初三数学优质课时训练、专题汇编（附详解）
图形的位似--知识讲解
【学习目标】
1、了解位似多边形的概念，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；
2、能在同一坐标系中，感受图形放缩前后点的坐标的变化.
【要点梳理】
要点一、位似多边形
1.位似多边形定义:
如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.
要点诠释：
位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.
2.位似图形的性质:
（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心； 初三数学优质课时训练、专题汇编（附详解）
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
3. 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．
4. 作位似图形的步骤
第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；
第二步：作位似中心与各关键点连线；
第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；
第四步：顺次连接各对应点.
要点诠释：
位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.
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要点二、坐标系中的位似图形
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.
要点诠释：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k或-k.
图形的相似与位似
一、知识网络：
二、考点链接：
考点一 比例及比例线段
图形的相似与位似 相似多边形 判定
性质
判定 相似三角形
位似图形 概念
坐标变换
1．对于四条线段a，b，c，d，如果ab＝ cd ，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
2．表示两个比相等的式子叫做比例式，简称比例．
3．连比：连在一起的三个数的比，叫做连比． 性质
4．比例的基本性质：如果ab＝cd，那么 ad＝bc，反之也成立．其中a与d叫做比例外项，b与c叫做
比例内项．特殊地，ab＝bc⇔b2＝ac.
5．比例的合比性质
如果ab＝cd，那么a±bb＝c±dd.
3．平行于三角形一边截
其他两边(或两边的延长
线)所得的对应线段成比例． 6．比例的等比性质
如果ab＝cd＝„＝mn，且b＋d＋„＋n≠0，那a＋c＋„＋mb＋d＋„＋n＝ab.
考点二 平行线分线段成比例定理
1．定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等．
2．几何语言叙述：如图，当l3∥l4∥l5时，有ABBC＝DEEF，ABAC＝DEDF，BCAC＝EFDF等．
考点三 相似三角形的判定及性质
1.相似三角形的判定方法：
① 两角对应相等的两三角形相似.
② 三边对应成比例的两三角形相似
③ 两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似.
2.相似三角形及性质：
（1） 定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫相似比.相似三角形的形状相同，大小不一定相同.全等三角形是相似比为1的相似三角形.
（2） 性质：①相似三角形的对应角相等，对应边成比例；②相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
考点四 相似多边形的判定及性质
1．定义：各角对应相等，各边对应 成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形的对应边的比称为 相似比.
一、选择题
1. （2011广东东莞）将左下图中的箭头缩小到原来的12，得到的图形是（ ）
2. （2011浙江省）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（ ）
A. 2：5 B.14:25 C.16:25 D. 4:21
第2题 第4题
第6题
3. （2011浙江台州）若两个相似三角形的面积之比为1:4，则它们的周长之比为（ ）
A. 1:2 B. 1:4 C. 1:5 D. 1:16
4. （2011浙江省嘉兴，7，4分）如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为（ ）
（A）32 （B）33 （C）34 （D）36
5. （2011甘肃兰州）现给出下列四个命题：①无公共点的两圆必外离；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面积等于两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形。其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2011山东聊城）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的14，那么点B′的坐标是（ ）
A．（3，2） B.（－2，－3）C．（2，3）或（－2，－3） D．（3，2）或（－3，－2）
7. （2011四川广安）下列命题中，正确的是（ ）
A．过一点作已知直线的平行线有一条且只有一条 B．对角线相等的四边形是矩形
C．两条边及一个角对应相等的两个三角形全等 D．位似图形一定是相似图形
图形的相似与位似
一、基本知识
1.对应角 、对应边的比 的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做 .
2.判定两个三角形相似的方法
（1）定义：对应角 ，对应边的比 ，的两个三角形相似.
（2）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.
（3）两角对应 ，的两个三角形相似.
（4）两组对应边的比 ，且相应的夹角 的两个三角形相似.
（5）三组对应边 的两个三角形相似.
二、相似三角形的性质
1.相似三角形的对应角 ，对应边的比 ；
2.相似三角形对应中线、角平分线、高的比等于 .
3.相似三角形周长的比等于 ；
4. 相似三角形面积的比等于 ；
三、位似图形
1.如果两个图形不仅是 图形，而且 的连线相交于一点，对应边互相 ，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 .
2.位似图形各对对应点到位似中心的距离的比等于 .
3.将一个图形放大或缩小的步骤：（1）确定位似 ；（2）确定原图形的 ；（3）确定 比；（4）作出新图形的对应 ；（5）根据 画出图形.
13. （2011广东肇庆，25，10分）已知抛物线2243mmxxy（m0）与x轴交于A、B两点．
（1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧；
（2）若3211OAOB（O是坐标原点），求抛物线的解析式；
（3）设抛物线与y轴交于点C，若ABC是直角三角形，求ABC的面积．
