在裂纹尖端引入奇异单元的偶应力有限元法

应用三维有限单元法计算应力强度因子应用三维有限单元法计算应力强度因子摘要描述了两种基于有限单元计算面形裂纹应力强度因子的方法，建议了一种创造三维有限单元网格的途径。

计算方法的精度通过和其它解析解或数值解的比较得到了说明。

关键词应力强度因子有限元损伤容限设计断裂评定无论在损伤容限设计还是在缺陷评定阶段，工程师们需要知道正在分析的构件中裂纹的应力强度因子，因为判断含裂纹构件的断裂，或者计算剩余疲劳寿命大多依赖于这一参量。

因此，在断裂力学发展中，如何求取应力强度因子一直是一个重要的课题。

当前已有许多方法可用来计算应力强度因子，较为典型的有解析法、边界配位法、有限单元法、边界元素法、体力法、权函数法和线弹簧模型。

利用这些方法，大量的应力强度因子解已经获得，已出版的应力强度手册［1］中收编了许多典型的解。

尽管如此，工程师们仍然会感到自己所需要的应力强度因子解很难找到，这是因为要解决的工程问题往往是一些受复杂载荷的构件，包含的裂纹也往往是一些不规则裂纹。

本文简单介绍了两种基于三维有限单元法计算面形裂纹应力强度因子的方法。

有限单元法已经成为工程设计分析领域中一个强有力的计算工具，它能模拟非常复杂的构件。

基于有限元的应力强度因子计算方法，自然也将具有卓越的工程能力。

除了计算方法的介绍以外，还将简单描述一种简化网格的生成方法。

最后提供了一些所得到的典型应力强度因子解，并和大家熟知的解进行了比较，以说明本文所描述的方法的可靠性。

1 计算方法简介图1表示了笔者［2，3］建议的裂纹尖端网格形图1 裂纹前沿单元网格式。

网格由3个半环共12个20节点三维等参单元组成，每个半环有4个单元，其中第一个半环单元的中节点被移至1/4点位置，以模拟裂纹尖端应力和应变场的奇异性［4，5］。

根据线弹性断裂理论［6～8］，裂纹尖端的位移场可表示为u t=0 (3)式中，n和t分别为裂纹前沿的法线方向和切线方向；z为垂直于裂纹平面方向(见图2)；μ为材料剪切模量。

Ⅰ型裂纹尖端圆弧对应力强度因子影响的数值研究赵春风;李晓杰;闫鸿浩;王美芹【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2010(010)004【摘要】应力强度因子表征了裂纹尖端奇异应力场的强度,它是研究裂纹扩展规律和带裂纹构件强度的基础.采用有限元法,对受均布荷载作用存在边缘Ⅰ型裂纹的平面板进行了数值分析.研究了裂纹尖端圆弧对应力强度因子的影响,分别计算了具有不同裂尖圆弧r0的Ⅰ型裂纹的应力强度因子.采用应力法计算不同半径处的表观应力强度因子,插值到裂尖圆弧而得.根据计算结果,绘制KI-r0曲线,利用最小二乘法拟合至尖裂纹(r0=0)即得理想尖裂纹的应力强度因子,与解析解相差仅0.7%.该曲线为带圆弧裂纹的应力强度因子测试和带圆弧裂纹构件强度计算提供了依据.【总页数】5页(P961-965)【作者】赵春风;李晓杰;闫鸿浩;王美芹【作者单位】工业装备国家重点实验室大连理工大学运载学部工程力学系,大连,116024;工业装备国家重点实验室大连理工大学运载学部工程力学系,大连,116024;工业装备国家重点实验室大连理工大学运载学部工程力学系,大连,116024;合肥工业大学土木与水利工程学院,合肥,230009【正文语种】中文【中图分类】O346.1【相关文献】1.裂纹尖端解析解与周边数值解联合求解应力强度因子 [J], 苏海东;祁勇峰;龚亚琦2.厚壁筒双轴向表面裂纹尖端应力强度因子影响因素的研究 [J], 秦晓峰;谢里阳;何雪浤;钱文学;马园园3.管道表面焊缝裂纹尖端应力强度因子的数值模拟研究 [J], 曹先凡;秦延龙4.焊接裂纹尖端应力强度因子数值计算 [J], 高季明;王晓春5.预制V型裂纹尖端应力强度因子的研究 [J], 王成端因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

应力奇异概念
"应力奇异"通常用于描述在材料或结构中某些区域产生无穷大
或趋近于无穷大的应力值的现象。

这种情况通常发生在材料中存在缺陷、尖锐边缘或集中载荷的地方。

应力奇异性是材料力学和结构分析中的一个重要概念。

在一个结构或材料中，如果存在一个几何尖锐的角点、裂纹尖端、孔洞边缘等地方，应力场可能在这些区域内增大，导致应力奇异。

在这些区域内，传统的弹性理论和公式可能不再适用，需要采用更为复杂的理论和方法，例如弹塑性理论或断裂力学。

一些常见的应力奇异问题包括：
1.尖端应力问题（Stress Concentration）：在结构中存在几何尖锐或
不连续的地方，如孔洞、缺口、裂纹等，导致应力场在这些区域内增大。

2.裂纹尖端问题（Crack Tip Singularity）：当裂纹的尖端附近，应力
场可能呈现出奇异性，这在断裂力学中是一个重要的研究对象。

应对应力奇异性问题，工程师和研究人员可能使用一些修正方法，如引入应力集中系数、使用奇异积分等。

这有助于更准确地预测和分
析结构在奇异区域内的应力分布。

第21卷第2期机 械 强 度V o l.21N o.2 1999年6月JOU RNAL　O F　M ECHAN I CAL　STR EN GTH June1999应变梯度理论的新进展(一)Ξ——偶应力理论和SG理论RECENT AD VANCES IN STRA IN GRAD IENT PLAST I C IT Y-——Couple stress theory and SG theory黄克智ΞΞ　邱信明　姜汉卿(清华大学工程力学系,北京100084)Hw a ng Ke hchih　Q iu X inm ing　J ia ng Ha nq ing(D ep a rt m en t of E ng ineering M echan ics,T sing hua U n iversity,B eij ing100084,Ch ina) 摘要　介绍两种应变梯度塑性本构模型:CS应变梯度塑性理论——偶应力理论、SG应变梯度塑性理论。

并对它们在断裂力学中的应用进行了评述。

给出一种考虑可压缩性的方法,并根据这种模型用薄梁弯曲的例子给出了可压缩性的影响。

本文的讨论虽限制在形变理论范围内,但按照相应的方法也可以得到流动理论的形式。

关键词　应变梯度　塑性　偶应力　高阶应力　断裂中图分类号　O344Abstract　In the paper tw o k inds of fram ew o rk of strain gradien t p lasticity recen tly developed and their app licati on s are review ed:strain gradien t p lasticity fo r CS so lid——the coup le stress2theo ry,strain gradien t p lasticity fo r SG so lid.T he app licati on s are m ain ly focu ssed on the fractu re p rob lem s.O ne w ay of accoun ting fo r m aterial comp ressib ility is suggested.T he review is confined to the defo rm ati on theo ry versi on,though the flow theo ry versi on can be parallelly con structed.Key words　stra i n grad ien t,pla stic ity,couple stress,h igher-order stress,fracture1　引言新近的试验表明,当非均匀塑性变形特征长度在微米量级时,材料具有很强的尺度效应。

第六有限单元法解平面裂纹问题应力强度因子第1节 有限元素法简介 1. 基本步骤（1）结构离散化, 将作为分析对象的弹性体离散化为有限个单元；（2）元素分析，对每个单元, 形成连接结点位移和结点载荷的刚度矩阵； （3）全结构平衡，建立总刚度矩阵及全结构刚度方程； （4）边界条件处理；（5）求解刚度方程， 确定结点位移； （6）求解应变、应力。

2. 基本公式将连续体离散化后，根据收敛准则给定收敛的位移函数，各元素的内位移为：{}[]{}αQ u = (6-1-1){}Q 为基底函数矩阵，{}α为广义位移列阵。

位移函数可以多种函数形式, 最常用的是多项式。

例如：(1) 杆元：x a a x u 21)(+=即:{}[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21,1a a x u(2) 平面四结点矩形板元：xya y a x a a y x v xya y a x a a y x u 87654321),(),(+++=+++=即:{}⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=82111),(),(a a a xy yxxyy x y x v y x u u 由位移边界条件：{}[]{}αδC e = (6-1-2){}e δ为元素在局部坐标系中位移列阵。

C 为位移变换矩阵。

例如: 图6-1-1所示杆元lxu i u j i j图6-1-1 局部坐标系中的杆元素边界条件为:0=x , i u u =)0( l x =, j u l u =)(即:{}[]{}αδc a a l u u j i e =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21101 于是：{}[][]{}[]{}ee N C Q u δδ==-1 （6-1-3）N 为形状函数，可用广义坐标法求得：[][][]1-=C Q N （6-1-4）N 也可由结点插值求得。

例如上述杆元：（1）广义坐标法求解：[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-l l c 11011 [][][]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-==l lx N N N j i 1101,1,=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-l x l x ,1（2）插值法求解：由Lagrange 插值公式：lx l x x x x x N lxl l x x x x x N i j i j ji j i =--=--=-=--=--=0010根据几何关系可得：{}[]{}[][]{}[]{}ee B N u δδ∂∂ε=== （6-1-5）{}ε为应变矩阵， B 为几何矩阵。

基于奇异元计算分析裂纹尖端应力强度因子裂纹是材料中常见的缺陷，会导致材料的断裂和失效。

裂纹尖端应力强度因子是衡量裂纹尖端应力集中程度的重要参数，可以帮助工程师设计出更加安全可靠的工程结构。

在裂纹尖端附近的应力场通常具有奇异性，对于常见的模型，如平面应力问题中直角裂纹和边缘裂纹，可以通过奇异元分析来获得裂纹尖端应力强度因子。

奇异元分析是将问题的解表示为具有奇异性质的特解和非奇异性质的次解的组合。

在裂纹尖端附近，应力场通常会呈现出1/r^(1/2)或ln(r)/r等奇异性质，其中r为距离裂纹尖端的距离。

通过合适的奇异元，可以很好地模拟裂纹尖端附近的应力场，并计算出裂纹尖端应力强度因子。

裂纹尖端应力强度因子K是描述裂纹尖端应力场的一个参数，它通常包括模式I、模式II和模式III三种模式。

模式I是裂纹正向拉伸的模式，模式II是横向剪切的模式，模式III是法向剪切的模式。

裂纹尖端应力强度因子K_I、K_II和K_III分别对应着这三种模式。

裂纹尖端应力强度因子可以通过J积分或Williams级数展开等方法进行计算，而奇异元方法是一种更加直观和直接的计算裂纹尖端应力强度因子的方法。

奇异元方法的基本思想是利用奇异元函数来表示裂纹尖端附近的应力场，通过求解边界条件来确定奇异元函数中的待定系数，最终得到裂纹尖端应力强度因子。

在奇异元方法中，通常选择合适的奇异元函数作为基函数，如1/r^(1/2)、ln(r)/r等，并将该基函数展开成一组线性独立的函数，再通过变分原理或加权残差法来求解出待定系数，从而得到裂纹尖端应力强度因子。

奇异元方法的优点在于能够直接针对裂纹尖端附近的奇异性质进行建模，并且能够在裂纹尖端附近自动适应网格密度，计算结果更加精确。

此外，奇异元方法还可以方便地对不同裂纹形状和加载条件进行分析，并能够有效地处理多裂纹和非线性问题。

总的来说，奇异元方法是一种有效的计算裂纹尖端应力强度因子的方法，能够帮助工程师更好地理解裂纹尖端附近的应力场分布，设计出更加安全可靠的工程结构。