用图象法求一元二次方程的根

第05讲二次函数的应用（6种题型）

【知识梳理】

一．抛物线与x轴的交点

求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c

＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．

（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0

根之间的关系．

△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．

△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；

△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；

△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛

物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．

二．图象法求一元二次方程的近似根

利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：

（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；

（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；

（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．

三．二次函数与不等式（组）

二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系

①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得

自变量x的取值范围．②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交

点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．

四．根据实际问题列二次函数关系式

根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问

题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函

数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握

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教学内容

(一)元二次方程的解法

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题型1二次函数的图像和性质

（2012•贵港一模）若直线y=b（b为实数）与函数y=|x2﹣4x+3|的图象至少有三个公共点，则实数b的取值范围是 0＜b≤1 ．

考点： 二次函数的性质．

分析： 先求x2﹣4x+3=0时x的值，再求x2﹣4x+3＞0和x2﹣4x+3＜0时，自变量的取值范围及对应的函数式，求函数式的取值范围，判断符合条件的b的值的范围．

解答： 解：∵当x2﹣4x+3=0时，x=1或x=3，

∴当x＜1或x＞3时，x2﹣4x+3＞0，即：y=|x2﹣4x+3|，函数值大于0， 例题1 ）））））））））

）））））））））） 当1＜x＜3时，﹣1≤x2﹣4x+3＜0，即：y=|﹣x2+4x﹣3|，函数最大值为1，

故符合条件的实数b的取值范围是0＜b≤1．

点评： 本题是分段函数的问题，按照绝对值里的数的符号，分段求函数，再求符合条件的b值范围．

（2014•牡丹江）抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x=﹣1，则a+b+c= 0 ．

考点： 二次函数的性质．

专题： 常规题型．

分析： 根据二次函数的对称性求出抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0），由此求出a+b+c的值．

解答： 解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x=﹣1，

∴y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0），

∴a+b+c=0．

故答案为：0．

点评： 本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0）是解题的关键．

我来试一试！

（2014•武汉模拟）直线y=mx+n和抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，那么不等式mx+n＜ax2+bx+c＜0的解集是 1＜x＜2 ．

一元二次不等式的解法步骤

一元二次不等式解法有公式法、配方法、图像法、数轴穿根。数轴穿根步骤：把二次项系数变成正的；画数轴，在数轴上从小到大依次标出所有根；从右上角开始，一上一下依次穿过不等式的根，奇过偶不过。

一元二次不等式怎么解

数轴穿根

用穿根法解高次不等式时，就是先把不等式一端化为零，再对另一端分解因式，并求出它的零点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从x轴的右端上方起，依次穿过这些零点，大于零的不等式的解对应这曲线在x轴上方部分的实数x的值的集合，小于零的则相反。这种方法叫做序轴穿根法，又叫“穿根法”。口诀是“从右到左，从上到下，奇穿偶不穿。”

注：该方法适用于所有的不等式。

步骤：

1）把二次项系数变成正的；

2）画数轴，在数轴上从小到大依次标出所有根；

3）从右上角开始，一上一下依次穿过不等式的根，奇过偶不过(即遇到含x的项是奇次幂就穿过，偶次幂就跨过)；

4）注意看看题中不等号有没有等号，没有的话还要注意舍去使不等式为0的根。

图像法

一元二次不等式也可通过一元二次函数图象进行求解。

通过看图象可知，二次函数图象与X轴的两个交点，然后根据题中所需求"<0"或">0"而推出答案。

求一元二次不等式的解集实际上是将这个一元二次不等式的所有项移到不等式一侧并进行因式分解分类讨论求出解集。解一元二次不等式，可将一元二次方程不等式转化成二次函数的形式，求出函数与X轴的交点，将一元二次不等式，二次函数，一元二次方程联系起来，并利用图象法进行解题，使得问题简化。

一元二次方程求根公式 当Δ=b^2-4ac≥0时,x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/2a

当Δ=b^2-4ac＜0时,x={-b±[(4ac-b^2)^(1/2)]i}/2a

只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。它的标准形式为:ax²+bx+c=0（a≠0）

用函数观点看一元二次方程

撰稿：庄永春 责编：张晓新

一、目标认知

学习目标

1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.

2．理解抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.

3．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.

重点

1．体会方程与函数之间的联系.

2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.

难点

1．探索方程与函数之间关系的过程.

2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.

二、知识要点梳理

知识点一、二次函数与一元二次方程的关系

1．函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.

(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；

(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；

(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.

通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：

的图象

的解 方程有两个不等实数解 方程有两个相等实数解 方程没有实数解

要点诠释：

二次函数图象与 x轴的交点的个数由的值来确定. 2．函数与直线的公共点情况方程

的根的情况.

函数与直线的公共点情况方程

的根的情况.

知识点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解

用图象法解一元二次方程的步骤：

1．作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数

2．由二次函数图象与的交点位置，确定交点的横坐标的取值范围；

3．利用计算器计算方程的近似根.