第39卷第1期辽宁工业大学学报(自然科学版)V ol.39, No.1 2019年2月Journal of Liaoning University of Technology(Natural Science Edition)Feb. 2019
收稿日期：2018-10-12
基金项目：机械结构力学及控制国家重点实验室开放基金(MCMS-0217G02) 作者简介：王伟涛(1994-)，男，浙江台州人，硕士生。
卿 海(1979-)，男，江苏南京人，教授，博士。
优先出版地址：/kcms/detail/21.1567.T.20181212.1551.004.html DOI:10.15916/j.issn1674-3261.2019.01.015
基于偶应力理论和表面弹性理论的梁理论
王伟涛，卿 海
（南京航空航天大学，机械结构力学及控制国家重点实验室，江苏南京210016）
摘 要：随着微结构的特征尺寸减小力学性能将会随着尺寸的改变而改变。
使用修正后的偶应力理论以及表面弹性理论提出了一种新的正弦剪切变形梁模型。
控制方程、初始条件以及边界条件可以通过汉密尔顿准则推导得到。
首先用Navier方法求出两端简支微梁在静力弯曲下的解析解。
然后用微分求积法求出两端简支微梁在静力弯曲下的数值解。
将两者相比较以验证微分求积法的准确性。
再用微分求积法来研究不同边界条件对尺度效应的影响。
结果表明微尺度梁表现出与宏观梁完全相反的材料特性，具有尺度效应。
梁的尺寸大小以及表面层的厚度决定了尺度效应的程度。
关键词：表面能；汉密尔顿准则；修正后偶应力理论；微分求积法
中图分类号：O343 文献标识码：A文章编号：1674-3261(2019)01-0063-05
Modified Beam Theory Based on Couple Stress
and Surface Elasticity Theories
W ANG Wei-tao, QING Hai
（Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, State Key Laboratory of Mechanical Structure Mechanics and Control, Nanjing 210026, China）Abstract:As the feature size of the microstructure decreases, the mechanical properties will change as the size changes. In this paper, a new sinusoidal beam model incorporating both microstructure theory and the surface energy effects is developed by using a modified couple stress theory and the surface elasticity theory. Governing equations, initial conditions and boundary conditions are derived by using Hamilton’s principle. The static bending problem of a simply supported micro scale beam is solved by analytical solution called Navier solution. The differential quadrature element method is used to numerically solve the static bending problems of a simply supported micro scale beam. Then the results of Navier method are compared with differential quadrature element method to verify the validity of differential quadrature element method. The differential element quadrature element method is used to numerically solve the static bending problems of a micro scale beam in different boundary conditions.The results show that the micro-scale beam exhibits completely opposite material properties to the macro-beam and has a scale effect.The size of the beam and the thickness of the surface layer determine how the scale effect behaves.
Key words:surface energy; Hamilton’s principle; modified couple stress theory; differential quadrature element method
小型结构单元比如梁，板和壳通常用作微米和纳米尺寸机电系统（MEMS和NEMS），传感器，执行器和原子力显微镜的组件。
实验表明这种微尺度结构在力学行为上存在尺度效应。
由于对微尺度
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结构进行实验研究性能比较困难，通常用数值计算方法或者解析方法进行对微尺度效应的研究。
因此，高阶连续介质力学方法被广泛应用于微尺度结构建模。
高阶连续理论的发展可以的追溯到19世纪Piola [1-2]最早的作品和Cosserat 在1909年的工作。
然而，直到20世纪60年代，Cosserat 兄弟的想法已经受到研究人员的广泛关注，并且发展出了许多高阶连续理论。
一般来说，这些理论可以分为三种不同理论即应变梯度理论[3-4]，偶应力理论[5-6]和非局部弹性理论[7-8]。
使用修正后的偶应力理论，Park 和Gao [9]利用最小势能原理下的变分原理研究了欧拉-伯努利悬臂梁的静态弯曲。
Kong 等人[10]应用了修正后的偶应力理论和汉密尔顿准则推导出了两端简支以及悬臂的欧拉-伯努利梁在自由振动下的控制方程、边界条件以及初始条件。
基于应变梯度理论以及变分原理，Kahrobaiyan [11]等人基于尺度效应提出了功能梯度欧拉-伯努利梁模型。
通过修正后的应变梯度弹性理论，Liang 等人[12]基于汉密尔顿准则推导出了欧拉-伯努利梁的欧拉-拉格朗日方程以及相应的边界条件。
Nguyen [13]等人提出了用非局部欧拉伯努利梁模型求解不同边界下的功能梯度梁的静弯曲分析的解析解。
表面能效应在研究微尺度效应上也十分重要。
Gurtin 和 Murdoch [14-15]首先提出了用基于薄膜理论的表面能效应研究界面的数学框架。
存在表面应力的界面被用薄膜来模拟，这种薄层只能承受面内应力，而没有弯曲刚度。
在过去的10年里，这个理论已经受到重大的关注，并已针对纳米固体或结构做了许多研究。
本文使用修正后的偶应力理论以及表面弹性理论提出了一种新的正弦剪切变形梁模型。
这种梁模型可以描述微尺度效应以及表面能效应。
控制方程、初始条件以及边界条件可以通过汉密尔顿准则推导得到。
首先用Navier 方法求出两端简支微梁在静力弯曲下的解析解。
然后用基于赫米特插值法的微分求积法求出两端简支微梁在静力弯曲下的数值解。
将两者相比较以验证微分求积法的准确性。
再用微分求积法来研究不同边界条件对尺度效应的影响。
1 公式推导
在修正后偶应力理论中，材料的应变能密度不仅与应变张量ij ε相关，还和对称旋转梯度张量ij χ有关。
对称旋转梯度张量ij χ定义为
,,1()2
ij i j j i χθθ=
+ (1)
其中，i θ为旋转张量，并且定义为
,1
2
i ijk k j e u θ= (2)
基于修正后偶应力理论，本构关系可以表示为
222ij kk ij ij
ij ij m l σλεδμεμχ=+= (3)
其中，ij σ为应力张量，ij m 为高阶应力张量。
λ为体积模量，μ为剪切模量，l 为材料内禀特征尺度常数。
基于Gurtin-Murdoch 的表面弹性理论，表面层的本构关系可以表示为：
,,,,33,[()]()()s s s s s
s s s s s u u u u n u αβγγαββααβαβαα
τττλδμττττ=+++
-++= (4)
其中，s λ为表面体积模量，s μ为表面剪切模量，s τ为表面残余应力，根据Wang 和Feng [16]的假设以及杨-拉普拉斯方程，可以得到梁内部和表面之间的应力变化关系：
33333
330s
s s s n u αασττστ''-=-= (5)
根据正弦剪切变形理论的基本假设，图1中梁的位移场可以表示为如下形式：
0s 123π()-z+cos(π()0
()()ha z u x,t w h u x,t u x,t w x,t ⎧⎡⎤'=⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪
=⎨⎪=⎪⎪⎩
τμ (6)
图1 微梁模型
在该正弦剪切变形梁模型中，梁表面膜的厚度为s h ，并且令01/s a h =。
可以计算得出非零应变分量为：
0s 110s 13π-z+cos(πsin()ha z w h a z w h τεμπτγμ⎧⎡⎤''=⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎨
⎪'=⎪⎩ (7) 根据式(3)，梁内的应力张量可以表示为
s 0s 111313s 0πsin()π(2)z +cos()π(1)πsin()z w ha z h w h z
a w h νττσλμμνσμγτ⎧
''⎪⎡⎤''=-++⎪⎢⎥-⎣⎦⎨
⎪'
⎪==⎩
(8)
非零旋转梯度张量可以由式(1)计算得到
第1期 王伟涛等：基于偶应力理论和表面弹性理论的梁理论 65
0212,10
322,3sin(πz/h)1
1()242
πcos(πz/h)124s s a w a w h ''
==-'
==τχμτχθμ
(9)
同理，非零高阶应力张量可以通过计算得到
20212
032sin(π/)()2
πcos(π/)2s
s z h a m l w z h a m l w h
''
=-'
=τμτ (10)
非零表面应力张量可以表示为
11112
2
s s s s s s h w E E h w στστ+
-⎧''=-⎪⎪⎨
⎪''
=+⎪⎩ (11) 其中，2s s s E λμ=+。
基于Gurtin-Murdoch 的表面弹性理论和修正后偶应力理论下梁弹性势能可以表示为
33,11d d d 22s s s s
ij ij ij ij v v v
U v m v u s ∂=+++⎰⎰⎰αβαβαασεχτετ(12)
将式(7)~(11)代入式(12)可以得到
22120
()()d 2L
b U
c w c w x '''=+⎰ (13)
其中，1c 和2c 如下所示
22222
104h π48s s l c a h
+=+ττμ (14)
222222
2
2
2
2
2022
2h (12(2))12(1)π(π4(2))82
s
s
s h l h c a l h h E h ++=-+
-+++υτμλμυμλμτπμ (15)
梁应变能的一阶变分可以表示为
()()(4)21012200
d L L L c w c w w x U b c w c w w c w w δδδδ⎛⎫
''-+ ⎪= ⎪ ⎪
'''''''-+⎝⎭⎰ (16) 外力功的一阶变分为
()d L
W bq x w x δδ=⎰ (17)
根据汉密尔顿准则，
()0U W δ-= (18) 将式(16)、(17)代入式(18)可得到控制方程为
(4)21()=0c w c w q x ⎡⎤⎣⎦''-- (19) 边界条件为
12020()=0
=0
L
L
c w c w w c w w ''''-'''δδ (20)
接着求解简支梁静力弯曲下的解析解。
应用
Navier 求解方法，将挠度()w x 展开为如下傅里叶级数形式:
1π()sin
n n n x
w x A L
∞
==∑ (21) 将式(21)代入控制方程(19)可得，
2
11
4
21ππ(sin ππsin ()
n n n n n n x c A L L n n x c A q x L L ∞
=∞
=⎛⎫
+
⎪⎝⎭⎛⎫
= ⎪⎝
⎭∑∑ (22)
同理，将均布力()q x 展开为傅里叶级数形式，
1π()sin
n n n x
q x B L
∞
==∑ (23) 由式(22)和(23)可得，当0()q x q =时，
024
1,3,5...
124ππ
sin
ππn q n x
n w L
n n c c L L ∞
==
⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎢⎥
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣
⎦∑
(24) 式(24)即为简支梁在均布力作用下静力弯曲的解析解。
3 基于赫米特差值的微分求积法
微分求积法的本质是将函数()f x 在给定离散点处的x 的导数近似为所有离散点处的函数值的加权之后的线性和。
为了说明微分求积法，考虑一个欧拉梁单元。
假设梁上有N 个节点，梁的长度为L 。
()w x 为在
0x L ≤≤上关于x 连续可导的函数。
i x (1,2,....i N =)是梁上的N 个离散节点，并且包含梁的两个端点。
知道()w x 赫米特插值表示为
111()()()()()()()N
j j N N j w x x w x x w x x w x ϕφφ==++''∑
(25)
其中，()j x ϕ和()j x φ为（N+1）阶多项式
11
()()()
()j N j j j j N j x x x x l x x x x φ-+-+--=
- (1,j N =) (26)
11111()(){1
()(())()} (1,)()()()
(2,3, (1)
()()j N j j N j j j j j j N j j N j j N x x
l x x x x l x x j N x x x x x x l x j N x x x x ϕφ-+-+-+⎧⎪⎪⎪
⎪⎨⎪
⎪⎪⎪⎩
---'=+=---=--- (27)
其中，
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1
()j k
j k N
x x x x k k j
l x --=≠=
∏ (28)
N 个离散点按一下规律选取
()
(1)πcos
1j j x N -=-- (29)
4 算例与分析
通过使用基于赫米特插值的微分求积法，来求解不同边界条件下梁的静态弯曲问题。
取矩形截面梁的材料为金属铝，材料属性如下：在梁内部E =90 GPa, v =0.23在梁的上下表层τs =0.5689 N/m, μs =-5.4251 N/m ，a 0=1/(10-9 m)，λs =3.4939 N/m 。
材料内禀特征尺度参数l =6.58 μm 。
梁的尺寸如下：梁的厚度h =0.1μm ，宽度b =2h ，长度L =20h 。
梁受到均布载荷为q =1.0×106 N/m 2。
4.1 两端简支
图2表示分别通过微分求积法和Navier 方法求出的两端简支梁在静力弯曲下的挠度曲线图。
这里的横坐标x /L 表示微梁x 方向的坐标值与微梁长度L 之比，纵坐标表示微梁挠度值与解析解所求得的最大挠度值之比。
两条曲线基本重合，由此可以验证微分求积法的正确性。
图2 数值解与解析解对比图
表1是均布载荷作用下简支梁最大归一化挠度的统计表。
表中分别列出了简支梁在只考虑表面能效应和只考虑偶应力理论时的最大归一化挠度。
表1 在均布载荷作用下简支梁最大归一化挠度表
Thickness a 0
1 10
9
10
10
1012 MD 10 nm 49.4% 48.9% 24.2% 0.0047% `0.000055% 100 nm 90.7% 89.0% 31.3% 0.0047% 0.0055% 1 um 99.0% 97.0% 32.2% 0.0047% 0.55% 2l 99.9% 97.9% 32.3% 0.0047% 48.7% 5 l 100% 97.9% 32.3% 0.0047% 85.6% 10 l
100%
97.9%
32.3%
0.0047%
96.0%
从表中可以得出，在只考虑偶应力理论时，当
梁的厚度为10 nm 、100 nm 、1 μm 时，偶应力理论下的简支梁最大归一化挠度远小于欧拉-伯努利梁理论的最大归一化挠度，分别只有0.000055%、0.0055%、0.55%。
而当梁厚度为材料内禀特征尺度常数的2、5、10倍时，偶应力理论下的简支梁最大归一化挠度有显著的增大。
并且随着梁厚度的增加，最大归一化挠度也增加。
在只考虑表面能效应时，对比a 0=109/m 和a 0=1/m 可以得出在a 0≤109/m 时，a 0的大小对梁最大归一化挠度的影响不大。
当a 0≥109/m 时，随着a 0的增大，最大归一化挠度有显著的减小。
并且随着梁厚度的增加，最大归一化挠度也增加。
图3是梁厚度为材料内禀特征尺度常数的2、5、10倍时，只考虑偶应力理论下的简支梁最大归一化挠度曲线。
图4是厚度为10l 时，不同a 0下的最大归一化挠度曲线。
图3 两端简支不同厚度微梁在相同均布载荷下
的归一化挠度曲线
图4 表面效应对两端简支微梁弯曲挠度曲线的影响
4.2 一端固支，一端自由
画出在只考虑表面能效应、只考虑偶应力理论、经典梁理论下悬臂梁的归一化挠度曲线，如图5所示。
其中a 0=109/m ，h =100 nm 。
SE 表示只考虑表面能效应的悬臂梁的归一化挠度曲线，MD 表示只考虑偶应力理论的悬臂梁的归一化挠度曲线，EB Model 表示只考虑经典梁理论下悬臂梁的归一化挠度曲线。
可以发现在偶应力对梁的挠度影响远大于
第1期 王伟涛等：基于偶应力理论和表面弹性理论的梁理论 67
表面能效应对梁挠度的影响。
图5 悬臂微梁在均布载荷下的挠度曲线
5 结论
在本文中，使用修正后的偶应力理论以及表面弹性理论提出了一种新的正弦剪切变形梁模型。
利用汉密尔顿准则推导得到微梁的控制方程和边界条件，使用带有赫米特插值的微分求积法，求解出不同边界条件下微梁的挠度。
以下是本文的结论。
(1)通过分析不同厚度微梁的挠度，得到微梁的弯曲刚度随着厚度的减小而增加的结论；(2)随着表面能效应系数a 0的增大，微梁的弯曲刚度减小；(3)在厚度远小于材料内禀特征尺度常数时偶应力理论对梁的刚度有显著影响，远大于表面能效应对梁刚度的影响；(4)当表面能效应系数a 0足够大时，表面能效应可以对梁的刚度产生和偶应力理论相似的影响。
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责任编校：刘亚兵。
