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函数极限存在的条件

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§3 函数极限存在的条件

重点难点

1. 归结原则也称为海涅定理, 它的意义在于把函数极限归结为数列极限问题来处理,

从而我们可以利用归结原则和数列极限的有关性质来证明上一节中所述的函数极限所有性质.

2. 单调有界定理是判定极限是否存在的一个重要原则, 同时也是求极限的一个有用的方法. 一般情形, 运用单调有界定理研究变量极限时, 需要首先利用单调收敛定理判定极限的存在性, 然后在运用运算法则求这个极限.

3. 柯西准则是函数极限存在的充要条件. 函数极限的柯西准则是以数列的柯西准则为基础的. 该准则在数列极限、极限和广义积分理论中, 占据了重要的地位.因此应当认真理解柯西准则, 并能用柯西准则讨论某些比较简单的问题.

基本内容

在讨论数列极限存在条件时，我们曾向大家介绍过判别数列极限存在的“单调有界定理”和“柯西收敛准则”. 我们说数列是特殊的函数，那么对于函数是否也有类似的结果呢？或者说能否从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性呢？

本节的结论只对0xx这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也是成立的。

首先介绍一个很主要的结果——海涅(Heine)定理（归结原则）。

一、归结原则

定理3.8(归结原则) 设f在;00xU内有定义. xfxx0lim存在的充要条件是: 对任何含于;00xU且以0x为极限的数列nx, 极限nnxflim都存在且相等.

分析 充分性的证法:只须证明,若对任意数列nx,且0limxxnn,0xxn,有Axfnnlim,则Axfxx0lim.因为在已知条件中,具有这种性质的数列nx是任意的(当然有无限多个),所以从已知条件出发直接证明其结论是困难的.这时可以考虑应用反证法.也就是否定结论,假设Axfxx0lim,根据极限定义的否定叙述,只要能构造某一个数列}{nx,0limxxnn,0xxn,但是Axfnnlim,与已知条件相矛盾.于是充分性得到证明.

注1 归结原则也可简述为

Axfxx0lim对任何nxxn0有.limAxfnn

注2 虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的,但是两者是有联系的.海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系, 从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以互相沟通的桥梁.它指出函数极限可化为数列极限,反之亦然.在极限论中海涅定理处于重要地位.有了海涅定理之后,有关函数极限的定理都可借助已知相应的数列极限的定理予以证明.例如

若)0()(lim,)(lim00BBxgAxfxxxx, 则)(lim)(lim)()(lim000xgxfxgxfxxxxxx.

证 已知BxgAxfxxxx)(lim)(lim00与,根据海涅定理的必要性,对任意数列nx,且0limxxnn,0xxn,有Axfnnlim,Bxgnnlim.由数列极限的四则运算,对任意数列nx,且0limxxnn,0xxn,有BAxgxfnnn)()(lim.再根据海涅定理的充分性,由)(lim)(lim)()(lim)()(lim000xgxfBAxgxfxgxfxxxxnnnxx.

注3 海涅定理除上述重要的理论意义外, 它还为证明某些函数极限不存在提供了行之有效的方法:若可找到一个以0x为极限的数列nx,使nnxflim不存在,或找到两个都以0x为极限的数列nx与nx,使)'(limnnxf与)(limnnxf都存在而不相等,则)(lim0xfxx不存在.

例1 证明极限xx1sinlim0不存在.

函数xy1sin的图象如图3-4所示,由图象可见,当0x时,其函数值无限次地在-1与1的范围内振荡,而不趋于任何确定的数.

对于xxxxx,,00和x为四种类型的单侧极限,相应的归结原则可表示为更强的形式.现以0xx这种类型为例阐述如下：

定理3.9 设函数f在点0x的某空心右邻域)(00xU有定义.Axfxx)(lim0的充要条件是：对任何以0x为极限的递减数列)(0xUxn,有Axfnn)(lim.

注5 定理3.9充分性的证明可参照第二章第三节例3及定理3.8的证明.例如可取},min{01xxnnn,以保证所找到的数列nx能递减的趋于0x.

二、单调有界定理

相应于数列极限的单调有界定理,关于上述四类单侧极限也有相应的定理.现以0xx这种类型为例叙述如下： 定理3.10 设f为定义在)(00xU上的单调有界函数,则右极限)(lim0xfxx存在.

注6 (1)设f为定义在)(00xU上的有界函数.若f递增,则)(inf)0()(000xfxfxUx;若f递减,则)(sup)0()(000xfxfxUx.

(2) 设f为定义在)(00xU上的递增函数,则

)(sup)0()(000xfxfxUx, )(inf)0()(000xfxfxUx.

三 函数极限的柯西收敛准则

定理3.11(柯西准则) 设函数f在)';(0xU内有定义.)(lim0xfxx存在的充要条件是：任给0,存在正数)'(,使得对任何);(,'0xUxx有)()'(xfxf.

[分析] 充分性的证明可以利用数列极限的柯西准则和函数极限与数列极限的桥梁——海涅定理来证.分两步：1)对任何以0x为极限的数列);(0xUxn, 数列)(nxf的极限都存在; 2)证明对任何以0x为极限的数列);(0xUxn,数列)(nxf的极限都相等.

注7 可以利用柯西准则证明函数极限)(lim0xfxx的不存在:

设函数f在)';(0xU内有定义.)(lim0xfxx 不存在的充要条件是：存在 00,对任意正数)'(,存在);(,'0xUxx, 有0)()'(xfxf.

如在例1中我们可取210,对任何0,设正整数1n,令

21,1'nxnx,

则有);0(,'Uxx,而011sin'1sinxx于是按柯西准则,极限xx1sinlim0不存在.

小结

1. 证明函数极限存在或求函数极限的方法.

(1) 用定义证明函数极限的方法且Axf)(lim,尤其是分段函数的分段点.

(2) 用柯西收敛准则证明函数极限存在. (3) 用迫敛性证明函数极限存在并求得极限值.

(4) 用海涅归结原理证明函数极限存在并求得极限值.

(5) 用四则运算法则及一些熟悉的极限求值.

(6) 对于单侧极限,单调有界定理可证得极限存在.

2. 证明函数极限不存在的主要方法:

(1) 利用函数极限的定义证明函数极限不存在,

(2) 利用函数极限与单侧极限的关系证明函数在某点不存在极限.特别对分段函数在分段点处的极限.

(3) 利用海涅归结原理证明函数极限不存在.

(4) 利用柯西收敛准则证明函数极限不存在.

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关于大学高等数学函数极限和连续

关于大学高等数学函数极限和连续

第一章 函数、极限和连续

§ 函数

一、 主要内容

㈠ 函数的概念

1. 函数的定义: y=fx, x∈D

定义域: Df, 值域: Zf.

2.分段函数: 21)()(DxxgDxxfy

3.隐函数: Fx,y= 0

4.反函数: y=fx → x=φy=f-1y

y=f-1 x

定理:如果函数: y=fx, Df=X, Zf=Y

是严格单调增加或减少的；

则它必定存在反函数：

y=f-1x, Df-1=Y, Zf-1=X

且也是严格单调增加或减少的;

㈡ 函数的几何特性

1.函数的单调性: y=fx,x∈D,x1、x2∈D

当x1＜x2时,若fx1≤fx2,

则称fx在D内单调增加 ；

若fx1≥fx2,

则称fx在D内单调减少 ； 若fx1＜fx2,

则称fx在D内严格单调增加 ；

若fx1＞fx2,

则称fx在D内严格单调减少 ;

2.函数的奇偶性：Df关于原点对称

偶函数：f-x=fx

奇函数：f-x=-fx

3.函数的周期性：

周期函数：fx+T=fx, x∈-∞,+∞

周期：T——最小的正数

4.函数的有界性： |fx|≤M , x∈a,b

㈢ 基本初等函数

1.常数函数： y=c , c为常数

2.幂函数： y=xn , n为实数

3.指数函数： y=ax , a＞0、a≠1

4.对数函数： y=loga x ,a＞0、a≠1

5.三角函数： y=sin x , y=con x

y=tan x , y=cot x

y=sec x , y=csc x

6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x

y=arctan x, y=arccot x

㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=fu , u=φx

大一高数上所有知识点总结

大一高数上所有知识点总结

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一、函数与极限

1. 函数的概念与性质

1.1 函数的定义

1.2 函数的性质

2. 极限的概念与性质

2.1 极限的定义

2.2 极限存在的充分条件

2.3 极限的性质及四则运算法则

3. 无穷小量与无穷大量

3.1 无穷小量的概念与性质

3.2 无穷大量的概念与性质

4. 极限的计算

4.1 用夹逼准则求极限

4.2 用无穷小量比较求极限

4.3 用洛必达法则求极限

4.4 用泰勒公式求极限

二、导数与微分

1. 导数的概念与求导法则

1.1 导数的概念

1.2 导数的计算与求导法则

1.3 隐函数的导数

1.4 高阶导数

2. 函数的微分与高阶导数

2.1 函数的微分 2.2 微分的计算

2.3 高阶导数的概念与计算

3. 函数的增减性与凹凸性

3.1 函数的单调性

3.2 函数的最值与最值存在条件

3.3 函数的凹凸性及拐点

三、函数的应用

1. 泰勒公式在误差估计中的应用

2. 函数的极值及其应用

3. 函数的图形与曲线的切线方程

4. 收敛性与闭区间紧性的概念及应用

四、不定积分

1. 不定积分的概念与性质

1.1 不定积分的定义

1.2 不定积分的性质

1.3 不定积分的基本公式

2. 不定积分的计算

2.1 一些特殊函数的不定积分

2.2 有理函数的不定积分

2.3 有理三角函数的不定积分

2.4 特殊的不定积分解法

五、定积分

1. 定积分的概念与性质

1.1 定积分的定义

1.2 定积分的性质 1.3 定积分的计算

2. 定积分的几何应用

2.1 定积分与曲线下面积

2.2 定积分与旋转体的体积计算

2.3 定积分与空间几何体的体积计算

六、微分方程

1. 微分方程的概念与基本性质

1.1 微分方程的定义

1.2 微分方程的基本性质

2. 常微分方程的解法

2.1 一阶微分方程的解法

2.2 二阶微分方程的解法

2.3 高阶微分方程的解法

3. 微分方程在物理问题中的应用

极限存在定理

极限存在定理

极限存在定理

1 极限存在定理

极限存在定理是数学中独特而重要的定理，它可以帮助我们证明

某些数学理论。这一定理由18世纪英国数学家欧文提出，他认为当函

数的值在某一范围内逐渐靠近某一值时，它的极限是这个值。换句话

说，当一个函数的值接近一个特定值但又无法达到它时，这个函数的

极限就是这个特定值。这就是极限存在定理，它主要用来证明实数的

连续性以及多项式的截断，也常常用来证明某些数学理论的正确性。

2 应用

极限存在定理在数学中有很多应用。首先，它可以帮助我们证明

函数和实数的连续性。比如对于函数f(x)，在其变量x逐渐变化时，

可以由极限存在定理来证明，只要在一定范围内满足一定条件，f(x)

就能够渐近某一数值；从而证明实数的连续性。

其次，极限存在定理也可以应用在解析几何中。特别的，极限存

在定理也可以帮助我们证明多项式的截断。假设给定多项式

f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+…+a_nx^n，那么极限存在定理说明，当x的

值接近某一特定的数值时，多项式的值也将逐渐靠近另外一个特定数

值，而这个特定数值就是多项式的极限值。

此外，极限存在定理也可以被用来证明某种数学理论的正确性。

它可以帮助我们证明令人困惑的数学概念，并可以估计函数的值。 3 总结

总的来说，极限存在定理是数学中的重要定理。它主要用来证明

函数的连续性、多项式的截断以及一些数学理论的正确性，它对数学

理论的发展具有重要意义。因此，极限存在定理在数学学习和数学实

践中都是至关重要的。

关于复变函数求极限的方法浅谈

关于复变函数求极限的方法浅谈

关于复变函数求极限的方法浅谈

复变函数是指定义在复数域上的函数。在复数域上，函数的极限存在的判定方法与实数域上的函数有所不同。本文将从极限的定义、极限存在的条件以及极限计算方法等方面进行讨论。

1. 极限的定义

对于复数列{zn}，当复数z无论多么接近于z0时，对应的函数值f(z)都无论多么接近于某个复数A时，称A为函数f(z)在复数点z0处的极限，记作lim_(z→z0)(f(z))=A。

2. 极限存在的条件

与实数域上的函数类似，极限存在的充要条件是满足柯西收敛准则。即对于任意正数ε，存在正数δ，使得当|z - z0| < δ时，有|f(z) - A| < ε。

3. 极限计算方法

3.1 用直接代入法计算极限

当函数在z0附近连续时，可以直接将z0代入函数中计算极限。计算极限lim_(z→1)((z+1)/(z-1))时，直接代入z=1可得lim_(z→1)((z+1)/(z-1))=2。

3.2 用极坐标法计算极限

对于复数z=r(cosθ+isinθ)，可以将其表示为极坐标形式，即z=|z|e^(iθ)。利用极坐标形式计算复变函数的极限可以简化计算过程。计算极限lim_(z→0)(z^2/(z^4+1))，可以将z=r(cosθ+isinθ)代入，得到lim_(z→0)(z^2/(z^4+1))=lim_(z→0)((r^2(cosθ+isinθ)^2)/((r^4(cosθ+isinθ)^4+1)))。再利用欧拉公式化简即可。

3.3 用洛必达法则计算极限

当计算存在一个不定型的复变函数极限时，可以使用洛必达法则。洛必达法则适用于计算函数之间的极限，不论是实数函数还是复变函数。计算极限lim_(z→0)((cosz-1)/z)，可以利用洛必达法则转化为计算lim_(z→0)(-sinz)，最终得到极限为0。