武大《高等数学》期末考试试题

高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。

选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。

3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。

4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。

5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。

二。

填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。

2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。

3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。

4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。

武汉大学2017-2018学年第二学期期末考试高等数学A2试题（A ）1、（9分）设(,)z z x y =是由方程222(2)x z f y z -=-所确定的隐函数，其中f 可微，求证z zyx xy x y∂∂+=∂∂. 2、（9分）设{(,)||||1}D x y x y =+≤，计算二重积分2(1)Dx y dxdy +⎰⎰.3、（9分）设C 为圆周曲线221x y +=，计算曲线积分4224(21)Cx x y y ds +++⎰.4、（9分）已知)1,2,0(),0,0,1(B A ，试在z 轴上求一点C ，使ABC ∆的面积最小。

5、（8分）3、设22222222, 0(,)0, 0x y xy x y x y f x y x y ⎧-+≠⎪+=⎨⎪+=⎩，求(0,0)xyf ''和(0,0)yx f '' 6、（9分）求过直线2210420x y z x y z --+=⎧⎨++-=⎩并在y 轴和x 轴上有相同的非零截距的平面方程。

7、（8分）设f 是任意二阶可导函数，并设)(x ay f z +=满足方程0622222=∂∂-∂∂∂+∂∂y zy x z xz ，试确定a 的值.8、（8分）在椭球面22221x y z ++=上求一点，使函数222(,,)tan f x y z x y z =++在该点沿曲线23,12,3x t y t z t t ==-=-在点(1,1,2)--处的切线方向的方向导数最大。

9、（9分）计算曲线积分)d d Lx y y x +⎰, 其中有向曲线弧L：y =点()5,0B 到点()1,0A .10、（8分）已知10=sin (1,2,3,)n b x n xdx n π=⎰，，证明级数11(1)1n nn b n +∞=-+∑收敛，并求其和。

11、（8分）求22I xz dydz x dxdy ∑=+⎰⎰，其中曲面∑是由空间曲线0y x ⎧⎪=⎨=⎪⎩12z ≤≤绕z轴旋转而成的旋转曲面，其法向量与z 轴正向的夹角为锐角。

x 2+ax +b(x −1)(x +2) , x /= 1d x 1+cos 2x√ cos 2 x x10 1+x 2a武汉大学2016-2017学年第一学期末《高等数学C1》试卷(A 卷)一. 计算 lim n →∞ n [ln(n + 2) − ln n ].(7分)√ √ √二. 计算 lim x −√ a + x −a . (7分) x →a +x 2−a 2续.(7分)2,x = 1四. 若y = √x 2 + x − 1 − √x 2 − 2x + 3, 求d y . (7分)五. 设y = y (x )由方程y 2 + ln y 2 = x 6确定, 求d y .六. 设y = arctan 1+x , 求y II . (7分)1−x七. 求函数f (x ) = x 5 − 5x 4 + 5x 3 + 1在区间[−1, 2]上的最大值与最小值. (8分)八. 计算J 1+cos 2x d x . (7分)九. 计算J 1 d x . (7分)2+ x +1十. 计算J ln cos xd x . (7分)十一. 设f (x ) = x arctan 1+ J x e t 2 d t , 求f I(1). (7分)十二. 计算J 1(√1 + x + 2x） d x . (7分) 十一. 设0 < a < b , f (x )在[a, b ]上可导, 证明存在ξ, 使得f (b ) − f (a ) =ξf I (ξ) ln b . (7分) 十四. 设有一块边长为a 的正方形铁皮, 从四个角截去同样在的小方块, 做成一个无盖的方盒子, 问小方块边长为多少时才能使盒子的容积最大? 最大的容积为多少?(8分)一. 设f(x ) = , 求a, b 使得函数f (x )在x = 1处连− √ 2 2✓ ✓ x 2 − a 2 x → +ax →a + (x − a )(x + a )(x − a )(x + a ) 1 − − −武汉大学2016-2017学年第一学期末 《高等数学C1》试卷(A 卷)答案一. 计算 lim n →∞n [ln(n + 2) − ln n ].(7分)解.lim n →∞ n [ln(n +2) ln n ] = lim n →∞n ln(1+ 2 )(2分) = lim nn →∞ln[(1+ 2 n ) 2 ] n = 2(5分).二. 计算 limx →a +√x −√a +√x −a . (7分) x −a解.√x − √a + √x − a√x − √a √x − a ](2分)li m √ = lim [ + x − a √x − a = lim [ ✓(x − a )(x + a )(√x + √a ) + ✓(x − a )(x + a )] = √2a. (5分)三. 设f (x ) =x 2+ax +b(x −1)(x +2), x /= 1, 求a, b 使得函数f (x )在x = 1处连续.(7分)2,x = 1解. 由lim(x 1)(x + 2) = 0, 1 + a + b = 0, a = b 1(3分). 又 x →1由x 2− (b + 1)x + b = (x − 1)(x − b )及lim (x −1)(x −b ) = 1−b = 2得, b = −5.由此, a = 4(4 分).x →1 (x −1)(x +2)1+2四. 若y = √x 2 + x − 1 − √x 2 − 2x + 3, 求d y . (7分)解. 由y l =√2x +1 − √ x −1 (5分), d y = [ √2x +1 − √ x −1 ]d x.(2分) 2 x 2+x −1 x 2−2x +3 2 x 2+x −1 x 2−2x +32x →a +d x −1+cos 2xr √五. 设y = y (x )由方程y 2 + ln y 2 = x 6确定, 求d y .解. 方程两边同时对x 求导得, 2yy l + 2 y l = 6x 5(5分). 故d y = 3x 5y (2分).yd x y 2+1六. 设y = arctan 1+x , 求y ll . (7分)1−x解.1 + 1+x21 − x + 1 + x1y l= 1−x (1−x ) = 1 + (1+x )2 (1−x )2=(1 − x )2 + (1 + x )2 1 + x 2(4分),y ll = 2x.(3分)(1 + x 2)2七. 求函数f (x ) = x 5 − 5x 4 + 5x 3 + 1在区间[−1, 2]上的最大值与最小值. (8分)解. 由f l(x ) = 5x 4−20x 3+15x 2 = 5x 2(x −1)(x −3), 函数在区间[−1, 2]有驻点x = 0, x = 1(4分). 又f (−1) = −10, f (0) = 1, f (1) = 2, f (2) = −7, 函数 在区间[−1, 2]上的最大值为f (1) = 2, 最小值为f (−1) = −10(4分). 八. 计算J 1+cos 2 xd x . (7分)解.1 + cos 2x d x = 1 + cos 2x1 + cos2 x 2 cos 2 x d x (3 分) = 1 r( 1 + 1)d x = tan x + x + C. (4分)九. 计算J 21d x . (7分) cos 2 x 2 2r2 +t cos 2 xr r r −r − x 1 01+x 21 + x + 11 d x = (1 + x )32 + ln(1 + x 2)1 a解. 令t = √x + 1, 则x = t 2 − 1, d x = 2t d t (3分),1 2 + √x + 1 d x = r2t d t = 2t − 4 ln |2 + t | + C =2√x + 1 − 4 ln |2 + √x + 1| + C. (4分) 十. 计算J ln cos xd x . (7分)解.ln cos x d x = ln cos x d tan x = tan x ln cos xtan x d ln cos x(3分)cos 2 x = tan x ln cos x + rtan 2 x d x = tan x ln cos x + (11)d xcos 2 x = tan x ln cos x + tan x − x + C.(4分)十一. 设f (x ) = x arctan 1 + J x e t 2d t , 求f l(1). (7分)解. 由f l (x ) = arctan 1 − x + e x 2 (5分), f l(1) = π − 1 + e (2分).x1+x 242十二. 计算J 1 (√1 + x + 2x） d x . (7分)解.r 1 (√2x '2 1 114√2 2= 3 − 3+ ln 2. (2分)十三. 设0 < a < b , f (x )在[a, b ]上可导, 证明存在ξ ∈ (a, b ), 使得f (b )−f (a ) =ξf l (ξ) ln b . (7分)证. 令g (x ) = ln x , 则函数f (x ), g (x )在区间[a, b ]上满足Cauch 中值定理 的条件(3分). 故存在ξ ∈ (a, b )使得0 0 3 1 + x 2 0 r (5分)ξ a d x2 6 f (b ) − f (a ) = f l (ξ) = f l(ξ) .g (b ) − g (a ) g l (ξ) 1即有f (b ) − f (a ) = ξf l (ξ) ln b (4分).十四. 设有一块边长为a 的正方形铁皮, 从四个角截去同样在的小方块, 做成一个无盖的方盒子, 问小方块边长为多少时才能使盒子的容积最大? 最大的容积为多少?(8分)解. 设小正方形的边长为x , 则无盖方盒子的底边长为a − 2x , 高为x ,体积V = (a −2x )2x (3分). 由d V = (6x − a )(2x − a ), 函数V 有驻点x = a , x = a . 故小方块边长为x = a 盒子的容积最大, 此时小盒子的容积为2a 3(5分).627。

《高等数学1》期末考试试卷及答案一、填空题（每小题3分，共15分） 1、函数ln(1)yx =-+的定义域是 。

2、极限20limxt x e dt x→=⎰。

3、设0xx =是可导函数()y f x =的极大值点，则()0f x '= 。

4、计算定积分43121sin 11x x dx x -+=+⎰ 。

5、微分方程x y xe ''=的通解是 。

二、单项选择题（每小题3分，共15分）A. 可去间断点B. 跳跃间断点C. 无穷间断点D. 振荡间断点 7、当0x→时，下列函数中与sin 2x 是等价无穷小的是（ ）9、下列每对积分均采用分部积分法，其u 均选为幂函数的一对是（ ）。

A. x xe dx ⎰与ln x xdx ⎰B. xxe dx ⎰与sin x xdx ⎰C. ln x xdx ⎰与sin x xdx ⎰D. arcsin x xdx ⎰与sin x xdx ⎰10、)(x f 在区间),(b a 内恒有()()0,0f x f x '''<<时，曲线)(x f y =在),(b a 内是（ ）A. 单增且是凹的；B. 单增且是凸的；C. 单减且是凸的；D. 单减且是凹的三、判断题（正确打√，错误打Ⅹ，每小题2分，共10分）11、在闭区间上的连续函数必有原函数，从而必可积。

（ ） 12、设2sin x y e =，则()()()22sin 2x x y e e x ''''=。

（ ） 13、设点00(,())x f x 为曲线()y f x =的拐点，则必有0()0f x ''=。

（ ）14、常数零是无穷小量，无穷小量就是常数零。

（ ）15、()22212t d x e dt x e e dx =-⎰ ( )四、极限、连续和微分解答题（每小题6分，共30分）16、求数列极限2lim nn ne-→∞17、111lim ln 1x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭18、20limsin xt x e dtx→⎰19、已知(ln ,x y e =+求dy dx ，22d y dx20、求由方程x y xye -=所确定的隐函数的微分dy五、积分和微分方程解答题（每小题5分，共25分）21、2221tan x x e e x dx -⎡⎤⎛⎫++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰22、dx ⎰23、1e ⎰24、2-145dx x x +∞∞++⎰25、求微分方程2x dyy e dx-+=的通解六、应用题（每小题5分，共5分）26、求平面曲线y=2x ²与y ²=4x 所围成的图形面积A 。

武汉大学2015-2016第一学期高等数学A1期末试题A 解答一、计算题（每小题7分，共63分）1、若()f x 在点1x =可导，且(1)1f '=，计算 20151()(1)lim1x f x f x →-- 解 20152014201311()(1)()(1)limlim 1(1)(1)x x f x f f x f x x x x x →→--==--++++120157分 或 201520152014111()(1)()(1)111limlim (1)lim 1(1)120152015x x x f x f f x f x f x x x x →→→---'===--- 2、计算极限 11lim().nn n n e →∞+解：7分或 x 0x 011ln()limlim 21x 0lim()xxxe x e x e x x x x e eee →→+++→+=== 所以121lim()nn nn e e →∞+=3、已知()F x 是()f x 的一个原函数，满足()()xF x f x xe =，()0,(0)1F x F >=，求()f x ． 解：对()()xF x f x xe =两边积分得()()x F x f x dx xe dx =⎰⎰，即()()x xF x dF x xe e c =-+⎰，()21()2xx F x xe e c =-+，又(0)1F =代入上式得32c = 注意到()0F x >，解得()F x =，所以()()x x xe f x F x ==或()()xf x F x '==分4、设函数(x y y =是由方程2e 22=-+xyy y x 所确定的隐函数,求曲线()x y y =在点()2,0处的切线方程.解 ()22e e0xyxyx yy y y y xy '''+--+=将点()2,0代入得()403y '=423y x =+ (4360)x y -+=或7分5、计算定积分1dx -⎰解：原式=102⎰12016ln(2016ln(1x ⎡⎤==⎣⎦ 7分 6、设2, 01(), 120, ther x x f x x x o ⎧≤<⎪=≤<⎨⎪⎩，求⎰=Φx dt t f x 0)()(在),(+∞-∞内的表达式。

高等数学测试题一一、单项选择题(每小题4分，满分20分)1．曲面22214x y z ++=在点(1,2,3)处的切平面方程是（ ）A.123123x y z ---==B.23140x y z ++-=C.123213x y z ---==D.2340x y z ++-= 2．设函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(,)z f xy y =，则2z x y ∂∂∂=（ ）A.111f xyf '''+ B.112f yf '''+ C.1211yf xyf ''''+ D.112f xyf yf '''''++ 3．设空间区域2222222212:,0;:,0,0,0x y z R z x y z R x y z Ω++≤≥Ω++≤≥≥≥，则下列等式（ ）成立.A.12d 4d x v x v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ B.12d 4d y v y v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰C.12d 4d z v z v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ D.12d 4d xyz v xyz v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰4．下列级数中，绝对收敛的级数是（ ）A.11(1)nn n ∞=-∑ B.2311(1)n n n ∞=-∑C.1(1)nn ∞=-∑11(1)ln(1)n n n∞=-+∑5．已知幂级数0(1)n n n a x ∞=-∑在2x =-处收敛，在4x =处发散，则幂级数0(1)n n n a x ∞=+∑的收敛域为（ ）A.[4,2)-B.[3,3)-C.[2,4)-D.[1,5)- 二、填空题(每小题4分，满分20分)6．通过曲线22222241x y z x y z ⎧++=⎨--=⎩且母线平行于z 轴的柱面方程为 ．7．设函数2(,,)e x f x y z yz =，其中(,)z z x y =是由0x y z xyz +++=确定的隐函数，则(0,1,1)x f '-= ．8．微分方程230y y y '''+-=的通解为 ． 9．交换积分次序1100d (,)d xx f x y y -=⎰⎰ ．10．级数1(21)nn x n ∞=+∑的收敛半径R = ．三、计算题(每小题6分，满分30分)11．求函数22(,)22425f x y x xy y x y =++++-的极值．12．求曲面22z x y =+介于两平面1z =与4z =之间的部分的面积．13．求微分方程22d d yxy x y x=+满足条件e |2e x y ==的特解．14．求过点1(1,1,1)M 和2(0,1,1)M -且垂直于平面0x y z +-=的平面方程．15．求幂级数211nn n x n ∞=+∑的和函数．四、理论及其应用题（每题满分8分，共24分）16．求二阶线性非齐次微分方程2y y y x '''-+=满足条件(0)2,(0)0y y '==的特解．17．已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1)．线段AB 绕z 轴旋转一周所成的旋转曲面为S ．求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积．18．将函数1()f x x =展开成(3)x -的幂级数，并求10(1)3n n n ∞+=-∑的和．五、证明题（本题满分6分）19．设z 是,x y 的函数，且()(), ()()0xy xf z yg z xf z yg z ''=++≠，求证：[()][()]z zx g z y f z x y∂∂-=-∂∂．《高等数学（下）》测试题一参考答案一、1．B ；2．D ；3．C ；4．C ；5．A ．二、6．22531x y -=；7．1；8．312e e x x y C C -=+；9．1100d (,)d yy f x y x -⎰⎰；10．1/2．三、11．解224, 242f f x y x y x y ∂∂=++=++∂∂，由0, 0f f x y∂∂==∂∂解得驻点(3,1)P -，又因为2, 2, 4xxxy yy f f f ''''''===，则在点(3,1)P -处，2, 2, 4A B C ===，240B AC -=-<，且20A =>，故点(3,1)P -是函数(,)f x y 的极小值点，极小值为(3,1)10f -=-．12．解2214d d D x y A x y x y ≤+≤==⎰⎰232π22111πd d 2π(14)126r r r θ==⨯+=⎰⎰． 13．解 因22(,)(),()P x y x y Q x xy =-+=均为二次齐式，故所给方程为齐次微分方程．令y xu =，则d d d d y u u x x x=+，代入方程2221d d y y x y x y x xy x⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==，得2d 1d u u u x x u ++=，即d 11d d d u x u u x x u x =⇒=．两边积分，得21ln 2u x C =+，将y u x=代回，得通解222(ln )y x x C =+．由初始条件e |2e x y ==，得1C =．故所求特解为222(ln 1)y x x =+．14．解 由题设知，所求平面的法向量n ，既垂直于已知平面的法向量0n i j k =+-，又垂直于向量122M M i k =--，故可取01211123102ijkn n M M i j k =⨯=-=-++--，由此得所求平面的点法式方程为2(1)3(1)(1)0x y z --+-+-=，即2320x y z --+=．15．解 因为211111n n nn n n n x nx x n n∞∞∞===+=+∑∑∑， 1211()1(1)nn n n x x S x nx x x x x x ∞∞==''⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑， 记211()n n S x x n∞==∑，则121111()1n n n n S x x x n x ∞∞-=='⎛⎫'=== ⎪-⎝⎭∑∑， 对上式从0到x 的积分，得201()d ln(1)1xS x x x x==---⎰，故 2211ln(1) (11)(1)n n n xx x x n x ∞=+=---<<-∑. 四、16．解 原方程对应的齐次方程为20y y y '''-+=，齐次方程的特征方程是2221(1)0r r r -+=-=，解得其特征根为121r r ==，于是齐次方程的通解为12()e x y C C x =+．由于0λ=不是特征根，故非齐次方程2y y y x '''-+=的特解形式应设为*()Y x Ax B =+，将它代入非齐次微分方程中，得1, 2A B ==.于是，非齐次微分方程的通解为12()e 2x y C C x x =+++.将初始条件(0)2,(0)0y y '==代入，得120, 1C C ==-，故所求的特解为e 2x y x x =-++．17．解 直线AB 的方程为1111x y z-==-，即⎩⎨⎧=-=.,1z y z x 过z 轴上的[0,1]中任一点z 且垂直于z 轴截旋转体所得截面是一个圆，与AB 交于点1(1,,)M z z z -．于是圆的半径为r ==，面积为2π(122)z z -+．因此，1120()2d d d d d d π(122)d π3s z V x y z z x y z z z Ω===-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰． 18．解 因为当|3|3x -<时，有011111333(3)33313nn x x x x ∞=-⎛⎫==⋅=- ⎪-+-⎝⎭+∑ 1001(3)1(1)(1)(3)333n n n n n n n n x x ∞∞+==-=-=--∑∑ 所以，取4x =，得10(1)134n n n ∞+=-=∑．五、19．证明 在方程()()xy xf z yg z =+两边同时对x 求导数得()()()()()()z z z y f z y f z xf z yg z x x x xf z yg z ∂∂∂-''=++⇒=''∂∂∂+， ()()0xf z yg z ''+≠.同理，得()()()z x g z y xf z yg z ∂-=''∂+，将所求偏导数代入等式[()][()]z zx g z y f z x y∂∂-=-∂∂，即得恒等式．故命题得证．《高等数学（下）》测试题二一、单项选择题(每小题4分，满分20分，把答案写在括号内)1．函数(,)f x y =(0,0)处的偏导数存在情况是（ ） (A)(0,0)x f '存在，(0,0)y f '存在； (B)(0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在； (C)(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在； (D)(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '不存在． 2．变换积分210d (,)d xx x f x y y ⎰⎰的次序为（ ）(A)10d (,)d y y f x y x ⎰； (B)110d (,)d y y f x y x ⎰⎰；(C)210d (,)d y y y f x y x ⎰⎰； (D)10d (,)d y y f x y x ⎰． 3．直线12:213x y zL -+==与平面:21x y z ∏--=的关系是（ ） (A)互相平行，L 不在∏上； (B) L 在∏上； (C)垂直相交； (D) 相交但不垂直． 4．若级数21n n u ∞=∑与21n n v ∞=∑均收敛，则下列级数绝对收敛的是（ ）A ．1n n u ∞=∑；B ．1()n n n u v ∞=+∑；C ．21(1)nnn u ∞=-∑；D ．21()n n n u v ∞=+∑．5．设平面区域D 是由直线1,12x y x y +=+=及两条坐标轴所围成，记233123()d , ()d , [ln()]d DDDI x y I x y I x y σσσ=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰；则有（ ）(A)123I I I <<； (B) 321I I I <<； (C)132I I I <<； (D) 312I I I <<． 二、填空题(每小题4分，满分20分，把答案写在横线上)6．过点(1,2,1)-且与直线2341x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩垂直的平面方程是 ．7．微分方程20y y y '''++=的通解为 ．8．已知平面24x y z m +-=是曲面222z x y =+在点(1,1,3)处的切平面，则m 的值等于 ．9．级数2114nnn x ∞=∑的收敛域为 ． 10．D 是由0,0x y ==与221x y +=所围成的图形在第一象限内的部分，则二重积分2d d Dx y x y =⎰⎰ ．三、基本计算题(每小题6分，共30分)11．设3,y z x f xy x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中f 具有二阶偏导数，求,z z x y∂∂∂∂．12．已知||||1a b ==，且a 与b 的夹角π6θ=，求以2a b +和3a b +为边的平行四边形的面积．13．设Ω是由曲线22x y z=⎧⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =围成的空间区域，求22()d x y z v Ω++⎰⎰⎰．14．求微分方程323e x y y y x -'''++=的通解．15．将函数1()(1)f x x x =-展开成2x -的幂级数．四、概念及其应用题（每小题8分，共24分） 16．求11, (0,0)z xy x y x y=++>>的极值．17．求曲面22z x y =+与226()z x y =-+所围立体的体积．18．求幂级数13nn n x n ∞=∑的收敛半径、收敛域及和函数．五、证明题（本题6分）19．证明y x z x y x y ϕψ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭满足方程2222220z z x y x y ∂∂-=∂∂．《高等数学（下）》测试题二参考答案一、1．B ；2．D ；3．A ；4．C ；5．B ．二、6．340x y z --+=；7．12()e x y C C x -=+；8．3；9．(2,2)-；10．115． 三、11．解231223,zy y x f xy x f y f xx x ∂-⎛⎫⎡⎤''=+⋅+⋅ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦， 3121z x f x f y x ∂⎡⎤''=⋅+⋅⎢⎥∂⎣⎦． 12．解 由向量积的几何意义知，以2a b +和3a b +为边的平行四边形面积为(2)(3)(3)(2)(3)(2)π555sin 62S a b a b a a a b b a b ba b a b =+⨯+=⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=⋅⋅=13．解 Ω由旋转抛物面221()2z x y =+与平面4z =围成．曲面与平面的交线为228,4.x y z ⎧+=⎨=⎩ 选用柱坐标变换cos,sin ,. x r y r z z θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩由题意得积分区域:02π,04,0z r θΩ≤≤≤≤≤≤，于是42π2220()d d d )d x y z v z r z r r θΩ++=+⎰⎰⎰⎰⎰22442002562πd 2π2d π.423r r z z z z ⎛=+== ⎝⎰⎰ 14．解 由特征方程2()320r r r ϕ=++=得特征根为121,2r r =-=-，所以，齐次方程的通解为212e e x x y c c --=+，又由1λ=-是特征方程的单根，于是*()e xy x ax b -=+，即2()Q x ax bx =+，代入公式2()()0()()3j j j Q x x ϕλ==∑中，得3,32a b ==-，所以*332y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而，原方程的通解为2121e e 31e 2x x x y c c x x ---⎛⎫=++- ⎪⎝⎭．15．解 因为111()(1)1f x x x x x==---， 011(1)(2), |2|1112n n n x x x x ∞===---<-+-∑；100111112(2)(1)()(1), |2|2222222212n n n n n n n x x x x x x ∞∞+==--===-=--<-+-+∑∑； 故101()(1)(1)(2), |2|12n n n n f x x x ∞+==----<∑． 四、16．解 2211,z z y x x x y y ∂∂=-=-∂∂，令221010y xx y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得驻点(1,1)．因为 222232322,1,z z z x x x y y y∂∂∂===∂∂∂∂， 2222(1,1)(1,1)2, 1, 2, 1430zzA B C xy∂∂=====∆=-=-<∂∂，0A >，故有极小值，极小值为3z =．17．解 222222:36z x y D x y z x y⎧=+⇒+≤⎨=--⎩.方法一：222π62π2000d d d d d (62)d r rV v r z r r θθ-Ω===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰240192π32π99π22r r ⎡⎛⎫=-=-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.方法二：22222[6()()]d d [62]d d DDV x y x y x y r r r θ=-+-+=-⎰⎰⎰⎰2π2240019d (62)d 2π32π99π22r r r r θ⎡⎛⎫=-=-=-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎰.18．解 1131limlim ,3(1)33n n n n n na n R a n ++→∞→∞===+. 当3x =时，级数11n n ∞=∑发散；当3x =-时，级数1(1)n n n ∞=-∑收敛，所以，级数的收敛域为[3,3)-．令111131(),()33133n n n n n n x x f x f x n x x -∞∞=='====--∑∑，001()(0)d ln(3)|ln 3ln(3)3xxf x f x x x x-==--=---⎰3 ()lnln(1)33x xf x -∴==-. 五、19．证明 利用一阶微分形式不变性，有d d d y y y x y x x x z x y x x x y x y y y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''=-+++-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ϕϕψϕψψ从而2223222311z y y y x x x x x y z y y x x x x y y z y x x x y x y y y z y x x y x x y y ϕϕψϕψϕψψϕψ⎛⎫∂⎛⎫⎛⎫''=-+ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂⎛⎫''''=+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫''=+- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂⎛⎫''''=+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭于是2222220z z x y x y∂∂-=∂∂．。

武汉大学数学与统计学院2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题（180学时）一、（87'⨯）试解下列各题：1、计算n →∞2、计算0ln(1)lim cos 1x x xx →+--3、计算arctan d x x x ⎰4、 计算4x ⎰5、计算d x xe x +∞-⎰6、设曲线方程为sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩，求此曲线在点4t π=处的切线方程。

7、已知2200d cos d y x te t t t =⎰⎰，求x y d d8、设11x y x-=+，求()n y二、（15分）已知函数32(1)x y x =-求： 1、函数)(x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值；2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线 。

三、（10分）设()g x 是[1,2]上的连续函数，0()()d x f x g t t =⎰1、用定义证明()f x 在(1,2)内可导；2、证明()f x 在1x =处右连续；四、（10分）1、设平面图形A 由抛物线2y x = ，直线8x =及x 轴所围成，求平面图形A 绕x轴旋转一周所形成的立体体积； 2、在抛物线2(08)y x x =≤≤上求一点，使得过此点所作切线与直线8x =及x 轴所围图形面积最大。

五、（9分）当0x ≥，对()f x 在[0,]b 上应用拉格朗日中值定理有： ()(0)()(0,)f b f f bb ξξ'-=∈对于函数()arcsin f x x =，求极限0lim b bξ→武汉大学数学与统计学院 B 卷2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题一、（86'⨯）试解下列各题：1、计算30arctan lim ln(12)x x x x →-+2、计算120ln(1)d (2)x x x +-⎰ 3、计算积分：21arctanxd x x +∞⎰ 4、已知两曲线()y f x =与1x yxy e++=所确定，在点(0,0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限2lim ()n nf n→∞5、设，2221cos cos t x t udu y t t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，试求：d d y x，22d |d t y x 的值。

武汉大学数学与统计学院《 高等数学 》期末考试试题（180学时）专业班级 学号_______________ 姓名一、单项选择题（以下5题,每题3分,共15分）：1．空间直线121131-=-+=-z y x 与平面230x y z +-+=的位置关系是 （ ） (A)互相垂直； (B)不平行也不垂直； (C)平行但直线不在平面上； (D)直线在平面上. 2．对闭区间上的函数可以断言 （ ） (A)有界者必可积； (B)可积者必有原函数； (C)有原函数者必连续； (D)连续者必有界. 3．下述结论错误的是 （ ） (A)21x dx x +∞+⎰发散； (B)2011dx x +∞+⎰收敛； (C)201x dx x +∞-∞=+⎰； (D)21xdx x +∞-∞+⎰发散. 4．设)(x f 有连续导数，0)0(=f ，0)0(≠'f ，⎰+=xdt t f t x F 02)()1()(，则(0)F 一定是()F x 的（ ）(A)极小值； (B)极大值； (C)极值； (D)非极值.5．设)(x f 在),(b a 内可导，如果)(x f '在),(b a 内有间断点, 则间断点 （ ） (A)总是振荡型； (B)总是无穷型； (C)可能是可去型； (D)一定是不可去型.二、填空题（以下5题,每题3分,共15分）: 1．已知2a b a b ==⋅=, 则a b ⨯=（ ）.2．设111, xn n nI dx x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰则lim n n I →∞=（ ）. 3．已知22211(arctan )arctan ln(1)22x y x x x x +=-++，则4x dy π==（ ）..4．设1arcsin)1()(+-=x xx x f ，则(1)f '=（ ）. 5．设1220011()11xxF x dt dt t t =+++⎰⎰，则()F π=（ ）..三、计算题（以下5题,每题8分,共40分）： 1.求极限00limxx →⎰2.计算极限1lim x +→⎰3. 计算定积分20cos cos sin xI dx a x xπ=+⎰.4. 设函数()x y y =由参数方程⎩⎨⎧=+=2,yt t e e te x 所确定，求2200,t t dyd y dx dx ==5．设t l 为曲线x y =在x t =处的切线，t l 与曲线以及直线0=x 和2=x 所围成的图形绕x 轴旋转生成的旋转体体积记为()V t ,1）给出()V t ；2）求()V t 的最小值点. 四、讨论题和证明题（以下3题,每题10分,共30分）：1. 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f α在0=x 处连续可导，但其导数在0=x 处不连续, 试讨论α的取值范围. 2．已知()()()1f x x f x ''-=+，求()f x 的极值点，并说明是极大值点还是极小值点. 3. 设函数()arctan f x x =定义在区间[]0,b 上（0b >），证明: 1). 存在[0,]b η∈, 使得21arctan arctan ln(1)2b b b b η-=+, 2). 用1)的结果证明： 01lim2b bη→=.参考答案:一、单项选择题： 1．（D ）；2．（D ）；3．（C ）；4．（C ）；5．(D). 二、填空题： 1． a b ⨯=）；2． lim n n I →∞=（e ）；3． 4x dyπ==（4π）；4．(1)f '=（4π）； 5． ()F π=（2π）. 三、解答题： 1.原极限00limxx →⎰＝0x →x x →→==＝2.2.由=＝t t t t d 2)1ln(2⎰+=]d 12)1ln([2222⎰+-+t t t t t =⎰+-+-+t t t t t d 1114)1ln(2222＝C t t t t ++-+arctan 44)1ln(22=C x x x x ++-+arctan44)1ln(2.所以：原极限1lim x x +→⎰()01lim )x xx C +→=+-ln 44π=-+3. ()()2200cos sin cos sin cos cos sin cos sin A a x x dx Bd a x x xI dx dx a x x a x x ππ+++==++⎰⎰, 其中, A B 满足10Aa B A Ba +=⎧⎨-=⎩,求得:221, 11a A B a a ==++, 所以原积分I =()()202211ln cos sin (ln )112aax a x x a a a ππ=++=-++. (也可以令tan x t =求解).4. 对参数方程两边关于x 求导得：()110tx t y xx e t t e t y e '⎧=+⎪⎨=⎪⎩''+，进而()11x y t y e -=+'，()2311x x t y y y t e e '''-+=. 注意 00, 0t x y =⇒==，于是有0011(1)y t t dy dx t e ==-==-+及()223200101x t y t t d y y dx t e e ==⎛⎫'=-= ⎪ ⎪+⎝⎭. 5． 1)设切点坐标为(t ，由ty 21=，可知曲线x y =在()t t ,处的切线方程为()t x tt y -=-21，或()t x ty +=21．因此所求旋转体的体积为:()2220125()()()4323t V t x t x dx t t ππ=+-=+-⎰；2)2()21032dV t dt tπ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭, 得驻点32±=t ，舍去32-=t．由于223403t t d V dt t π=>，因而函数()V t 在32=t 处达到极小值，而且也是最小值．四、讨论题和证明题 1. ()f x 在0=x 可导,即1000()(0)()1limlim lim sin x x x f x f f x x x x x α-→→→-==,而1sin x有界, 则当10α->时 101(0)=lim sin 0x f x x α-→'=, 即-1211sin cos ,0()= 0, 0x x x f x x x x ααα-⎧-≠⎪'⎨⎪=⎩, 易知, 当12α<≤时, ()f x '在0=x 不连续, 但()f x 在0=x 可导.2．在方程()()()1f x x f x ''-=+中令x t -=，得()()()1f t t f t ''=--+，从而得()()()()f x xf x xxf x f x x ''+-=-⎧⎪⎨''--=-⎪⎩，解出()221x x f x x --'=+． 由()221x x f x x--'=+得函数()x f 的驻点1,021-==x x ． 而()()222121x x f x x --+''=+，所以，()010f ''=-<，()1102f ''-=>． 即：0x =是函数()x f 极大值点；1x =-是函数()x f 极小值点． 3. 1).由积分中值定理得arctan arctan bxdx b η=⎰，其中[0,]b η∈. 而20arctan arctan 1bbxxdx x x dx x =-=+⎰⎰201arctan ln(1)2b b x xx =-+=21arctan ln(1)2b b b -+, 则：21arctan arctan ln(1)2b b b b η-=+,[0,]b η∈. 2).注意0b →时，0η→及0arctan lim1ηηη→=，则2000arctan arctan limlimlim b b b b bb bηηηηη→→→=== ＝22001arctan ln(1)arctan 12lim ====lim 22b b b b b b b b −−−−−−−→→→-+=洛必塔法则.。

武汉大学2007-2008第一学期《高等数学》期末考试试题(数统)一．试解下列各题（每小题6分，共48分） 1．计算().21ln arctan lim 30x xx x +-→2．计算()().21ln 12⎰-+dx x x3．计算积分.arctan 12⎰+∞dx xx4．已知两曲线由()x f y =与1=++y x e xy 所确定，且在点()0,0处的切线相同，写出此切线方程，并求极限.2lim 0⎪⎭⎫⎝⎛→n nf x5．设⎪⎩⎪⎨⎧-==⎰.cos 21cos ,cos 2122t udu u t t y t x 试求,dx dy .|222π=t dx y d6．确定函数xt xx t x t sin sin sin sin lim -→⎪⎭⎫⎝⎛的间断点，并判断间断点的类型.7．设(),11x x y -=求().n y8．求位于曲线()0≥=-x xe y x 下方，x 轴上方之图形的面积.二．（12分）设()x f 具有二阶连续导数，且().0=a f()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=.,,,a x A a x a x x f x g（1）试确定A 的值，使()x g 在a x =处连续.（2）求()x g '. （3）证明：()x g '在a x =处连续三．（15分）设()y x P ,为曲线⎩⎨⎧==.sin 2,cos :2t y t x L ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤20πt 上一点，作过原点()0,0O 和点P 的直线OP ， 由曲线L 、直线OP 以及x 轴所围成的平面图形记为A .（1）将y 表示为x 的函数.（2）求平面图形A 的面积()x S 的表达式. （3）将平面图形A 的面积()x S 表示成t 的函数()t S S =，并求dtdS取得最大值时 点P 的坐标.四．（15分）已知函数(),352--=x x x f 求 （1）函数()x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值； （2）函数图形的凸性区间、拐点、渐进线.五．（ 10分）设函数()x f 在[]l l ,-上连续，在0=x 处可导，且().00≠'f （1）证明：对于任意()l x ,0∈，至少存在一个()1,0∈θ，使得()()()()[].0x f x f x dt t f dt t f xx θθ--=+⎰⎰-（2）求极限.lim 0θ+→x 武汉大学2008-2009第一学期《高等数学》期末考试试题一、试解下列各题：（''⨯=8756）1、求极限： 2201lim(cot )x x x→-2、已知04x →=，求极限0lim ()→x f x3、试证:若()f x 是可导的周期为l 的函数，则'()f x 也是以l 为周期的周期函数.4、求函数xx x x f )1(1)(2--=的间断点，并判断其类型。

武汉大学2017-2018第一学期高等数学A1期末试题A1、（9分）求极限33tan 3tan lim cos()6x x x x ππ→-+．2、（9分）设函数()y y x =由参数方程()()sin 1cos x a t t y a t ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩所确定，求22d y dx .3、（9分）已知2sin 200cos 0y xt e dt tdt +=⎰⎰，求dy dx4、（8分）5、（9分）设0a >，求0sin ax e xdx +∞-⎰.6、（9分）根据以下导函数()y f x ''=的图像：填写关于函数()f x 的表格（其中(0)0f =）：()y f x =7、（8分）确定常数,a b ，使函数21(1)0()sin 0xe xf x xa bx x ⎧-<⎪=⎨⎪+≥⎩　，　，处处可导。

8、（9分）求由arctan ,01x y x x ≤≤≤≤所确定的区域的面积。

9、（8分）涵洞的断面为抛物线拱形。

拱高1米，拱底宽2米，在水面高出涵洞顶点0.5米时，求涵洞闸门上所受的水压力。

10、（8分）用变量代换sin t x =化简微分方程2tan cos 0y y x y x '''+-=，x2x 4x o 1x 5x 3x 6x y x并求其满足2,10='===x x y y的特解。

11、（8分）求由曲线1,2y x x ===及x 轴所围成的平面图形绕直线1x =-轴旋转而成的旋转体的体积。

12、（6分）设函数()f x 在区间[]0,1上连续，且211100()d ()d d x x a f t t a ef t t x -⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰（其中1>a 为定常数）。

证明：至少存在一点(0,1)ξ∈使得 0()2()d f f x x ξξξ=⎰.武汉大学2017-2018第一学期高等数学A1期末试题A 解答1、（9分）解方法一：2233tan (tan 3)tan 3limcos()cos()66x x x x x x x ππππ→→--=++原式232tan sec 24sin()6x x x x ππ→=--+方法二：3tan (tan limcos()6x x x x x ππ→+-=+原式33tan lim tan (tan limcos()6x x x x x x πππ→→-=+⋅+23sec 6limsin()6x x x ππ→=-+方法三：9分2、（9分）设函数()y y x =由参数方程()()sin 1cos x a t t y a t ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩所确定，求22d y dx .解：()sin cot 1cos 2dy a t t dx a t ==- ()()()22221cot csc csc 22221cos 1cos 21cos t t t d y dx a t a t a t '⎛⎫-- ⎪⎝⎭===--- 9分 3、（9分）已知2sin 200cos 0yxt e dt tdt +=⎰⎰，求dydx. 解：方程两边关于x 求导得 2222cos sin cos cos sin cos 0y yx xe y x x y e ⋅''+⋅=⇒=- 9分4、（8分）解：方法一：由00arctan(1)4lim(arctan(1))lim 4x x x x xππ++→→+-+-=2arctan(1)114lim lim 21(1)x x x xx π++→→+-===++ 故由归结原理 11lim(arctan)42n n n π→∞+-=方法二：00lim[(arctan(1)lim (11)x x x x ξ++→→+-=<<+111lim12ξξ→==+故由归结原理 11lim(arctan)42n n n π→∞+-= 方法三：11arctan tan n n n nαα++==，则 于是πααα+---===++++11tan 11tan()41tan 1211n n n n n， 121121121arctanlim 1)121(arctan lim 原式22++⋅++=+⋅+=∞→∞→n n n n n n n n 21=8分5、（9分）设0a >，求0sin ax e xdx +∞-⎰.解：原式22211cos sin 111ax a e x x a a a +∞-⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦ 9分 6、（9分）根据以下导函数()y f x '=的图像：填写关于函数()f x 的表格（其中(0)0f =）：x9分7、（8分）确定常数,a b ，使函数21(1)0()sin 0xe xf x x a bx x ⎧-<⎪=⎨⎪+≥⎩　，　，处处可导。