公式法解一元二次方程及答案详细解析

公式法解一元二次方程练习题一．选择题（共11小题）1．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根为（）A．x1=x2=−1+√52B．x1=−1−√52，x2=−1+√52C．x=−1+√52D．x=−1−√522．如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（）A．p2﹣4q≥0B．p2﹣4q≤0C．p2﹣4q＞0D．p2﹣4q＜03．当﹣1＜k＜0时，关于x的一元二次方程x2+4x﹣k＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根4．关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣2m＝0（其中m≠−12）的根的情况是（）A．没有实数根B．有实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不等的实数根5．如果一元二次方程2x2+3x+m＝0有两个相等的实数根，那么实数m的取值为（）A．m＜98B．m＞89C．m=98D．m=89 6．在平面直角坐标系中，若直线y＝﹣2x+a不经过第一象限，则关于x的方程ax2+x+2＝0的实根的个数是（）A．0B．1C．2D．1或27．关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞14且k≠1B．k≥14且k≠1C．k＞14D．k≥148．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝（）A．﹣2B．2C．﹣4D．49．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k＜13B．k≤13C．k＜13且k≠0D．k≤13且k≠010．如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（）A．b2﹣4ac≥0B．b2﹣4ac≤0C．b2﹣4ac＞0D．b2﹣4ac＜011．下列各项中，以x=b±√b2+4c2为根的一元二次方程可能是（）A．x2+bx+c＝0B．x2+bx﹣c＝0C．x2﹣bx+c＝0D．x2﹣bx﹣c＝0二．填空题（共2小题）12．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x﹣1＝0有两个不等实数根，则实数m的取值范围是．13．如图，点A在数轴的负半轴，点B在数轴的正半轴，且点A对应的数是2x﹣1，点B对应的数是x2+x，已知AB＝5，则x的值为．三．解答题（共5小题）14．已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0．（1）求证：无论k取任何实数，该方程总有实数根；（2）若等腰三角形的三边长分别为a，b，c，其中a ＝1，并且b，c恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长．15．关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0．（1）求出方程的根；（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？16．已知关于x的方程kx2﹣（k+2）x+2＝0．（1）证明：不论k为何值，方程总有实数根；（2）k为何整数时，方程的根为正整数．17．（1）解方程（x﹣3）2＝2x（3﹣x）；（2）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a ﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．①如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；②如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；③如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．18．已知关于x的方程x2−(2k+1)x+4(k−12)=0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根；（3）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？公式法解一元二次方程练习题参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根为（）A．x1=x2=−1+√52B．x1=−1−√52，x2=−1+√52C．x=−1+√52D．x=−1−√52解：x2+x﹣1＝0由题意可得，a＝1，b＝1，c＝﹣1，∵Δ=b2−4ac=12−4×1×(−1)=√5，∴x=−b±√b2−4ac2a=−1±√52，即x1=−1−√52，x2=−1+√52，故选：B．2．如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（）A．p2﹣4q≥0B．p2﹣4q≤0C．p2﹣4q＞0D．p2﹣4q＜0解：∵a＝1，b＝p，c＝q，∴Δ＝b2﹣4ac＝p2﹣4q≥0时，一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，故选：A．3．当﹣1＜k＜0时，关于x的一元二次方程x2+4x﹣k＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根解：x2+4x﹣k＝0，Δ＝42+4k＝4（4+k），∵﹣1＜k＜0，∴4+k＞0，∴Δ＞0，∴该方程有两个不等的实数根．故选：B．4．关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣2m＝0（其中m≠−12）的根的情况是（）A．没有实数根B．有实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不等的实数根解：由题意，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（﹣2m）＝4m2﹣4m+1+8m＝4m2+4m+1＝（2m+1）2．∵m≠−12，∴（2m+1）2＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：D．5．如果一元二次方程2x2+3x+m＝0有两个相等的实数根，那么实数m的取值为（）A．m＜98B．m＞89C．m=98D．m=89解：∵一元二次方程2x2+3x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝32﹣4×2m＝9﹣8m＝0，解得：m=98．故选：C．6．在平面直角坐标系中，若直线y＝﹣2x+a不经过第一象限，则关于x的方程ax2+x+2＝0的实根的个数是（）A．0B．1C．2D．1或2解：∵直线y＝﹣2x+a不经过第一象限，∴a≤0，∵ax2+x+2＝0，当a＝0，方程ax2+x+2＝0为一元一次方程，即x+2＝0，解得x＝﹣2；方程有一个实数根，当a＜0时，方程ax2+x+2＝0为一元二次方程，∵Δ＝1﹣8a＞0，∴方程有2个实数根．故选：D．7．关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞14且k≠1B．k≥14且k≠1C．k＞14D．k≥14解：当k﹣1≠0，即k≠1时，此方程为一元二次方程．∵关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，∴Δ＝（2k+1）2﹣4×（k﹣1）2×1＝12k﹣3≥0，解得k≥1 4；当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为3x+1＝0，显然有解；综上，k的取值范围是k≥1 4，故选：D．8．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝（）A．﹣2B．2C．﹣4D．4解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4c＝0，∴b2＝4c，∴b2﹣2（1+2c）＝b2﹣4c﹣2＝0﹣2＝﹣2．故选：A．9．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k＜13B．k≤13C．k＜13且k≠0D．k≤13且k≠0解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0，∴k≠0，∵方程有两个实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4k×3≥0，解得k≤13，∴k的取值范围是k≤13且k≠0，故选：D．10．如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（）A．b2﹣4ac≥0B．b2﹣4ac≤0C．b2﹣4ac＞0D．b2﹣4ac＜0解：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）能用公式法求解，则b2﹣4ac≥0；故选：A．11．下列各项中，以x=b±√b2+4c2为根的一元二次方程可能是（）A．x2+bx+c＝0B．x2+bx﹣c＝0C．x2﹣bx+c＝0D．x2﹣bx﹣c＝0解：利用公式法可知：A．x=−b±√b2−4c2，故不符合题意．B．x=−b±√b2+4c2，故不符合题意．C．x=b±√b2−4c2，故不符合题意．D ．x =b±√b 2+4c2，故符合题意．故选：D ．二．填空题（共2小题）12．关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2+3x ﹣1＝0有两个不等实数根，则实数m 的取值范围是 m ＞−14且m ≠2 ．解：∵关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2+3x ﹣1＝0总有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0且m ﹣2≠0，∴9﹣4（m ﹣2）×（﹣1）＞0且m ﹣2≠0， ∴m ＞−14且m ≠2． 故答案为：m ＞−14且m ≠2．13．如图，点A 在数轴的负半轴，点B 在数轴的正半轴，且点A 对应的数是2x ﹣1，点B 对应的数是x 2+x ，已知AB ＝5，则x 的值为 1−√172．解：根据题意，得：x 2+x ﹣（2x ﹣1）＝5， 整理，得：x 2﹣x ﹣4＝0， ∵a ＝1，b ＝﹣1，c ＝﹣4，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，则x =−b±√b 2−4ac 2a =1±√172，∴x 1=1+√172，x 2=1−√172，∵点A 在数轴的负半轴， ∴2x ﹣1＜0，即x ＜12， ∴x =1−√172， 故答案为：1−√172．三．解答题（共5小题）14．已知关于x 的方程x 2﹣（k +3）x +3k ＝0． （1）求证：无论k 取任何实数，该方程总有实数根；（2）若等腰三角形的三边长分别为a ，b ，c ，其中a ＝1，并且b ，c 恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长．（1）证明：∵关于x 的方程x 2﹣（k +3）x +3k ＝0， ∴Δ＝[﹣（k +3）]2﹣12k ＝k 2+6k +9﹣12k ＝k 2﹣6k +9 ＝（k ﹣3）2≥0，则无论k 取何实数值，方程总有实数根；（2）解：当b ＝c 时，k ＝3，方程为x 2﹣6x +9＝0， 解得：x 1＝x 2＝3，此时三边长为1，3，3，周长为1+3+3＝7； 当a ＝b ＝1或a ＝c ＝1时，把x ＝1代入方程得：1﹣（k +3）+3k ＝0，解得：k ＝1，此时方程为：x 2﹣4x +3＝0， 解得：x 1＝3，x 2＝1， 当x '＝1时，此时三边长为1，1，3，不能组成三角形， 当x ＝3时，此时三边长为1，3，3，周长为3+3+1＝7，综上所述，△ABC 的周长为7．15．关于x 的一元二次方程为（m ﹣1）x 2﹣2mx +m +1＝0．（1）求出方程的根；（2）m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？ 解：（1）[（m ﹣1）x ﹣（m +1）]（x ﹣1）＝0， （m ﹣1）x ﹣（m +1）＝0或x ﹣1＝0， 所以x 1=m+1m−1，x 2＝1；（2）x =m+1m−1=1+2m−1， 由于m 为整数，所以当m ﹣1＝1或2时，x =m+1m−1为正整数，此时m ＝2或m ＝3，所以m为2或3时，此方程的两个根都为正整数．16．已知关于x的方程kx2﹣（k+2）x+2＝0．（1）证明：不论k为何值，方程总有实数根；（2）k为何整数时，方程的根为正整数．解：（1）当k＝0时，方程有根x＝1；当k≠0时，Δ＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0，综上，无论k为何值时，这个方程总有两个实数根；（2）当k＝0时，方程有根x＝1，符合题意；当k≠0时，∵kx2﹣（k+2）x+2＝0，∴（kx﹣2）（x﹣1）＝0，∴x1=2k，x2＝1，∵方程的两个实数根都是正整数，∴k＝1或2．综上，k的整数值为0、1、2．17．（1）解方程（x﹣3）2＝2x（3﹣x）；（2）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a ﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．①如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；②如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；③如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．解：（1）（x﹣3）2＝2x（3﹣x）；移项得，（x﹣3）2+2x （x﹣3）＝0，∴（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0，∴（x﹣3）（3x﹣3）＝0，∴x1＝3，x2＝1；（2）①△ABC为等腰三角形；理由如下：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，∴△ABC为等腰三角形；②△ABC为直角三角形；理由如下：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，∴△ABC为直角三角形；③∵△ABC为等边三角形，∴a＝b＝c，∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．18．已知关于x的方程x2−(2k+1)x+4(k−12)=0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根；（3）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？解：（1）Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k−12）＝4（k−32）2≥0，此时方程有两个实数根．综上所述，无论k取何值，此方程总有实数根．（2）若x＝1是这个方程的一个根，则1﹣（2k+1）+4（k−12）＝0，解得k＝1，∴关于x的方程x2﹣3x+2＝0，解方程得x1＝1，x2＝2，∴方程的另一根是2；（3）当a＝4为底边，则b，c为腰长，则b＝c，则Δ＝0．∴4（k−32）2＝0，解得：k=32．此时原方程化为x2﹣4x+4＝0∴x1＝x2＝2，即b＝c＝2．此时△ABC三边为4，2，2，构不成三角形，当a＝4为腰，则b＝4为腰长，c为底，则16﹣4（2k+1）+4（k−12）＝0，求得k=5 2，∴关于x的方程为x2﹣6x+8＝0．解得x＝2或4，∴c＝2，∴周长为4+4+2＝10．故这个等腰三角形的周长是10．。

一元二次方程的解法详细解析
说明：公式法可以用于解任何一元二次方程，在找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。

但在应用时要先明确公式中字母在题中所表示的量，再求出判别式的值，解得的根要进行化简。

例5：用分解因式法解下列方程。

（1）；（2）分析：分解因式法是把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

第（1）题已经是一般式，可直接对左边分解因式；第（2）题必须先化简变为一般式后再进行分解因式。

一元二次方程的解法（公式法3种题型）1.了解求根公式的推导过程.（难点）2.掌握用公式法解一元二次方程.(重点）3.理解并会用判别式求一元二次方程的根.4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况一、公式引入一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），可用配方法进行求解：得：2224()24b b acx a a −+=．对上面这个方程进行讨论：因为0a ≠，所以240a >①当240b ac −≥时，22404b aca−≥利用开平方法，得：x += 即：x = ②当240b ac −<时，22404b ac a −< 这时，在实数范围内，x 取任何值都不能使方程2224()24b b acx a a−+=左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．二、求根公式一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），当240b ac −≥时，有两个实数根：1x =2x =这就是一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的求根公式． 三、用公式法解一元二次方程一般步骤①把一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）； ②确定a 、b 、c 的值；③求出24b ac −的值（或代数式）；④若240b ac −≥，则把a 、b 、c 及24b ac −的值代入求根公式，求出1x 、2x ；若240b ac −<，则方程无解．四、 根的判别式1.一元二次方程根的判别式：我们把24b ac −叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“∆”表示，记作2=4b ac ∆−．2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠， 当2=40b ac ∆−>时，方程有两个不相等的实数根； 当2=40b ac ∆−=时，方程有两个相等的实数根；当2=40b ac ∆−<时，方程没有实数根．五、根的判别式的应用（1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题．题型1根的判别式例1.选择：（1） 下列关于x 的一元二次方程中，有两个不．相等的实数根的方程是（ ）（A ）012=+x（B ）0122=++x x （C ）0322=++x x（D ）0322=−+x x（2） 不解方程，判别方程25750x x −+=的根的情况是（）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）只有一个实数根（D ）没有实数根（3）方程2510x x −−=的根的情况是()（A ）有两个相等实根 （B ）有两个不等实根 （C ）没有实根（D ）无法确定（4） 一元二次方程2310x x +−=的根的情况为（）（A ）有两个不相等的实数根 （B ）有两个相等的实数根 （C ）只有一个实数根（D ）没有实数根【答案】（1）D ；（2）D ；（3）B ；（4）A ．【答案】【答案】【解析】（1）A ：1a =，0b =，1c =，2440b ac ∆=−=−<，方程无实根；B ：1a =，2b =，1c =，240b ac ∆=−=，方程有两个相等实根； C ：1a =，2b =，3c =，2480b ac ∆=−=−<，方程无实根；D ：1a =，2b =，3c =−，24160b ac ∆=−=>，方程有两不等实根实根，故选D ；（2）5a =，7b =−，5c =，24510b ac ∆=−=−<，方程无实根，故选D ； （3）1a =，5b =−，1c =−，24290b ac ∆=−=>，方程有两不等实根，故选B ； （4）1a =，3b =，1c =−，24130b ac ∆=−=>，方程有两个相等实根，故选A ．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根． 例2.不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）24530x x −−=； （2）22430x x ++=；（3）223x +=；（4）22340x x +−=．【答案】（1）方程有两不等实根；（2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根； （4）方程有两不等实根．【答案】【答案】【解析】（1）4a =，5b =−，3c =−，24730b ac ∆=−=>，方程有两不等实根；2a =，4b =，3c =，2480b ac ∆=−=−<，方程无实数根；2a =，b =−3c =，240b ac ∆=−=，方程有两相等实根；（4）2a =，3b =，4c =−，24410b ac ∆=−=>，方程有两不等实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根．题型2用公式法解一元二次方程例3．（2022秋·江苏苏州·九年级校考期中）用公式法解方程：22720x x −+=．【答案】12x x ==【分析】根据公式法解一元二次方程即可求解．【详解】解：22720x x −+=，∴2,7,2a b c ==−=，244942233b ac ∆=−=−⨯⨯=，∴x ==，解得：12x x ==．【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． 例4．用公式法解下列方程：（1）2320x x +−=；（2）25610x x −++=．【答案】（1）12x x ==；（2）12x x =．【解析】（1）132a b c ===−，，1742=−ac b ，则2173±−=x ，∴12x x ==；（2）561a b c =−==，，，则5642=−ac b ，则101426−±−=x ，∴123355x x −==，．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式x =的运用．例5.用公式法解下列方程：（1）291x +=；（220+−=．【答案】（1）12x x ==；（2）12x x ==【解析】（1）1,66,9=−==c b a ，则18042=−ac b ，则185666±=x ，∴原方程的解为：12x x ==；22,34,2−===c b a ，则6442=−ac b ，则22834±−=x ，∴原方程的解为：12x x ==【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用．题型3根的判别式的应用例6．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）关于x 的一元二次方程()21360x k x k +++−=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根不小于7，求k 的取值范围． 【答案】(1)见解析． (2)5k ≤−．【分析】（1）计算根的判别式的值，利用配方法得到()25k ∆=−，根据非负数的性质得到0∆≥，然后根据判别式的意义得到结论； （2）利用求根公式得到13x =−，22kx =−．根据题意得到27k −≥，即可求得k 的取值范围．【详解】（1）解：()()21436k k ∆=+−−2211224k k k =++−+ 21025k k =−+()250k =−≥，∴方程总有实数根； （2）解：∵()250k ∆=−≥，∴()()152k k x −+±−=，解方程得：13x =−，22kx =−，由于方程有一个根不小于7， ∴27k −≥， 解得：5k ≤−．【点睛】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．例7．（2023·江苏苏州·统考一模）已知关于x 的一元二次方程22210x mx m −+−=． (1)若该方程有一个根是2x =，求m 的值；(2)求证：无论m 取什么值，该方程总有两个实数根． 【答案】(1)32m =(2)证明见解析【分析】（1）直接把2x =代入到原方程中得到关于m 的方程，解方程即可得到答案； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程22210x mx m −+−=的一个根为2x =，∴224210m m −+−=，∴32m =；（2）证明：由题意得，()()()222242421484410b ac m m m m m ∆=−=−−−=−+=−≥，∴无论m 取什么值，该方程总有两个实数根．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根；一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值．例8．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）关于x 的一元二次方程()23220x k x k −+++=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于2，求k 的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)1k <【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证；（2）根据公式法求得方程的解，得出122,1==+x x k ，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）证明：关于x 的一元二次方程()23220x k x k −+++=，∴1,(3),22a b k c k ==−+=+ ∵[]224(3)41(22)−=−+−⨯⨯+b ac k k221k k =−+2(1)0k =−≥，∴此方程总有两个实数根； （2）∵()23220x k x k −+++=∵2(1)k ∆=−∴3(1)2+±−==k k x解得:122,1==+x x k ，∵方程有一个根小于2， ∴12k +<， 解得1k <．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．一、单选题1．（2023·江苏徐州·统考一模）关于一元二次方程2430x x ++=根的情况，下列说法中正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定【答案】A【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．【详解】解：2430x x ++=其中1a =，4b =，3c =，∴2Δ441340=−⨯⨯=>，∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 2．（2023·江苏徐州·校考一模）关于x 的一元二次方程240x x k −+=有实数根，则k 的值可以是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k −+=有实数根，∴()2440k ∆=−−≥，∴4k ≤，∴四个选项中只有A 选项符合题意， 故选A ．【点睛】本题主要考查次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．3．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程240x x k −−=没有实数根，则k 的值可以是（ ） A ．5− B ．4− C ．3− D ．2【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k −−=无实数根，∴()2440k ∆=−+<，∴4k <−，∴四个选项中，只有A 选项符合题意， 故A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．4．（2023春·江苏盐城·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程220x x k −+=没有实数根，则k 的值可以是（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．1−【答案】A【分析】根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程220x x k −+=没有实数根，∴()2240k ∆=−−<，∴1k >，∴四个选项中，只有选项A 符合题意， 故选A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．5．（2023秋·江苏·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程2440x x k −−+=没有实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．0k > B ．4k > C ．0k < D ．4k <【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2440x x k −−+=没有实数根，∴()2416440b ac k ∆=−=−−<，解得：0k <故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=−，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根． 二、填空题6．（2023·江苏常州·校考一模）若关于x 的一元二次方程()22210k x x −−−=有实数根，则实数k 的取值范围是______． 【答案】1k ≥且2k ≠【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的性质计算，即可得到答案．【详解】∵关于x 的一元二次方程()22210k x x −−−=有实数根， ∴()()()22024210k k −≠⎧⎪⎨−−−⨯−≥⎪⎩ ∴21k k ≠⎧⎨≥⎩，即1k ≥且2k ≠． 故答案为：1k ≥且2k ≠．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和跟的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义和判别式的性质，从而完成求解．7．（2023·江苏常州·统考一模）若关于x 的方程20x x m −+=（m 为常数）有两个相等的实数根，则m =______．【答案】14【分析】先根据方程有两个相等的实数根得出△0=，求出m 的值即可．【详解】解：关于x 的方程20(x x m m −+=为常数）有两个相等的实数根，∴△2(1)40m =−−=，解得14m =．故答案为：14．【点睛】本题考查的是根的判别式，孰知当△0=时，一元二次方程2(0)y ax bx c a =++≠有两个相等的实数根是解答此题的关键．8．（2023·江苏盐城·校考二模）已知关于x 的一元二次方程240x ax ++=有一个根为1，则a 的值为________．【答案】5a =−【分析】将1x =代入方程240x ax ++=，解方程即可得到a 的值．【详解】∵关于x 的一元二次方程240x ax ++=有一个根为1，∴将1x =代入方程240x ax ++=，得140a ++=，解得：5a =−， 故答案为：5−【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，理解一元二次方程的解是使得方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．9．（2023·江苏宿迁·模拟预测）关于x 的方程()21210m x x −−+=有实数根，则m 的取值范围是______． 【答案】2m ≤/2m ≥【分析】分当10m −=时，当10m −≠，即1m ≠时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：当10m −=时，即1m =时，原方程即为210x −+=，解得12x =，符合题意；当10m −≠，即1m ≠时，∵关于x 的方程()21210m x x −−+= ∴()()22410m ∆=−−−≥，解得2m ≤且1m ≠； 综上所述，2m ≤， 故答案为：2m ≤．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．10．（2023·江苏·模拟预测）请填写一个常数，使得一元二次方程25x x −+____________0=没有实数根．【答案】7（答案不唯一）【分析】设这个常数为a ，根据根的判别式求出a 的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设这个常数为a ，∴方程250x x a −+=没有实数根，∴()2540a ∆=−−<，∴254a >，∴7a =满足题意，故答案为：7（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．11．（2023秋·江苏无锡·九年级校联考期末）请填写一个常数，使得关于x 的方程24x x −+________=0有两个不相等的实数根． 【答案】1（答案不唯一）【分析】根据方程的系数结合根的判别式2=40b ac ∆−>，即可得出关于c 的不等式，求解即可得出答案．【详解】解：1a =，4b =−，设常数为c ，()22=44410b ac c ∆−=−−⨯⨯>4c ∴<故答案为：1（答案不唯一）．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当0∆>时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 三、解答题12．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期末）求证：关于x 的方程2()0()x m n x mn m n +++=≠有两个不相等的实数根． 【答案】见解析【分析】根据224()41b ac m n mn ∆=−=+−⨯⨯，再判断出的符号，即可得出结论． 【详解】解∶2222()412()m n mn m n mn m n ∆=+−⨯⨯=+−=−，m n ≠()2m n ∴−>∴方程有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式2Δ4b ac =−：当0∆>，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=，方程有两个相等的实数根；当Δ0<，方程没有实数根． 13．（2023·江苏盐城·校考一模）已知关于x 的一元二次方程210x ax a −+−=． (1)求证：方程总有两个实数根；(2)若该方程有一实数根大于4，求a 的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)5a >【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；（2）利用因式分解法解方程求出方程两个根为1211x x a ==−，，再根据该方程有一实数根大于4进行求解即可．【详解】（1）解：∵知关于x 的一元二次方程为210x ax a −+−=，∴()()()222414420a a a a a ∆=−−−=−+=−≥，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵210x ax a −+−=，∴()()110x x a −+−=，∴10x −=或10x a +−=， 解得1211x x a ==−，，∵该方程有一实数根大于4， ∴14a −>， ∴5a >．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，灵活运用所学知识是解题的关键． 14．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）关于x 的一元二次方程2(23)10mx m x m ++++=有两个不等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)当m 取最小整数时，求x 的值． 【答案】(1)98m >−且0m ≠(2)10x =，21x =【分析】（1）由0∆>得到关于m 的不等式，解之得到m 的范围，根据一元二次方程的定义求得答案； （2）由（1）知1m =−，还原方程，利用因式分解法求解可得．【详解】（1）解：由题意得：2(23)4(1)0m m m +−+>， 解得：98m >−且0m ≠；（2）由（1）知，m 最小整数为1−，此时方程为：20x x −+=，解得：10x =，21x =．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别式的值之间的关系．【答案】(1)28n m =−(2)见解析【分析】（1）根据根的判别式符号进行求解；（2）根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【详解】（1）由题意得：()242n m ∆=−⋅−28n m ∆=+方程有两个相等的实数根， 0∴∆=280n m ∴+= 28n m ∴=−（2）当2n m =−()228m m ∆=−+2Δ44m m =++()224420m m m ++=+≥∴方程始终有两个实数根【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的判别式．一、单选题1．（2023春·江苏南京·九年级南京市竹山中学校考阶段练习）一元二次方程2440x x +−=的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定【答案】B【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：由题意得，()24414320∆=−⨯⨯−=>，∴原方程有两个不相等的实数根， 故选B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．2．（2022秋·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程250x ax −−=的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．可能有实数根，也可能没有 C ．有两个相等的实数根 D ．没有实数根【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程为250x ax −−=，∴()()22451200a a ∆=−−⨯−⨯=+>，∴关于x 的一元二次方程250x ax −−=有两个不相等的实数根，故答案为：A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．3．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）若关于x 的一元二次方程22(1)0x x k +−−=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．0k > B ．0k ≥ C ．0k < D ．0k ≤【答案】B【分析】根据一元二次方程有实数根，可知240b ac −≥，求出解即可．【详解】∵一元二次方程22(1)0x x k +−−=有实数根，∴240b ac −≥，即224[(1)]0k −−−≥， 解得0k ≥． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握24b ac −与一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的关系是解题的关键．即当240b ac −＞时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；当240b ac −=时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根；当240b ac −＜时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．5．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程2210kx x −−=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( ) A ．1k >−B ．1k <C ．1k >−且0k ≠D ．1k <且0k ≠【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的判别式得出不等式组，解不等式组即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2210kx x −−=有两个不相等的实数根，∴0k ≠且0∆>，即2(2)4(1)0k −−⨯⨯−>， 解得1k >−且0k ≠． 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=−，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根． 二、填空题5．（2023春·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）请填写一个常数，使得关于x 的方程22+−x x __________0=有两个相等的实数根． 【答案】1【分析】设这个常数为a ，利用一元二次方程根的判别式得出a 的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这个常数为a ， ∵要使原方程有两个相等的实数根， ∴()2=240a ∆−−=，∴1a =，∴满足题意的常数可以为1， 故答案为：1．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=−有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．6．（2023春·江苏泰州·九年级靖江市靖城中学校考阶段练习）方程220x x m −+=没有实数根，则m 的取值范围是______． 【答案】1m >/1m <【分析】根据一元二次方程无实数根得到Δ0<，代入即可得出答案．【详解】方程220x x m −+=没有实数根，4410m ∴∆=−⨯⨯<， 1m ∴>，故答案为：1m >．【点睛】本题考查一元二次方程有无实数根，熟记判别式24b ac ∆=−是解题的关键．三、解答题7．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知关于x 的一元二次方程210x ax a ++−=． (1)若该方程的一个根为2−，求a 的值及该方程的另一根； (2)求证：无论a 取何实数，该方程都有实数根． 【答案】(1)3a =，该方程的另一根为1− (2)证明见解析【分析】（1）先根据一元二次方程解的定义把2x =−代入到210x ax a ++−=中求出a 的值，再利用因式分解法解方程即可；（2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程210x ax a ++−=的一个根为2−，∴4210a a −+−=， ∴3a =，∴原方程即为2320x x ++=，∴()()120x x ++=，解得=1x −或2x =−， ∴方程的另一个根为1−；（2）解：∵关于x 的一元二次方程为210x ax a ++−=，∴()()222414420a a a a a ∆=−−=−+=−≥，∴无论a 取何实数，该方程都有实数根．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解一元二次方程，一元二次方程判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．8．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程2430mx x -+=有实数根． (1)求m 的取值范围；(2)若m 为正整数，求出此时方程的根． 【答案】(1)43m ≤且0m ≠(2)11x =，23x =【分析】（1）由二次项系数非零及根的判别式0∆≥，可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围；（2）由（1）的结论，结合m 为正整数，可得出m 的值，再其代入原方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程2430mx x -+=有实数根，∴()20Δ4430m m ≠⎧⎪⎨=−−⨯⨯≥⎪⎩， 解得：43m ≤且0m ≠，∴m 的取值范围为43m ≤且0m ≠；（2）∵43m ≤且0m ≠，且m 为正整数， ∴1m =，∴原方程为2430x x −+=，即()()310x x −−=， 解得：11x =，23x =．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用二次项系数非零及根的判别式0∆≥，找出关于m 的一元一次不等式组；（2）代入m 的值，求出方程的解．9．（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）已知关于x 的方程()242440mx m x m +−+−=（m 为常数，且0m ≠）(1)求证：方程总有实数根； (2)若该方程有两个实数根；①不论m 取何实数，该方程总有一个不变的实数根为______； ②若m 为整数，且方程的两个实数根都是整数，求m 的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①2−；②1m =±或2m =±【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；（2）①利用公式法求出方程的两个实数根即可得到答案；②根据①所求两实数根，结合m 为整数，且方程的两个实数根都是整数进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得()()22=442444b ac m m m ∆−=−−−2216164161640m m m m =−+−+=>，∴方程总有实数根； （2）解：①∵关于x 的方程()242440mx m x m +−+−=有两个实数根，∴2422m x m −±==， ∴1224222242222m m m x x m m m −+−−−====−，，∴不论m 取何实数，该方程总有一个不变的实数根为2−， 故答案为：2−；②由①得，方程的两个实数根为12222mx x m −==−，，∵m 为整数，且方程的两个实数根都是整数， ∴2222m m m −=−为整数，∴1m =±或2m =±．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．10．（2022秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）已知关于x 的方程2(1)(3)20m x m x +−++=． (1)证明：不论m 为何值时，方程总有实数根； (2)m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【答案】(1)证明见解析(2)0m =【分析】（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m 的值．【详解】（1）（1）证明：①1m =−时，该方程为一元一次方程220x −+=，有实数根1x =；②1m ≠−时，该方程为一元二次方程，2(3)8(1)m m ∆=+−+221m m =−+2(1)m =−，不论m 为何值时，2(1)0m −…， ∴0∆…， ∴方程总有实数根；综上，不论m 为何值时，方程总有实数根．（2）解：解方程得，(3)(1)2(1)m m x m +±−=+， 11x =，221x m =+，方程有两个不相等的正整数根，m 为整数，0m ∴=．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：0∆>⇔方程有两个不相等的实数根；0∆=⇔方程有两个相等的实数根；0∆<⇔方程没有实数根是解题的关键．【答案】22212x x x −−或【分析】根据分式的混合运算法则化简后，再求出x 的值，代入求值即可．【详解】解：221222121x x x x x x x ⎛⎫÷ ⎪⎝⎭−−−−+++()()()()()22112221121x x x x x x x x x x x ⎡⎤=÷⎢⎥⎣⎦+−−−−++++()()()()21211112x x x x x x +=⨯++−−()2211x x x =−− 22221x x x =−−∵210x x −−=，∴21x x −=，∴原式()2221x x x −=−2211x =−⨯12x =−， 对于210x x −−=来说，1,1,1,a b c ==−=−∵()()22414115b ac −=−−⨯⨯−=，∴x =，∴12x x ==，∴当x =时，原式12x =−，当x =时，原式12x =−=．【点睛】此题考查了分式的化简求值，解一元二次方程等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）解下列方程：2231x x +=【答案】x x ==12，【分析】先将原方程化为一元二次方程的一般形式，然后用公式法求解即可；【详解】解：原方程可化为：22310x x +−=a b c ===−231 ， ，()b ac −=−⨯⨯−=>2243421170x ∴==x x ==12，【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的基本解法是解题的关键． 13．（2022秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）已知关于x 的方程220x mx m +−=−．(1)当该方程的一个根为1−时，求m 的值及该方程的另一根；(2)求证：不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【答案】(1)1=2m ，方程的另一根为32(2)见解析【分析】（1）把1x =−代入原方程求得m 的值，进一步求得方程的另一个根即可；（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．【详解】（1）解：把1x =−代入方程 220x mx m +−=−得 120m m ++−=∴1=2m ，把1=2m 代入到原方程得 213022x x −−=∴1x =−或3=2x 故答案为：1=2m ，方程的另一根为32；（2）证明：∵方程220x mx m +−=−，∴根的判别式()()()224224m m m ∆=−−−=−+∵()220m −≥∴()2240m ∆=−+> ∴不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的性质，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=−：当0∆>，方程有两个不相等的实数根；当0∆=，方程有两个相等的实数根；当0∆<，方程没有实数根；熟练掌握一元二次方程根的判别式的性质是解本题的关键． 14．（2022秋·江苏常州·九年级校考阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程：(1)2820x x −−=（配方法）(2)2320x x ++=（公式法）【答案】(1)14x =+24x =−(2)11x =−，22x =−【分析】（1）将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方后，再开方，即可得出结果；（2）利用公式法计算即可．【详解】（1）解：2820x x −−=移项，得：282x x −=，配方，得：2228424x x −+=+，即()2418x −=，由此可得：4x −=±14x =+24x =−（2）解：2320x x ++=1a =，3b =，2c =，224341210b ac ∆=−=−⨯⨯=>，方程有两个不等的实数根，3131212x −±−±===⨯，即11x =−，22x =−．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次．。

主讲：黄冈中学高级教师一、一周知识概述1、一元二次方程的求根公式将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为．该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.2、一元二次方程的根的判别式（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．二、重难点知识总结1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。

(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。

(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。

(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。

如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。

(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。

2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：（1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac；（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；（3）根的判别式是指b2－4ac，而不是三、典型例题讲解例1、解下列方程：(1)；(2)；(3).分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，解：(1)因为a=1，，c=10所以所以(2)原方程可化为因为a=1，，c=2所以所以.(3)原方程可化为因为a=1，，c=－1所以所以；所以．总结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行．例2、用适当方法解下列方程：① ②③ ④⑤ ⑥⑦分析：要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。

初中数学：《公式法解一元二次方程》练习（含答案）一、选择题：1．一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根2．已知b＜0,关于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．有两个实数根3．已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根,则m的取值范围是（）A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥24．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＜且k≠0 D．k＞且k≠0二、填空题5．一元二次方程x2+x=3中,a=______,b=______,c=______,则方程的根是______．6．若x1,x2分别是x2﹣3x+2=0的两根,则x1+x2=______．7．已知三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根,则三角形的第三边c的取值范围是______．8．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x﹣1=0有两个不相同的实数根,则k的取值范围是______．9．写出一个一元二次方程,使它有两个不相等的实数根______．10．一次二元方程x2+x+=0根的情况是______．11．若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解,那么实数a的取值范围是______．12．已知代数式7x（x+5）与代数式﹣6x2﹣37x﹣9的值互为相反数,则x=______．13．已知一次函数y=﹣x+4与反比例函数在同一直角坐标系内的图象没有交点,则k的取值范围是______．14．对于实数a,b,定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2,因为4＞2,所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1,x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根,则x1﹡x2=______．三、解答题（共4小题,满分0分）15．用公式法解方程：①4x2﹣4x+1=0②x2﹣x﹣3=0．16．不解方程,判断下列方程的根的情况：①2x2+3x﹣4=0②3x2+2=2x③x2=x﹣1．17．已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0,求证：无论m取任何实数时,方程恒有实数根．18．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a=4,另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根,求△ABC的周长．《公式法》参考答案与试题解析一、选择题：1．一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【解答】解：原方程变形为：x2﹣2x=0,∵△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0,∴原方程有两个不相等的实数根．故选A．2．已知b＜0,关于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．有两个实数根【解答】解：∵（x﹣1）2=b中b＜0,∴没有实数根,故选：C．3．已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根,则m的取值范围是（）A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2【解答】解；（x+1）2﹣m=0,（x+1）2=m,∵一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根,∴m≥0,故选：B．4．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＜且k≠0 D．k＞且k≠0 【解答】解：根据题意得k≠0且△=（﹣1）2﹣4k＞0,解得k＜且k≠0．故选C．二、填空题5．一元二次方程x2+x=3中,a= ,b= 1 ,c= ﹣3 ,则方程的根是x1=﹣1+,x2=﹣1﹣．【解答】解：移项得, x+x﹣3=0∴a=,b=1,c=﹣3∴b2﹣4ac=7∴x1=﹣1+,x2=﹣1﹣．6．若x1,x2分别是x2﹣3x+2=0的两根,则x1+x2= 3 ．【解答】解：根据题意得x1+x2=3．故答案为3．7．已知三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根,则三角形的第三边c的取值范围是1＜c ＜5 ．【解答】解：∵三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根,∴x1+x2=5,x1x2=6∵（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=25﹣24=1∴x1﹣x2=1,又∵x1﹣x2＜c＜x1+x2,∴1＜c＜5．故答案为：1＜c＜5．8．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x﹣1=0有两个不相同的实数根,则k的取值范围是k＞﹣2且k≠﹣1 ．【解答】解：根据题意得k+1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k+1）•（﹣1）＞0,解得k＞﹣2且k≠﹣1．故答案为k＞﹣2且k≠﹣1．9．写出一个一元二次方程,使它有两个不相等的实数根x2+x﹣1=0 ．【解答】解：比如a=1,b=1,c=﹣1,∴△=b2﹣4ac=1+4=5＞0,∴方程为x2+x﹣1=0．10．一次二元方程x2+x+=0根的情况是方程有两个相等的实数根．【解答】解：∵△=12﹣4×=0,∴方程有两个相等的实数根故答案为方程有两个相等的实数根．11．若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解,那么实数a的取值范围是a≥﹣1 ．【解答】解：当a=0时,方程是一元一次方程,有实数根,当a≠0时,方程是一元二次方程,若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解,则△=[2（a+2）]2﹣4a•a≥0,解得：a≥﹣1．故答案为：a≥﹣1．12．已知代数式7x（x+5）与代数式﹣6x2﹣37x﹣9的值互为相反数,则x= 1±．【解答】解：根据题意得：7x（x+5）﹣6x2﹣37x﹣9=0,这里的：x2﹣2x﹣9=0,这里a=1,b=﹣2,c=﹣9,∵△=4+36=40,故答案为：1±13．已知一次函数y=﹣x+4与反比例函数在同一直角坐标系内的图象没有交点,则k的取值范围是k＞4 ．【解答】解：依题意可得x2﹣4x+k=0无解,也就是这个一元二次方程无实数根,那么根据根的判别式△=b2﹣4ac=16﹣4k,没有实数根,那么16﹣4k＜0,解此不等式可得k＞4．故答案为：k＞4．14．对于实数a,b,定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2,因为4＞2,所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1,x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根,则x1﹡x2= 3或﹣3 ．【解答】解：∵x1,x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根,∴（x﹣3）（x﹣2）=0, 解得：x=3或2,①当x1=3,x2=2时,x1﹡x2=32﹣3×2=3；②当x1=2,x2=3时,x1﹡x2=3×2﹣32=﹣3．故答案为：3或﹣3．三、解答题（共4小题,满分0分）15．用公式法解方程：①4x2﹣4x+1=0②x2﹣x﹣3=0．【解答】解：（1）这里a=4,b=﹣4,c=1, ∵△=32﹣16=16,（2）这里a=1,b=﹣,c=﹣3,∵△=2+12=14,∴x=．16．不解方程,判断下列方程的根的情况：①2x2+3x﹣4=0②3x2+2=2x③x2=x﹣1．【解答】解：①△=32﹣4×2×（﹣4）=41＞0,所以方程两个不相等的实数根；②方程化为一般式为3x2﹣2x+2=0,△=（﹣2）2﹣4×3×2=0,所以方程有两个相等的实数根；③方程化为一般式为x2﹣x+1=0,△=（﹣）2﹣4××1＜0,所以方程无实数根．17．已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0,求证：无论m取任何实数时,方程恒有实数根．【解答】证明：当m=0时,原方程为x﹣2=0,解得x=2；当m≠0时,△=（3m﹣1）2﹣4m（2m﹣2）=（m+1）2≥0,所以方程有两个实数根,所以无论m为何值原方程有实数根．18．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a=4,另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根,求△ABC的周长．【解答】（1）证明：△=（2k+1）2﹣4×1×4（k﹣）=4k2﹣12k+9=（2k﹣3）2,∵无论k取什么实数值,（2k﹣3）2≥0, ∴△≥0,∴无论k取什么实数值,方程总有实数根；（2）解：∵x=,∴x1=2k﹣1,x2=2,∵b,c恰好是这个方程的两个实数根,设b=2k﹣1,c=2,当a、b为腰,则a=b=4,即2k﹣1=4,解得k=,此时三角形的周长=4+4+2=10；当b、c为腰时,b=c=2,此时b+c=a,故此种情况不存在．综上所述,△ABC的周长为10．。

初中数学：《公式法解一元二次方程》练习（含答案）一、选择题：1．一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根2．已知b＜0，关于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．有两个实数根3．已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥24．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＜且k≠0 D．k＞且k≠0二、填空题5．一元二次方程x2+x=3中，a=______，b=______，c=______，则方程的根是______．6．若x1，x2分别是x2﹣3x+2=0的两根，则x1+x2=______．7．已知三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根，则三角形的第三边c的取值范围是______．8．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x﹣1=0有两个不相同的实数根，则k的取值范围是______．9．写出一个一元二次方程，使它有两个不相等的实数根______．10．一次二元方程x2+x+=0根的情况是______．11．若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是______．12．已知代数式7x（x+5）与代数式﹣6x2﹣37x﹣9的值互为相反数，则x=______．13．已知一次函数y=﹣x+4与反比例函数在同一直角坐标系内的图象没有交点，则k的取值范围是______．14．对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2=______．三、解答题（共4小题，满分0分）15．用公式法解方程：①4x2﹣4x+1=0②x2﹣x﹣3=0．16．不解方程，判断下列方程的根的情况：①2x2+3x﹣4=0②3x2+2=2x③x2=x﹣1．17．已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0，求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根．18．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a=4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．《公式法》参考答案与试题解析一、选择题：1．一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【解答】解：原方程变形为：x2﹣2x=0，∵△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．故选A．2．已知b＜0，关于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．有两个实数根【解答】解：∵（x﹣1）2=b中b＜0，∴没有实数根，故选：C．3．已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2【解答】解；（x+1）2﹣m=0，（x+1）2=m，∵一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根，∴m≥0，故选：B．4．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＜且k≠0 D．k＞且k≠0【解答】解：根据题意得k≠0且△=（﹣1）2﹣4k＞0，解得k＜且k≠0．故选C．二、填空题5．一元二次方程x2+x=3中，a= ，b= 1 ，c= ﹣3 ，则方程的根是x1=﹣1+，x2=﹣1﹣．【解答】解：移项得，x+x﹣3=0∴a=，b=1，c=﹣3∴b2﹣4ac=7∴x1=﹣1+，x2=﹣1﹣．6．若x1，x2分别是x2﹣3x+2=0的两根，则x1+x2= 3 ．【解答】解：根据题意得x1+x2=3．故答案为3．7．已知三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根，则三角形的第三边c的取值范围是1＜c ＜5 ．【解答】解：∵三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根，∴x1+x2=5，x1x2=6∵（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=25﹣24=1∴x1﹣x2=1，又∵x1﹣x2＜c＜x1+x2，∴1＜c＜5．故答案为：1＜c＜5．8．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x﹣1=0有两个不相同的实数根，则k的取值范围是k＞﹣2且k≠﹣1 ．【解答】解：根据题意得k+1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k+1）•（﹣1）＞0，解得k＞﹣2且k≠﹣1．故答案为k＞﹣2且k≠﹣1．9．写出一个一元二次方程，使它有两个不相等的实数根x2+x﹣1=0 ．【解答】解：比如a=1，b=1，c=﹣1，∴△=b2﹣4ac=1+4=5＞0，∴方程为x2+x﹣1=0．10．一次二元方程x2+x+=0根的情况是方程有两个相等的实数根．【解答】解：∵△=12﹣4×=0，∴方程有两个相等的实数根故答案为方程有两个相等的实数根．11．若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是a≥﹣1 ．【解答】解：当a=0时，方程是一元一次方程，有实数根，当a≠0时，方程是一元二次方程，若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，则△=[2（a+2）]2﹣4a•a≥0，解得：a≥﹣1．故答案为：a≥﹣1．12．已知代数式7x（x+5）与代数式﹣6x2﹣37x﹣9的值互为相反数，则x= 1±．【解答】解：根据题意得：7x（x+5）﹣6x2﹣37x﹣9=0，这里的：x2﹣2x﹣9=0，这里a=1，b=﹣2，c=﹣9，∵△=4+36=40，故答案为：1±13．已知一次函数y=﹣x+4与反比例函数在同一直角坐标系内的图象没有交点，则k的取值范围是k＞4 ．【解答】解：依题意可得x2﹣4x+k=0无解，也就是这个一元二次方程无实数根，那么根据根的判别式△=b2﹣4ac=16﹣4k，没有实数根，那么16﹣4k＜0，解此不等式可得k＞4．故答案为：k＞4．14．对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2= 3或﹣3 ．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，∴（x﹣3）（x﹣2）=0，解得：x=3或2，①当x1=3，x2=2时，x1﹡x2=32﹣3×2=3；②当x1=2，x2=3时，x1﹡x2=3×2﹣32=﹣3．故答案为：3或﹣3．三、解答题（共4小题，满分0分）15．用公式法解方程：①4x2﹣4x+1=0②x2﹣x﹣3=0．【解答】解：（1）这里a=4，b=﹣4，c=1，∵△=32﹣16=16，（2）这里a=1，b=﹣，c=﹣3，∵△=2+12=14，∴x=．16．不解方程，判断下列方程的根的情况：①2x2+3x﹣4=0②3x2+2=2x③x2=x﹣1．【解答】解：①△=32﹣4×2×（﹣4）=41＞0，所以方程两个不相等的实数根；②方程化为一般式为3x2﹣2x+2=0，△=（﹣2）2﹣4×3×2=0，所以方程有两个相等的实数根；③方程化为一般式为x2﹣x+1=0，△=（﹣）2﹣4××1＜0，所以方程无实数根．17．已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0，求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根．【解答】证明：当m=0时，原方程为x﹣2=0，解得x=2；当m≠0时，△=（3m﹣1）2﹣4m（2m﹣2）=（m+1）2≥0，所以方程有两个实数根，所以无论m为何值原方程有实数根．18．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a=4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．【解答】（1）证明：△=（2k+1）2﹣4×1×4（k﹣）=4k2﹣12k+9=（2k﹣3）2，∵无论k取什么实数值，（2k﹣3）2≥0，∴△≥0，∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；（2）解：∵x=，∴x1=2k﹣1，x2=2，∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b=2k﹣1，c=2，当a、b为腰，则a=b=4，即2k﹣1=4，解得k=，此时三角形的周长=4+4+2=10；当b、c为腰时，b=c=2，此时b+c=a，故此种情况不存在．综上所述，△ABC的周长为10．。

一元二次方程公式法详细讲解好嘞，以下是为您带来的一元二次方程公式法的详细讲解：咱先来说说啥是一元二次方程。

就比如这个式子：ax² + bx + c = 0 （a ≠ 0），这就是一元二次方程。

那为啥要研究它的解法呢？这就好比你在玩游戏，得知道规则才能通关，解一元二次方程就是我们在数学这个大游戏里的通关秘籍。

咱们今天的主角——公式法，那可是个厉害的角色！这个公式就是：x = [-b ± √(b² - 4ac)] / （2a）。

可别被这一长串式子吓到，咱们慢慢拆解。

先来说说这个“b² - 4ac”，它有个响亮的名字叫判别式，记为Δ 。

要是Δ 大于 0 ，那方程就有两个不相等的实数根；要是Δ 等于 0 ，就有两个相等的实数根；要是Δ 小于0 ，方程就没有实数根，只有虚数根。

这判别式就像个裁判，决定着方程根的情况。

我记得有一次给学生讲这个的时候，有个学生特别迷糊，就问我：“老师，这判别式到底有啥用啊？”我就跟他打了个比方：“这判别式就像是你去果园摘果子，Δ 大于 0 就表示果子又大又多，能摘两个不一样的；Δ 等于 0 呢，就只有一个特别大的果子等着你；Δ 小于 0 ，那就是果园里没果子，白跑一趟。

”这学生一听，恍然大悟，笑得可开心了。

那咱们再来说说怎么用这个公式解题。

比如说有个方程：x² + 2x - 3 = 0 ，这里 a = 1，b = 2，c = -3 ，先算Δ = 2² - 4×1×(-3) = 16 ，因为 16大于 0 ，所以方程有两个不相等的实数根。

再把数字代入公式，x = [-2 ± √16] / （2×1），算出来 x₁ = 1，x₂ = -3 。

再举个例子，3x² - 6x + 3 = 0 ，这里 a = 3，b = -6，c = 3 ，Δ = (-6)²- 4×3×3 = 0 ，所以方程有两个相等的实数根，x = [-(-6) ± √0] / （2×3），算出来 x₁ = x₂ = 1 。

21.2.2公式法一．选择题（共5小题）1．用公式法解一元二次方程x2﹣5x=6，解是（）A．x1=3，x2=2 B．x1=﹣6，x2=﹣1 C．x1=6，x2=﹣1 D．x1=﹣3，x2=﹣22．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣4x2+3=5x，下列叙述正确的是（）A．a=﹣4，b=5，c=3 B．a=﹣4，b=﹣5，c=3C．a=4，b=5，c=3 D．a=4，b=﹣5，c=﹣33．（2011春•招远市期中）一元二次方程x2+c=0实数解的条件是（）A．c≤0 B．c＜0 C．c＞0 D．c≥04．（2012秋•建平县期中）若x=1是一元二次方程x2+x+c=0的一个解，则c2+c=（）A．1 B．2 C．3 D．45．（2013•下城区二模）一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的解是（）A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．0或2二．填空题（共3小题）6．（2013秋•兴庆区校级期中）用公式法解一元二次方程﹣x2+3x=1时，应求出a，b，c的值，则：a=；b=；c=．7．用公式法解一元二次方程x2﹣3x﹣1=0时，先找出对应的a、b、c，可求得△，此方程式的根为．8．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0，用配方法解此方程，配方后的方程是．三．解答题（共12小题）9．（2010秋•泉州校级月考）某液晶显示屏的对角线长30cm，其长与宽之比为4：3，列出一元二次方程，求该液晶显示屏的面积．10．（2009秋•五莲县期中）已知一元二次方程x2+mx+3=0的一根是1，求该方程的另一根与m的值．11．x2a+b﹣2x a+b+3=0是关于x的一元二次方程，求a与b的值．12．（2012•西城区模拟）用公式法解一元二次方程：x2﹣4x+2=0．13．（2013秋•海淀区期中）用公式法解一元二次方程：x2+4x=1．14．（2011秋•江门期中）用公式法解一元二次方程：5x2﹣3x=x+1．15．（2014秋•藁城市校级月考）（1）用公式法解方程：x2﹣6x+1=0；（2）用配方法解一元二次方程：x2+1=3x．16．（2013秋•大理市校级月考）解一元二次方程：（1）4x2﹣1=12x（用配方法解）；（2）2x2﹣2=3x（用公式法解）．17．（2013•自贡）用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．18．（2014•泗县校级模拟）用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．19．（2011秋•南开区校级月考）（1）用公式法解方程：2x2+x=5（2）解关于x的一元二次方程：．20．（2011•西城区二模）已知：关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k取最大整数值时，用公式法求该方程的解．21．2.2公式法答案一．选择题（共5小题）1．C考点：解一元二次方程-公式法．专题：计算题．分析：运用公式法，首先确定a，b，c的值，然后判断方程是否有解，如有解代入公式即可求解．解答：解：∵x2﹣5x=6∴x2﹣5x﹣6=0∵a=1，b=﹣5，c=﹣6∴b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×1×（﹣6）=49 ∴x=∴x1=6，x2=﹣1．故选C．点评：解一元二次方程时要注意解题方法的选择，配方法和求根公式法适用于任何一元二次方程，不过麻烦．还要注意题目有无解题要求，要按要求解题．2．B考点：解一元二次方程-公式法．专题：计算题．分析：用公式法求一元二次方程时，首先要把方程化为一般形式．解答：解：∵﹣4x2+3=5x∴﹣4x2﹣5x+3=0，或4x2+5x﹣3=0∴a=﹣4，b=﹣5，c=3或a=4，b=5，c=﹣3．故选B．点评：此题考查了公式法解一元二次方程的应用条件，首先要把方程化为一般形式．3．A考点：根的判别式．专题：计算题．分析：由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于c的不等式，求出不等式的解集即可得到c的范围．解答：解：∵一元二次方程x2+c=0有实数解，∴△=b2﹣4ac=﹣4c≥0，解得：c≤0．故选A点评：此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程没有实数根．4．B考点：一元二次方程的解．分析：根据方程的解的定义，把x=1代入已知方程可以求得c的值，然后把c的值代入所求的代数式进行求值．解答：解：依题意，得12+1+c=0，解得，c=﹣2，则c2+c=（﹣2）2﹣2=2．故选：B．点评：本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．5．C考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：先移项得到x（x﹣2）+x﹣2=0，再把方程左边方程得到（x﹣2）（x+1）=0，元方程转化为x﹣2=0或x+1=0，然后解一次方程即可．解答：解：∵x（x﹣2）+x﹣2=0，∴（x﹣2）（x+1）=0，∴x﹣2=0或x+1=0，∴x1=2，x2=﹣1．故选C．点评：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．二．填空题（共3小题）6．a=﹣1；b=3；c=﹣1．考点：解一元二次方程-公式法．分先移项，找出各项系数即可．解答：解：﹣x2+3x=1，﹣x2+3x﹣1=0，a=﹣1，b=3，c=﹣1，故答案为：﹣1，3，﹣1．点评：本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的一般形式的应用，注意：项的系数带着前面的符号．7．△=13，x1=，x2=．考点：解一元二次方程-公式法．分析：找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出根的判别式的值为13大于0，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．解答：解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣1，∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）=13，∴x=，∴原方程的解为x1=，x2=．故答案为：13，x1=，x2=．点评：此题考查了利用公式法求一元二次方程的解，利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，当根的判别式大于等于0时，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．8．（x﹣1）2=m+1．考点：解一元二次方程-配方法．分析：把常数项﹣m移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．解答：解：把方程x2﹣2x﹣m=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=m，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=m+1，配方得（x﹣1）2=m+1．故答案为（x﹣1）2=m+1．点评：本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．三．解答题（共12小题）9．考点：一元二次方程的应用．专题：几何图形问题．分析：由长与宽之比为4：3，可设长为4x，则宽为3x，根据勾股定理可得：（4x）2+（3x）2=302；得出x后，即可求出显示屏的面积．解答：解：由题意可设长为4x，则宽为3x，根据三角形性质，得：（4x）2+（3x）2=302解得：x=6，x=﹣6（舍去）所以长为24cm，宽为18cm该液晶显示屏的面积为24×18=432cm2．即该液晶显示屏的面积为432cm2．点评：本题主要考查一元二次方程的应用，根据三角形性质，列出方程即可．面积=长×宽．10．．考点：一元二次方程的解；根与系数的关系．专题：计算题．分析：一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；亦可利用根与系数的关系去做．解答：（解法一）解：当x=1时，代入原方程得：12+m+3=0，解得m=﹣4；当m=﹣4时，原方程可化为：x2﹣4x+3=0，上式可化简为（x﹣1）（x﹣3）=0，∴方程的另一个根为x=3．（解法二）解：假设方程的另一个根为x0，∵x=1由根与系数关系可知：x0×1=3，∴x0=3；又由根与系数关系可知：x0+1=﹣m，即3+1=﹣m；∴m=﹣4．点此题解法灵活，选择自己喜欢的一种解法即可．11．考点：一元二次方程的定义．分析：本题根据一元二次方程的定义求解．分5种情况分别求解即可．解答：解：∵x2a+b﹣2x a+b+3=0是关于x的一元二次方程，∴①，解得；②，解得；③，解得；④，解得；⑤，解得．综上所述，，，，．点评：本题主要考查了一元二次方程的概念．解题的关键是分5种情况讨论x的指数．12．考点：解一元二次方程-公式法．专题：计算题．分析：找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出根的判别式的值为8大于0，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．解答：解：∵a=1，b=﹣4，c=2，…（1分）∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×2=8，…（3分）∴x==2±，…（4分）∴原方程的解为x1=2+，x2=2﹣．…（6分）点评：此题考查了利用公式法求一元二次方程的解，利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，当根的判别式大于等于0时，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．13．考点：解一元二次方程-公式法．分移项后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．解答：解：原方程可化为x2+4x﹣1=0，a=1，b=4，c=﹣1，b2﹣4ac=42﹣4×1×（﹣1）=20＞0，x=，x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．点评：本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的计算能力．14．考点：解一元二次方程-公式法．专题：计算题．分析：将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．解答：解：方程化简为：5x2﹣4x﹣1=0，这里a=5，b=﹣4，c=﹣1，∵△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）=36＞0，∴x==，∴x1=1，x2=﹣．点评：此题考查了解一元二次方程﹣公式法，利用此方法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式即可求出解．15．考点：解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-配方法．分析：（1）利用求根公式x=解方程；（2）将常数项移到等式的右边，含有未知数的项移到等式的左边，然后在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，构成完全平方公式形式；最后直接开平方即可．解答：解：（1）∵方程x2﹣6x+1=0的二次项系数a=1，一次项系数b=﹣6，常数项c=1，∴x===3±2，∴x1=3+2，x2=3﹣2；（2）由原方程，得x2﹣3x=﹣1，等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣3x+=﹣1+，∴（x﹣）2=，∴x=±，∴x1=，x2=．点评：本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法、配方法．利用公式法解方程时，需熟记求根公式．16考点：解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-配方法．分析：（1）根据配方法的步骤先把常数项移到等号的右边，一次项移到等号的右边，再在两边同时加上一次项系数的一半，配成完全平方的形式，然后开方即可；（2）首先找出公式中的a，b，c的值，再代入求根公式x=求解即可．解答：解：（1）4x2﹣1=12x，4x2﹣12x=1，x2﹣3x=，x2﹣3x+=+，（x﹣）2=，x﹣=±，x1=+=，x2=﹣=；（2）2x2﹣2=3x，2x2﹣3x﹣2=0，∵a=2，b=﹣3，c=﹣2，∴x===，x1=2，x2=﹣．点评：此题考查了配方法和公式法解一元二次方程，关键是熟练掌握配方法的步骤和公式法的步骤，公式法解题时要注意将方程化为一般形式，确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解．17．考点：解一元二次方程-配方法．分析：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．解答：解：∵关于x的方程ax2+bx+c=0是一元二次方程，∴a≠0．∴由原方程，得x2+x=﹣，等式的两边都加上，得x2+x+=﹣+，配方，得（x+）2=﹣，当b2﹣4ac＞0时，开方，得：x+=±，解得x1=，x2=，当b2﹣4ac=0时，解得：x1=x2=﹣；当b2﹣4ac＜0时，原方程无实数根．点评：本题考查了配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．18．考点：解一元二次方程-公式法；配方法的应用．专题：计算题．分析：由a不为0，在方程左右两边同时除以a，并将常数项移到方程右边，方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边通分并利用同分母分式的减法法则计算，当b2﹣4ac≥0时，开方即可推导出求根公式．解答：解：ax2+bx+c=0（a≠0），方程左右两边同时除以a得：x2+x+=0，移项得：x2+x=﹣，配方得：x2+x+=﹣=，即（x+）2=，当b2﹣4ac≥0时，x+=±=±，∴x=．点评：此题考查了一元二次方程的求根公式，以及配方法的应用，学生在开方时注意b2﹣4ac≥0这个条件的运用．19．考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．分析：（1）先把方程化为一般形式：2x2+x﹣5=0，则a=2，b=1，c=﹣5，△=12﹣4×2×（﹣5）=41，再代入求根公式计算即可；（2）先把方程化为一般形式：x2﹣4bx﹣（a+2b）（a﹣2b）=0，再利用因式分解法求解即可．解答：解：（1）方程化为一般形式为：2x2+x﹣5=0，∴a=2，b=1，c=﹣5，∴△=12﹣4×2×（﹣5）=41＞0，∴x=，∴x1=，x2=；（2）方程化为一般形式：x2﹣4bx﹣（a+2b）（a﹣2b）=0，左边分解因式，得[x﹣（a+2b）][x+（a﹣2b）]=0，∴x1=a+2b，x2=﹣a+2b．点评：本题考查的是解一元二次方程，根据题目的要求和结构特点，选择适当的方法解方程．20．考点：根的判别式；解一元二次方程-公式法．分析：（1）根据一元二次方程x2+4x+2k=0有两个不相等的实数根，得出△＞0，即可得出k的取值范围；（2）根据k的取值范围，得出符合条件的最大整数k=1，代入方程求出即可．解答：解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个不相等的实数根，∴△=16﹣4×2k＞0．解得k＜2．（2）∵k＜2，∴符合条件的最大整数k=1，此时方程为x2+4x+2=0．∴a=1，b=4，c=2．∴b2﹣4ac=42﹣4×1×2=8．代入求根公式，得．∴．点评：此题主要考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的解法，此题比较典型同学们应熟练掌握．。

解一元二次方程公式法习题讲解及练习判别一元二次方程根的情况教学内容用b2-4ac大于、等于0、小于0判别ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况及其运用．教学目标掌握b2-4ac>0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b2-4ac<0，ax2+bx+c=0（a≠0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用．通过复习用配方法解一元二次方程的b2-4ac>0、b2-4ac=0、b2-4ac<0各一题，•分析它们根的情况，从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目．重难点关键1．重点：b2-4ac>0↔一元二次方程有两个不相等的实根；b2-4ac=0↔一元二次方程有两个相等的实数；b2-4ac<0↔一元二次方程没有实根．2．难点与关键从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情况与根的情况的关系．教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入（学生活动）用公式法解下列方程．（1）2x2-3x=0 （2）3x2x+1=0 （3）4x2+x+1=0老师点评，（三位同学到黑板上作）老师只要点评（1）b 2-4ac=9>0，•有两个不相等的实根；（2）b 2-4ac=12-12=0，有两个相等的实根；（3）b 2-4ac=│-4×4×1│=<0，•方程没有实根二、探索新知从前面的具体问题，我们已经知道b 2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析：求根公式：x=2b a-±，当b 2-4ac>0于一个具体数，所以一元一次方程的x 1x 1，即有两个不相等的实根．当b 2-4ac=0时，•，所以x 1=x 2=2b a -，即有两个相等的实根；当b 2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．因此，（结论）（1）当b 2-4ac>0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）•有两个不相等实数根即x 1x 2 （2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等实数根即x 1=x 2=2b a-． （3）当b 2-4ac<0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）没有实数根．例1．不解方程，判定方程根的情况（1）16x 2+8x=-3 （2）9x 2+6x+1=0（3）2x 2-9x+8=0 （4）x 2-7x-18=0分析：不解方程，判定根的情况，只需用b-4ac 的值大于0、小于0、等于0•的情况进行分析即可．解：（1）化为16x2+8x+3=0这里a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4×16×3=-128<0所以，方程没有实数根．（2）a=9，b=6，c=1，b2-4ac=36-36=0，∴方程有两个相等的实数根．（3）a=2，b=-9，c=8b2-4ac=（-9）2-4×2×8=81-64=17>0∴方程有两个不相等的实根．（4）a=1，b=-7，c=-18b2-4ac=（-7）2-4×1×（-18）=121>0∴方程有两个不相等的实根．三、巩固练习不解方程判定下列方程根的情况:=0（1）x2+10x+26=0 （2）x2-x-34=0（3）3x2+6x-5=0 （4）4x2-x+116=0 （6）4x2-6x=0（5）x2x-14（7）x（2x-4）=5-8x四、应用拓展例2．若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0a<-2∵ax+3>0即ax>-3∴x<-3a∴所求不等式的解集为x<-3a五、归纳小结本节课应掌握：b2-4ac>0↔一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根；b2-4ac=0 ↔一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根；b2-4ac<0↔一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根及其它的运用．六、布置作业1．教材P46复习巩固6 综合运用9 拓广探索1、2．2．选用课时作业设计．第五课时作业设计一、选择题1．以下是方程3x2-2x=-1的解的情况，其中正确的有（）．A．∵b2-4ac=-8，∴方程有解B．∵b2-4ac=-8，∴方程无解C．∵b2-4ac=8，∴方程有解D．∵b2-4ac=8，∴方程无解2．一元二次方程x2-ax+1=0的两实数根相等，则a的值为（）．A．a=0 B．a=2或a=-2C．a=2 D．a=2或a=03．已知k≠1，一元二次方程（k-1）x2+kx+1=0有根，则k的取值范围是（）．A．k≠2 B．k>2 C．k<2且k≠1 D．k为一切实数二、填空题1．已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数，则p与q的关系是________．2．不解方程，判定2x2-3=4x的根的情况是______（•填“二个不等实根”或“二个相等实根或没有实根”）．3．已知b≠0，不解方程，试判定关于x的一元二次方程x2-（2a+b）x+（a+ab-2b2）•=0的根的情况是________．三、综合提高题1．不解方程，试判定下列方程根的情况．（1）2+5x=3x2（2）x2-（2．当c<0时，判别方程x2+bx+c=0的根的情况．3．不解方程，判别关于x的方程x2-2kx+（2k-1）=0的根的情况．4．某集团公司为适应市场竞争，赶超世界先进水平，每年将销售总额的8%作为新产品开发研究资金，该集团2000年投入新产品开发研究资金为4000万元，2002年销售总额为7.2亿元，求该集团2000年到2002年的年销售总额的平均增长率．答案:一、1．B 2．B 3．D二、1．p2-4q=0 2．有两个不等实根3．有两个不等实根三、1．（1）化为3x2-5x-2=0 b2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0，有两个不等实根．（2）b2，没有实根．2．∵c<0 ∴b2-4×1×c>0，方程有两个不等的实根．3．b2-4ac=4k2-4（2k-1）=4k2-8k+4=4（k-1）2≥0，•∴方程有两个不相等的实根或相等的实根．（1+x）2=720000000，4．设平均增长率为x，400000008%即50（1+x）2=72 解得x=20%，∴年销售总额的平均增长率是20%．。

公式法解一元二次方程(后附详细答案)一、 一元二次方程一般形式ax 2+bx+c=0,根的判别式∆为b 2-4ac1. 当b 2-4ac >0时，方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，aac b b x a ac b b 24,24x 2221---=-+-= 2. 当b 2-4ac =0时，方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根， ab x 2x 21-== 3. 当b 2-4ac <0时，方程ax 2+bx+c=0没有实数根二 、填空1、一元二次方程x 2+3x+1=0的根的判别式的值为： 。

2、已知关于x 的一元二次方程5x 2+mx+1=0的根的判别式的值为16，则m 的值为： 。

3、一元二次方程x(x+4)+3=0的根的情况是 。

4、如果关于x 的一元二次方程kx 2-3x+2=0有两个实数根，那么k 的取值范围是： 。

三、用公式法解下列方程：1、x 2-3x+1=02、-3x 2-5x+1=03、（x-3）(x+1)-3=0四、已知关于x 的一元二次方程x 2+(k+1)x+2k-2=0，（1）求证：此方程总有两个实数根。

（2）若此方程有一个根大于0且小于1，求k 的取值范围。

公式法解一元二次方程(附详细答案)二、 一元二次方程一般形式ax 2+bx+c=0,根的判别式∆为b 2-4ac4. 当b 2-4ac >0时，方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，aac b b x a ac b b 24,24x 2221---=-+-= 5. 当b 2-4ac =0时，方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根，ab x 2x 21-== 6. 当b 2-4ac <0时，方程ax 2+bx+c=0没有实数根二 、填空1、一元二次方程x 2+3x+1=0的根的判别式的值为： 5 。

2、已知关于x 的一元二次方程5x 2+mx+1=0的根的判别式的值为16，则m 的值为： ±6 。

2022-2023学年九年级上数学第21章一元二次方程21.2.1配方法和公式法解一元二次方程1.直接开方解一元二次方程直接开平方法：根据平方根的意义将一元二次方程“降次”为一元一次方程进行求解。

①解形如p x =2的方程：当0=p 时，方程有两个相等的实数根，即021==x x ；当0＞p 时，方程有两个不相等的实数根，即p x p x -==21，；当0＜p 时，方程没有实数根.2.配方法解一元二次方程用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx +c =0(k ≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x +a ）2=b 的形式；⑤如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b ≤0，则原方程无解．3.公式法解一元二次方程用公式法求一元二次方程的一般步骤：求出判别式24b ac =-的值，判断根的情况：①240b ac ∆=-＞⇔方程有两个不相等的实数根；②240b ac ∆=-=⇔方程有两个相等的实数根.③042＜ac b -=∆⇔方程没有实数根。

自学笔记：直接开平方法：形如()20x m n n +=≥（）的方程，可直接开平方求解。

【精讲1】一元二次方程240x -=的解是()A ．2-B ．2C ．D ．2±【分析】这个式子先移项，变成24x =，从而把问题转化为求4的平方根．【答案】D【解析】解：移项得，24x =开方得，2x =±，故选：D ．【精讲2】方程2(1)6x -=的解是．【分析】把方程两边开方得到1x -=，然后解一次方程即可．【答案】11x =21x =【解析】解：2(1)6x -= ，1x ∴-=，11x ∴=+21x =-．【练习1】方程2(1)9x +=的解为()A ．12x =，24x =-B ．12x =-，24x =C ．14x =，22x =D ．12x =-，24x =-【答案】A【解析】解：2(1)9x +=，13x +=±，所以12x =，24x =-．故选：A ．【练习2】一元二次方程24810x -=的解是．【答案】1299,22x x ==-【解析】解：24810x -= ，2481x ∴=，2814x ∴=，∴1299,22x x ==-，故答案为：1299,22x x ==-．【精讲1】用配方法解方程2410x x +-=，变形正确的是()A ．2(2)5x +=B ．2(4)5x +=C ．2(2)1x +=D ．2(4)1x +=【分析】方程移项，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断．【答案】A【解析】解：方程2410x x +-=，移项得：241x x +=，配方得：2445x x ++=，则2(2)5x +=．故选：A ．【精讲2】下列用配方法解方程21202x x --=的四个步骤中，出现错误的是()222212024215(1)512x x x x x x x x --=-=-+=-==+ ①②③④A ．①B ．②C ．③D ．④【分析】观察解方程步骤，找出出错的步骤即可．【答案】D【解析】解：用配方法解方程21202x x --=的四个步骤中，222212024215(1)512x x x x x x x x --=-=-+=-==+ ①②③④，出现错误的是④．故选：D ．【练习1】一元二次方程2430x x -+=配方为2(2)x k -=，则k 的值是．【答案】1【解析】解：2430x x -+= ，243x x ∴-=-，24434x x ∴-+=-+，2(2)1x ∴-=，一元二次方程2430x x -+=配方为2(2)x k -=，1k ∴=，故答案为：1．【练习2】将一元二次方程2220x x --=用配方法化成2()x a b +=的形式为，此方程的根为．【答案】2(1)3x -=；11x =+21x =-【解析】解：2220x x --=，222x x -=，配方得：22121x x -+=+，2(1)3x -=，开方得：1x -=，11x =+21x =-故答案为：2(1)3x -=；11x =+21x =-【精讲1】已知关于x 的方程2(3)20x k x k ++++=，则下列说法正确的是()A ．不存在k 的值，使得方程有两个相等的实数解B ．至少存在一个k 的值，使得方程没有实数解C ．无论k 为何值，方程总有一个固定不变的实数根D ．无论k 为何值，方程有两个不相等的实数根【分析】先计算△的值，利用k 的值，可作判断．【答案】C【解析】解：关于x 的方程2(3)20x k x k ++++=，△222(3)41(2)21(1)0k k k k k =+-⨯⨯+=++=+ ，A 、当1k =-时，△0=，此时方程有两个相等的实数解，故此选项错误；B 、因为△0 ，所以不存在k 的值，使得使得方程没有实数解．故此选项错误；C 、解方程得：11x =-，22x k =--，所以无论k 为何值，方程总有一个固定不变的实数根1-，故此选项正确；D 、当1k ≠-时，方程有两个不相等的实数解，故此选项错误；故选：C ．【精讲2】一元二次方程22710x x --=的根的情况是()A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．不能确定【分析】根据根的判别式公式，求该方程的判别式，根据结果的正负情况即可得到答案．【答案】A【解析】解：根据题意得：△2(7)42(1)=--⨯⨯-498=+57=0>，即该方程有两个不相等的实数根，故选：A ．【精讲3】若关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个实数根，则k 的取值范围为()A ．14k >-B ．14k - C ．14k >-且0k ≠D ．14k - 且0k ≠【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有两个实数根下必须满足△240b ac =- ．【答案】D【解析】解：根据题意列出方程组222[(21)]400k k k ⎧-+-⎨≠⎩，解得14k - 且0k ≠．故选：D ．【练习1】若一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是()A ．1k >B ．1k <C ．1k <且0k ≠D ．1k 【答案】B【解析】解：由题意知，△440k =->，解得：1k <．故选：B ．【练习2】关于x 的一元二次方程240x x k ++=有实数解，则k 的取值范围是()A ．4kB ．4kC ．4k >D ．4k =【答案】B【解析】解： 关于x 的一元二次方程240x x k ++=有实数解，2244410b ac k ∴-=-⨯⨯ ，解得：4k ，故选：B ．【练习3】关于x 的一元二次方程2(3)2(1)0x k x k -+++=的根的情况是()A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个实数根D ．没有实数根【答案】C【解析】解：△22[(3)]42(1)(1)k k k =-+-⨯+=-，2(1)0k - ，即△0 ，∴方程有两个实数根．故选：C ．自学笔记：公式法:一元二次方程20ax bx c ++=的求根公式为x =242b b aca-±-（b 2-4ac ≥0）.命题方向：用公式法解一元二次方程.名师点拨：先化成一元二次方程的一般式，注意a ，b ，c 的符号.【精讲1】用公式法解方程22x x +=时，求根公式中的a ，b ，c 的值分别是()A ．1a =，1b =，2c =B ．1a =，1b =-，2c =-C ．1a =，1b =，2c =-D ．1a =，1b =-，2c =【分析】方程整理为一般形式，找出a ，b ，c 的值即可．【答案】C【解析】解：将方程整理得：220x x +-=，这里1a =，1b =，2c =-，故选：C ．【精讲2】一元二次方程(23)(1)1x x +-=的解为．【分析】先化为一般形式，再用一元二次方程求根公式即可得到答案．【答案】11334x -+=，21334x -=【解析】解：(23)(1)1x x +-=，化为一般形式得：2240x x +-=，△2142(4)33=-⨯⨯-=，13322x -±∴=⨯，11334x -+∴=，21334x -=，故答案为：11334x -+=，21334x -=．【练习1】方程(1)2x x -=的两根为()A ．10x =，21x =B ．10x =，21x =-C ．11x =，22x =D ．11x =-，22x =【答案】D【解析】解：方程移项并化简得220x x --=，1a =，1b =-，2c =-，△1890=+=>，192x ±∴=，解得11x =-，22x =．故选：D ．【练习2】写出方程210x x +-=的一个正根．【解析】解：这里1a =，1b =，1c =-，△145=+=，x ∴=．。

公式法解一元二次方程知识点及练习一、知识点：1、任何一个ax 2+bx+c=0(a≠0)通过配方法都可以化成（x+a 2b ）2=2244a ac b -； X=aac b b 242-±-；这个公式叫一元二次方程的求根公式。

利用求根公式可以由一元二次方程的系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的根。

2.公式法解一元二次方程的基本步骤：1）把方程化为一般式ax 2+bx+c=0(a≠0)，并写出a 、b 、c 的值；2）求出b 2-4ac 的值（特别注意b 2-4a c ＜0时，无解)3）代入求根公式X=aac b b 242-±-（a ≠0, b 2-4ac ≧0） 4)写出方程的解x 1、x 2练习一、填空题1、将方程()()1532142+=-+x x x 化为一元二次方程的一般形式为 ，二次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 ，二次项系数是 ，用公式法直接求得该方程的根为x 1= ，x 2= ，2、一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b 2-4ac ≥0时，它的根是_____，当b-4ac<0时，方程_________．3、方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等的实数根，则有________，•若有两个不相等的实数根，则有_________，若方程无解，则有__________．4、若方程3x 2+bx+1=0无解，则b 应满足的条件是________．5、用公式法解方程x 2=-8x-15，其中b 2-4ac=_______，x 1=_____，x 2=________．6、已知一个矩形的长比宽多2cm ，其面积为8cm 2，则此长方形的周长为________．7、关于x 的一元二次方程kx 2＋2x －1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是二、选择题1、下列方程中是一元二次方程的是( )A ．x x 422-＝0B ．322x x -＝0 C ．x 2＋2xy ＋1＝0 D ．5x ＝3x －12、下列方程不是一元二次方程的是( ) A ．21x 2＝1；B ．0.01x 2＋0．2x －0.1＝0； C ．2 x 2－3x ＝0；D ．21x 2－x ＝21(x 2＋1) 3、方程3x 2－4＝－2x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( ) A ．3，－4，－2 B ．3，2，－4 C ．3，－2，－4 D ．2，－2，04、一元二次方程2x 2－(a ＋1)x ＝x (x －1)－1的二次项系数为1，一次项系数为－1，则a的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．25、若方程(m 2－1)x 2＋x ＋m ＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是( )A ．m ≠0B ．m ≠1C ．m ≠1且m ≠－1D ．m ≠1或m ≠－16、方程3x 2－75＝0的解是( )A ．x ＝5B ．x ＝－5C ．x ＝±5D ．无实数根 7、方程(x －5)2＝6的两个根是( )A ．x 1＝x 2＝5＋6B ．x 1＝x 2＝－5＋6C ．x 1＝－5＋6，x 2＝－5－6D ．x 1＝5＋6，x 2＝5－6 8、若代数式x 2－6x ＋5的值等于12，那么x 的值为( )A ．1或5B ．7或－1C ．－1或－5D ．－7或19、关于x 的方程3x 2－2(3m －1)x ＋2m ＝15有一个根为－2，则m 的值等于( )A ．2B ．－21C ．－2D ．21 10、方程x (x ＋1)＝0的根为( )A ．0B ．－1C ．0，－1D ．0，1三、用公式法解方程(1)x 2+15x=-3x; (2)x 2+x-6=0; (3)3x 2-6x-2=0; (4)4x 2-6x=0（5)x 2－2x ＋1＝0；（6)x (x ＋8)＝16； （7)x 2－35x ＝2；四、已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程210240x x -+=的一个根，求这个三角形的周长。

提技术·题组训练用公式法解一元二次方程1. 用公式法解方程6x-8=5x 2时,a,b,c的值分别是()A.5,6,-8B.5,-6,-8C.5,-6,8D.6,5,-8【分析】选 C.原方程可化为 :5x 2-6x+8=0,∴a=5,b=-6,c=8.2. 用公式法解方程4x2-12x=3, 获得 ()A.x=B.x=C.x=D.x=【解题指南】先把一元二次方程转变为一般形式 , 确立出 a,b,c 的值 , 代入求根公式 , 求出方程的根 .【分析】选 D.由方程 4x2 -12x=3, 得 4x2-12x-3= 0.这里a=4,b=-12,c=-3,b2-4ac=(-12)2-4×4×(-3)=192,所以x===.【易错提示】用公式法求一元二次方程的根时, 在确立系数 a,b,c时,易忘掉先把一元二次方程化为一般形式 .3. 方程x2+4x+6=0 的根是 ()A.x=,x =B.x=6,x2=121C.x 1=2,x 2=D.x 1=x2=-【分析】选 D.∵a=,b=4,c=6,∴b2-4ac=(4)2-4××6 =0,∴x1=x2==-.【一题多解】方法一 : 方程的两边都除以得,x2+2x+6=0,∴a=1,b=2,c=6,∴b2-4ac=(2) 2-4 ×1×6=0,∴x1=x2==- .方法二 : 方程的两边都除以得,x2+2 x+6=0,所以 x2+2x+( ) 2 =0, 即(x+ )2=0,所以 x1=x2=- .4. 方程 (2x+1)(x+2)=6化为一般形式是,b 2-4ac=, 用求根公式求得x1 =,x 2=.【分析】由方程 (2x+1)(x+2)=6,得2x2+5x-4=0,所以 b2-4ac=25-4 × 2× (-4)=57.所以 x=. 即 x1=,x 2=.答案 : 2x2 +5x-4=05725.(20XX ·无锡中考 ) 解方程 :x +3x-2=0.【分析】∵a=1,b=3,c=-2.=32 -4 ×1×(-2)=17,∴x=, ∴x1=,x 2=.【知识概括】公式法与配方法的联系配方法和公式法是解一元二次方程的两种不一样的方法,但两者的联系也比较亲密, 主要有以下两点 :(1)一元二次方程的求根公式是由配方法解一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0 获得的 .(2)两种方法都合用于随意有根的一元二次方程 . 在详细运用时 , 公式法能够看作直接运用了配方的结果 , 显得比配方法简单 , 所以没有特别要求时 , 一般运用公式法求解 .6. 解方程 :2x 2-5x=7.【分析】原方程可化为 2x2 -5x-7=0,∴a=2,b=-5,c=-7,22× 2× (-7)=81,∴b -4ac=(-5)-4∴x==. ∴x =-1,x2= .1一元二次方程根的鉴别式1.(20XX ·白银中考 ) 一元二次方程x2 +x-2=0 根的状况是 ()A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C.无实数根D.没法确立【分析】选 A. 因为 b2 -4ac=1 2-4 × 1× (-2)=9>0,所以这个方程有两个不相等的实数根.2.(20XX ·上海中考 ) 以下对于 x 的一元二次方程有实数根的是()A.x 2 +1=0B.x 2 +x+1=0C.x 2-x+1=0D.x 2-x-1=0【分析】选 D. 由 x2+1=0 移项得 ,x 2=-1, 所以选项 A 无实数根 , 因为 ( ± 1) 2-4 × 1× 1=-3< 0, 所以选项 B,C 均没有实数根 , 因为 (-1) 2-4 × 1× (-1)=5>0, 所以选项 D有实数根 .【知识概括】 1. 一元二次方程 ax2 +bx+c=0(a ≠0), 若 a,c 异号 , 则方程必定有两个不相等的实数根 .2. 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a ≠0), 当=0 时 , 方程的两个实根为 -.3.(20XX ·潍坊中考 ) 已知对于 x 的方程 kx 2+(1-k)x-1=0,以下说法正确的选项是()A. 当 k=0 时, 方程无解B. 当 k=1 时, 方程有一个实数解C.当 k=-1 时, 方程有两个相等的实数解D.当 k≠ 0 时, 方程总有两个不相等的实数解【分析】选 C. 当 k=0 时, 原方程变形为 x-1=0, 解为 x=1, 选项 A 说法错误 ; 当 k=1 时, 原方程变形为 x2 -1=0,解为 x=± 1, 选项 B 说法错误 ; 当 k=-1 时, 原方程变形为 x2-2x+1=0, 即 (x-1)2=0,解为 x 1222+4k=(1+k)2所以该方程有两=x =1, 选项 C 说法正确 ; 当 k≠ 0 时, =b -4ac =(1-k)≥ 0,个不相等的实数根或有两个相等的实数根 , 选项 D 说法错误 .4.(20XX ·枣庄中考 ) 若一元二次方程 x 2+2x+m=0有实数根 , 则 m的取值范围是() A.m≤-1 B.m≤ 1C.m≤4D.m≤【分析】选 B. 因为一元二次方程有实数根 , 所以 b2-4ac ≥0,所以 4-4m≥ 0. 解得 m≤ 1.5. 已知对于 x 的一元二次方程 x2 +kx+1=0 有两个相等的实数根 , 则 k=.【分析】∵一元二次方程 x2 +kx+1=0有两个相等的实数根 , 且 b2-4ac=k 2-4 ×1×1=k2-4, ∴ k2-4=0.所以 k=±2.答案: ±26. 对于 x 的一元二次方程 x2+x=k2的根的状况是.22因为22【分析】因为 b -4ac=1+4k,4k ≥ 0,所以 b -4ac>0.所以一元二次方程x2+x-k 2=0 有两个不相等的实数根 .答案 : 有两个不相等的实数根【易错提示】用根的鉴别式判断方程的解求时, 没有把一元二次方程变为一般形式, 系数易出现符号错误 .7.当 t 取什么值时 , 对于 x 的一元二次方程 2x2+tx+2=0 有两个相等的实数根 ?【分析】∵一元二次方程 2x2+tx+2=0 的二次项系数 a=2, 一次项系数 b=t, 常数项 c=2, ∴Δ =t 2-4 ×2×2=t 2-16=0,解得 ,t= ± 4, ∴当 t=4 或 t=-4 时, 原方程有两个相等的实数根.2【变式训练】当 t 取什么值时 , 对于 x 的一元二次方程2x +tx+2=0.(1)有两个不相等的实数根 ?(2)没有实数根 ?【分析】∵一元二次方程 2x2+tx+2=0 的二次项系数 a=2, 一次项系数 b=t, 常数项 c=2, ∴Δ =t 2-4 ×2×2=t 2-16.(1)∵方程有两个不相等的实数根 , ∴ t 2-16>0,解得 :t>4,t<-4.∴当 t>4,t <-4 时 , 原方程有两个不相等的实数根.(2)∵方程没有实数根 , ∴t 2-16<0,解得 :-4<t<4.∴当 -4<t<4时,原方程没有实数根.【错在哪？】作业错例讲堂实拍22对于 x 的方程 mx +(2m+1)x+1=0 有两个实数根 , 求 m的取值范围 .(1) 找错 : 从第 步开始出现错误 .(2) 纠错 :__________________________________________________________________________________.答案： (1) ①(2) 因为对于 x 的方程有两个实数根，所以 222≥0, 解得 m ≥ - 1, 且 m ≠0.m ≠0，且 (2m+1) -4m 4 所以当 m ≥-1，且 m ≠ 0 时，方程有两个实数根4。

一元二次方程的解法【十大题型】【题型1直接开平方法解一元二次方程】【题型2配方法解一元二次方程】【题型3公式法解一元二次方程】【题型4因式分解法解一元二次方程】【题型5十字相乘法解一元二次方程】【题型6用适当方法解一元二次方程】【题型7用指定方法解一元二次方程】【题型8用换元法解一元二次方程】【题型9解含绝对值的一元二次方程】【题型10配方法的应用】知识点1：直接开平方法解一元二次方程根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的形式；②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.【题型1直接开平方法解一元二次方程】1(23-24九年级上·广东深圳·期中)将方程(2x-1)2=9的两边同时开平方，得2x-1=，即2x-1=或2x-1=，所以x1=，x2=．【答案】±33-32-1【分析】依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可【详解】∵(2x-1)2=9∴2x-1=±3∴2x-1=3，2x-1=-3∴x1=2，x2=-1【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键2(23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习)用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为()A.x2+9=0B.-2x2=0C.x2-3=0D.(x-2)2=0【答案】A【分析】根据负数没有平方根即可求出答案．【详解】解：(A )移项可得x 2=-9，故选项A 无解；(B )-2x 2=0，即x 2=0，故选项B 有解；(C )移项可得x 2=3，故选项C 有解；(D )x -2 2=0，故选项D 有解；故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．3(23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习)如果关于x 的一元二次方程x -5 2=m -7可以用直接开平方求解，则m 的取值范围是．【答案】m ≥7【分析】根据平方的非负性得出不等式，求出不等式的解集即可．【详解】解：∵方程x -5 2=m -7可以用直接开平方求解，∴m -7≥0，解得：m ≥7，故答案为：m ≥7．【点睛】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式，能得出关于m 的不程是解此题的关键．4(23-24九年级上·河南南阳·阶段练习)小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x x +4 =6．解：原方程可变形，得：x +2 -2 x +2 +2 =6．x +2 2-22=6，x +2 2=10．直接开平方并整理，得．x 1=-2+10，x 2=-2-10．我们称小明这种解法为“平均数法”(1)下面是小明用“平均数法”解方程x +5 x +9 =5时写的解题过程．解：原方程可变形，得：x +a -b x +a +b =5．x +a 2-b 2=5，∴x +a 2=5+b 2．直接开平方并整理，得．x 1=c ，x 2=d ．上述过程中的a 、b 、c 、d 表示的数分别为______，______，______，______．(2)请用“平均数法”解方程：x -5 x +7 =12．【答案】(1)7，2，-4，-10．(2)x 1=-1+43，x 2=-1-43．【分析】(1)仿照平均数法可把原方程化为x +7 -2 x +7 +2 =5，可得x +7 2=9，再解方程即可；(2)仿照平均数法可把原方程化为x +1 -6 x +1 +6 =12，可得x +1 2=48，再解方程即可；【详解】(1)解：∵x +5 x +9 =5，∴x +7 -2 x +7 +2 =5，∴x +7 2-4=5，∴x +7 2=9，∴x +7=3或x +7=-3，解得：x 1=-4，x 2=-10．∴上述过程中的a 、b 、c 、d 表示的数分别为7，2，-4，-10．(2)∵x -5 x +7 =12，∴x +1 -6 x +1 +6 =12，∴x +1 2-36=12，∴x +1 2=48，∴x +1=43，x +1=-43，解得：x 1=-1+43，x 2=-1-43．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，新定义运算的含义，理解平均数法结合直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键．知识点2配方法解一元二次方程将一元二次方程配成(x +m )2=n 的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax 2+bx +c =0(a ≠0)的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．【题型2配方法解一元二次方程】1(23-24九年级上·广东深圳·期中)用配方法解方程，补全解答过程．3x 2-52=12x ．解：两边同除以3，得______________________________．移项，得x 2-16x =56．配方，得_________________________________，即x -112 2=121144．两边开平方，得__________________，即x -112=1112，或x -112=-1112．所以x 1=1，x 2=-56．【答案】x 2-56=16x x 2-16x +112 2=56+112 2 x -112=±1112【分析】方程两边除以3把二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．【详解】3x 2-52=12x ．解：两边同除以3，得x 2-56=16x ．移项，得x 2-16x =56．配方，得x2-16x+1122=56+112 2，即x-1 122=121144．两边开平方，得x-112=±1112，即x-112=1112，或x-112=-1112．所以x1=1，x2=-5 6．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2(23-24九年级下·广西百色·期中)用配方法解方程x2-6x-1=0时，配方结果正确的是()A.x-32=9 B.x-32=10 C.x+32=8 D.x-32=8【答案】B【分析】此题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法求解一元二次方程的步骤．根据配方法的步骤，求解即可．【详解】解：x2-6x-1=0移项得：x2-6x=1配方得：x2-6x+9=1+9即x-32=10故选：B3(24-25九年级上·全国·假期作业)用配方法解方程：x2+2mx-m2=0．【答案】x1=-m+2m，x2=-m-2m【分析】本题考查了解一元二次方程--配方法．先移项，再进行配方，最后开方即可得．【详解】解：移项得x2+2mx=m2，配方得x2+2mx+m2=m2+m2，即x+m2=2m2，所以原方程的解为：x1=-m+2m，x2=-m-2m．4(2024·贵州黔东南·一模)下面是小明用配方法解一元二次方程2x2+4x-8=0的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解：移项，得2x2+4x=8第一步二次项系数化为1，得x2+2x=4第二步配方，得x+22=8第三步由此可得x+2=±22第四步所以，x1=-2+22，x2=-2-22第五步①小明同学的解答过程，从第步开始出现错误；②请写出你认为正确的解答过程．【答案】①第三步；②详见解析【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，先将方程2x2+4x-8=0变为x2+2x=4，然后配方为x+12=8，再开平方即可．【详解】解：①小明同学的解答过程，从第三步开始出现错误；②2x2+4x-8=0，移项，得2x2+4x=8，二次项系数化为1，得x2+2x=4，配方，得x+12=5，由此可得x+1=±5，所以，x1=-1+5，x2=-1-5．知识点3公式法解一元二次方程当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方，其实数根可写为x=-b±b2-4ac2a的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.【题型3公式法解一元二次方程】1(23-24九年级上·山西大同·阶段练习)用公式法解关于x的一元二次方程，得x= -6±62-4×4×12×4，则该一元二次方程是．【答案】4x2+6x+1=0【分析】根据公式法的公式x=-b±b2-4ac2a，可得方程的各项系数，即可解答．【详解】解：∵x=-b±b2-4ac2a=-6±62-4×4×12×4，∴a=4，b=6，c=1，从而得到一元二次方程为4x2+6x+1=0，故答案为：4x2+6x+1=0．【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记公式是解题的关键．2(23-24九年级上·广东深圳·期中)用公式法解一元二次方程：x-23x-5=0．解：方程化为3x2-11x+10=0．a=3,b=，c=10．Δ=b 2-4ac =-4×3×10=1>0．方程实数根．x ==，即x 1=，x 2=53．【答案】-11(-11)2有两个不相等的--11 ±12×311±162【分析】根据公式法解一元二次方程的解法步骤求解即．【详解】解：方程化为3x 2-11x +10=0．a =3，b =-11，c =10．Δ=b 2-4ac =-11 2-4×3×10=1>0．方程有两个不相等的实数根．x =--11 ±12×3=11±16，即x 1=2，x 2=53．故答案为：-11；(-11)2；有两个不相等的；--11 ±12×3；11±16；2．【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程的解法步骤是解答的关键．3(23-24九年级上·河南三门峡·期中)用公式法解方程-ax 2+bx -c =0 (a ≠0)，下列代入公式正确的是()A.x =-b ±b 2-4a ×(-c )2×(-a ) B.x =b ±b 2-4ac2a C.x =b ±b 2-4a ×(-c )2×(-a ) D.x =-b ±b 2-4ac2a【答案】B【分析】先将方程进行化简，然后根据一元二次方程的求根公式，即可做出判断．【详解】解：方程-ax 2+bx -c =0 (a ≠0)可化为ax 2-bx +c =0由求根公式可得：x =-(-b )±(-b )2-4ac 2a =b ±b 2-4ac 2a 故选：B【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，准确的识记求根公式是解答本题的关键．4(23-24九年级上·广东深圳·期中)用求根公式法解得某方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两个根互为相反数，则()A.b =0B.c =0C.b 2-4ac =0D.b +c =0【答案】A【分析】根据求根公式法求得一元二次方程的两个根x 1、x 2，由题意得x 1+x 2=0，可求出b =0．【详解】∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两根，∴Δ=b2-4ac≥0且a≠0．求根公式得到方程的根为x=-b±b2-4ac2a，两根互为相反数，所以x1+x2=0，即-b+b2-4ac2a+-b-b2-4ac2a=0，解得b=0．故选：A．【点睛】本题考查了解一元二次方程-公式法，相反数的意义，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解题的关键．知识点4因式分解法解一元二次方程当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.【题型4因式分解法解一元二次方程】1(23-24九年级下·安徽亳州·期中)关于x的一元二次方程x x-2=2-x的根是()A.-1B.0C.1和2D.-1和2【答案】D【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可得到答案．【详解】解：∵x x-2=2-x，∴x x-2+x-2=0，∴x+1x-2=0，∴x+1=0或x-2=0，解得x=-1或x=2，故选：D．2(23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习)以下是某同学解方程x2-3x=-2x+6的过程：解：方程两边因式分解，得x x-3=-2x-3，①方程两边同除以x-3，得x=-2，②∴原方程的解为x=-2．③(1)上面的运算过程第______步出现了错误．(2)请你写出正确的解答过程．【答案】(1)②(2)过程见解析【分析】(1)根据等式的性质作答即可；(2)先移项，然后用因式分解法求解．【详解】(1)解：∵x-3可能为0，∴不能除以x-3，∴第②步出现了错误故答案为②．(2)解：方程两边因式分解，得x x-3=-2x-3，移项，得x x-3+2x-3=0，∴x-3x+2=0，∴x1=3，x2=-2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．3(23-24九年级下·安徽安庆·期中)对于实数m，n，定义运算“※”：m※n=m2-2n，例如：2※3=22 -2×3=-2．若x※5x=0，则方程的根为()A.都为10B.都为0C.0或10D.5或-5【答案】C【分析】本题考查的知识点是新定义运算、解一元二次方程，解题关键是理解题意．现根据新定义运算得出一元二次方程，再求解即可．【详解】解：根据定义运算m※n=m2-2n可得，x※5x=0即为x2-5x·2=0，即x x-10=0，∴x1=0，x2=10，则方程的根为0或10．故选：C．4(13-14九年级·浙江·课后作业)利用因式分解求解方程(1)4y2=3y；(2)(2x+3)(2x-3)-x(2x+3)=0．【答案】(1)y1=0,y2=34；(2)x1=-32,x2=3【分析】(1)利用移项、提公因式法因式分解求出方程的根；(2)利用提公因式法分解因式求出方程的根.【详解】(1)4y2=3y；4y2-3y=0y(4y-3)=0y=0或4y-3=0∴y1=0,y2=34，故答案为：y1=0,y2=3 4；(2)(2x+3)(2x-3)-x(2x+3)=0(2x+3)(x-3)=02x+3=0或x-3=0 x1=-32,x2=3，故答案为：x1=-32,x2=3．【点睛】本题考查利用因式分解解方程，关键是防止丢掉方程的根．例如：解方程4y2=3y时，给方程两边同除以y，解得y=34，而丢掉y=0的情况．【题型5十字相乘法解一元二次方程】1(23-24九年级下·广西百色·期中)以下是解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一种方法：二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2排列为：然后按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若此时满足a1c2+a2c1=b，那么ax2+bx+c=0(a≠0)就可以因式分解为(a1x +c1)(a2x+c2)=0，这种方法叫做“十字相乘法”．那么6x2-11x-10=0按照“十字相乘法”可因式分解为()A.(x-2)(6x+5)=0B.(2x+2)(3x-5)=0C.(x-5)(6x+2)=0D.(2x-5)(3x+2)=0【答案】D【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出6x2-11x-10=(2x-5)(3x+2)即可．【详解】∵∴6x2-11x-10=2x-53x+2=0．故选：D．【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．2(23-24九年级上·江西上饶·期末)试用十字相乘法解下列方程(1)x2+5x+4=0；(2)x2+3x-10=0．【答案】(1)x1=-4，x2=-1；(2)x1=2，x2=-5．【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．(1)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案；(2)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案．【详解】(1)解：x2+5x+4=0x+4=0x+1x+4=0或x+1=0∴x1=-4，x2=-1；(2)解：x2+3x-10=0x+5=0x-2x+5=0或x-2=0∴x1=2，x2=-5．3(23-24九年级下·广西梧州·期中)解关于x的方程x2-7mx+12m2=0得()A.x1=-3m，x2=4mB.x1=3m，x2=4mC.x1=-3m，x2=-4mD.x1=3m，x2=-4m【答案】B【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用十字相乘法求解即可．直接运用十字相乘法解一元二次方程即可．【详解】解：x2-7mx+12m2=0，x-3mx-4m=0，x-3m=0或x-4m=0，x1=3m，x2=4m．故选B．4(23-24九年级下·重庆·期中)阅读下面材料：材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，“十字相乘法”可把某些二次三项式分解为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于x，y的二次三项式ax2+bxy+cy2，如图1，将x2项系数a=a1⋅a2，作为第一列，y2项系数c=c1⋅c2，作为第二列，若a1c2+a2c1恰好等于xy项的系数b，那么ax2+bxy+cy2可直接分解因式为：ax2+bxy+cy2=a1x+c1ya2x+c2y示例1：分解因式：x2+5xy+6y2解：如图2，其中1=1×1，6=2×3，而5=1×3+1×2；∴x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)；示例2：分解因式：x2-4xy-12y2．解：如图3，其中1=1×1，-12=-6×2，而-4=1×2+1×(-6)；∴x2-4xy-12y2=(x-6y)(x+2y)；材料二：关于x，y的二次多项式ax2+bxy+cy2+d x+ey+f也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积．如图4，将a=a1a2作为一列，c=c1c2作为第二列，f=f1f2作为第三列，若a1c2+a2c1=b，a1f2+a2f1=d，c1f2+c2f1=e，即第1、2列，第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解因式的结果为：ax2+bxy+cy2+d x+ey+f=a1x+c1y+f1a2x+c2y+f2；示例3：分解因式：x2-4xy+3y2-2x+8y-3．解：如图5，其中1=1×1，3=(-1)×(-3)，-3=(-3)×1；满足-4=1×(-3)+1×(-1)，-2=1×(-3)+1×1,8=(-3)×(-3)+(-1)×1；∴x2-4xy+3y2-2x+8y-3=(x-y-3)(x-3y+1)请根据上述材料，完成下列问题：(1)分解因式：x2+3x+2=；x2-5xy+6y2+x+2y-20=；(2)若x，y，m均为整数，且关于x，y的二次多项式x2+xy-6y2-2x+my-120可用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积，求出m的值，并求出关于x，y的方程x2+xy-6y2-2x+my-120=-1的整数解．【答案】(1)(x+1)(x+2)，(x-3y+5)(x-2y-4)；(2)m=54m=-56，x=-1y=4和x=2y=-4【分析】(1)①直接用十字相乘法分解因式；②把某个字母看成常数用十字相乘法分解即可；(2)用十字相乘法把能分解的集中情况全部列出求出m值．【详解】解：(1)①1=1×1，2=1×2，3=1×1+1×2，∴原式=(x+1)(x+2)；②1=1×1，6=(-2)×(-3)，-20=5×(-4)满足(-5)=1×(-2)+1×(-3)，1=1×5+1×(-4)，2=(-2)×5+(-3)×(-4)∴原式=(x-3y+5)(x-2y-4)；(2)①1-35a1c1f11-2-4a2c2f2{a1c2+a2c1=-5a1f22+a2f1=1c1f2+c2f1=2②1-21013-12{a1c2+a2c1=1a1f2+a2f1=-2c1f2+c2f1=m1-2-121310(x-2y+10)(x+3y-12)=x2+xy-6y2-2x+my-120∴m=54(x-2y-12)(x+3y+10)=x2+xy-6y2-2x+my-120∴m=-56当m=54时，(x-2y+10)(x+3y-12)=-1{x-2y+10=1x+3y-12=-1或{x-2y+10=-1x+3y-12=1，x=-75y=245(舍)，{x=-1y=4当m=-56时，(x-2y-12)(x+3y+10)=-1{x-2y-12=1x+3y+10=-1或{x-2y=12=1x+3y+10=1，{x=2y=-4或x=695y=25(舍)综上所述，方程x2+xy-6y2-2x+my-120=-1的整数解有{x=-1y=4和{x=2y=-4；方法二：x2+xy+(-6y2)-2x+my-120=(x+3y)(x-2y)-2x+my-12y =(x+3y+a)(x-2y+b)=(x+3y)(x-2y)+(a+b)x+(3b-2a)y+ab {a+b=-2⇒{a=-123b-2a=m ab=-120 b=10或{a=10⇒m=54b=-12m=-56．【点睛】本题考查了因式分解的方法--十字相乘法，弄清题目中的十字相乘的方法是解题关键．【题型6用适当方法解一元二次方程】1(23-24九年级上·江苏宿迁·期末)用适当的方法解下列方程：(1)x2=4x；(2)x-32-4=0；(3)2x2-4x-5=0；(4)x-1x+2=2x+2．【答案】(1)x1=4，x2=0(2)x1=5，x2=1(3)x1=2+142，x2=2-142(4)x1=-2，x2=3【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程-因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．(1)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；(2)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；(3)利用解一元二次方程-公式法进行计算，即可解答；(4)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答．【详解】(1)解：x2-4x=0x x-4=0，解得x1=4，x2=0(2)解：x-3-2x-3+2=0x-5x-1=0，解得x1=5，x2=1(3)解：∵a=2，b=-4，c=-5∴b2-4ac=-42-4×2×-5=16--40=56∴x=4±562×2=2±142解得x1=2+142，x2=2-142(4)解：x-1x+2-2x+2=0x+2x-1-2=0，x+2x-3=0，∴x+2=0,x-3=0，解得x1=-2，x2=32(23-24九年级上·山西太原·期中)用适当的方法解下列一元二次方程：(1)x2+4x-2=0；(2)x x+3=5x+15.【答案】(1)x1=6-2，x2=-6-2(2)x1=-3，x2=5【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．(1)利用配方法解方程；(2)先移项，再利用提公因式法解方程．【详解】(1)解：移项，得x2+4x=2，配方，得x2+4x+4=2+4，x+22=6，两边开平方，得x+2=±6，所以，x1=6-2，x2=-6-2；(2)解：原方程可变形为：x x+3=5x+3，x x+3-5x+3=0，x+3x-5=0，x+3=0或x-5=0，所以，x1=-3，x2=53(23-24九年级下·山东泰安·期末)用适当的方法解下列方程(1)3x2=54；(2)x+13x-1=1；(3)4x2x+1=32x+1；(4)x2+6x=10．【答案】(1)x1=32，x2=-32(2)x1=-1+73，x2=-1-73(3)x1=-12，x2=34(4)x1=-3+19，x2=-3-19【分析】(1)方程整理后，利用直接开平方法求解即可；(2)方程整理后，利用求根公式法求解即可；(3)方程利用因式分解法求解即可；(4)方程利用配方法求解即可．【详解】(1)解：方程整理得：x2=18，开方得：x=±32，解得：x1=32，x2=-32；(2)解：方程整理得：3x2+2x-2=0，这里a=3，b=2，c=-2，∵△=22-4×3×(-2)=4+24=28>0，∴x=-2±276=-1±73，解得：x1=-1+73，x2=-1-73；(3)解：方程移项得：4x(2x+1)-3(2x+1)=0，分解因式得：(2x+1)(4x-3)=0，所以2x+1=0或4x-3=0，解得：x1=-12，x2=34；(4)解：配方得：x2+6x+9=19，即(x+3)2=19，开方得：x+3=±19，解得：x1=-3+19，x2=-3-19．【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法，直接开平方法，配方法，熟练掌握根据方程的特征选择恰当的解法是解本题的关键．4(23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末)用适当的方法解下列方程．(1)(x+2)2-25=0；(2)x2+4x-5=0；(3)2x2-3x+1=0．【答案】(1)x1=3，x2=-7(2)x1=1，x2=-5(3)x1=12，x2=1【分析】(1)利用平方差公式，可以解答此方程；(2)利用因式分解法解方程即可；(3)利用因式分解法解方程即可．【详解】(1)解：(x+2)2-25=0，(x+2-5)(x+2+5)=0，∴x-3=0或x+7=0，解得x1=3，x2=-7；(2)解：x2+4x-5=0，x-1x+5=0，∴x-1=0或x+5=0，解得x1=1，x2=-5；(3)解：2x2-3x+1=0，2x-1x-1=0，∴2x-1=0或x-1=0，解得x1=12，x2=1．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．【题型7用指定方法解一元二次方程】1(23-24九年级下·山东日照·期末)用指定的方法解下列方程：(1)4(x-1)2-36=0(直接开方法)(2)x2+2x-3=0(配方法)(3)(x+1)(x-2)=4(公式法)(4)2(x+1)-x(x+1)=0(因式分解法)【答案】(1)x1=4，x2=-2；(2)x1=1，x2=-3；(3)x1=3，x2=-2；(4)x1=-1，x2=2．【分析】(1)直接利用开方法进行求解即可得到答案；(2)直接利用配方法进行求解即可得到答案；(3)直接利用公式法进行求解即可得到答案；(4)直接利用因式分解法进行求解即可得到答案；【详解】解：(1)∵4x-12-36=0∴(x-1)2=9，∴x-1=±3，∴x1=4，x2=-2；(2)∵x2+2x=3，∴x2+2x+1=4，∴(x+1)2=4，∴x+1=±2，∴x1=1，x2=-3；(3)∵x2-x-6=0，∴△=1-4×1×(-6)=25，∴x=1±252=1±52，∴x1=3，x2=-2；(4)∵2x+1-x x+1=0∴(x+1)(2-x)=0，∴x+1=0或2-x=0，∴x1=-1，x2=2．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法.2(23-24九年级下·山东烟台·期中)用指定的方法解方程：(1)x2-4x-1=0(用配方法)(2)3x2-11x=-9(用公式法)(3)5x-32=x2-9(用因式分解法)(4)2y2+4y=y+2(用适当的方法)【答案】(1)x1=5+2，x2=-5+2(2)x1=11+136，x2=11-136(3)x1=3，x2=92(4)y1=12，y2=-2【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．(1)运用配方法解方程，先移项再配方，然后开方即可作答．(2)先化为一般式，再根据Δ=b2-4ac算出，以及代入x=-b±Δ2a进行化简，即可作答．(3)先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出x的值，即可作答．(4)先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出x的值，即可作答．【详解】(1)解：x2-4x-1=0移项，得x2-4x=1配方，得x 2-4x +4=1+4，即x -2 2=5∴x -2=±5解得x 1=5+2，x 2=-5+2；(2)解：3x 2-11x =-93x 2-11x +9=0Δ=b 2-4ac =121-4×3×9=121-108=13∴x =11±136解得x 1=11+136，x 2=11-136；(3)解：5x -3 2=x 2-95x -3 2-x 2-9 =05x -3 2-x -3 x +3 =0x -3 5x -3 -x +3 =x -3 4x -18 =0则x -3=0，4x -18=0解得x 1=3，x 2=92；(4)解：2y 2+4y =y +22y 2+4y -y +2 =02y y +2 -y +2 =02y -1 y +2 =0∴2y -1=0，y +2=0解得y 1=12，y 2=-2．3(23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中)用指定的方法解方程：(1)12x 2-2x -5=0(用配方法)(2)x 2=8x +20(用公式法)(3)x -3 2+4x x -3 =0(用因式分解法)(4)x +2 3x -1 =10(用适当的方法)【答案】(1)x 1=2+14,x 2=2-14(2)x 1=10,x 2=-2(3)x 1=3,x 2=0.6(4)x 1=-3,x 2=43【分析】(1)利用配方法解方程即可；(2)利用公式法解方程即可；(3)利用因式分解法解方程即可；(4)先将给出的方程进行变形，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】(1)移项，得：12x 2-2x =5，系数化1，得：x 2-4x =10，配方，得：x 2-4x +4=14，(x -2)2=14，x -2=±14，∴x 1=2+14，x 2=2-14；(2)原方程可变形为x 2-8x -20=0，a =1，b =-8，c =-20，Δ=(-8)2-4×1×-20 =64+80=144>0，原方程有两个不相等的实数根，∴x =-b ±b 2-4ac 2a =8±1442=8±122，∴x 1=10，x 2=-2；(3)原方程可变形为：x -3 x -3+4x =0，整理得：x -3 5x -3 =0，解得x 1=3，x 2=0.6；(4)原方程可变形为：3x 2+5x -2-10=0，整理得：3x 2+5x -12=0，3x -4 x +3 =0，∴x 1=-3，x 2=43【点睛】本题主要考查的是配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程的有关知识，掌握配方法的基本步骤，一元二次方程的求根公式是解题关键．4(23-24九年级上·河北邯郸·期中)按指定的方法解下列方程：(1)x 2=8x +9(配方法)；(2)2y 2+7y +3=0(公式法)；(3)x +2 2=3x +6(因式分解法)．【答案】(1)x 1=9，x 2=-1．(2)x 1=-3，x 2=-12．(3)x 1=-2，x 2=1．【分析】(1)先把方程化为x 2-8x +16=25，可得x -4 2=25，再利用直接开平方法解方程即可；(2)先计算△=72-4×2×3=49-24=25>0，再利用求根公式解方程即可；(3)先移项，再把方程左边分解因式可得x +2 x -1 =0，再化为两个一次方程，再解一次方程即可．【详解】(1)解：x 2=8x +9，移项得：x 2-8x =9，∴x 2-8x +16=25，配方得：x-42=25，∴x-4=5或x-4=-5，解得：x1=9，x2=-1．(2)解：2y2+7y+3=0，∴△=72-4×2×3=49-24=25>0，∴x=-7±254=-7±54，∴x1=-3，x2=-12．(3)解：x+22=3x+6，移项得：x+22-3x+2=0，∴x+2x-1=0，∴x+2=0或x-1=0，解得：x1=-2，x2=1．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程”是解本题的关键．【题型8用换元法解一元二次方程】1(23-24九年级下·浙江杭州·期中)已知a2+b2a2+b2+2-15=0，求a2+b2的值．【答案】3【分析】先用换元法令a2+b2=x(x>0)，再解关于x的一元二次方程即可．【详解】解：令a2+b2=x(x>0)，则原等式可化为：x(x+2)-15=0，解得：x1=3,x2=-5，∵x>0，∴x=3，即a2+b2=3．a2+b2的值为3．【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意a2+b2为非负数是本题的关键．2(23-24九年级下·安徽合肥·期中)关于x的方程x2+x2+2x2+2x-3=0，则x2+x的值是()A.-3B.1C.-3或1D.3或-1【答案】B【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键．设x2+x=t，则此方程可化为t2+2t-3=0，然后用因式分解法求解即可．【详解】解：设x2+x=t，则此方程可化为t2+2t-3=0，∴t-1t+3=0，∴t-1=0或t+3=0，解得t1=1，t2=-3，∴x2+x的值是1或-3．∵x2+x=-3，即x2+x+3=0，Δ=12-4×1×3=-11<0方程无解，故x2+x=-3舍去，∴x2+x的值是1，故选：B．3(23-24九年级上·广东江门·期中)若a+5ba+5b+6=7，则a+5b=．【答案】1或-7【分析】本题主要考查解一元二次方程，设a+5b=x，则原方程可变形为x x+6=7，方程变形后运用因式分解法求出x的值即可得到结论．【详解】解：设a+5b=x，则原方程可变形为x x+6=7，整理得，x2+6x-7=0，x-1x+7=0，x-1=0，x+7=0，∴x=1，x=-7，即a+5b=1或-7，故答案为：1或-7．4(23-24九年级上·山东临沂·期中)利用换元法解下列方程：(1)2x4-3x2-2=0；(2)(x2-x)2-5(x2-x)+4=0．【答案】(1)x1=2，x2=-2(2)x1=1+172，x2=1-172，x3=1+52，x4=1-52【分析】(1)根据换元思想，设y=x2，则y=2或y=-12，由此即可求解；(2)设y=x2-x，则y=4或y=1，由此即可求解．【详解】(1)解：(1)设y=x2，则原方程化为2y2-3y-2=0，∴y=2或y=-12，当y=2时，x2=2，∴x1=2，x2=-2，当y=-12时，x2=-12，此时方程无解，∴原方程的解是x1=2，x2=-2．(2)解：设y=x2-x，则原方程化为y2-5y+4=0，∴y=4或y=1，当y=4时，x2-x=4，∴x1=1+172，x2=1-172，当y=1时，x2-x=1，∴x3=1+52，x4=1-52．∴原方程的解是x1=1+172，x2=1-172，x3=1+52，x4=1-52．【点睛】本题主要考查换元思想解高次方程，掌握我一元二次方程的解法是解题的关键．【题型9解含绝对值的一元二次方程】1(23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习)阅读下面的材料，解答问题．材料：解含绝对值的方程：x2-3|x|-10=0．解：分两种情况：①当x≥0时，原方程化为x2-3x-10=0解得x1=5,x2=-2(舍去)；②当x<0时，原方程化为x2+3x-10=0，解得x3=-5,x4=2(舍去)．综上所述，原方程的解是x1=5,x2=-5．请参照上述方法解方程x2-|x+1|-1=0．【答案】x1=2,x2=-1【分析】根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解．【详解】解：分两种情况：①当x+1≥0，即x≥-1时，原方程化为x2-x+1-1=0，解得x1=2,x2=-1；②当x+1<0，即x<-1时，原方程化为x2+x+1-1=0，解得x3=0(舍去)，x4=-1(舍去)．综上所述，原方程的解是x1=2,x2=-1．【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键．2(23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中)解方程x2+2|x+2|-4=0．【答案】x1=0，x2=-2【分析】对x+2进行分类讨论，先把绝对值号化简后方程变形为一般的一元二次方程，再利用因式分解法解出方程的解，最后结合x的取值范围最终确定答案即可．【详解】解：①当x+2≥0，即x≥-2时，方程变形得：x2+2(x+2)-4=0∴x2+2x=0∴x(x+2)=0∴x1=0，x2=-2；②当x+2<0，即x<-2时，方程变形得：x2-2(x+2)-4=0∴x2-2x-8=0∴(x+2)(x-4)=0∴x1=-2(舍去)，x2=4(舍去)∴综上所述，原方程的解是x1=0或x2=-2．【点睛】本题考查了含绝对值的方程、一元二次方程的解法等知识，渗透了分类讨论的思想．3(23-24九年级下·安徽滁州·阶段练习)解方程x2-22x+3+9=0．【答案】x1=1,x2=3【分析】分x≥-32与x<-32，化简绝对值得到一元二次方程，解一元二次方程即可求解．【详解】当2x+1≥0，即x≥-32时，原方程可化为：x2-2(2x+3)+9=0整理得：x2-4x+3=0解得：x1=1,x2=3当2x+1<0，即x<-32时，原方程可化为：x2+2(2x+3)+9=0整理得x2+4x+15=0∵Δ=42-4×1×15=-44<0,∴此方程无实数解，综上所述，原方程的解为：x1=1,x2=3【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论化简绝对值是解题的关键．4(23-24九年级上·山西太原·阶段练习)解方程x2-|x-5|-2=0【答案】x1=-1+292，x2=-1-292【分析】根据题意分x-5≥0和x-5<0两种情况，分别解方程即可．【详解】解：①当x-5≥0时，即x≥5时，原方程化为x2-x+5-2=0，即x2-x+3=0，a=1,b=-1,c=3，∴Δ=b2-4ac=-12-4×1×3=-11<0，∴原方程无解，②当x-5<0时，即x<5时，原方程化为x2+x-5-2=0，即x2+x-7=0，a=1,b=1,c=-7，∴Δ=b2-4ac=12-4×1×-7=29>0x=-1±292×1解得：x1=-1+292，x2=-1-292．【点睛】此题考查了解含绝对值的一元二次方程，解题的关键是根据题意分两种情况讨论．【题型10配方法的应用】1(23-24九年级上·河北沧州·期中)【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例：求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4，∵y+22≥0，∴y+22+4≥4∴当y =-2时，y 2+4y +8的最小值是4．(1)【类比探究】求代数式x 2-6x +12的最小值；(2)【举一反三】若y =-x 2-2x 当x =________时，y 有最________值(填“大”或“小”)，这个值是________；(3)【灵活运用】已知x 2-4x +y 2+2y +5=0，则x +y =________；(4)【拓展应用】如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为15m )，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，栅栏的总长度为24m ．当BF 为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【答案】(1)3(2)-1；大；1(3)1(4)当BF =4m ，矩形养殖场的总面积最大，最大值为48m 2．【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键：(1)把原式利用配方法变形为x -3 2+3，再仿照题意求解即可；(2)把原式利用配方法变形为-x +1 2+1，再仿照题意求解即可；(3)把原式利用配方法变形为x -2 2+y +1 2=0，再利用非负数的性质求解即可；(4)设BF =xm ，则CF =2BF =2xm ，则BC =3xm ，进而求出AB =24-3x 3m ，则S 矩形ABCD =3x ⋅24-3x 3=-3x -4 2+48，据此可得答案．【详解】(1)解：x 2-6x +12=x 2-6x +9 +3=x -3 2+3，∵x -3 2≥0，∴x -3 2+3≥3，∴当x =3时，x 2-6x +12的最小值为3；(2)解：y =-x 2-2x=-x 2-2x -1+1=-x+12+1，∵x+12≥0，∴-x+12≤0，∴-x+12+1≤1，∴当x=-1时，y=-x2-2x有最大值，最大值为1，故答案为：-1；大；1；(3)解：∵x2-4x+y2+2y+5=0，∴x2-4x+4+y2+2y+1=0，∴x-22+y+12=0，∵x-22≥0，y+12≥0，∴x-22=y+12=0，∴x-2=0，y+1=0，∴x=2，y=-1，∴x+y=2-1=1；(4)解：设BF=xm，则CF=2BF=2xm，∴BC=3xm，∴AB=24-3x3m，∴S矩形ABCD =3x⋅24-3x3=-3x2+24x=-3x-42+48，∵x-42≥0，∴-3x-42≤0，∴-3x-42+48≤48，∵AD=BC=3x≤15，∴0<x≤5，∴当x=4时，S矩形ABCD最大，最大值为48，∴当BF=4m，矩形养殖场的总面积最大，最大值为48m2．2(2023·河北石家庄·一模)已知A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，下列结论正确的是()A.B-A的最大值是0B.B-A的最小值是-1C.当B=2A时，x为正数D.当B=2A时，x为负数【答案】B【分析】利用配方法表示出B-A，以及B=2A时，用含n的式子表示出x，确定x的符号，进行判断即可．【详解】解：∵A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，∴B-A=2x2+4x+n2-x2+6x+n2=2x2+4x+n2-x2-6x-n2=x2-2x=x-12-1；∴当x=1时，B-A有最小值-1；当B=2A时，即：2x2+4x+n2=2x2+6x+n2，∴2x2+4x+n2=2x2+12x+2n2，∴-8x=n2≥0，∴x≤0，即x是非正数；故选项A,C,D错误，选项B正确；故选B．【点睛】本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键．3(23-24九年级上·四川攀枝花·期中)已知三角形的三条边为a,b,c，且满足a2-10a+b2-16b+89= 0，则这个三角形的最大边c的取值范围是()A.c>8B.5<c<8C.8<c<13D.5<c<13【答案】C【分析】先利用配方法对含a的式子和含有b的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a和b的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．【详解】解：∵a2-10a+b2-16b+89=0，∴(a2-10a+25)+(b2-16b+64)=0，∴(a-5)2+(b-8)2=0，∵(a-5)2≥0，(b-8)2≥0，∴a-5=0，b-8=0，∴a=5，b=8．∵三角形的三条边为a，b，c，∴b-a<c<b+a，∴3<c<13．又∵这个三角形的最大边为c，∴8<c<13．故选：C．【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．4(23-24九年级下·浙江宁波·期中)我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用.例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+2x+3的最小值．解：x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2；∵无论x取何实数，都有(x+1)2≥0，∴(x+1)2+2≥2，即x2+2x+3的最小值为2．【尝试应用】(1)请直接写出2x2+4x+10的最小值______；【拓展应用】(2)试说明：无论x取何实数，二次根式x2+x+2都有意义；【创新应用】(3)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，若AC+BD=10，求四边形ABCD的面积最大值．【答案】(1)8；(2)见解析；(3)25 2【分析】(1)利用配方法把2x2+4x+10变形为2(x+1)2+8，然后根据非负数的性质可确定代数式的最小值；(2)利用配方法得到x2+x+2=x+122+74，则可判断x2+x+2>0，然后根据二次根式有意义的条件可判断无论x取何实数，二次根式x2+x+2都有意义；(3)利用三角形面积公式得到四边形ABCD的面积=12⋅AC⋅BD，由于BD=10-AC，则四边形ABCD的面积=12⋅AC⋅10-AC，利用配方法得到四边形ABCD的面积=-12(AC-5)2+252，然后根据非负数的性质解决问题．【详解】解：(1)2x2+4x+10=2x2+2x+10=2x2+2x+1-1+10=2(x+1)2+8，∵无论x取何实数，都有2(x+1)2≥0，∴(x+1)2+8≥8，即x2+2x+3的最小值为8；故答案为：8；(2)x2+x+2=x+122+74，∵x+122≥0，∴x2+x+2>0，∴无论x取何实数，二次根式x2+x+2都有意义；(3)∵AC⊥BD，。

专题2.4 用公式法求解一元二次方程-重难点题型【北师大版】【题型1 用公式法解一元二次方程】【例1】（2021春•淮北月考）用公式法解方程：x2﹣5x﹣1＝0．【分析】利用公式法求解即可．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，∴△＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29＞0，则x=−b±√b2−4ac2a=5±√292，即x1=5+√292，x2=5−√292．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．【变式1-1】（2020秋•朝阳区期中）用公式法解方程：3x2﹣x﹣1＝0．【分析】根据一元二次方程的公式法即可求出答案．【解答】解：由题意可知：a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1，∴△＝1﹣4×3×（﹣1）＝1+12＝13，∴x =−b±√△2a =1±√136， ∴x 1=1+√136，x 2=1−√136． 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 【变式1-2】（2020春•江干区期末）解下列一元二次方程：34x 2−2x −12=0（公式法）．【分析】整理后利用公式法求解可得． 【解答】解：整理，得：3x 2﹣8x ﹣2＝0， ∵a ＝3，b ＝﹣8，c ＝﹣2，∴△＝（﹣8）2﹣4×3×（﹣2）＝88＞0， 则x =8±2√226=4±√223，即x 1=4+√223，x 2=4−√223． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【变式1-3】（2020秋•达川区期末）解方程：3x 2﹣4√3x +2＝0（用公式法解）． 【分析】先求出b 2﹣4ac 的值，再代入公式求出即可． 【解答】解：3x 2﹣4√3x +2＝0， ∵a ＝3，b ＝﹣4√3，c ＝2，∴△＝b 2﹣4ac ＝（﹣4√3）2﹣4×3×2＝24， ∴x =4√3±√242×3=2√3±√63，则x 1=2√3+√63，x 2=2√3−√63． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．熟记公式x =−b±√b 2−4ac2a是解题的关键． 【题型2 求根公式的应用】【例2】（2020秋•和平区期中）若一元二次方程x 2+bx +4＝0的两个实数根中较小的一个根是m （m ≠0），则b +√b 2−16=（ ） A ．mB ．﹣mC ．2mD ．﹣2m【分析】根据公式得出−b−√b 2−162=m ，求出即可．【解答】解：∵x 2+bx +4＝0的两个实数根中较小的一个根是m ， ∴−b−√b 2−162=m ，解得：b +√b 2−16=−2m ， 故选：D ．【点评】本题考查了解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键．【变式2-1】（2020•福州模拟）关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的两根分别为x 1=−b+√b 2+42，x 2=−b−√b 2+42，下列判断一定正确的是（ ） A ．a ＝﹣1 B ．c ＝1 C ．ac ＝﹣1 D ．ca=−1【分析】根据一元二次方程的求根公式与根与系数的关系可得答案．【解答】解：根据一元二次方程的求根公式可得：x 1=−b+√b 2−4ac 2a ，x 2=−b−√b 2−4ac2a ，∵关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的两根分别为x 1=−b+√b 2+42，x 2=−b−√b 2+42， ∴x 1+x 2＝﹣b =−b a ，x 1•x 2=ca =−1， ∴当b ≠0时，a ＝1，c ＝﹣1，则ac ＝﹣1， 故选：D ．【点评】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，属于基础题目．【变式2-2】（2020秋•宜兴市校级月考）已知a 是一元二次方程x 2﹣4x +2＝0的两个实数根中较小的根， （1）求a 2﹣4a +2013的值； （2）化简求值：√a 2−2a+1a−1−1−2a+a 2a−1．【分析】（1）将a 代入方程确定出a 2﹣4a 的值，代入原式计算即可得到结果； （2）根据a 的范围化简原式即可得到结果．【解答】解：（1）将x ＝a 代入方程得：a 2﹣4a ＝﹣2， 则原式＝﹣2+2013＝2011； （2）方程解得：a =4−2√22=2−√2， ∴a ﹣1＜0，则原式=−a−1a−1−（a ﹣1）＝﹣1﹣a +1＝﹣a =√2−2．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键． 【变式2-3】先阅读下列材料，然后回答问题：在一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）中，若各项的系数之和为零，即a +b +c ＝0，则有一根为1，另一根为ca．证明：设方程的两根为x 1，x 2，由a +b +c ＝0， 知b ＝﹣（a +c ），∵x =−b±√b 2−4ac 2a =(a+c)±√(a+c)2−4ac 2a =(a+c)±(a−c)2a∴x 1＝1，x 2=ca ．（1）若一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的各项系数满足a ﹣b +c ＝0，则两根的情况怎样，试说明你的结论；（2）已知方程（ac ﹣bc ）x 2+（bc ﹣ab ）x +（ab ﹣ac ）＝0（abc ≠0）有两个相等的实数根，运用上述结论证明：2b =1a+1c．【分析】（1）由a ﹣b +c ＝0，可得出b ＝a +c ，结合给定材料可猜测方程的两根中有一根为﹣1，另一根为−ca．利用求根公式结合给定材料中的证明过程即可证明猜测成立；（2）将方程系数相加即可得知“ac ﹣bc +bc ﹣ab +ab ﹣ac ＝0”，满足给定材料的条件，由此得出方程的两根分别为1和ab−ac ac−bc，由题意可知ab−ac ac−bc=1，整理变形后即可得出结论．【解答】解：（1）有一根为﹣1，另一根为−c a． 证明：设方程的两根为x 1，x 2，由a ﹣b +c ＝0， 知b ＝a +c ，∵x =−b±√b 2−4ac 2a =−(a+c)±√[−(a+c)]2−4ac 2a =−(a+c)±(a−c)2a， ∴x 1＝﹣1，x 2=−ca ．（2）证明：∵ac ﹣bc +bc ﹣ab +ab ﹣ac ＝0，∴方程（ac ﹣bc ）x 2+（bc ﹣ab ）x +（ab ﹣ac ）＝0（abc ≠0）的两根分别为1和ab−ac ac−bc．∵方程（ac ﹣bc ）x 2+（bc ﹣ab ）x +（ab ﹣ac ）＝0（abc ≠0）有两个相等的实数根， ∴ab−ac ac−bc=1，即ab ﹣ac ＝ac ﹣bc ，∴ab +bc ＝2ac ． ∵abc ≠0， ∴1a +1c=2b．【点评】本题考查了根与系数的关系以及求根公式，解题的关键：（1）利用求根公式表示出x ；（2）将方程系数相加得出方程的两个分别为1和ab−ac ac−bc．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据求根公式表示出方程的解是关键．【题型3 应用根的判别式判断方程根的情况】【例3】（2021•河南模拟）下列关于x 的方程有两个不相等的实数根的是（ ） A ．x 2﹣2x +2＝0B ．x （x ﹣2）＝﹣1C ．（x ﹣k ）（x +k ）＝2x +1D ．x 2+1＝0【分析】利用根的判别式△＝b 2﹣4ac 逐一求出四个方程的△的值，取其为正值的选项即可得出结论． 【解答】解：A 、∵△＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0， ∴一元二次方程x 2﹣2x +2＝0没有实数根； B 、方程变形为x 2﹣2x +1＝0， ∵△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，∴一元二次方程x （x ﹣2）＝﹣1有两个相等的实数根； C 、方程变形为x 2﹣2x ﹣k 2﹣1＝0，∵△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k 2﹣1）＝8+4k 2＞0，∴一元二次方程（x ﹣k ）（x +k ）＝2x +1有两个不相等的实数根； D 、∵△＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0， ∴一元二次方程x 2+1＝0没有实数根． 故选：C ．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 【变式3-1】（2021•滨城区一模）关于x 的一元二次方程x 2+（﹣k +2）x ﹣4+k ＝0根的情况，下列说法正确的是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定【分析】根据根的判别式△＝（﹣k+2）2﹣4×1×（﹣4+k）＝＝k2﹣8k+20＝（k﹣4）2+4＞0即可作出判断．【解答】解：∵△＝（﹣k+2）2﹣4×1×（﹣4+k）＝k2﹣4k+4+16﹣4k＝k2﹣8k+20＝k2﹣8k+16+4＝（k﹣4）2+4＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．【变式3-2】（2021•凉山州）函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定【分析】先利用一次函数的性质得k＜0，b＜0，再计算判别式的值得到△＝b2﹣4（k﹣1），于是可判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：根据图象可得k＜0，b＜0，所以b2＞0，﹣4k＞0，因为△＝b2﹣4（k﹣1）＝b2﹣4k+4＞0，所以△＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数图象．【变式3-3】（2021春•鹿城区校级期中）已知a，b，c分别是△ABC的边长，则一元二次方程（a+b）x2+2cx+a+b ＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法判断【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．而△＝（2c）2﹣4（a+b）（a+b）＝4c2﹣4（a+b）2，根据三角形的三边关系即可判断．【解答】解：△＝（2c）2﹣4（a+b）（a+b）＝4c2﹣4（a+b）2＝4（c+a+b）（c﹣a﹣b）．∵a，b，c分别是三角形的三边，∴a+b＞c．∴c+a+b＞0，c﹣a﹣b＜0，∴△＜0，∴方程没有实数根．故选：A．【点评】本题主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对（2c）2﹣4（a+b）（a+b）进行因式分解．【题型4 已知方程根的情况求字母系数的值或范围】【例4】（2021•菏泽）关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞14且k≠1B．k≥14且k≠1C．k＞14D．k≥14【分析】分k﹣1＝0和k﹣1≠0两种情况，利用根的判别式求解可得．【解答】解：当k ﹣1≠0，即k ≠1时，此方程为一元二次方程． ∵关于x 的方程（k ﹣1）2x 2+（2k +1）x +1＝0有实数根， ∴△＝（2k +1）2﹣4×（k ﹣1）2×1＝12k ﹣3≥0， 解得k ≥14；当k ﹣1＝0，即k ＝1时，方程为3x +1＝0，显然有解； 综上，k 的取值范围是k ≥14， 故选：D ．【点评】本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义，一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与△＝b 2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根．【变式4-1】（2021•广安）关于x 的一元二次方程（a +2）x 2﹣3x +1＝0有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≤14且a ≠﹣2B ．a ≤14C ．a ＜14且a ≠﹣2D ．a ＜14【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a +2≠0且△≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程（a +2）x 2﹣3x +1＝0有实数根， ∴△≥0且a +2≠0，∴（﹣3）2﹣4（a +2）×1≥0且a +2≠0， 解得：a ≤14且a ≠﹣2， 故选：A ．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与△＝b 2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．【变式4-2】（2021春•台江区校级月考）若关于x 的方程x 2−√m x +n ＝0有两个相等的实根，则m n= ．【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根得出△＝0即可得到关于m 、n 的方程，进而即可求得m n的值．【解答】解：∵关于x 的方x 2−√m x +n ＝0有两个相等的实根， ∴△＝（−√m ）2﹣4n ∴m ＝4n ， ∴m n=4．故答案为：4．【点评】本题考查的是根的判别式，根据题意得出关于m 、n 的方程是解答此题的关键．【变式4-3】（2021•海门市模拟）关于x 的方程x 2+bx +c ＝0有两个相等的实数根，x 取m 和m +2时，代数式x 2+bx +c 的值都等于n ，则n ＝ ．【分析】根据题意得到△＝b 2﹣4c ＝0，求得c =b 24，把原方程可表示为x 2+bx +b24=0，根据x 取m 和m +2时，代数式x 2+bx +c 的值相等，得到m 2+bm +b 24=（m +2）2+b （m +2）+b24，解得b ＝﹣2m ﹣2，把x ＝m 代入x 2+bx +c ＝即可得到结论．【解答】解：∵方程x 2+bx +c ＝0有两个相等的实数根， ∴△＝b 2﹣4c ＝0，∴c =b 24，∴原方程可表示为：x 2+bx +b24=0，∵x 取m 和m +2时，代数式x 2+bx +c 的值相等，∴m 2+bm +b 24=（m +2）2+b （m +2）+b24，∴b ＝﹣2m ﹣2，∴x 2+bx +c ＝x 2+（﹣2m ﹣2）x +(2m+2)24， 当x ＝m 时，x 2+bx +c ＝m 2+（﹣2m ﹣2）m +(2m+2)24=m 2﹣2m 2﹣2m +m 2+2m +1＝1， 故答案为：1．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，代数式的求值，正确的理解题意是解题的关键． 【题型5 根的判别式的综合应用】【例5】（2021•海淀区二模）关于x 的一元二次方程x 2﹣mx +2m ﹣4＝0． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求m 的取值范围．【分析】（1）计算判别式的值，利用配方法得到△＝（m﹣4）2，根据非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义得到结论．（2）利用求根公式得到x1＝m﹣2，x2＝2．根据题意得到m﹣2＜1．即可求得m＜3．【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣m，c＝2m﹣4，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4（2m﹣4）＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2≥0，∴此方程总有两个实数根．（2）解：∵△＝（m﹣4）2≥0，∴x=−b±√b2−4ac2a=m±|m−4|2．∴x1＝m﹣2，x2＝2．∵此方程有一个根小于1．∴m﹣2＜1．∴m＜3．【点评】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．【变式5-1】（2021春•萧山区期中）已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0（1）求证：无论k取何值，方程都有实根；（2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值；（3）若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）．【分析】（1）根据一元二次方程的定义得k≠0，再计算判别式得到△＝（2k﹣3）2，然后根据非负数的性质即k的取值得到△≥0，则可根据判别式的意义得到结论；（2）把x＝﹣1代入方程求解即可；（3）求出方程的根，方程的两个实根均为正整数，求出k的值．【解答】（1）证明：当k≠0时，∵方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0，∴△＝（4k﹣3）2﹣4k（3k﹣3）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，∴△＝（2k﹣3）2≥0，当k ＝0时，3x ﹣3＝0，解得x ＝1．∴无论k 取何值，方程都有实根；（2）把x ＝﹣1代入方程得k +4k ﹣3+3k ﹣3＝0，解得k =34．故k 的值34；（3）解：kx 2﹣（4k ﹣3）x +3k ﹣3＝0，∴a ＝k ，b ＝﹣（4k ﹣3），c ＝3k ﹣3，∵运用公式法解方程可知道此方程的根为x =−b±√b 2−4ac 2a =(4k−3)±√(2k−3)22k ， ∴此方程的两个根分别为x 1＝1，x 2＝3−3k ，∵方程的两个实根均为正整数，∴k ＝﹣3，k ＝﹣1，k ＝3．【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，熟知一元二次方程的根与△的关系是解答此题的关键，此题难度不大．【变式5-2】（2021•广东模拟）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（k +2）x +2k ＝0．（1）若x ＝1是这个方程的一个根，求k 的值和它的另一根；（2）求证：无论k 取任何实数，方程总有实数根．（3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．【分析】（1）把x ＝1代入已知方程，列出关于k 的新方程，通过解新方程来求k 的值；然后根据根与系数的关系来求方程的另一根；（2）根据根的判别式的符号进行论证；（3）通过解方程求得该三角形的另两边的长度，然后由三角形的三边关系和三角形的周长公式进行解答．【解答】解：（1）把x ＝1代入x 2﹣（k +2）x +2k ＝0，得1﹣k ﹣2+2k ＝0，解得k ＝1．设方程的另一根为t ，则t＝2k＝2．即k的值为1，方程的另一根为2；（2）∵△＝（k﹣2）2≥0，∴对于任意实数k，原方程一定有实数根；（3）由x2﹣（k+2）x+2k＝0得：（x﹣2）（x﹣k）＝0此方程的两根为x1＝k，x2＝2若x1≠x2，则x1＝5，此等腰三角形的三边分别为5，5，2，周长为12．若x1＝x2＝2，等腰三角形的三边分别为2，2，5，不存在此三角形，所以，这个等腰三角形的周长为12．【点评】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程总有实数根应根据判别式来做，等腰三角形的周长应注意两种情况，以及两种情况的取舍．【变式5-3】（2020秋•安居区期末）已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根．（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出：△＝（m+3）2﹣4（4m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，由此即可证得结论；（2）由等腰三角形的性质可知b＝c或b、c中有一个为5，①当b＝c时，根据根的判别式△＝0，解之求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系即可得出该种情况不合适；②当方程的一根为5时，将x＝5代入原方程求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系确定△ABC的三条边，结合三角形的周长即可得出结论．【解答】（1）证明：△＝（m+3）2﹣4（4m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，∴无论m取何值，这个方程总有实数根；（2）∵△ABC为等腰三角形，∴b＝c或b、c中有一个为5．①当b＝c时，△＝（m﹣5）2＝0，解得：m＝5，∴原方程为x2﹣8x+16＝0，解得：b＝c＝4，∵b+c＝4+4＝8＞5，∴4、4、5能构成三角形．该三角形的周长为4+4+5＝13．②当b或c中的一个为5时，将x＝5代入原方程，得：25﹣5m﹣15+4m﹣4＝0，解得：m＝6，∴原方程为x2﹣9x+20＝0，解得：x1＝4，x2＝5．∵4、5、5能组成三角形，∴该三角形的周长为4+5+5＝14．综上所述，该三角形的周长是13或14．【点评】本题考查了根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）题需要分类讨论，以防漏解．【题型6 根的判别式中新定义问题】【例6】（2021•郑州模拟）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝a2+b2﹣2ab﹣2，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5*6＝52+62﹣2×5×6﹣2＝﹣1．若方程x*k＝xk（k为实数）是关于x的方程，则方程的根的情况为（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【分析】利用新运算把方程x*k＝xk（k为实数）化为x2+k2﹣2xk﹣2＝xk，整理得到x2﹣3kx+k2﹣2＝0，再计算判别式的值得到△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵x*k＝x2+k2﹣2xk﹣2，∴关于x的方程x*k＝xk（k为实数）化为x2+k2﹣2xk﹣2＝xk，整理为x2﹣3kx+k2﹣2＝0，∵△＝（﹣3k）2﹣4（k2﹣2）＝k2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．【变式6-1】（2020春•瑶海区期末）对于实数a、b，定义运算“★”：a★b={a2−b(a≤b)b2−a(a＞b)，关于x的方程（2x+1）★（2x﹣3）＝t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（）A．t＜154B．t＞154C．t＜−174D．t＞−174【分析】分两种情况：①当2x+1≤2x﹣3成立时；②当2x+1＞2x﹣3成立时；进行讨论即可求解．【解答】解：①当2x+1≤2x﹣3成立时，即1≤﹣3，矛盾；所以a≤b时不成立；②当2x+1＞2x﹣3成立时，即1＞﹣3，所以a＞b时成立；则（2x﹣3）2﹣（2x+1）＝t，化简得：4x2﹣14x+8﹣t＝0，该一元二次方程有两个不相等的实数根，△＝142﹣4×4×（8﹣t）＞0；解得：t＞−17 4．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．同时考查了新定义的运算．【变式6-2】（2021春•瑶海区期中）对于实数m、n，定义一种运算：m△n＝mn+n．（1）求﹣2△√32得值；（2）如果关于x的方程x△（a△x）=−14有两个相等的实数根，求实数a的值．【分析】（1）利用新定义得到﹣2△√32=−2×√32+√32，然后进行二次根式的混合运算；（2）先利用新定义把方程化为（a+1）x2+（a+1）x+14=0，再根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a+1≠0且△＝（a+1）2﹣4（a+1）×14=0，然后解不等式和方程可得到a的值．【解答】解：（1）﹣2△√32=−2×√32+√32=−2×4√2+4√2=−4√2；（2）∵a△x＝ax+x，∴x△（a△x）＝x（ax+x）+ax+x，∴关于x的方程x△（a△x）=−14化为x（ax+x）+ax+x=−14，整理得（a+1）x2+（a+1）x+14=0，∵方程有两个相等的实数根，∴a+1≠0且△＝（a+1）2﹣4（a+1）×14=0，解得a＝0，即a的值为0．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．【变式6-3】（2020春•丽水期中）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是全等的Rt△ABC和Rt△BED的边长，易知AE=√2c，这时我们把关于x的形如ax2+√2cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b＝0必有实数根；（2）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC的面积．【分析】（1）只要证明△≥0即可解决问题．（2）当x＝﹣1时，有a−√2c+b＝0，即a+b=√2c，由2a+2b+√2c＝12，即2（a+b）+√2c＝12，推出c＝2√2，推出a2+b2＝c2＝4，a+b＝4，由（a+b）2＝a2+2ab+b2，可得ab＝4，由此即可解决问题．【解答】（1）证明：△=(√2c)2−4ab=2c2−4ab，∵a2+b2＝c2，∴2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0，∴关于x的“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0必有实数根；（2）解：当x＝﹣1时，有a−√2c+b=0，即a+b=√2c，∵四边形ACDE的周长是12，∴2a+2b+√2c=12，即2(a+b)+√2c=12，∴c=2√2，∴a2+b2＝c2＝8，又∵a+b＝4，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2，即16＝8+2ab，∴ab＝4，∴S△ABC=12ab=2．【点评】本题考查勾股定理的应用、一元二次方程的根的判别式、完全平方公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．。

一元二次方程解法————公式法1．解下列方程：（1）x2+2x﹣5＝0（2）（x﹣2）2+x（x﹣2）＝02．解方程（1）2y2+6y+5＝0；（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．3．解方程：（1）3x2﹣6x＝2；（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．4．解方程：（1）x2﹣4x+2＝0；（2）（x﹣1）（x+2）＝4．5．解方程．（1）2x2﹣6x﹣1＝0；（2）2y（y+2）﹣y＝2．6．解方程：（1）2x2+3x﹣4＝0．（2）（x+3）（x﹣1）＝5．7．解下列方程（1）x2﹣3x﹣2＝0；（2）8﹣（x﹣1）（x+2）＝4．8．用适当方法解方程（1）x2﹣3x﹣9＝0；（2）﹣x2﹣x+2＝﹣x+1．参考答案与试题解析一．解答题（共8小题）1．解下列方程：（1）x2+2x﹣5＝0（2）（x﹣2）2+x（x﹣2）＝0【分析】（1）根据配方法即可求出答案；（2）根据因式分解法即可求出答案．【解答】解：（1）∵x2+2x﹣5＝0，∴x2+2x＝5，∴x2+2x+1＝6，∴（x+1）2＝6，∴x＝﹣1±，∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣（2）∵（x﹣2）2+x（x﹣2）＝0，∴（x﹣2）（x﹣2+x）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣2+x＝0，∴x1＝2，x2＝1．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．2．解方程（1）2y2+6y+5＝0；（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．【分析】（1）利用公式法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵a＝2，b＝6，c＝5，∴Δ＝62﹣4×2×5＝﹣4＜0，∴此方程无实数根；（2）∵x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，∴（2x﹣5）（x﹣2）＝0，则2x﹣5＝0或x﹣2＝0，解得x1＝2.5，x2＝2．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．3．解方程：（1）3x2﹣6x＝2；（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．【分析】（1）根据公式法即可求出答案（2）根据因式分解法即可求出答案；【解答】解：（1）∵3x2﹣6x＝2，∴a＝3，b＝﹣6，c＝﹣2，∴△＝36+24＝60＞0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝（2）∵x（2x﹣5）＝4x﹣10，∴x（2x﹣5）＝2（2x﹣5），∴（x﹣2）（2x﹣5）＝0，∴x﹣2＝0或2x﹣5＝0，∴x1＝2，x2＝．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．4．解方程：（1）x2﹣4x+2＝0；（2）（x﹣1）（x+2）＝4．【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：（1）∵x2﹣4x+2＝0，∴x2﹣4x+4＝2，∴（x﹣2）2＝2，∴x﹣2＝±，∴；（2）∵（x﹣1）（x+2）＝4，∴x2+x﹣6＝0，∴（x+3）（x﹣2）＝0，∴x+3＝0或x﹣2＝0，∴x1＝﹣3，x2＝2．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．5．解方程．（1）2x2﹣6x﹣1＝0；（2）2y（y+2）﹣y＝2．【分析】（1）根据配方法即可求出答案；（2）根据因式分解法即可求出答案；【解答】解：（1）∵2x2﹣6x﹣1＝0，∴x2﹣3x＝，∴（x﹣）2＝，∴x＝；（2）∵2y（y+2）﹣y＝2，∴2y（y+2）﹣y﹣2＝0，∴（y+2）（2y﹣1）＝0，∴y+2＝0或2y﹣1＝0，∴y＝﹣2或y＝；【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．6．解方程：（1）2x2+3x﹣4＝0．（2）（x+3）（x﹣1）＝5．【分析】（1）确定a，b，c的值，然后代入求根公式计算即可；（2）先将方程整理成一般形式，然后用因式分解法解答即可．【解答】解：（1）2x2+3x﹣4＝0，a＝2，b＝3，c＝﹣4，Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4×2×（﹣4）＝41，x＝＝，∴x1＝，x；（2）（x+3）（x﹣1）＝5，整理得，x2+2x﹣8＝0，因式分解得，（x+4）（x﹣2）＝0，∴x1＝﹣4，x2＝2．【点评】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的各种解法．7．解下列方程（1）x2﹣3x﹣2＝0；（2）8﹣（x﹣1）（x+2）＝4．【分析】（1）先计算判别式的值，然后利用求根公式计算出方程的根；（2）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝；（2）原方程化为x2+x﹣6＝0，∵（x+3）（x﹣2）＝0，∴x+3＝0或x﹣2＝0，∴x1＝﹣3，x2＝2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．8．用适当方法解方程（1）x2﹣3x﹣9＝0；（2）﹣x2﹣x+2＝﹣x+1．【分析】（1）先确定a，b，c的值，然后利用公式法解答即可；（2）先化简方程，然后确定【解答】解：（1）x2﹣3x﹣9＝0，a＝1，b＝﹣3，c＝﹣9，Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4×1×（﹣9）＝45，x＝＝，x1＝，x2＝；（2）﹣x2﹣x+2＝﹣x+1，整理得，2x2+x﹣3＝0，a＝2，b＝1，c＝﹣3，Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4×2×（﹣3）＝25，x＝＝＝，。