选：A 【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题． 8．设2019220190122019(12)x a a x a x a x -=++++，则20191222019222a a a ++⋯+的值为（ ） A ．2 B ．0C ．1-D ．1【答案】C 【解析】【分析】分别令0x =和12x =即可求得结果. 【详解】()201922019012201912x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+令0x =，可得：01a = 令12x =，可得：2019122201901222a a a =+++⋅⋅⋅+201912220191222a a a ∴++⋅⋅⋅+=- 故选C 【点睛】本题考查二项展开式系数和的相关计算，关键是采用赋值的方式构造出所求式子的形式.9．指数函数x y a =是增函数，而1()2xy =是指数函数，所以1()2xy =是增函数，关于上面推理正确的说法是（ ） A ．推理的形式错误 B ．大前提是错误的 C ．小前提是错误的 D ．结论是真确的【答案】B 【解析】分析: 指数函数xy a =是R 上的增函数，这个说法是错误的，要根据所给的底数的取值不同分类说出函数的不同单调性，有演绎推理的定义可知，大前提错误。

高等数学A （二）带答案一、单项选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B B A A D B C C BA 得分1、设三个向量,,a b c 满足关系式0a b c ++= ，则a b ⨯= （ ）。

(A) c b ⨯ (B) b c ⨯ (C) a c ⨯ (D) b a ⨯2、函数()22,y x y x f +=在点)2,1(处沿向量→l =（ ）的方向导数最大。

(A) )2,1( (B) )4,2( (C) )4,4( (D) )2,2(3、函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数都存在且连续是()y x f ,在该点处可微的（ ）条件。

(A) 充分 (B) 必要 (C) 充分必要 (D) 既不充分也不必要4、空间曲线3,1,1t z tt y t t x =+=+=在对应于1=t 的点处的切线方程是（ ）。

(A) 12142121-=--=-z y x (B) 121411-=--=z y x (C) 02184=-+-z y x (D) 0284=++-z y x 5、取}01),({22>≤+=x y x y x D ，，则下面二重积分中其值为0的是 （ ）。

(A) ()σd y x D ⎰⎰+22 (B) ()σd xy x D⎰⎰+23(C) ()σd y x D ⎰⎰+33 (D) σd y x D ⎰⎰sin cos6、()=+⎰ds y x L22（ ），其中L 为圆周222=+y x 。

(A) π2- (B) π24 (C) 238π (D) 17、设曲面∑为上半球面2222x y z R ++=0)z ≥（，曲面1∑是曲面∑第一卦限的部分，则下面等式成立的是（ ）。

(A) 14xdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰(B)14ydS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ (C) 14zdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰(D) 14xyzdS xyzdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ 8、下列级数中，绝对收敛的是（ ）。

2019-2020学年武汉市数学高二(下)期末统考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．若非零向量a v ，b v 满足||a b v v |=|，向量2a b +v v 与b v 垂直，则a v 与b v 的夹角为（ ）A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30°【答案】B 【解析】∵||||a b =r r ，且2a b +r r 与b r 垂直，∴(2)0a b b +⋅=v v v ，即220a b b ⋅+=v v v ，∴2||2b a b ⋅=-v v v ，∴2||12cos ,2b a b a b a b b b-⋅===-⋅⋅v v v v v v v v v ，∴a r 与b r 的夹角为120︒． 故选B ．2．已知随机变量~(,)B n p ξ，若() 4.8,() 2.88E D ξξ==，则实数n p ，的值分别为( ) A ．4，0.6 B ．12，0.4C ．8，0.3D ．24，0.2【答案】B 【解析】 【分析】由~(,)B n p ξ，可得(),()(1)E np D np p ξξ==-，由此列出关于n p ，的方程组，从而得出结果。

【详解】 解：据题意，得 4.8(1) 2.88np np p =⎧⎨-=⎩,解得120.4n p =⎧⎨=⎩，故选B 。

【点睛】本题考查了二项分布的数学期望和方差，熟记离散型随机变量的数学期望和方差的性质是关键。

3．若抛物线y 2=2px （p>0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p=A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D 【解析】【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，即可解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，故选D ． 【详解】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，故选D ．【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．4．已知0.22x =，2lg 5y =，7525z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．x y z <<B ．y z x <<C ．z y x <<D ．z x y <<【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性分别求得,,x y z 的范围，利用临界值可比较出大小关系. 【详解】0.20221x =>=；2lg lg105y =<=；7522155z ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且0z > y z x ∴<<本题正确选项：B 【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较大小的问题，关键是能够通过临界值来进行区分. 5．已知顶点在x 轴上的双曲线实轴长为4，其两条渐近线方程为20x y ±=，该双曲线的焦点为（ ）A ．()± B ．()±C ．()±D ．()±【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线实轴长为4可知 2.a = 由渐近线方程20x y ±=，可得到 2.ba= 然后利用222,c a b =+ 即可得到焦点坐标． 【详解】由双曲线实轴长为4可知 2.a = 由渐近线方程20x y ±=，可得到2.ba=即 4.b = 所以22220.c a b =+= 又双曲线顶点在x轴上，所以焦点坐标为()±．【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，渐近线方程，属于基础题． 6．已知i 为虚数单位，则复数1z ii=+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，从而可得结果.详解：：由于复数，1i z i =+()()()i 1i 1+i 11i 1i 1i 222-===++-， 在复平面的对应点坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，∴在第一象限，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 7．若集合{}A x R ==∈，{}1,B m =，若A B B ⋃=，则m 的值为（ ）A ．2B ．1-C ．1-或2D或2【答案】A 【解析】 【分析】先解出集合A ，由A B B ⋃=，得出A B ⊆，于此可得知实数m 的值. 【详解】=22x x =-，得220x x --=，由于0x ≥，2x ∴=，则{}2A =，A B B =Q U ，A B ∴⊆，2m ∴=，故选：A.【点睛】本题考查集合间的包含关系，利用包含关系求参数的值，解本题的关键就是将集合表示出来，考查计算能力，属于基础题。

收敛收敛收敛　=-==∞→+=121211)(D. C. 3B. 0lim A.n n n n n n nn n u uuu u{81 D. 61 C. 41 B. 21 A.)(d }20,10,10),,( 4　则，设、=≤≤≤≤≤≤=Ω⎰⎰⎰Ωv xy z y x z y xnn n n n n n n n n n n n nn n n n n x x x x x f x xx f x x )1(3)1( D. )1(3)1( C. )1(4)1( B. )1(4)1( A. )()(131)()1(11 50100100--------=-+=-=+∑∑∑∑∑∞=+∞=∞=+∞=∞=的幂级数为展开成，则已知、三、计算题 (共5题，每题8分，共40分)方程处的切平面方程与法线，，在点求曲面、)1 2 1(1123 1222P z z y x +=++,d 122222222≥≤++Ω++=⎰⎰⎰Ωz a z y x v z y x I 为上半球体其中，分利用球面坐标求三重积、的线段，，与点，，为连接点其中，求曲线积分、)3 5 2()1 2 3( d )( 3B A L s z y x I L⎰+-=装的收敛半径及收敛域求幂级数、∑∞=14 4n nn x n订的通解求微分方程、y y x '='' 5线四、综合题 (共3题，每题10分，共30分)的极值求函数、23),( 133++-=xy y x y x f取顺时针方向是圆其中，分利用格林公式求曲线积、,4d )31e (d )31e ( 22233=+++-=⎰y x C y x x y y I x C x的通解、求微分方程123-='+''x y y2019—2020学年第二学期期末考试 《高等数学(A)Ⅱ》答案及评分标准一、填空题(每题3分，共15分)11、　；收敛、 2；213、；44、；)(e 5C x y x +=、二、选择题(每题3分，共15分) D 1、；A 2、；C 3、；A 4、；B 5、 三、计算题(每题 8分，共40分)1123),,( 1222--++=z z y x z y x F 令解：、1246-='='='z F y F x F z y x ，，则 ，}1,8,6{=⇒n023860)1()2(8)1(6=-++=-+-+-z y x z y x ，即故切平面方程为118261-=-=-z y x 法线方程为⎰⎰⎰=aI 022 0 d sin d d 2ρϕρϕθππ、解：⎰⎰=222 0d sin 21d ππϕϕθa ⎰=πϕ2 02d 21a 2a π= 3、}2 3 1{，，解：　-==AB s ， 线段AB 的方程为213213-=-=--z y x ，即参数方程)10(21 323≤≤⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=t t z t y t x ， 2,3,1='='-='⇒z y x t t ， 故原式⎰-=1d 14)22(t t 102)2(14t t -=14=414lim /4)1/(4lim 41=+=+=∞→+∞→n n nn n n n n ρ 、解： ，41=∴R 时当41-=x ， 收敛级数∑∞=-1)1(n n n ，时当41=x ，发散级数∑∞=11n n，)41,41[-故收敛域为 )( 5x p y ='令解：、，则原方程化为x xp p d 1d 1= ⎰⎰=⇒x xp pd 1d 1，1ln ln ln C x p +=故，x C y x C p 11='=⇒，即 故所求通解为22112d C x Cx x C y +==⎰四、综合题 (每题10分，共30分)1、解：x y f y x f y x 33 3322+-='+='，，解⎩⎨⎧=+-=+03303322x y y x 得)1 1( )0 0(-，，， 又y f f x f yy xy xx 6 3 6-=''=''=''，， ， 在点)0 0(，处，092>=-=∆AC B ，不取极值在点)1 1(-，处，060272>=<-=-=∆A AC B 且，取极小值，极小值为1)1 1(=-，f 3331e 31e 2x Q y y P x x +=-=，令解：、，则22e e x x Q y y P x x +=∂∂-=∂∂， ⎰⎰+-=⇒Dy x y x I d d )(22r r d d 232 0 ⎰⎰-=πθ⎰-=πθ2 04d π8-=0 32=+r r 特征方程为、解：，1 0 21-==⇒r r 、，x C C Y -+=e 21故齐次方程的通解为)(*b ax x y +=设特解，1222 *-=++x b a ax y 代入原方程得把⎩⎨⎧-=+=⇒1222b a a 3 1-==⇒b a 、，x x y 3*2-=⇒x x C C y x 3e 221-++=-故通解为。

命题方式： 教研组命题佛山科学技术学院2004—2005学年第二学期 《高等数学》(经济类)课程期末考试试题（A 卷）专业、班级： 姓名： 学号： 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 总成绩 得 分一、单项选择题：（每小题3分，共15分. 在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在该题括号内）1.下列积分中，可直接使用牛顿——莱不尼兹公式的有 （ ）A. ⑴B. ⑴⑶C. ⑴⑷D. ⑴⑵⑶⑷2.下面叙述中⑴ 发散级数加括号后所成的级数一定发散；⑵ 发散的正项级数加括号后所成的级数一定发散； ⑶ 交换级数的项的次序不会影响级数的敛散性， 正确的有（ ）A. ⑴B. ⑵C. ⑶D. ⑵⑶3.设∑∞1=n n u 为任意项级数，且∑∞1=n n u ｜｜发散，则（ ）A. 原级数绝对收敛B. 原级数发散C. 原级数敛散性不定D. 原级数条件收敛 4.设⎰⎰2=DdxdyI ，其中｝｜），（｛4≤+≤1=22y x y x D ，则=I（ ）A. πB. π2C. π6D. π155.曲线3=x y 与直线2=x 、0=y 所围成的图形绕y 轴旋转产生立体的体积是 （ ） A.π7128B.π596 C. π564 D.π32二、填空题：（每小题3分，共12分.） 1.幂级数∑∞1=n nnnx 的收敛区间为 .2.二元函数22---4=y x y x z )(在点（ ， ）处取得极 值 .3.交换二次积分⎰⎰2-21y ydx y x f dy ),(的次序得共6页第1页4.微分方程0=3+'4+''y y y 满足初始条件2=0=x y，6='0=x y 的特解为三、解答题（每小题6分，共12分）： 1.设yzz x ln =确定函数),(y x f z =，求xz ∂∂.2.设v e z u sin =，xy u =，y x v +=，求xz∂∂. 四、解答题（7分）： 计算⎰∞+0-dx e x .共6页第2页五、解答题（7分）：试判断下面级数的敛散性：∑∞1=2⋅3n nn n .六、解答题（7分）： 级数∑∞1=1-11-n n n)(是否收敛？若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛.共6页第3页七、解答题（7分）：求微分方程x y y ='-''的通解. 八、解答题（7分）：求下面微分方程满足初始条件的特解：共6页第4页九、解答题（7分）： 将函数2--=2x x xx f )(展成x的幂级数，并确定其收敛区间.十、解答题（7分）：计算二重积分⎰⎰Dxy d xe σ，其中｝,｜），（｛1≤≤01≤≤0=y x y x D .共6页第5页十一、解答题（7分）：计算二重积分⎰⎰Dxdxdy，其中D 是由直线xy =和圆1=1-+22)(y x 所围成且在直线xy =下方的平面区域.十二、解答题（5分）：设可微函数)(x y 满足⎰0-+=x x dt t y e x y )()(，求)(x y .共6页第6页希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。

2019—2020学年第二学期考试卷5高等数学(A)Ⅱ课程 工科 类别：必 闭卷（√）试卷编号： (A)卷考生注意事项：1、本试卷共 4 页，总分 100 分，考试时间 120 分钟。

2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。

3、考试独立完成，发现雷同试卷一律按零分处理。

一、填空题（共6题，每题2分，共12分）ln 1x x yzx z y y=∂∂=则，设、)d (d d ) (d 2 1 01 02⎰⎰⎰⎰=yyxx x y x f yy y x f x，，交换积分次序、34d 1 3222π==++Ω⎰⎰⎰Ωv z y x 则围成，由球面设、 41d )1 1()0 0( 42==⎰Cx xy A O x y C 则，，到，从点为曲线设、∑∞=+-=+=012)1( )(21)( 5n n n n x x f x x x f 的幂级数为展开成函数、 044 2 6=+'-''y y y 则该方程为，的实根方程的特征方程有相同设二阶常系数线性齐次、二、计算题（58分）1、多元函数微分学应用（共2题，每题6分，共12分）切平面方程处的，，在点求曲面)2 1 1()1(32-+=y x z 的极值求函数x y xy x y x f 3),( )(222++-=23 2 y z x z y x ='='，解：Θ y x f y x f y x 2 32 +-='+-='，解： }1 3 2{ --=∴，，法向量n ρ )1 2( 02032--⎩⎨⎧=+-=+-，得解y x y x 0)2()1(3)1(2 =---++-z y x 故切平面方程为2 1 2 =''-=''=''yy xy xxf f f ，，又 0332 =++-z y x 即 02 03C 2>=<-=-A A B 且，故 3)1 2(-=--，因此所求极小值为f2、重积分（共2题，每题6分，共12分）围成和由抛物线其中，利用直角坐标求2 d d )1(x y x y D y x y xI D===⎰⎰⎰⎰=xx y y x xI 1 02d d 解： ⎰⎰=yy x y x yI 12d d⎰-=1 0343)d (32x x x x ⎰-=14)d (21y y y y556)51114(32105411=-=x x556)11252(211021125=-=y y围成、及平面由柱面其中，利用柱面坐标求1 04 d )2(2222===+Ω+=⎰⎰⎰Ωz z y x v y x I⎰⎰⎰=122 0 2 0d d d z r rI πθ解：⎰⎰=2 022 0 d d r r πθ⎰=πθ2 0d 38316π=3、曲线积分（共2题，每题6分，共12分）的一段弧，与，上点为抛物线其中，求曲线积分)2 2()0 0( 2 d )(12A O x y C s y C=⎰y x y x y ='∴= 22，解：Θ xy 21='⎰⎰+=22d 1dy y y s y C故⎰⎰+=2d 2112d x xx s y C22322 0 22)1(31)d(1121y y y y +=++=⎰ ⎰++=2 0 )2d(12121x x 2023)21(31x +=)155(31-= )155(31-=所做的功，，求此过程力，，，移动到点，，从点：一质点沿曲线} { )1 1 1()0 0 0( )2(32x y z F A O tz t y t x L -=⎪⎩⎪⎨⎧===ρ⎰+-=Lz x y y x z W d d d 解：⎰⋅+⋅-=1223d )32(t t t t t t2121d 210413===⎰t t t4、无穷级数（共2题，第(1)题4分，第(2)题6分，共10分）的敛散性判断级数∑∞=+151)1(n n n2/3511 nn n <+Θ解：收敛又∑∞=12/31n n收敛∑∞=+∴1511n n装 的收敛域求幂级数∑∞=121)2(n n x n1)1(lim /1)1/(1lim 2222=+=+=∞→∞→n n n n n n ρΘ解： 1 =∴R收敛级数时，当∑∞=--=12)1( 1n nn x 收敛级数时，当∑∞==1211n nx 订 ]1 1[，故收敛域为-5、微分方程（共2题，每题6分，共12分）的通解求微分方程xyx y y 2)1(+='xyu =令解： x x u ud 1d 21 =则原方程化为C x u +=ln 两边积分得 2)(ln lnC x x y C x xy+=+=即，所求通解为线 的通解求微分方程x y cos )2(=''' 1sin d cos C x x x y +==''⎰解：211cos d )(sin C x C x x C x y ++-=+='⎰3221212sin d )cos (C x C x C x x C x C x y +++-=++-=⎰通解、三、综合题（共2题，每题10分，共20分）的通解求微分方程、1234 1+=+'+''x y y y034 2=++r r 特征方程为解： 3 1 21-=-=⇒r r 、 x x C C Y 321e e --+=故齐次方程的通解为 b ax y +=*设特解 12343 *+=++x b a ax y 代入原方程得把⎩⎨⎧=+=⇒13423b a a 95 32-==⇒b a 、 9532*-=⇒x y9532e e 321-++=--x C C y x x 故通解为)1 1(2)0 0(d )e (d )2e ( 222，到点沿曲线，从点其中，求曲线积分、A x y x O C y y x x x I Cy y =++++=⎰y x Q x P yy+=+=e 2e ，令解：，y y xQy P e e =∂∂=∂∂，则无关故曲线积分与积分路线， yP x Q ∂∂=∂∂⇒ ⎰⎰+++=BAOB y Q x P y Q x P I d d d d 因此 ⎰⎰+++=BAOB y Q x P y Q x P I d d d d⎰⎰+++=10 1 0d )e (d )21(y y x x y⎰⎰++=110 d )2e (d x x y y102102)21e ()(y x x y+++= 102102)e (21x x y ++= 23e += 23e +=四、证明题（共2题，第1题6分，第2题4分，共10分）z yz y x z x u f x y f x z -=∂∂+∂∂= )( )(1 1证明：可导，其中，设、f xy f x x z '--=∂∂321 Θ证： ， f x y z '=∂∂21z f x f xy f x y f x y z y x z x -=-='+'--=∂∂+∂∂∴11 22发散证明级数，常数收敛，设级数、∑∑∞=∞=+≠11)( 0 2n nn n a u a u0lim 1=∴∞→∞=∑nn n n u u 收敛，证：Θ发散故，∑∞=∞→+≠=+=+⇒1)( 00)(lim n nn n a ua a a u。

2019-2020学年武汉市名校数学高二(下)期末统考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．集合{0,2,}A a =，2{1,}B a =，若{0,1,2,4,16}A B =U ，则a 的值为（ ）． A ．0 B ．1C ．2D ．4【答案】D 【解析】因为{}0,1,2,4,16A B ⋃=，所以4a =，选D.2．已知函数y=f （x ）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x ）的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】由y ＝f′(x)的图象知，y ＝f(x)的图象为增函数， 且在区间(－1,0)上增长速度越来越快， 而在区间(0,1)上增长速度越来越慢． 故选B.3．某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：使用智能手机 不使用智能手机 合计 学习成绩优秀 4 8 12 学习成绩不优秀 16 2 18 合计 201030附表：经计算210K =，则下列选项正确的是A ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】根据附表可得2107.879K =>,所以有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响，选A 4．若函数()ln f x ax x =-在区间(]0,e 上的最小值为3，则实数a 的值为（ ） A ．2e B ．2e C ．2e D ．1e【答案】A 【解析】 【分析】求出()f x '，()0f x '≤（或()0f x '≥）是否恒成立对a 分类讨论，若恒成立求出最小值（或不存在最小值），若不恒成立，求出极值最小值，建立a 的关系式，求解即可. 【详解】()1f x a x'=-. （1）当0a ≤时，()0f x ¢<，所以()f x 在(]0,e 上单调递减，()()min 13f x f e ae ==-=，4a e=（舍去）.（2）当0a >时，()1a x a f x x⎛⎫- ⎪⎝⎭'=.①当10a e <≤时，1e a≥，此时()0f x ¢<在(]0,e 上恒成立， 所以()f x 在(]0,e 上单调递减，()()min 13f x f e ae ==-=，解得4a e=（舍去）；②当1a e >时，10e a <<.当10x a<<时，()0f x ¢<， 所以()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 当1x e a <<时，()0f x ¢>，所以()f x 在1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 于是()min 11ln 3f x f a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，解得2a e =. 综上，2a e =. 故选：A 【点睛】本题考查函数的最值，利用导数是解题的关键，考查分类讨论思想，如何合理确定分类标准是难点，属于中档题.5．为了测算如图所示的阴影部分的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷600个点.已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B 【解析】 【分析】根据几何概率的计算公式可求，向正方形内随机投掷点，落在阴影部分的概率()200P A 600=，即可得出结论． 【详解】本题中向正方形内随机投掷600个点，相当于600个点均匀分布在正方形内， 而有200个点落在阴影部分，可知阴影部分的面积220033600=⨯=． 故选：B ． 【点睛】本题考查的是一个关于几何概型的创新题，属于基础题.解决此类问题的关键是读懂题目意思，然后与学过的知识相联系转化为熟悉的问题．在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．6．已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（ ）A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.84【答案】A 【解析】由正态分布的特征得(0)P ξ≤＝1(4)10.840.16P ξ-≤=-=，选A.7．复数2(1)1i z i+=-的共轭复数所对应的点位于复平面的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】 【分析】通过化简2(1)1i z i+=-，于是可得共轭复数，判断在第几象限即得答案.【详解】根据题意得2(1)2111i iz i i i+===-+--，所以共轭复数为1i --，对应的点为()1,1--，故在第三象限，答案为C.【点睛】本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的概念，难度不大.8．若对任意的x ∈R ，关于x 的不等式|||214|x x m +--≥恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(,1]-∞- B ．5(,]2-∞- C ．9(,]2-∞- D ．(,5]-∞-【答案】C 【解析】 【分析】令f （x ）=|2x+1|﹣|x ﹣4|，然后将f （x ）化成分段函数，则m 的最大值为f （x ）的最小值． 【详解】设F(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝1 5,,2133,4,25, 4.x xx xx x⎧--<-⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩如图所示，F(x)min＝－32－3＝－92.故m≤F(x)min＝－92.【点睛】本题考查了绝对值在分段函数中的应用，正确去掉绝对值符号是关键．9．“m n>”是“22m n>”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】取2,3m n=-=-，则m n>，但22224,9,m n m n==<，故m n>⇒22m n>；取3,2m n=-=-，则()()2232->-，但是m n<，故22m n>⇒m n>，故“m n>”是“22m n>”的既不充分也不必要条件，选D.10．设0a>且1a≠，则“log1ab>”是“b a>”的( )A．必要不充分条件B．充要条件C．既不充分也不必要条件D．充分不必要条件【答案】C【解析】log1log1a ab a b a>=⇔>>或01b a<<<;而b a>时,b有可能为1.所以两者没有包含关系,故选C. 11．设ABC∆是边长为2的正三角形，E是BC的中点，F是AE的中点，则()AB FB FC⋅+u u u v u u u v u u u v的值为（）A ．1-B ．0C ．2D ．3【答案】D 【解析】 【分析】将,AB AC u u u r u u u r作为基向量，其他向量用其表示，再计算得到答案.【详解】设ABC ∆是边长为2的正三角形，E 是BC 的中点，F 是AE 的中点，()()()AB FB FC AB FA AB FA AC AB AB AC AE ⋅+=⋅+++=⋅+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1(())2AB AB AC AB AC =⋅+-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 21111()1232222AB AC AB AB AC AB =⋅+=⋅+=+=u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r故答案选D【点睛】本题考查了向量的乘法，将,AB AC u u u r u u u r作为基向量是解题的关键.12．设i 是虚数单位，则复数22i i-的虚部是（ ） A ．2i B ．2C ．2i -D ．2-【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，可得出复数的虚部. 【详解】2222112ii i i i-=--=-+Q ，因此，该复数的虚部为2，故选B. 【点睛】本题考查复数的概念，考查复数虚部的计算，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．观察等式：0000sin 30sin 90cos30cos90+=+，0000sin15sin 751cos15cos 75+=+，0000sin 20sin 40cos 20cos 403+=+.照此规律，对于一般的角,αβ，有等式 .【答案】sin sin tan()cos cos 2αβαβαβ++=+ 【解析】试题分析：000000sin 30sin 903090tan()cos30cos902++==+，000000sin15sin 7515751tan cos15cos 752++==+，000000sin 20sin 402040tan cos 20cos 402++==+，所以sin sin tan()cos cos 2αβαβαβ++=+. 考点：归纳推理.14．7个人站成一排，其中甲一定站在最左边，乙和丙必须相邻，一共有______种不同排法 【答案】240. 【解析】分析：本题是一个排列组合及简单计数问题，甲要站在最左边，剩下6个位置，6个人排列，乙和丙必须相邻，把乙和丙看成一个元素，同另外4个人排列，乙和丙之间也有一个排列，相乘得到结果． 详解：由题意知本题是一个排列组合及简单计数问题， 甲要站在最左边，剩下6个位置，6个人排列， ∵乙和丙必须相邻，∴把乙和丙看成一个元素，同另外4个人排列，乙和丙之间也有一个排列， 根据乘法原理知共有A 55A 22=240种结果， 故答案为240点睛：站队问题是排列组合中的典型问题，解题时要先排限制条件多的元素，把限制条件比较多的元素排列后，再排没有限制条件的元素，最后要用计数原理得到结果，本题的甲不影响排列．15．已知非零向量a v ，b v ，c v 满足：(2)(2)0a c b c -⋅-=v v v v，且不等式a b a b c λ++-≥v v v v v 恒成立，则实数λ的最大值为__________. 【答案】4. 【解析】 【分析】法一：采用数形结合，可判断2c r的终点是在以AB 为直径的圆上，从而分离参数转化成恒成立问题即可得到答案.法二：（特殊值法）可先设()=1,0a r ，()=0,1b r ，()=,c x y r ，利用(2)(2)0a c b c -⋅-=r r r r 找出c r的轨迹，从而将不等式恒成立问题转化为函数问题求解. 【详解】法一：作出相关图形，设OA a →=r ,OB b →=r，由于(2)(2)0a c b c -⋅-=r r r r ，所以(2)(2)a c b c -⊥-r r r r ，且这两个向量共起点，所以2c r 的终点是在以AB 为直径的圆上，可设2OC c →=r ，所以由图可知a b OE →+=r r ，a b BA→-=r r ，所||||||a b a b c λ++-≥r r r r r ，等价于2OE AB OC λ+≤,44442OE AB OG GB OG GC OCOC OC OC OC+++==≥=,所以4λ≤，答案为4.法二：（特殊值法）不妨设()=1,0a r ，()=0,1b r，()=,c x y r ，则()212,2a c x y -=--r r ，()22,12b c x y -=--r r ，||||2a b a b +=-=r r r r ，由于(2)(2)0a c b c -⋅-=r r r r可得2(12)2(12)0x x y y ----=整理得22111448x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得圆的参数方程为：1244{(1244x y θθθ=+=+为参数），则||||||a b a b c λ++-≥r r r r r 相当于22||c λ≤r 恒成立，即求得min 22[||c λ≤r ，即求||c r 的最大值即可， 22121211cos sin sin()4444444||+c πθθθ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++++r max 2||2c =r ，因此4λ≤.故答案为4. 【点睛】本题主要考查向量的相关运算，参数方程的运用，不等式恒成立问题，意在考查学生的综合转化能力，逻辑推理能力，计算能力，难度较大.16．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>具有相同的焦点1F ，2F ，且在第一象限交于点P ，设椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，若123F PF π∠=，则2212e e +的最小值为__________．【答案】22+. 【解析】分析：通过椭圆与双曲线的定义，用a 和m 表示出12PF PF 、的长度，根据余弦定理建立a m c 、、 的关系式22234a m c +=；根据离心率的定义c e a = 表示出两个离心率的平方和，利用基本不等式即可求得最小值。

《高等数学A 》（A 卷）试题1、（6分）求极限 520(1)lim sin3x x x e x →-.2、（6分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程。

3、（6分）确定函数xx x f 1sin ||)(=的间断点，并判定其类型。

4、（6分）已知()f x 在),(+∞-∞上连续，(0)0,(0)1f f '==，1()lim ()sinx n F n xf n x→∞=， 求lim ()n F n →∞.5、（6分）设)(x f 在),(+∞-∞上连续，且对任何y x 、有)()()(y f x f y x f +=+，求定积分22(()sin )sin d x f x x x x ππ-+⎰的值。

6、（6分）设)(x f 为连续函数，函数)(x y y =由方程⎰⎰⎰=+212y21d )(d d 2x x f u u t yt x确定，求xyd d . 7、（6分）若⎰-++=1022d )(111)(x x f x x x f ,求10()d f x x ⎰. 8、（10分）设函数()f x 满足方程3()2()+()04f x f x f x '''+=.（1）证明反常积分+0()f x dx ∞⎰收敛；（2）若(0)1,(0)1f f '==，求+0()f x dx ∞⎰的值。

9、（8分）设1,0(),0x x f x x x +<⎧=⎨≥⎩，求1()()d xx f t t ϕ-=⎰在[1,1]-上的表达式，并研究()x ϕ在[1,1]- 上的连续性和可微性。

10、（10分）设平面图形D 是由x y x y cos ,sin ==（其中20π≤≤x ）及直线2,0π==x x 所围成的平面图形；求：1）平面图形D 的面积；2）平面图形D 绕x 轴旋转一周所成的立体体积。

11、（8分）设1,()xa f x a ax >=-在(,)-∞+∞内的驻点为()x a ，问a 为何值时()x a 最小，并求最小值。

湖北省武汉市2019-2020年度数学高二下学期理数期末考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知复数,，其中是虚数单位，则复数的虚部为（）A .B .C .D .2. （2分）已知，同时满足以下两个条件：①，或；②，成立，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2分） a=log0.76,b=60.7,c=0.70.6 ，则a,b,c的大小关系为（）A . a>b>cB . c>a>bC . b>a>cD . b>c>a4. （2分）已知回归直线的斜率的估计值为，样本点的中心为，则回归直线方程为A .B .C .D .5. （2分）高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（）A . 1800B . 3600C . 4320D . 50406. （2分）某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，种子发芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为（）A . 0.02B . 0.08C . 0.18D . 0.727. （2分）(2013·新课标Ⅰ卷理) 执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A . [﹣3，4]B . [﹣5，2]C . [﹣4，3]D . [﹣2，5]8. （2分）已知位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动，质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，则质点P移动六次后位于点（4，2）的概率是（）A .B .C .D .9. （2分）“”是“函数在区间上为增函数”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件10. （2分） (2019高三上·城关期中) 已知平面向量满足，且，则与的夹角为（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高二下·哈尔滨月考) 已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， P 为C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则等于（）A . 50B . 48C . 24D . 5612. （2分）已知函数满足：和都是偶函数，当时，则下列说法错误的是（）A . 函数在区间[3，4]上单调递减；B . 函数没有对称中心；C . 方程在上一定有偶数个解；D . 函数存在极值点，且二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二上·湖北期末) 已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），若P（ξ＞﹣2）=0.964，则P（﹣2≤ξ≤6）等于________．14. （1分）若的展开式中含有常数项，则n的最小值等于________15. （1分） (2017高三上·蓟县期末) 已知，若方程f（x）=kx有且仅有一个实数解，则实数k的取值范围为________．16. （1分） (2017高二上·佳木斯月考) 已知点，是抛物线的焦点，是抛物线上的动点，当最小时，点坐标是________.三、解答题 (共6题；共40分)17. （5分）已知f（x）=x2﹣2x﹣ln（x+1）2 ．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若函数F（x）=f（x）﹣x2+3x+a在[﹣， 2]上只有一个零点，求实数a的取值范围．18. （10分）甲、乙等五名学生随机选学一门A、B、C、D四个不同的选修科目，每个科目至少有一名学生参与．（1）求甲、乙两人没有选择同一选修科目的概率；（2）设随机变量x为这五名学生中参加A科目的人数，求x的分布列及数学期望．19. （10分）(2018·鞍山模拟) 如图，在五棱锥中，四边形为等腰梯形，，和都是边长为的正三角形.（1）求证：面；（2）求二面角的大小.20. （5分）(2017·银川模拟) （Ⅰ）已知函数f（x）=|2x﹣3|﹣2|x|，若关于x不等式f（x）≤|a+2|+2a 恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）已知正数x，y，z满足2x+y+z=1，求证．21. （5分） (2017高二下·鞍山期中) 已知曲线C的参数方程为（α为参数），直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l截曲线C所得的弦长．22. （5分）(2017·四川模拟) 已知函数 |﹣ |，其中﹣3≤a≤1．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）≥1；（Ⅱ）对于任意α∈[﹣3，1]，不等式f（x）≥m的解集为空集，求实数m的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共40分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、第11 页共11 页。

提高练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． “人机大战，柯洁哭了，机器赢了”，2017年5月27日，岁的世界围棋第一人柯洁不敌人工智能系统AlphaGo ，落泪离席.许多人认为这场比赛是人类的胜利，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查.在参与调查的男性中，有人持反对意见，名女性中，有人持反对意见.再运用这些数据说明“性别”对判断“人机大战是人类的胜利”是否有关系时，应采用的统计方法是（ ） A ．分层抽样B ．回归分析C ．独立性检验D ．频率分布直方图2．从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，在取出的3台中至少有甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有（ ） A ．140种B ．80种C ．70种D ．35种3．已知变量x ,y 之间的线性回归方程为0.710.3y x =-+,且变量x ,y 之间的一组相关数据如表所示,则下列说法错误的是( ) x 6 8 10 12 y6m32A ．变量x ,y 之间呈现负相关关系B ．可以预测,当x =20时,y =﹣3.7C ．m =4D ．该回归直线必过点(9,4) 4．下列结论错误的是（ ）A ．命题“若p ，则q ”与命题“若￢q ，则￢p ”互为逆否命题B ．命题p ：]01[x ∀∈，，e 1x ≥，命题q ：x ∃∈R ，210x x ++<，则“p q ∨”为真 C ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题D ．命题P ：“0x ∃∈R ，使得2020x ≥﹣”的否定为￢P ：“x ∀∈R ，220x <﹣5．在△ABC 中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，则BC 的长为（ ） A ．19B ．13C ．3D ．76．已知一个等比数列{}n a ，这个数列33213,9n a a -==，且所有项的积为243，则该数列的项数为（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．12A ．B ．C ．D ．8．如图是求样本数据方差S 的程序框图，则图中空白框应填入的内容为（ ）A ．()28i S x x S +-=B ．()2(1)8i i S x x S -+-=C ．()2i S x x S i+-=D ．()2(1)i i S x x S i-+-=9．设01p <<，随机变量X ，Y 的分布列分别为 X 123Y 123P2p 1p - 2p p - P3p 21p - 23p p -当X 的数学期望取得最大值时，Y 的数学期望为（ ） A ．2 B ．3316C ．5527D ．653210．已知函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．11．某班有50人，从中选10人均分2组（即每组5人），一组打扫教室，一组打扫操场，那么不同的选派法有（ ） A ．1055010C C ⋅B ．10550102C C ⋅C ．105250102C C A ⋅⋅ D ．55250452C C A ⋅⋅12．设()22xf x lgx +-＝，则22x f f x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域为（ )． A ．（－4,0)∪（0,4)D ．（－4，－2)∪（2,4) 二、填空题：本题共4小题13．两名狙击手在一次射击比赛中，狙击手甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4，0.1，0.5；狙击手乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名狙击手获胜希望大的是_________． 14．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一抽取的学生人数为______名．15．已知函数11,0,()1,0,2x x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨->⎪⎩则()f x 的最大值是______．16．已知函数11,0,()2ln(),0,x x f x x x -⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-<⎩设函数()()g x f x a =-有4个不同的零点，则实数a 的取值范围是_______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。