一元二次方程的图象解法

一元二次函数的图象一、 定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数. 其中，x 是自变量，a,b,c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。

二、一元二次函数y ＝ax ²＋bx ＋c ﹙a ≠0﹚的图象(其中a,b,c 均为常数)1.当a ＞0时 函数图象开口向上；对称轴为x ＝﹣2a ／b ，有最小值且为﹙4ac －b ²﹚／4a ； 当x ∈﹙﹣∞,﹣2a ／b]时递减；当x ∈[﹣2a ／b,﹢∞﹚时递增；2.当a ＜0时函数图象开口向下；对称轴为x ＝﹣2a ／b ，有最大值且为﹙4ac －b ²﹚／4a ； 当x ∈﹙﹣∞,﹣2a ／b]时递增；当x ∈[﹣2a ／b,﹢∞﹚时递减；2.△＝b ²－4ac当△＞0时，函数图象与x 轴有两个交点； 当△＝0时，函数图象与x 轴只有一个交点； 当△＜0时，函数图象与x 轴没有交点。

(如下图所示)三、抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用(1) a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.例1：画出212y x =- 2y x =- 22y x =-的图象212y x =- 22y x =- 2y x =-归纳：一般地，抛物线2y ax =的对称轴是y 轴，顶点是原点，当0a >时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当0a <时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大。

(2)b 和a共同决定抛物线对称轴的位置例2：画出二次函数21(1)2y x =-+，211)2y x =--（的图象，考虑他们的开口方向、对称轴和顶点。

21(1)2y x =-+ 211)2y x =--（可以看出，抛物线21(1)2y x =-+的开口向下，对称轴是进过点（-1,0）且与x 轴垂直的直线，记为x=-1，顶点是（-1,0）；抛物线211)2y x =--（的开口向下，对称轴是x=1，顶点是（1,0）。

煤炭化学成分与煤的燃烧性质的关联性研究煤炭作为一种重要的能源资源，其化学成分和燃烧性质之间存在着密切的关联性。

研究煤炭的化学成分对于深入了解煤的燃烧性质具有重要意义。

本文将探讨煤炭的主要化学成分及其对燃烧性质的影响。

煤炭主要由碳、氢、氧、氮和硫等元素组成，其中碳是其主要成分。

煤炭的碳含量直接影响着其燃烧性质。

碳含量高的煤炭燃烧时会产生较高的热量，因此被广泛应用于能源领域。

同时，碳含量高的煤炭燃烧时产生的烟尘和二氧化碳排放量也相对较高，对环境造成一定的影响。

因此，在煤炭的利用过程中，需要综合考虑其碳含量对燃烧性质和环境的影响。

除了碳含量，煤炭中的氢含量也对其燃烧性质有一定的影响。

氢是煤炭中的可燃元素之一，其含量高低直接影响着煤炭的燃烧速度和热值。

氢含量高的煤炭燃烧时会产生较高的热量，具有较高的燃烧效率。

此外，氢含量高的煤炭燃烧时所产生的水蒸气会稀释烟气中的氧气，降低燃烧温度，从而减少氮氧化物的生成。

因此，氢含量高的煤炭在燃烧过程中具有较低的氮氧化物排放量，对环境友好。

煤炭中的氧含量和硫含量也对其燃烧性质有一定的影响。

氧是煤炭中的氧化剂，其含量高低直接影响着煤炭的可燃性。

氧含量高的煤炭燃烧时会产生较高的热量，燃烧速度较快。

然而，氧含量高的煤炭燃烧时也容易产生较多的烟尘和二氧化碳，对环境造成一定的影响。

因此，在煤炭的利用过程中，需要综合考虑其氧含量对燃烧性质和环境的影响。

硫是煤炭中的一种常见元素，其含量对煤炭的燃烧性质有着重要的影响。

硫在煤炭燃烧时容易生成二氧化硫等有害气体，对环境和人体健康造成危害。

因此，降低煤炭中的硫含量对于减少大气污染具有重要意义。

目前，对于高硫煤的利用，常常采取脱硫技术来降低燃烧过程中的硫排放。

除了煤炭的化学成分，煤的燃烧性质还受到煤质结构的影响。

煤质结构包括煤的孔隙结构和煤的结晶结构。

煤的孔隙结构对于煤的燃烧速度和热值有一定的影响。

孔隙结构较发达的煤炭燃烧时，氧气可以更好地进入煤体内部，提高燃烧效率。

§ 3.4一元二次函数的图象和性质复习目标1． 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征2． 掌握一元二次函数的性质，能利用性质解决实际问题 3． 会求二次函数在指定区间上的最大（小）值 4． 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。

知识回顾1．函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。

2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。

3．任何一个二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式：ab ac a b x a y 44)2(22-++=，性质如下：（1）图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线abx 2-=。

（2）最大（小）值① 当0>a ，函数图象开口向上，y 有最小值，a b ac y 442min-=，无最大值。

② 当0>a ，函数图象开口向下，y 有最大值，ab ac y 442max -=，无最小值。

（3）当0>a ，函数在区间)2,(ab --∞上是减函数，在),2(+∞-a b上是增函数。

当0<a ，函数在区间上),2(+∞-a b 是减函数，在)2,(ab--∞上是增函数。

【说明】1.我们研究二次函数的性质常用的方法有两种：配方法和公式法。

2．无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与对称轴；但我们讨论函数的最值以及它的单调区间时一定要考虑它的开口方向。

例题精解一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x 以4-=x 为中间值，取x 的一些值，列表如下：x … -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 …y … 25 0 23- -2 23- 0 25 …【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。

一元二次方程的解法归纳总结一元二次方程的解法是每一个中学生都必须掌握的,共有5种解法,其中直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法是教材上重点讲解的四种方法,并没有提到换元法,我们在这次归纳总结中给于详细的讲解.另外,还将介绍某些特殊的一元二次方程的解法.在上面提到的四种解一元二次方程的方法中,直接开平方法是最直接的方法,因式分解法是最简单的方法,配方法是最基本的方法,而公式法是最万能的方法.我们要根据一元二次方程的特点选择合适的解法,如一元二次方程缺少一次项,选择用直接开平方法求解;一元二次方程缺少常数项,选择用因式分解法（缺常选因）求解.一、直接开平方法解形如p x =2（p ≥0）和()c b ax =+2（c ≥0）的一元二次方程,用直接开平方法. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤:（1）把一元二次方程化为p x =2（p ≥0）或()c b ax =+2（c ≥0）的形式; （2）直接开平方,把方程转化为两个一元一次方程;（3）分别解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.注意:（1）直接开平方法是最直接的解一元二次方程的方法,并不适合所有的一元二次方程的求解;（2）对于一元二次方程p x =2,当0<p 时,方程无解;（3）对于一元二次方程()c b ax =+2: ①当0>c 时,一元二次方程有两个不相等的实数根;②当0=c 时,一元二次方程有两个相等的实数根;③当0<c 时,一元二次方程没有实数根.例1. 解下列方程:（1）022=-x ; （2）081162=-x .分析:观察到两个方程的特点,都可以化为p x =2（p ≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.当一元二次方程缺少一次项时,考虑使用直接开平方法求解.解:（1）22=x2±=x ∴2,221-==x x ;（2）1681,811622==x x 491681±=±=x ∴49,4921-==x x . 例2. 解下列方程:（1）()0932=--x ; （2）()092122=--x . 分析:观察到两个方程的特点,都可以化为()c b ax =+2（c ≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.解:（1）()932=-x 33±=-x∴33=-x 或33-=-x∴0,621==x x ;（2）()92122=-x ()4312922==-x ∴23432±=±=-x ∴232=-x 或232-=-x ∴232,23221-=+=x x . 习题1. 下列方程中,不能用直接开平方法求解的是 【 】（A ）032=-x （B ）()0412=--x （C ）022=+x （D ）()()2221-=+x 习题2. 若()41222=-+y x ,则=+22y x _________.习题3. 若b a ,为方程()1142=+-x x 的两根,且b a >,则=ba 【 】 （A ）5- （B ）4- （C ）1 （D ）3习题4. 解下列方程:（1）()16822=-x ; （2）()642392=-x .习题5. 解下列方程:（1）()09142=--x ; （2）4312=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x .习题6. 对于实数q p ,,我们用符号{}q p ,min 表示q p ,两数中较小的数,如{}12,1min =.（1）{}=--3,2min _________;（2）若(){}1,1min 22=-x x ,则=x _________. 习题7. 已知直角三角形的两边长y x ,满足091622=-+-y x ,求这个直角三角形第三边的长.（注意分类讨论第三边的长）二、因式分解法因式分解法解一元二次方程的一般步骤是:（1）移项 把方程的右边化为0;（2）化积 将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;（3）转化 令每个因式等于0,得到两个一元一次方程;（4）求解 解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.例1. 用因式分解法解方程:x x 32=.解:032=-x x()03=-x x∴0=x 或03=-x∴3,021==x x .例2. 用因式分解法解方程:()()01212=---x x x . 解:()()0211=---x x x()()()()011011=+-=---x x x x ∴01=-x 或01=+x∴1,121-==x x .例3. 解方程:121232-=-x x .解:0121232=+-x x()()023044322=-=+-x x x∴221==x x .例4. 解方程:332+=+x x x .解:()0332=+-+x x x()()()()0310131=-+=+-+x x x x x∴01=+x 或03=-x∴3,121=-=x x .因式分解法解高次方程例5. 解方程:()()0131222=---x x . 解:()()031122=---x x()()()()()()022*******=-+-+=--x x x x x x∴01=+x 或01=-x 或02=+x 或02=-x∴2,2,1,14321=-==-=x x x x .例6. 解方程:()()0343222=+-+x x . 解:()()043322=-++x x()()()()()0113013222=-++=-+x x x x x∵032>+x∴()()011=-+x x∴01=+x 或01=-x∴1,121=-=x x .用十字相乘法分解因式解方程对于一元二次方程()002≠=++a c bx ax ,当ac b 42-=∆≥0且∆的值为完全平方数时,可以用十字相乘法分解因式解方程.例7. 解方程:0652=+-x x .分析:()124256452=-=⨯--=∆,其结果为完全平方数,可以使用十字相乘法分解因式. 解:()()032=--x x∴02=-x 或03=-x∴3,221==x x .例8. 解方程:03722=++x x .分析:25244932472=-=⨯⨯-=∆,其结果为完全平方数,可以使用十字相乘法分解因式.解:()()0312=++x x∴012=+x 或03=+x ∴211-=x ,32-=x . 例9. 设方程()012012201420132=-⨯-x x 的较大根为a ,方程020*******=-+x x 的较小根为b ,求b a -的值.解:()012012201420132=-⨯-x x ()()()()()()()0120131011201301201320130112013120132013222222=+-=-+-=-+-=--⨯+-x x x x x x x x x x∴01=-x 或0120132=+x ∴22120131,1-==x x ∵a 是该方程的较大根∴1=a020*******=-+x x()()020121=+-x x∴01=-x 或02012=+x∴2012,121-==x x∵b 是该方程的较小根∴2012-=b∴()201320121=--=-b a .习题1. 方程x x 22=的根是__________.习题2. 方程()022=-+-x x x 的根是__________.习题3. 方程0442=+-x x 的解是__________.习题4. 方程()()232+=-+x x x 的解是__________.习题5. 如果()0211+=--x x x ,那么x 的值为 【 】 （A ）2或1- （B ）0或1（C ）2 （D ）1-习题6. 方程()x x x =-2的根是__________.习题7. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程0862=+-x x 的根,则该三角形的周长为__________.习题8. 解下列方程:（1）()()x x x -=-2223; （2）()1232+=+x x ;（3）()222344x x x -=+-; （4）2422-=-x x .习题9. 解下列方程:（1）0322=--x x ; （2）0452=+-x x .习题10. 解方程:()()01122122=++++x x .三、配方法解用配方法解一元二次方程02=++c bx ax ()0≠a 共分六步:一移、二化、三配、四开、五转、六解.（1）一移 把常数项移到方程的右边,注意变号;c bx ax -=+2（2）二化 在方程的左右两边同时除以二次项系数a ,化二次项系数为1;ac x a b x -=+2 （3）三配 即配方,把方程的左边配成完全平方的形式,需要在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方;22222⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++a b a c a b x a b x 222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ （4）四开 直接开平方; aac b a b x 2422-±=+ （注意:当ac b 42-=∆≥0时方程有实数根） （5）五转 把第（4）步得到的结果转化为两个一元一次方程;a acb a b x 2422-=+或aac b a b x 2422--=+ （6）解 解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.aac b b x a ac b b x 24,242221---=-+-=. 说明:由上面配方的结果可以确定一元二次方程有实数根的条件和求根公式:一元二次方程02=++c bx ax ()0≠a 有实数根的条件是ac b 42-=∆≥0,求根公式为:aac b b x 242-±-=. 例1. 用配方法解方程:0142=--x x .解:142=-x x()5252414422±=-=-+=+-x x x x ∴52=-x 或52-=-x ∴52,5221-=+=x x .例2. 解方程:03232=-+x x .分析:按照用配方法解一元二次方程的一般步骤,在移项之后,要化二次项系数为“1”. 解:3232=+x x910319119132132222=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+x x x x x 31031±=+x ∴31031=+x 或31031-=+x ∴31031,3103121--=+-=x x . 例3. 用配方法解关于x 的方程:02=++q px x （q p 42-≥0）.解:q px x -=+224244244222222q p p x q p p x p q p px x -±=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++∴242,24222q p p x q p p x --=+-=+ ∵q p 42-≥0 ∴24,242221q p p x q p p x ---=-+-=. 说明: q p 42-≥0既是二次根式q p 42-有意义的条件,也是一元二次方程02=++q px x 有实数根的前提.因此把q p 42-叫做一元二次方程02=++q px x 的根的判别式.习题1. 用配方法解方程0142=++x x ,配方后的方程是 【 】（A ）()322=+x （B ）()322=-x （C ）()522=-x （D ）()522=+x 习题 2. 若方程082=+-m x x 可以通过配方写成()62=-n x 的形式,那么582=++m x x 可以配成 【 】（A ）()152=+-n x （B ）()12=+n x （C ）()1152=+-n x （D ）()112=+n x 习题3. 用配方法解方程:（1）012=-+x x ; （2）01632=+-x x ;（3）0652=--x x ; （4）011242=--x x .四、公式法一元二次方程的求根公式一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的求根公式为:aac b b x 242-±-=（ac b 42-≥0） 当042<-ac b 时,一元二次方程无实数根.例1. 证明一元二次方程的求根公式.分析:用配方法可以证明一元二次方程的求根公式.证明:02=++c bx axaac b a b x a ac b a b x ab ac a b x a b x ac x a b x cbx ax 2424424422222222222-±=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++-=+-=+ ∴a ac b a b x 2422-=+或aac b a b x 2422--=+ ∴aac b b x a ac b b x 24,242221---=-+-= 即一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的根为a ac b b x 242-±-=（ac b 42-≥0）. 注意:当ac b 42-≥0时,一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）有实数根;当042<-ac b 时,二次根式ac b 42-无意义,方程无实数根.公式法解一元二次方程的一般步骤:用公式法解一元二次方程的一般步骤是:（1）把一元二次方程化为一般形式;（2）确定c b a ,,的值,包括符号;（3）当ac b 42-≥0时,把c b a ,,的值代入求根公式求解;当042<-ac b 时,方程无实数根.例1. 用公式法解方程:0622=-+x x .分析:用公式法解一元二次方程时要先将方程化为一般形式,并正确确定c b a ,,的值,包括符号.解:6,1,2-===c b a∴()496241422=-⨯⨯-=-ac b ∴4714491±-=±-=x ∴2471,2347121-=--==+-=x x . 例2. 解下列方程:（1）242=+x x ; （2）x x x 8110442-=++.解:（1）0242=-+x x()24244422=-⨯-=-ac b ∴6226242244±-=±-=±-=x ∴62,6221--=+-=x x ;（2）091242=++x x014414494412422=-=⨯⨯-=-ac b ∴80128012±-=±-=x ∴2321-==x x . 说明:当042=-ac b 时,一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个相等的实数根. 例3. 解方程:0162=+-x x .解:()3243646422=-=--=-ac b ∴22322462326±=±=±=x ∴223,22321-=+=x x .用公式法解一元二次方程获得的启示对于一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）,可以用c b a ,,的值确定方程解的情况以及方程的解,并且求根公式里面的二次根式ac b 42-有意义的条件即为方程有解的条件:当ac b 42-≥0时,二次根式ac b 42-,一元二次方程有实数根;当042<-ac b 时,二次根式ac b 42-无意义,一元二次方程无实数根.（1）当042>-ac b 时,一元二次方程有两个不相等的实数根;（2）当042=-ac b 时,方程有两个相等的实数根.把ac b 42-叫做一元二次方程根的判别式,用“∆”表示,所以ac b 42-=∆.在不解方程的前提下,可以由∆的符号确定一元二次方程根的情况.习题1. 解方程:（1）622=-x x ; （2）21342-=--x x x ;（3）0222=+-x x ; （4）()122-=+x x .习题2. 已知a 是一元二次方程0142=+-x x 的两个实数根中较小的根.（1）求201842+-a a 的值; （2）化简并求值:aa a a a a a a 112121222--+---+-.五、换元法解某些高次方程或具有一定结构特点的方程时,我们可以通过整体换元的方法,把方程转化为一元二次方程进行求解,从而达到降次或变复杂为简单的目的.换元法的实质是换元,关键是构造元和设元,体现的是转化化归思想.用换元法解某些高次方程例1. 解方程:03224=--x x .分析:这是一元四次方程,可设y x =2（注意:y ≥0）,这样通过换元就把原方程转化为关于 y 的一元二次方程.解:设y x =2,则有:y ≥0∴0322=--y y()()031=-+y y∴01=+y 或03=-y∴3,121=-=y y∵y ≥0∴3=y （1-=y 舍去）∴32=x ∴3,321-==x x .用换元法解具有一定结构特点的方程例2. 解方程:()()022322=+---x x . 分析:注意到该方程中整体()2-x 出现了两次,可整体设元,从结构上简化方程.解:设t x =-2,则有:0232=+-t t()()021=--t t∴01=-t 或02=-t∴2,121==t t∴12=-x 或22=-x∴4,321==x x .例3. 解方程:()()0128222=+---x x x x . 分析:本题中的方程若展开整理,则得到的是一个高次方程,但方程本身具有非常明显的结构特点,可整体换元,不用展开即可得到一个简洁的一元二次方程.解:设y x x =-2,则有:01282=+-y y()()062=--y y∴02=-y 或06=-y∴6,221==y y∴22=-x x 或62=-x x解方程22=-x x 得:2,121=-=x x ;解方程62=-x x 得:3,221=-=x x综上,原方程的解为3,2,2,14321=-==-=x x x x .例4. 解方程:112122=+-+x x x x . 分析:方程中21xx +与12+x x 互为倒数,若设t x x =+21,则t x x 112=+,经过这样的换元,最后可把原方程转化为关于t 的整式方程,且为一元二次方程.解:设t x x =+21,则有:12=-tt 整理得:022=--t t()()021=-+t t∴2,121=-=t t ∴112-=+x x 或212=+x x 由112-=+xx 得:012=++x x ,此时方程无解; 由212=+xx 得:0122=--x x ,解之得:1,2121=-=x x . 综上,原方程的解为1,2121=-=x x .例5. 解方程:01122=+++xx x x .分析:设y x x =+1,则22112222-=-⎪⎭⎫⎝⎛+=+y x x x x .解:01122=+++x x x x02112=-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x 设y x x =+1,则有:022=-+y y()()021=+-y y∴01=-y 或02=+y∴2,121-==y y ∴11=+x x 或21-=+x x 由11=+x x 得:012=+-x x ,此时方程无解; 由21-=+x x 得:0122=++x x ,解之得:121-==x x .综上,原方程的解为121-==x x .本题变式: 已知实数x 满足01122=+++x x x x ,那么x x 1+的值是【 】 （A ）1或2- （B ）1-或2 （C ）1 （D ）2-例6. 已知()()1212222=+++y x y x ,求22y x +的值.分析:整体设元:设m y x =+22,则m ≥0,据此注意根的取舍.解:设m y x =+22,则有:m ≥0∴()121=+m m整理得:0122=-+m m解之得:4,321-==m m∵m ≥0 ∴3=m∴22y x +的值为3.习题1. 解下列方程:（1）()()6222=+++x x x x ; （2）()()061512=+---x x .习题2. 解方程:1222=---xx x x .习题3. 阅读下面的材料,回答问题:解方程04524=+-x x ,这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是: 设y x =2,则原方程变形为:0452=+-y y ①解之得:4,121==y y当1=y 时,12=x ,解之得:1±=x ;当4=y 时,42=x ,解之得:2±=x .综上,原方程的解为:2,2,1,14321-==-==x x x x .（1）在由原方程得到方程①的过程中,利用_________法达到_________的目的,体现了数学的转化思想;（2）解方程:()()0124222=-+-+x x x x .特殊一元二次方程的解法举例某些方程的解需采用特殊的处理和方法,下面列举几例.例1. 解方程:()()7751522=++++x x x x .分析:若把该方程展开并整理,会得到一个一元四次方程,这不是我们想看到的结果.可使用换元法解该方程:设t x x =++152,这样就能把原方程转化为关于t 的一元二次方程. 解:设t x x =++152,则原方程可转化为:()76=+t t∴0762=-+t t()()071=+-t t∴01=-t 或07=+t∴7,121-==t t∴1152=++x x 或7152-=++x x由1152=++x x 得:052=+x x ,解之得:5,021-==x x ;由7152-=++x x 得:0852=++x x ,此时方程无解.综上,原方程的解为5,021-==x x .例2. 解方程:022=-+x x .解法1:当x ≥0,原方程可化为:022=-+x x ,解之得:1=x （2-=x 舍去）;当0<x 时,原方程可化为:022=--x x ,解之得:1-=x （2=x 舍去）.综上所述,原方程的解为1,121-==x x .解法2:原方程可化为:022=-+x x ∴()()021=+-x x ∵02>+x ∴1,01==-x x∴1,121-==x x∴原方程的解为1,121-==x x .解法3:（图象法）原方程可化为:x x =+-22 设x x g x x f =+-=)(,2)(2,在同一平面直角坐标系中画出二者的图象如图所示.∵两个函数的图象有两个交点()1,1-和()1,1 ∴方程x x =+-22有两个实数根,且根为1,121=-=x x∴原方程的解为1,121=-=x x .习题1. 参照例2的解法,解方程:03362=+---x x x .例3. 解方程:()()()()484321=----x x x x .解:()()()()483241=----x x x x∴()()48654522=+-+-x x x x设t x x =+-552,则有:()()4811=+-t t∴49,48122==-t t∴7,721-==t t当7552=+-x x 时,解之得:2335,233521-=+=x x ; 当7552-=+-x x 时,此时方程无解.综上所述,原方程的解为2335,233521-=+=x x . 习题2. 方程027422=-+-x x 的所有根的和为_________.习题3. 已知实数x 满足01122=+++x x x x ,那么x x 1+的值是 【 】 （A ）1或2-（B ）1-或2 （C ）1（D ）2-。

一元二次方程的6种解法
一元二次方程的6种解法如下：
1、因式分解法：将一元二次方程化成 ax^2+bx+c=0 的形式，先将两边同乘以a后，即a(x^2+ b/ax + c/a)，然后将此形式拆解为（x+()）(x+(/))的形式，得到两个一元一次方程，求出x的值，即可求出原方程的解。

2、公式法：用公式法求解一元二次方程，即通过求解公式：x=(-
b±√(b^2-4ac))/2a来求解，此公式中，b和c为方程的系数，a为系数前的系数。

3、图像法：使用图像法求解一元二次方程，即作出ax^2+bx+c=0方程图象，然后根据图象上的交点判断出方程的解。

4、判别式法：此法根据一元二次方程的判别式来求解，即当判别式b^2-4ac>0时，方程有两个不等实根；当判别式b^2-4ac=0时，方程有一个实根；当判别式b^2-4ac<0时，方程没有实根。

5、求根公式法：此法可以用来求解一元二次方程的实根，即用求根公式x1=(-b+ √(b2- 4ac))÷2a和x2=(-b-√(b2- 4ac))÷2a，其中，b 为系数前的系数，a和c分别为方程的系数。

6、特殊值法：此法适用于一元二次方程中特殊的系数或解。

如当
a=0，系数b和c任意时，可将该方程化为一元一次方程，求解即可；当a=b=0时，可直接算出方程的解。

专题08 一元二次函数的图像和性质一、知识点精讲【问题1】函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝12x2，y＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系．先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象．先列表：从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了．再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2，y＝2x2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y＝2x2的图象可以由函数y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝12x2，y＝－2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．【问题2】函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝a(x ＋h)2＋k(a≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”． 由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象的方法：由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a(x 2＋b x a )＋c ＝a(x 2＋b x a ＋224b a )＋c －24b a 224()24b ac b a x a a-=++， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)具有下列性质：（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2ba-时，函数取最小值y ＝244ac b a-．（2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2b a-时，函数取最大值y ＝244ac b a-．上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系表二、典例精析【典例1】求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．【答案】见解析【解析】∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x＝－1；顶点坐标为(－1，4)；当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x轴交于点B和C(，与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）．【说明】：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．【典例2】某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示：若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？【答案】见解析【分析】：由于每天的利润＝日销售量y×(销售价x－120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．【解析】由于y 是x 的一次函数，于是，设y ＝kx ＋b 将x ＝130，y ＝70；x ＝150，y ＝50代入方程，有70130,50150,k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得 k ＝－1，b ＝200． ∴ y ＝－x ＋200．设每天的利润为z （元），则z ＝(－x+200)(x －120)＝－x 2＋320x －24000＝－(x －160)2＋1600，∴当x ＝160时，z 取最大值1600．答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．【典例3】把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值． 【答案】见解析 【解析】解法一：y ＝x 2＋bx ＋c ＝(x+2b )224b c +-，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到22(4)224b b y x c =+++-+的图像，也就是函数y ＝x2的图像，所以，240,220,4bb c ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得b ＝－8，c ＝14． 解法二：把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，等价于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像．由于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝(x －4)2＋2的图像，即为y ＝x 2－8x ＋14的图像，∴函数y ＝x 2－8x ＋14与函数y ＝x 2＋bx ＋c 表示同一个函数，∴b ＝－8，c ＝14．【说明】：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．【典例4】已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．【答案】见解析【分析】本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论。

§ 3.4一元二次函数的图象和性质1． 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征2． 掌握一元二次函数的性质，能利用性质解决实际问题 3． 会求二次函数在指定区间上的最大（小）值 4． 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。

1．函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。

2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。

3．任何一个二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式：ab ac a b x a y 44)2(22-++=，性质如下：（1）图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线abx 2-=。

（2）最大（小）值① 当0>a ，函数图象开口向上，y 有最小值，a b ac y 442min-=，无最大值。

② 当0>a ，函数图象开口向下，y 有最大值，ab ac y 442max -=，无最小值。

（3）当0>a ，函数在区间)2,(ab --∞上是减函数，在),2(+∞-a b上是增函数。

当0<a ，函数在区间上),2(+∞-a b 是减函数，在)2,(ab--∞上是增函数。

【说明】1.我们研究二次函数的性质常用的方法有两种：配方法和公式法。

2．无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与对称轴；但我们讨论函数的最值以及它的单调区间时一定要考虑它的开口方向。

一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x xx 【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。

【解】)34(3422-+-=+--=x x x x y 7)2[(]7)2[(22++-=-+-=x x先画出图角在对称轴2-=x 的右边部分，列表【点评】画二次函数图象步骤： (1)配方； (2)列表；(3)描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。

一元二次不等式及其解法知识点：1、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．同步练习：1、不等式2654x x +<的解集为（ ） A ．41,,32⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．41,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．14,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．14,23⎛⎫- ⎪⎝⎭3、若不等式210x mx ++>的解集为R ，则m 的取值范围是（ ） A ．RB ．()2,2-C ．()(),22,-∞-+∞D ．[]2,2-4、设一元二次不等式210ax bx ++>的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则ab 的值是（ ）A ．6-B ．5-C ．6D ．55、不等式()221200x ax a a --<<的解集是（ ）A ．()3,4a a -B ．()4,3a a -C ．()3,4-D ．()2,6a a 6、不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a b -=（ ） A ．14- B ．14 C ．10- D ．107、不等式222693191122x x x x -+++⎛⎫⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集是（ ）A ．[]1,10-B ．()[),110,-∞-+∞C ．RD ．(][),110,-∞-+∞ 8、不等式()()120x x --≥的解集是（ ）A ．{}12x x ≤≤B ．{}12x x x ≥≤或C ．{}12x x <<D ．{}12x x x ><或 9、不等式()20ax bx c a ++<≠的解集为∅，那么（ ）A ．0a <，0∆>B ．0a <，0∆≤C ．0a >，0∆≤D ．0a >，0∆≥11、若01a <<，则不等式()10a x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解是（ ） A ．1a x a<<B ．1x a a<< C ．x a <或1x a>D ．1x a<或x a >12、不等式()130x x ->的解集是（ ） A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．()1,00,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭13、二次函数()2y ax bx c x R =++∈的部分对应值如下表：则不等式20ax bx c ++>的解集是____________________________．14、若0a b >>，则()()0a bx ax b --≤的解集是_____________________________．15、不等式20ax bx c ++>的解集为{}23x x <<，则不等式20ax bx c -+>的解集是________________________．16、不等式2230x x -->的解集是___________________________． 17、不等式2560x x -++≥的解集是______________________________． 18、()21680k x x --+<的解集是425x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则k =_________． 19、已知不等式20x px q ++<的解集是{}32x x -<<，则p q +=________． 20、求下列不等式的解集：⑴ ()()410x x +--<； ⑵ 232x x -+>； ⑶ 24410x x -+>．22、已知不等式220ax bx ++>的解集为1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求a 、b 的值．23、已知集合{}290x x A =-≤，{}2430x x x B =-+>，求A B ，A B ．。